完全非連結群の表現の基礎 報告集暫定版
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全文
(2) コンパクト台分布に関する 関数の積分 コンパクト台分布の畳込み積 群の作用で不変な分布.
(3)
(4). . 加群
(5) . . 基本的な性質. 加群と 加群 加群 反傾表現 誘導表現 誘導表現の基本的な性質 許容表現の指標 の補題と既約表現の存在.
(6). 基本的な性質 局所閉集合への制限 の自己同型群 誘導表現と と誘導表現. 半単純加群と半単純環
(7). 半単純加群. 根基 半単純環，単純環. 加群と 加群 環と 環 組成列. . . . .
(8) 加群の指標 代数の 根基. . . 参考文献. 完全非連結空間上の分布 . 局所コンパクト 空間の連結成分. 位相空間. が連結であるとは， の開かつ閉な部分集合が. . ることをいう． の極大な連結部分空間を . . 連結成分は. . と. に限. が連結ならば ， におけるその閉包 も連結である．よって. . である．ここで. . . の. . $. の閉集合である．. . コンパクト !" # 空間. 命題. . の連結成分と呼ぶ．部分空間. . . は. . . を含む. の連結成分 . . に対し て. の開かつ閉部分集合の全体で. ある．. %証明& $. . . . は連結でないとすると， の閉集合 で. . . . $. . . か. . $ なるものがある．
(9) $ $ とおくと， $
(10) かつ
(11) $ だから
(12) $ 又は $ そこで
(13) $ ' 即ち . とする． の開集合 で かつ $ なるものがあ る ． $ だから，有限個の $ . が つ. . あって'. . . . . . . . . . . . . . . . . だから. . $ となる．よって $ ，実際， $ $ は の開かつ閉集合で である．よって $ . ここで. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . となり，矛盾する．. 局所コンパクト !" # 空間 のコンパクトな連結成分 ，. 命題 及び. . . . クト開集合. . ½. なる. . . の開集合. . に対して，. . . が存在する．. 空間 のコンパクト部分集合 に対して， なるものがある．. かつ. . の開集合. なる のコンパ. で .
(14) . . %証明& に対して 合 があり，有限個の とできる．. はコンパクトで， は. . . . は. . . . . . かつ がコンパクトなる の開集. . . . をとって. . . . $ $ ½. . の連結成分である．よって命題 より. なる. . $. . ½. . . . $. の開かつ閉部分集合の全体）となる．ここで. . $. . . . . $. . . . . . . をとって $ µ とできる．このとき $ は の閉集合だからコンパクト より，有限個の . . . . . . . . である．一方， は. . . . . . . . . . . の開集合でもあるから， の開集合 があって. . $ となるが， は の開集合となる．最後に . . . . で は の開集合だから， $ . . . . . である．. 完全非連結空間. 局所コンパクト !" # 空間. の各点がコンパクト開集合からなる基. . 本近傍系をもつとき， は完全非連結であるという． 命題. 局所コンパクト !" # 空間 が完全非連結となる必要十分. 条件は の連結成分は全て一点からなることである．. %証明& 十分であることは命題 より良い． が完全非連結であるとして， の連結成分 が相異なる二点 を含むとすると， かつ な る のコンパクト開集合 がとれる．このとき $ $ は の開集合で $ ' $ かつ となり， が 連結であることに反する．. . 命題. . . . .
(15) . . 局所コンパクト !" # 群 に対して，次は同値である；. は完全非連結， 単位元 を含む開集合 開部分群 が存在する．. . %証明& このとき $ . . . . . . . に対して，. . . なるコンパクト. なるコンパクト開集合 がとれる（ 命題 ）．. . は . . . の開かつ閉部分集合である，実際，.
(16) . . . とする．任意の. . . . に対して. . . . で. . . . は開集合だから，. なるものがとれる． はコンパクトだか ら，有限個の をとって ½ とできる．こ のとき $ ½ は の開近傍で となり， とな るから， は の開集合である． とする．
(17) だから
(18) . の開近傍 で. . . . . $ なる の 開近傍 がある．よって $ となり， は の閉集合である．さ て， だから ，よって はコンパクトで である．よっ て $ は のコンパクト開集合で である．更に に対して， だから なる. . . がとれる． は. . . . の閉集合だから. . . . . . . . . . . . . . . $ となるから， は. . . . . . . よって. . . . . . . . . . の部分群である．. 後に用いるために次の命題を示しておく； 命題. 局所コンパクト完全非連結空間 のコンパクト集合 . に対して， . 有限開被覆. . . . . . $. . . . . . の. を次の. 三条件を満たすように取れる；. . . . かつ ( ( ( ( $ '. . を. . . . . '. に関する の分解と呼ぶ． %証明& 任意の に対し て，開コンパクト 集合 がとれて， はコンパクトだから，開コンパクト集合 をとって とできる．ここで $ $ $ とおくと， は開コンパクト部分集合で
(19) $ $ となる．よって $ とおけばよい． . . と. . . . . . . . . . . . . . . 以下， ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . を局所コンパクト !" # 完全非連結空間，及び群として，.
(20) を一つ固定しておく． のモジュラー関数を Æ
(21)
(22) $ Æ
(23)
(24) ．局所コンパクト群上の ! 測度につ. 上の左 ! 測度. と書く . . . いては %' ) *+& を見よ．. .
(25) . 局所コンパクト 空間上の不変測度. 局所コンパクト !" # 空間上の不変測度について復習しておく． 閉部分群. . . . で
(26) . ! $ !. なるものを. . ,. をとる．連続関数. に関する. ! $ Æ. . ! Æ. !. . . !. . . 関数と呼ぶ．このとき " 上の測度 #. 上の. で. . .
(27).
(28) $. . .
(29) . なるものが定まる（ ! は. . . . !. . ! . - . . #. . 上の左 ! 測度）．特に. . . . . . . . に対して. - $ $ - # - $ - $ " となる．従って が群 の準同型写像であるときには， # - $ # - となるが， #. より精確には. . . 命題 連続群準同型写像 , に対して， # - $ # - なる " 上の測度 # が存在する必要十分条件は Æ ! $ !Æ
(30) ! ! なることである．. . 系. !. . . 不変測度が存在する必要十分条件は なることである． 上に. " . . . , に対して # $ # により定義する． に関する. . 上の 関数. 積分公式 を書き直すと. 注意.
(31). . . .
(32) $. . .
(33). . . .
(34) !. ! Æ. !. . . . ! $ Æ
(35) !. Æ. 上の測度. . を . #. - . . #. なる積分公式を得る．従って % & の . で与えられ Æ ! ! なる に対して定義 Æ !
(36) された線形形式 %
(37) は . . . た，! $.
(38) $ %. . .
(39). . %. .
(40) $. .
(41). . . #. - . . である．. ¾ この節で述べることは一般の局所コンパクト. . 空間で成り立つ．
(42) .
(43) . 関数 から複素ベクトル空間. に対して & ' が . . , * * $ $
(44) $ $ ** , コンパクト. . . であるとは，' . が. &. の開集合となることをいう．. $ & , . . への関数. &. とおく． $. . . '. . . . . , . . . . . . '. (. #. &. $ とおくと，自然な複素 . 線形写像 . . は単射（ " . ). . . . % . &. '. . &. & '. ならば全射）となり，同型 / . . . . . を導く．. . 完全非連結空間上の分布 の開集合. . いて. に対して $. . 0 の元を. . . $. *. ** とお. , . . . . . . , 複素線形形式. . 上の分布と呼ぶ．. の開集合 と * 0 に対して，制限写像を * $ * ½ 0 と定義することにより， 上の分布の層 が定義される（ 簡単のために * $ * と書く）．. 定理. . . . %証明& 前層であることは明らか． を の開被覆とする．* 0 が * $ + 0 とすると，任意の に対して **, $ ½ + 0 として， と に関する の分解. を とすると（ 命題 -. ），, $. だから. $ * ,. となる，* $ ．一方，* とすると，任意の. . . ¿ 層の一般論については. . . . . -. , で - . , $ . * -. 0 . +. 0 で $ . に対して，**, $.
(45) を参照．
(46). *. . . *. . . ½. . . .
(47) . . + 0 として， と に関する て，- だから. . $ * ,. *. . -. の分解を. とし -. ,. 0 として と . に関する . とすると， $ 及び $ とおく と， . は と . に関する の分解で. とおく，. . の分解を. . ½. . . -. . ,$. *. . . /. . となるから. *. . . /. となり，*. (. . .. -. . ,. .. . ,$. $ . ,. *. . 0 が定義できて， . . *. . $ 0. . と. . $. * . . . . . . /. . . .. /. -. .. ,. ,. $ * . 0 となる． +. に対して $. . * . . . . *. の 12 を $ 1 0 とする． に対して ** $ $
(48) とおいて
(49) $ ** , *. と書く． *. . . . . における. . . . *. . . *. . *. . *. . とおく． 例. . により. *. に対して $
(50)
(51) が定義され ** $ ** と を同一視する． &. . . * . . & . *. &. &. . . . . *.
(52) コンパクト 台分布に関する 関数の積分 局所閉部分空間. . . . に対して， から. . への全射複素線. から単射複素線形写像. , $ を定義する．特に開集合 に対して 形写像 , . . . . . . . . * . . . . £ 0 . * . . . . . , 3.
(53) . *. . に対して. だから，. . $. . * . . . . . *. . . . ' 0. なる唯一の. . . '. (. 0. . . .
(54). . . . . $ より. . '. . . * . . . ならば. . . . して. . 1. . $. . . 0. $ *. *. . * . . $ ! . . . * . . と書く．. . . . $ . * . . . .
(55) $ なる ' 0. 0. . . . &. . . ' とおくと，任意. ' 0. . 2 . '. . コンパクト部分群 . 例.
(56) . $ . に対して 1 $ %. . . . . . に対して. 一意性は $. 1 . . . . ' 0. $.
(57). . $. *. . . . に対して. . . *. $ ( $ ( なるコンパクト開集合 ( 4 と 4 があって $ ' と書けるから，有限個の ( 4. $. 例. . が存在する．' $. を除いて *** の. . 0 * . . ¼. . '. $. * . と. $ . %証明&. . . と定義する．. . 命題. . $ *** とすれば ，. . . . . . 0 * . が存在することによる．. . **1 $. 上の正規化された ! 測度を. 2 により. . 1. . . . で， . 2 と. が定義され. る．**1 $ . コンパクト 台分布の畳込み積. 上張るから， により を定義すると ** $ ** ** だから である．そこで を 3 *. . が 3 3. *. とする．. . . *. 3 *. 上の関数 . . * . $. . 3.
(58)
(59). . -. $ . . 3. により定義すると，**3 を. . . . 3. . を. . . 3. . -. 3 . *. *. *. - . * -. 3. *. . . ** **. . . . . . だから 3 * の畳込み積と呼ぶ．次の命題は形式的に容易に証明される； *. 3. . -. *. . .
(60) . は畳込み積に関して 1 を とする 代数である， 1 1 $ 1 ! ' $ 1 ½ ' コンパクト部分群 に対して 1 1 1 & に対して *½ *¾ $ *½ ¾ ，ここで. . 命題. . . . . . . &. . . $. & . . . .
(61). . &
(62) . &. . . . . 群の作用で不変な分布. は に $ により作用するから， に対して $ により を定義する． は 自身に左右から連続に作用するか ら， ' に左右から作用する． が. . . に連続に作用するとき， . . . *. . . . る. . . *. . . . . . . . * . . . . . . . . . . 上の. . . * . . . 定理. . がコンパクトで. 不変測度. #. . への作用が推移的ならば ，# $. が 唯一存在して，不変な. *. . . は. な. . . の定数倍に限る．. # . この定理を示すために，まず次の補題を示す；. . 補題. . . がコンパクトのとき，不変な *. は. . .
(63). の定数倍に限る．. %証明&.
(64) を #
(65) $. なる. #. く．コンパクト開部分群 . . . $. 上の ! 測度として，* $ (. . くと. $ #
(66) $. に対して. . . . . * . $ * ，従って. (. よって. . . に対して. . $. * . . . . . . (. . (. . . . * . (.
(67) $ $4. * .
(68) #. . . . に対して . . . より. . . . . . . . * . . ．よって. . とおくと. $(. . . とお. とお.
(69) $ 4#
(70) . $ . $ ( , $ (. $. * . $ * $. 4 $ ,. . #. . より #
(71) $ , である．一方，任意の だから. . . .
(72) . . .
(73) . (. . #. . $(. .
(74). $ . . . . . . .
(75) . #. . .
(76) . の証明 閉部分群. 定理 . に対して $ " としてよい． $ Æ $
(77) ，従って 上の 不変 5" 測 上の正規化された ! 測度
(78) ! に対して. はコンパクト群だから. . 度 # があって， . .
(79) $. .
(80). Æ. . . . !. . ! . . -. . # . . . . . $ である． , " $ を自然写像 とする と，コンパクト開集合 に対して はコンパクト開集合 だから. , . が成り立つ．特に. # . . . Æ . は単射複素線形写像となり，よって. , 3. Æ . . 3. . . . は全射複素線形写像となって，. . $ $ Æ となる．よって に対して $ $ Æ $ Æ $ Æ $ より $ となる．よって 不変な に対して $ なる 不変な がとれる．補題 から $
(81) 3 . 3 . 3. . . 3 . . 3 . . . *. 3. (. 定理. . 3. . 3. (. . . . . . . . . $*. 3 -. *. . . . . . * . . . 3. . -. . . (.
(82). - . . . . (. に対して，単位元の近傍 ． ならば * . . . 3 . *. . . . . . . . 3.
(83). . . となるから，任意の に対して $ Æ $ -
(84) $ * -. *. . . 3 . . . 3 . . 3 . . . . . - # . があって. . . *. . $. . *. . %証明& コンパクト開部分群 があって，任意の 2 に対して 2 * $ * とできる． に対して $ はコンパクト開集合で，2 2 により は に連続かつ推移的に作用して，* は 不変であ る．一方. . 3. $ % $ . . . . .
(85). . .
(86) & . . .
(87) . . 不変であるから，定理 より * $ ( 3 ( ．ここで任意 の 2 に対して ( $ ( だから，& $ % ( & は左 不変である．ここで $ とおくと， に対して も. . . $ $ . . * . *. (. . よって. 部分群.
(88). を. 1. . . の. とする. . である． . . . .
(89) . . & . の両側イデアルである．コンパクト開 $. 1. . . . .
(90). . . , 両側. . . 不変. 部分代数である．. コンパクト 開部分群. 例.
(91) $. . を得る．. . 1. . . . . . . $ は. . . $ は に対して. . 系. . $ * $ &. *. . . $ 6 1 . に対して，1. . . . . 加群. 基本的な性質. を. 加群とする．コンパクト部分群. . $. '. 2'.
(92). $. 2. .
(93) コンパクト開部分群. $. $. を . '. *'. $. 群となる． 命題. .
(94). . ' * . に対して. 2'. '. . ). '. . . . . &. . '. . . 加群と呼び，更に任意のコン のとき を許容 加群と. . . '. . . 加群 とコンパクト部分群 . 2. ' に対して % が定義されて， は左 . 加群とすると，*. . . % . . だから . . . $ のとき を パクト開部分群 に対して " 呼ぶ． 定義. . . . とおき. $'. . . . , 3. に対して. '. &. . 加. .
(95) %証明&. . '. '. . 2. . . '. . 1. . 1. 1. ' 0. . '. 22. ' 0 2 $ 1. . . . . 2 $. $ . $. である．'. . . 2. 2 2 ' 0 . 2' $ 1. '. '. . '. ，従って 2'. . . . . . . ). $ . 1. ' 0. $. よって. . . . . 定義. . . 2 '. . を . . 2 $. 2' 0 . . . ,. . $ ．よって ' $ 4. が左. 加群と. . 加群で $. 0. 2 '. 7 . とする．. $ 1. 0. 2. . . . . となる．. . 加群. .
(96) コンパクト開部分群. 加群と呼ぶ．. 1. . のとき，. 加群ならば ， は自然に 加群となる． 逆に を 加群とすると，* と ' に対して， 1 なるコンパクト開部分群 をとり，* 1 より. が . . . . . 2 ' 0 . 2 ' 0. '. に対して. . '. . . . . . をとって . . . . 2. ' 0. . . . '. 0. ．逆に. 1. . 1. '. . . ' 0. 7 $ なるコンパクト開部分群 $ , とおくと 1. . ' 0. に対して. 2' 0 . . より. '. . $ . 2' 0 $. 1. $ ! に対して. $ . $ ' となり，1. '. . 4. ' 0. ．逆に. より. . . 2 1. より. 0. . . . *'. とおくと，. . .
(97). $ *. . 1. . '. . 加群となる．そこで は 加群となる．. とおくと， は左. . . . . . . . . . に対して. . . '. $ Æ. . '. 加群 . をコンパクト開部分群とする． . 加群）に対して. $1. . は. . 加群（ 従って . 加群となる． .
(98) 定理. 加群 に対して次は同値である；. は単純 加群（ 即ち，単純 任意のコンパクト開部分群 加群．. . 加群）， に対して . $ または . は単純. に対して な は 部分加. %証明& あるコンパクト開部分群 る 部分加群 があったとすると， 群となり. . . . . . $ $ $ より となる． なる 部分加群 があったする．
(99) をとり， なるコンパクト開部分群 をとると
(100) $
(101) より となる．. . . . 1. . . 5 '. 定理. . . . . '. .
(102). $. . . 明らか． . . 1. 5. . 加群として同型ならば ， と. . . . 単純 加群 . %証明& して. 1. . 5. . . . '. . . *. に対して，. . /. ,. は. . . . . とおくと. 部分加群. . . . $ 1. . が非自明かつ. 加群の同型写像と. , $ , 部分加群 $ * . . 加群として同型である．. を. . と. . 1. . . . $.
(103) '
(104) $ ．よって , , 加群の準同型写像 に対して， $
(105) 8 ¶
(106) より 8 $ ，又 7 より 7 $ となる．よって , / は 加群 の同型を与える． についても同様だから， 加群の同型 / を より. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 得る．. 定理. コンパクト開部分群 . 加群の同型 在する．. /. . . 加群 に対して， が成り立つような単純 加群 が存 . . と単純な.
(107)
(108). . %証明& $ ' として，全射 加群準同型写像 & , ' に対してイデアル $ 7& をとる． を夫々 と で生成された左 部分加群とすると. . . . $1. $. . . $1. . . . . . . . . $. 加群として. より，. . " . . $1. 加群. . " . /. ( " . は
(109) $ . ". . . $. " /. . で生成される．こ 加群となる 部 分加群 が存在して， / は 部分加群だから， $ 又は である．ここで $ ならば $ となり 矛盾するから， $ よって 加群として. よって. . $. . $ 1. ". 5. こで 9 の補題を用いて， $ " が単純. . . $1. . ". . $ ( " / " / . よって単純. . . . に対応する単純 . . /. . 加群をとればよい．. 反傾表現. . . . 加群. " . 0. . 加群. . '. に対して $ ! は. . 0 '. $. の反傾表現と呼ぶ．コンパクト開部分群. . して，命題 から. $ $. . 0. . 0.
(110) $. 0. $ . , , ,. . . に対. により 加群となり，
(111) $ は . 加群となる．これを.
(112) . . 0 . , 複素線形写像 , 複素線形写像 , 複素線形写像 . . ,コンパクト開部分群 7. ,コンパクト開部分群 $ 7 7 ,コンパクト開部分群 , . '. . . . '. . 2. '. '. 2. . 0. . . . 1. 0. . 0. だから，複素線形同型. . /
(113) が成り立つ．'. . 群準同型写像 . に対して. 6. % . . '. '. 1. & は単射. ' 6.
(114)
(115) で，'.
(116)
(117) を与える．まず次の補題を示す；. . '. 加. .
(118) 加群 の 部分加群 . 補題. . は.
(119) の. . に対して. $ 0
(120) 0 $ . $ となる．即ち
(121) - - . 部分加群で $ $. , ,. . . ". ". '. ' . ' '. . ' '. ' '. は共に非退化双線形形式となる．特に. ' '.
(122) が単純 加群ならば. も単純. . . 加群となる．. %証明&.
(123) . . が.
(124) の. . とする．'. . 0 $ なる. 0. . . 部分加群となることと は明らか．'. なる開コンパクト部分群 をとると，0' $
(125) である． があって ' $ 0 1
(126) . . . Æ. .
(127). . このとき. . ' '. $ 01. となり，'.
(128) . . '.
(129). . $ 0' $ . '. $ 01. $ 0 $ . . ．. 反傾表現については次の命題が基本的である； 命題. 許容 加群 に対して. . が成り立つ．.
(130) は許容 加群で，加群の同型 /
(131)
(132) ' 加群として の単純性と
(133) の単純性は同値． %証明& 任意の開コンパクト部分群 "
(134) だから，
(135) は許容. . . . '. に対して. $ " $ " . ). . 加群である．又. . "
(136)
(137) . $ "
(138) . ). '. / . .
(139)
(140) を与える．よって * , /
(141)
(142) は 加群の同型写像である．又， が単純 加群ならば
(143)
(144) は単純 加 群，従って補題 より
(145) は単純 加群となる．逆は再び補題 に より，'. は複素線形同型. $". よる．. 命題. を自明な "1 とみて. !
(146) . . $. である．このとき次の. !
(147)
(148) . . 0. . . ,. , 1 0 7 $ 07 . . . 7. . 線形同型が成り立つ；. / %
(149). 5. '. .
(150) 5 '. & !
(151) . .
(152) !
(153)
(154) と に対して $ $ より， % & が 単射複素線形写像であることはよい．
(155) とする． に対して !
(156) ! , とおく．任意の に対して $ なるコンパクト開部分群 があるから，任意の に対して ! $ $ $ $ ! 又，任意の に対して ! $ $ $ ! $ !
(157) で，任意の よって $ % ! & !
(158) に対して $ ! $ %証明&.
(159). .
(160) .
(161). 5. '. . 5 . '. 5. 2. 0. '.
(162). 2. . '. '.
(163) 5 '. 0 5. '. 2. 5. 5. . 0. 2. 5. . '. . '. 0 5. '. 0. '. . 0. . 5. 5. '. 0 5. 0. 8. 0. .
(164) 5 '. 命題. '. . 0 5. .
(165) 5 . 0. 2. '. . 0. 2. '.
(166) 5 '. . 0. 5. を . '. 5. 0 '. . . 0 5. . '. 0. '. '. 加群とすると. !
(167) 8
(168) に対して
(169) 5 ' $ 5
(170) ' 5 ' 8 なる.
(171)
(172) !
(173) 8 が唯一存在する．
(174)
(175) は複素線形同型 ! 8
(176) / ! 8
(177) を与える．
(178).
(179).
(180). %証明& 命題 より複素線形同型. / !
(181) & % . !
(182)
(183) / !
(184) .
(185). % 5. '.
(186) 5 '. '. 5. . / !
(187)
(188) .
(189) 5 '. & $ % '. 5. & . ' 5. が成り立つ．. . . 加群 があるとき，' 0
(190) に対して 上の . 関数 "# $ ' 0 を の行列成分と呼ぶ．. . .
(191).
(192) . 誘導表現. . 閉部分群 . . と 加群 に対して， は . . $. . により 加群となるから，その 部分加群 8 "
(193) $. $ "
(194) $ 8 "
(195) ** , *. . . . . !. !. . " . . . . !. . . を夫々誘導表現，コンパクト 誘導表現と呼ぶ． 群. は. . に右から作用することも出来るので，誘導表現を別の具合に定. . 義することができる．即ち， を として，その. . 部分加群. . $ により 加群. .
(196) $ ! $ ! ! .
(197)
(198) $ 8 " ** , *. " . . . を考えるのである．これら二通りの誘導表現は， . $ とおけば ， が 8 "
(199) /. . . .
(200) . . に対して. 加群の同型. . "
(201) /.
(202) . を与えるから，ど ちらで考えても同じことである．保型表現の文脈では群の 右作用を用いる文献が多いようだが，純粋に表現論の文脈では群の左作用を 用いる場合が多いように思われるし ，群の左作用の方が記号的に自然と思わ. れるので，当面 8 "
(203) "
(204) に関する記述を与えて，最後に自然な同型を.
(205)
(206) に関する記述を与える．. 通じて . . コンパクト開部分群 . . . 8 "
(207) . とおくと，. . /. 従って， が許容. るから，8 "
(208) $.
(209). . . . に対して. . $. . . "
(210) . . . $. . . . . . . /. . . 加群で " かコンパクトならば ，: は有限集合とな "
(211) は許容 加群となる．. . 誘導表現の基本的な性質. 関数. ,. 命題. . . 加群の同型. . $ $. 0. .
(212) . . . . に関する. に付随する 上の測度を # とする．. 8 "
(213) Æ. . . '. により次の複素線形同型が成り立つ；. 誘導表現の間の関係を与えるために，閉部分群. が. . . /
(214)
(215) . Æ. . . "
(216)
(217). . - . -. . -. - により与えられる．. #. . の .
(218) %証明& コンパクト開部分群 "
(219) て，任意の 2. . . . . . . . -. . 3 . -. $. 2. . $. . . . -.
(220) Æ
(221) . . Æ. . $ . . -. . . . . . . . . -. である．ここで. . , 3 . . 3 . $ . 6. Æ. Æ. . に対応しているとする．6 . $ 2 !. . Æ. - . . . Æ
(222) . Æ. . Æ
(223) . . . -. . "
(224) . . 6 . $. となるから，. -. 次に示す関係は. - . 0. . . . に対して. - . . . .
(225) に対応して
(226) . . . . !. 6. $ -
(227) $ - $ - $ . とおく．このとき任意の. をとると，命. . 0. $ Æ !Æ
(228) !. . Æ. Æ. - .
(229). # . 8 "
(230) . -. . . #. . . . 0. . . が定まる．即ち. . . . である．ここで であり
(231) $
(232)
(233). $
(234)
(235) が とみて， . /. . - . #. 0. 題 より. とし て，任意の. $ で. に対して. . - . $. -. は単射である．一方，任意の "
(236) 0. とし. に対して. . に対して，殆ど 全ての -. -. に対して. . より. . "
(237)
(238) である．更に 2. よって. . . に対して. !. . . #. #. . . #. . . . . $. 0 . . 0. となる．. 相互律と呼ばれて，以下の議論では重要な働. きをする；. .
(239) 定理. 加群 と 加群 に対して. 複素線形同型及びその逆写像 !
(240) 8 "
(241) / ! .
(242). ! / !
(243) 8 "
(244) . . . . . ' 3& 5 $ % 複素線形同型 ; , ! Æ Æ
(245) が. *. % 5 $
(246) 5. ;. .
(247) 5. $. .
(248) . .
(249). . . . % & *. 3. & により与えられる．. 5.
(250) / !
(251) "
(252)
(253) が . . . . . 5. . - . #. により与えられる．. %証明& . !
(254) .
(255). . 8 "
(256) に対して. ,. 0
(257). !. 0
(258). . 5. $
(259) !. 5. .
(260) 5. . . ! . . 0
(261). . して. ．一方 . , 複素線形写像. . $ !. 5. $ !
(262) 5 より. . $
(263) 5! .
(264) 5. !. . ! . . . . に対. , 複素線形写像 &! $ $ &! ' $ なるコンパクト 開部分群 があるから $ &! &! $ より &! 8 "
(265) で &! $ $ &! $ &! よって $ % &! & !
(266) 8 "
(267) で，任意の !
(268) 8 "
(269) &. &. &! , . とすると，5. !. 2. 5. &. !. 5. . 2. 2. !. &. . !. . . &. 5. 5. 2. . . 5. &. . 2. . . &. . 6 . . 5. 5. &. . &. . . . &. . . .
(270). . に対して. #%! $ 0
(271) . &. . 5. $
(272) . . $ . より. 6. Æ. $ %5. 0
(273). #%! $ &.
(274) 5. . . 5. $
(275) 5. & $
(276) ．又，任意の .
(277) 5. . . . ! . . 対して. 0. Æ. 5 $ 6 5 $ &&! $ 5. 6 . . . 5. . に. .
(278) 次の. 1 . の列から，; の存在は明らか；. !
(279) "
(280)
(281) . "
(282)
(283) !
(284) !
(285) 8 "
(286)
(287) !
(288)
(289)
(290) !
(291) . . Æ. 命題. Æ. 命題. Æ. Æ. Æ.
(292) . Æ. . 命題. 具体的な対応は. $ $ % % & % % && $ . "
(293) に対して $ $ % & $ -
(294).
(295).
(296). 5. . 5. ' 5.
(297). . . '
(298) 5. '
(299) 5. 5.
(300). . 5. で，&. 5. . & 5. & 5. . &
(301).
(302) . $. & . . . .
(303).
(304) .
(305). . . 5. 5. . #. . . & . . 5. . - . #. となる．. 命題. 閉部分群. 8. . . . と . 8. 加群. . に対して，次の . 加群の同型が成り立つ；8 "
(306) / 8 "
(307) 8 "' ' - % - & %証明& 8 "
(308) ' に対して，開コンパクト部分群 があって任意の. . . . $ となる． ! $ ! ! と おくと，任意の 2 に対して 2! $ ! ! ，又任 意の に対して ! $ ! となる．よって 8 " ' ．そ こで , 8 " ' 2. . に対して. . とおくと，任意の に対して. . 2. . 2. . . . に対して. 8 "
(309) 8 "' . . . . . . $ であり，任意の ! . 2 $ . . ! $ . . となるから . . . $ !. $ . . . !. . . となる．このとき任意の $ ½ $ . . . . . . . に対して.
(310) 8 "
(311) 8 "'. に対して，開コンパクト群 に対して & 2 $ & となる．. となる．一方，&. . て任意の 2. . ,. &. とおくと，任意の 意の. . . . . . . . . . & . &. . $ & $ $ & $ . & . &. . &. $. . $ $ %. & . !. . . . $ り立つ；. . . . . . . & . . $ & ! $ !. . -. 定理. $. . . .
(312) Æ Æ
(313)
(314) / .
(315). . . . . . . - . . . に対して $. .
(316) . . .
(317)
(318). /. -. . . . -. - により与えられる．. . #. 加群 と 加群 に対して. 複素線形同型及びその逆写像.
(319) / ! ! / !
(320)
(321) . !
(322) . が. *. % 5 $
(323) 5. '. .
(324) . % & *. 3. & 5 $ % 5& により与えられる．. 3. . . '. . により次の複素線形同型が成. . . $ & !& $ & . & .
(325) 及び
(326) について述べれ. . 加群の同型. . . . . . が. /. . . $ $ . とおくと，. . & . . & !.
(327) . . & . . ば次のようになる；まず，コンパクト開部分群 . 命題. . . 以上の結果を自然な同型 により . . があっ. & . . となる．更に. . . に対して & 2 $ & 2 $ & $ & ．任. . . . . . $ 8 "
(328) ' ．このとき任意の に対して $ $ $ . &. . に対して & . よって. . 2. . .
(329) 複素線形同型 ; , ! Æ Æ
(330). ;. .
(331) 5. $. .
(332). . . . . . と .
(333). .
(334) / !
(335) . . . . 5. .
(336)
(337) が - . . #. により与えられる． 命題. 閉部分群. 8. . 加群の同型が成り立つ；
(338) . . ' . /. 加群 に対して，次の
(339) ' % - & 8. 許容表現の指標. . 9 を の許容表現とする． $ だから $ 9 $ 9 . . により 定理 て. . . . $ 9. . . に対して " 8 9 ). . . . を定義し ，9 の指標と呼ぶ．. . 互いの同型でない. は $ 9. の既約許容表現. . . 9. $. . . . に対し. 上一次独立である．. . %証明& 9 の表現空間を として，コンパクト開部分群 をとって $ $ . とする．定理 と定理 より，これらは互い に同型でない単純 加群である．よって をもつ有限次元 代数の単 純加群の指標の一次独立性（定理 ）から， 9
(340) $ . は 上一次独立である．.
(341). . . 系. . . の既約許容表現. 9 9. に対して $ 9 $ $ 9 ならば. . 9. と. 9. は. 同型である．. . の補題と既約表現の存在. コンパクト（ 可算個のコンパクト集合の和集合）のときには，次の の補題が成り立つ； . 定理. が. :. 単純 加群 に対して < "
(342) $ ( (. ． (. %証明& まず < "
(343) は " 6 1= である．そこで. < "
(344)
(345) "( . として $ "( < "
(346) とおく．
(347) $ に対して は 上一次独立である．実際，相異なる
(348). ;.
(349). ;. 7. (. (. (. (. . (. 7.
(350) (. <. . とすると. . <. に対して. 7 $ . ;. <. . <.
(351) $ . <. $ "( $ "( $ . ;. <. .
(352). (. &
(353). ;. . . <.
(354). < "
(355) . #. ;. . . & . . < #. . <. %. . 7. . . 更に 定理. . は可算となり， は可算となって矛盾する．. . は十分多くの単純 .
(356) $ *. . . . . . . で， は可算個のコンパクト集合の和集合だから， ,. ". &.
(357) $ . $ となり矛盾する．一方，7 なるコンパクト開部分群 があるから $ 7 $ 7 - " より. . は可算．よって. 加群をもつ；. . に対して. *.
(358) $ なる 単純. 加群. . が存在する．. %証明& まず. . * . . $ なるコンパクト開部分群. $ $ とおくと . * . . だから，3 $ 1. 1.
(359). . 3. 1. ½. * . . . . *. $. . .
(360)
(361)
(362). . . . と . ½. 1. 3 . . = 1. . . . . . をとり. $
(363) $ ．よって. * .
(364)
(365) $
(366) $ $ . . . 3. . . * . = . 1. 3 .
(367) = . . = . 3 . より.
(368). . $!$1 そこで. . $ !. !. . 3. . 1. . . $ ! ．よって . !. $. !. . !. $ ! . $
(369) !. . !. .
(370). $ . で， $
(371)
(372) $ より
(373) $ '. とおくと，!. . とおくと. . . ! . $ !. . . . $
(374) !. !. !. !. !.
(375) . $ ! ! （ 定理 ）から よって. !. は冪零でない．ここで 根基の性質.
(376) . !.
(377) 極大左イデアル. .
(378) なる極大左イデアル . が存在する．よって単純 加群 $ " に対して， 加群として / なる単 純 加群 をとれば ，! $ ，よって ! $ ，よって 3 $ ，よって * $ . よって. !.
(379).
(380). .
(381).
(382).
(383). . 基本的な性質. . 上の複素数値 関数のなす. を簡単に. . 上の. .
(384) と呼ぶ． 上の ! と開集合 . して. !. 0 $. !. は 0 の. . . に対. 0 ! * , *. ,. . ,. 部分加群である．また.
(385) ! . 代数の層を と書く． 加群. . に対して , 開集合' 0 ! ) $ % & !) を $ により 加群とすると， これは % & ! により 加群として 0 ! と同型となる . ,. . ,. . . . ,. ,. ,. . . ,. ,. . . ,. . . . . . . . . から，これらを同一視することにする．. ! に対して 0 ! $ 0 ! である． %証明& 0 ! に対して， $ ** はコンパクトだから， なる開コンパクト集合 がとれて である．任意の に対して，! で
(386) % & $ % & $ % & 命題. . . ,. 上の . . . . . . . . ,. . . . ,.
(387) % & $ ,. より，開集合. . . . . ,. . . ,. . . . があって . なる．. . . . . . > . . . . > . ,. . . . $ %,&. $ , よって. , $ , と. .
(388) 逆に. $ なる 加群 に対して . !が. 上の . . 次のように定義される．まず. $ $ , * *
(389) $ $
(390) $ . ' に対して $ . $. . . ,. . . >. . ,. ,. とおくと，>. ,. ,. . . ". . . . . . . . . . ,. . . ". . . . ,. ,. . . . ,. . . . . . . . . と に対して $ の場
(391) のとき， だから " " " は明らか． のとき $
(392) $ より ．よって " " さて，開集合 に対して に対して
(393) , * ' 0 ! $ ) " " . である．実際，コンパクト開集合 合に示せば十分である． . . . >. ,. . . ,. . ,. ,. . . . >. >. . . ,. . ,. >. . . ,. . . . . . . . >. . . . . . ,. " . . . . ,. . ,. ,. . . . . とおき，これを. 0 ! 加群とし ，開集合 に対して制限写像を により , 0 ! 0 ! により定義すると， 上の ! が 得られ る．こうして出来た ! を . $ ,. . . . . . ,. . . . . . . . ,. . . ,. ,. . . 加群 により生成された（或いは対応する） と呼ぶ．このと . . き. . . に対して複素線形同型. ! % ) ) & / ,. ,. . " . が成り立つ．更に 命題. . 加群の同型. . . が成り立つ．特に. / 0 ! . . ,. . $ . . . ,. . " . .
(394) %証明&. . ,. として. . . $. ,. . , とおく．ここで , でコンパ. . は $
(395) $ なるものとする． に 対して，, " , " だから , ．よって , $ ´ , > , * *
(396) ' ,* . と書けて，コンパクト開集合 . がとれる．よって有限個. の があって ½ となり クト開集合. . . $ ´
(397) ½ µ ( ( ´
(398). µ. . よって. , $. . . よって. ,. . . ,. . . . . ´
(399) µ ´
(400) µ , $ . !. . . . だから. . **, $.
(401) . . ,. . . . $ , . . $ ならば. より. . ,. ?. ! として. . . !. よって **, はコンパクトである．よって ,.
(402). $ となる．, ? とする． $ , . , * * ' ,. とできる．. . である．一方，.
(403) $ . とおく．コンパクト開集合 がある， に対して，コンパク ト開集合 と があって " )" となる．よって有限個の をとって と . $ **, $ . . . . >. ,. >. . . . ,. . . . . . . . . . . . . . ½. できる．ここで. $ ½. . とおくと，. よって. >. $. . . . . $ ¾. . ½. . はコンパクト開集合で . . .
(404) かつ $ $. $ ¿ . . . . ! > とおくと， . "" >. . ,. ". . . . >. . ½. . .
(405). ならば. . . . ¾. .
(406) .
(407) . . ならば. " " ". >. ．よって. ,. . $ > である．. ,. "1 ! に対して， $ 0 ! は $ なる さて "1 だから， により生成された "1 を ! とすると，. . 開集合. . . . . に対して. ! に対して
(408) , * ' 0 ! $ ) " " に対して
(409) , * ' 0 ! 0 ! $ ! ) $ % & !) . 0. . . ,. " . . . . . ,. . . ,. . . . . . . . . . . ,. だから，自然な. ,. ,. ,. ,. . . . 加群の準同型写像. ! 0 !. , 0. . ,. . . . " . % & ! . ,. 加群の準同型写像 が定義されて， . ! !. $ ,. が定義される．ここで 補題. 任意の. $. . . . 1. に対して複素線形同型. . !. !. , $ " /. . ,. % & ,. が成り立つ．. . ! . !.
(410) . %証明& , $ 0 %,& $ とすると， **,，よって コンパクト開集合 があって **, $ と出来る よって に対して $ かつ , $ % ,& $ %,& $ ) に注意．よって , である．逆に , とする と， $ かつ , $ ．よって %,& $ % ,& $ ．よって %,& $ となる． 任意の %,& , 0 , 開集合 に対して， なるコンパクト開集合 がとれて，, $ , 0 とおけば %, & $ %,& かつ **, である． に対して ) かつ ) $ なる開集合 ) がとれて $ ) である．. ! ! ! . . .
(411). ! . . . . . . . . ! ) かつ $ なる. > $ だから，> $ , > 0 ! が存在して，%>& $ %,& ! となる． ,. . !. . !.
(412). . . . . .
(413) 加群の同型 上の補題から，自然な . ! !. $ , /. . が成り立つ． . 加群 ! # に対して. 上の. 加群の準同型写像. . . !. $ 0 $ 0 . # とおく．. !# , 0 ! 0 # は . $ & ,. &. に対して， 加群の準同型写像 &. 加群の準同型写像 & , を導く．逆に 加群の準同型写像 & , が与えられたら，任意の に対して複素線形写像. . . . , " " . &. は. . . . . . ,. . . . & ,. に対して. ! 0 #. , 0 . . . &. が定まり，任意の開集合. . , . . &. ,. 加群の準同型写像となり， & ,. !#. 加群の準同型写像となる． は 以上をまとめるて，次のように言うことが出来る； 定理. . ! 0 ! は . . 上の の圏から. 加群の圏への圏同値を与える．. $ なる. . . . 局所閉集合への制限. !を 0. 上の として，部分集合.
(414) ! $ ! . . ,. . . . に対して. に対して , 開集合' 0 ! ) $ % & !) . . . . ,. . ,. ,. . . . . . とおく． 命題. 局所閉集合 . により. . . !. . に対して 0 は , . 加群となる． . . $ , .
(415) %証明&. . . . が閉集合の場合に示せばよい．このとき . - - . . . . . に対して， $ なる開集合 をとり なるコンパクト 開集合 がとれ る． $ より $ だから， $ となる． よって に対して $ とおくと ! に対して , * ' ! ) $ % & !) ) $ % & $ % & !) ! . は全射である．実際，開集合 . . . . . . . . . . . . . ,. . . . -. . . . . . . . ,. ,. . . . ,. . . . -. . . . - . ,. ,. . -. . . . ,. . . ,. . . . . に対して，制限写像を ' , 0 ! 0 ! ' 加群 ! を局所閉集合 に制限した により定義すれば ， 上の 上の 加群 ! が 0 ! $ 0 ! , 開集合 により定義さ そこで局所閉集合. 8. . . . 8. ,. ,. . . . . . . . . . れる． 命題. . 0. !が. ならば ，局所閉集合.
(416) ! $ ! . . ,. で ，制限写像. . . . に対して. に対して , * ' 0 ! ) $ % & !) . . . . ,. , 0 . . ,. ,. . . . . . ! 0 ! . は全射である．. !. !. !. ! !. %証明& , 0 として， を固定しておく．開集合 と , 0 があって，任意の に対して ,) $ %,& ) とな る．一方，, $ %>& なる > 0 がとれる．%,& $ , $ %>& だ から，コンパクト開集合 があって , $ > となる．よって任 意の に対して ,) $ %,& $ %>& ) となる．, と して $ , $ , コンパクト . . . !. . !.
(417) . . . !.
(418) とする．任意の . . に対して. があって，任意の だから. . . . . . . >. . 0 ! とコンパクト 開集合 に対して ) $ % & !) となる．. . . . . ,. >. . . . . . $ ½. . . . ¾. となる．よって. とおくと， はコンパクト開集合で $ $ $ $ となり，任 意の に対して ) $ % & !) となる．そこで $ $ ½. . . . . . . $ ¾. ½ . . . . . ,. !. 0 とおくと，任意の. >. . . なる があって. . $ ¿. . . に対して，. ¾. . . . . ½. . . . . >. . . > . ならば . . $ %> & $ %>& !. ,. .
(419) ならば ，
(420) だから $ ．一方，% & $ ! だか $ % & ! となる．よって $ % & ! となる．. となる． ら,. . . . >. ,. >. ,. >. Æ !. , があるとき， 上の に対して，0 は , $ , ' , 0 により 加群となる．このとき 0 $ 0 となる から，対応する 上の を と書く． を 上の とする．開集合 に対して 完全非連結空間. !. . から. への連続写像. . !. . !. !. . . !. !. 0 ! $ 0 ! ** . とおくと，制限写像 は複素線形同型 0 ! / 0 ! を与え るから，その逆写像を とする．閉集合 $ に対して，命題 . ,. ,. . ,. ,. . . @. より 加群の完全列. . . . . . 0 !
(421) 0 ! 0 ! が成り立つから，包含写像を , , とすると， . . . . . . @. @. . . 上の . の次のような完全列が成り立つ；. . 定義. . . ! ! . . . !+ . . の自己同型群 . . 上の . ! に対して， , が ! の自己同型写像で / /. あるとは. . .
(422) / は の位相自己同型写像， , 開集合 に対して / , 0 / 0/ は複素線形同型写像 , , で / , $ / / , , 0 ，. . . ! . !. Æ ! なることを言う． ! の自己同型写像全体 ! は , , , , $ Æ - Æ . . / /. . .. /. . .. /. ½. により群となる．. 加群 に対して，/ /, が の自己同型写像であ るとは，/ は の位相自己同型写像であり，/, は の複素線形自己同型写 定義. . . 像で /. , , $ Æ / /, ,. . . . . . ,. . . . なることを言う． の自己同型写像全体 は. / /, . . , $ /. . Æ. . .. , Æ /, . により群となる． このように定義すると 命題. . 上の . . ! に対して. . !. $ 0 とおくと，次の群の同. 型が成り立つ；. / / , . !. / %証明& まず / /, . . . ,. . . / /. . に対して. $ . / / . . . . $ より $ , $ Æ , $ $ $ . 実際，/ $. ,. , . / / . . ,. /. . ,. . ,. ,. ,. . . . /. . / ,. . . / . ,. . . . . / . . $ . 0. .
(423) ! $ . . よって開集合. とおくと ,. . . に対して. ,. . . " . . . に対して , * ' ) " " , -) ) - により定義さ " . /. れた. ,. /. . . . . . ,. ,. ,. " . ! 0 !. , 0 . /. . . ,. . ½. . . .
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