Stanley-Reisner環の次数と算術的次数 (グレブナ-基底の理論的有効性と実践的有効性)

Stanley-Reisner

環の次数と算術的次数

寺井直樹

(NAOKI

TERAI)

佐賀大学文化教育

Faculty of Culcure and Education Saga University 序 本論説は_{Stanley-Reisner 環の次数と算術的次数についてその上限を与える} 不等式を示すことを目標とする。Stanley-Reisner 環の次数と算術的次数と は、それぞれ、対応する単体的複体の最大次元の face の個数および、facet の個数であり、組合せ論の観点からも興味深い不変量である。さらに応用 として、斉次環の算術的次数の上限を与える不等式を示す。これを示すため

[こ$\text{、}$ もとのイデアノレの generic initial ideal をとって、その polarization を

考えることにより、Stanley-Reisner 環の場合に帰着させるという Gr\"obner

basis の標準的議論をもちいる。

\S 1

準備

$k$ を体とし、 $R$ を斉次 $k$ 代数とする。

ここで、 $R$ _が斉次 $k$ 代数とは、

鳥 $=k$ _であり、$R_{1}$ で生成される noetherian graded ring _{$R=\oplus_{:>0}R$}. の

こととする。 この場合、$R$ は剰余環$k[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}]/I$ で表示される。ただ

し、 $\deg x$:=1。本小文では、いつも、$A=k[x_{1}, x_{2}, \ldots,x_{n}]$ とし、_{$I_{1}=(0)$}

を仮定する。

$M$ _{を有限生或次数付き} $A$加群とするとき、$M$ _のHilbert series _を

$F(M,t)=. \cdot\sum_{\in \mathrm{Z}}$($\dim_{k}$

M.

$\cdot$)t $\cdot$

..

で定義する。ただし、$\dim_{k}M_{1}$. は

M-

_の$k$線形空間としての次元とする。こ のとき、斉次 $k$代数 $R$_の Hilbert series _{$F(R,t)$ は次の形で、書けることが} 知られている。 $F(R,t)= \frac{h_{0}+h_{1}t+\cdots+h_{s}t^{s}}{(1-t)^{\dim R}}$, 数理解析研究所講究録 1289 巻 2002 年 35-40

35

ただし、 $h_{0}(\ovalbox{\tt\small REJECT} 1\ovalbox{\tt\small REJECT} h_{\mathrm{b}}\ldots,$ $h$, は整数で、$\deg(R)\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$ $h\text{。}+h_{1}+\cdots+h,$ $\ovalbox{\tt\small REJECT} 1$

をみたす。数列 $h(R)\ovalbox{\tt\small REJECT}(h\mathit{0}, h,, \ldots, h,)$ を$R$_の$\mathrm{h}$-vector と言い、$\deg(R)$ を

$R$の次数または、重複度という。

$R$の算術的次数を次の様に定義する。

$\mathrm{a}\deg_{f}(R)=\sum_{P\in As\cdot(A/I),\dim A/P=r}mult_{I}(P)\deg(\mathrm{A}/\mathrm{P})$,

adeg$(R)= \sum_{0\leq t\leq n}\mathrm{a}\deg_{r}(R)$,

ただし$\text{、}$ $\mathrm{m}\mathrm{u}1\mathrm{t}I(P)=l(H_{P}^{0}(I_{P}))$

.

ここで、添字$r$ のつけ方は $\mathrm{a}$] に従っ

ている。([Ba-Mu] におけるつけ方から+1 ずれる。) 容易にわかるように

$\mathrm{a}\deg_{d}(R)=\deg(R)$ である。ただし、_{$\dim A/I=d$} とする。

$M$ _{を有限生威次数付き} $A$加群とするとき、$M$ の$A$ 上の次数付き極小

自由分解を

$0 arrow\bigoplus_{j\in \mathrm{Z}}A(-j)^{\beta_{h,\mathrm{j}}}arrow\varphi_{h}$

...

二$\bigoplus_{j\in \mathrm{Z}}A(-j)^{\beta_{1}}’arrow+\bigoplus_{j\epsilon \mathrm{z}}\varphi_{1}$A(一力ゞ.j\rightarrow \mbox{\boldmath $\varphi$}0$Marrow 0$

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}M=\max\{j-i|\beta_{,j}(M)\neq 0\}$

で定義する。また、$M$の initial degroe indeg $M$ _を

indeg $M= \min\{j|\beta_{0_{\dot{O}}}(M)\neq 0\}$

で定義する。同様に $M$_の relation type $\mathrm{r}\mathrm{t}M$ を

$\mathrm{r}\mathrm{t}M=\max\{j|\beta \mathrm{o}_{\dot{\theta}}(M)\neq 0\}$

で定義する。

$\mathrm{G}\mathrm{r}\tilde{\mathrm{o}}\mathrm{b}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}$ basis の理論から以Tで引用する結果をまとめておく。詳しく

は、例えば、[Ei, Chapter15] を見よ。$k$ を無限体とし、_{$A=k[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}]$}

とする$\text{。}$

$I$を $A$の斉次イデアノレとする

$\text{。}$ Gin (I) をreverselexicographic order

に関する $I$_のgeneric initid ideal とする。このとき、_{$h(A/\mathrm{G}\mathrm{i}\mathrm{n}(I))=h(A/I)$}

が成り立つ。特に、$\deg(A/\mathrm{G}\mathrm{i}\mathrm{n}(I))=\deg(A/I)$である。

さらに、次の結果力城り立つ。

定理 Ll([Ba-St]).

depth $A/\mathrm{G}\mathrm{i}\mathrm{n}(I)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}$ $A/I$

.

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}$ Gin $(I)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}I$

.

定理 L2([St-Tk-Vo]).

adeg $A/\mathrm{G}\mathrm{i}\mathrm{n}(I)\geq \mathrm{a}\deg$ $A/I$

.

\S 2

Stanley-Reisner

$\mathrm{g}$

有限集合 $V=\{x_{1},x_{2}, \ldots,x_{v}\}$ に対して、頂点集合 $V$ 上の単体的複体

(sim-plicial complex) $\Delta$ を次の条件 (1) (2) を満たす $2^{V}$ の部分集合とする。

但し、 $2^{V}$ _は $V$ の部分集合全体からなる集合とする。

(1)$1\leq i\leq v$ に対して、{x|.}\in \Delta。

(2) $\sigma\in\Delta$, \mbox{\boldmath$\tau$}\subset\sigma\Rightarrow\mbox{\boldmath$\tau$}\in\Delta。

$\#(\sigma)$ で有限集合$\sigma$ の濃度を表すことにする。

$\Delta$ の元 $\sigma$を $\Delta$ の面 (face)

という。特に、$\#(\sigma)=i+1$のとき、 $\dim\sigma=i$ _とし、$i$-face という。また、

極大な面を facet と言い、その次元が$r$ であるとき$r$-facet と言う。

すべての facet が同じ次元を持つとき、$\Delta$ はpure であるという。$\Delta$ の

次元 (dimension) を$\dim\Delta=\max\{\dim\sigma|\sigma\in\Delta\}$ で定義する。

$A=k[x_{1},x_{2}, \ldots, x_{n}]$ 苓本上のn${ }$隻多$\mathrm{E}\ovalbox{\tt\small REJECT}$粱とする。_{$V=\{x_{1},x_{2}, \ldots, x_{v}\}$}

上の単体的複体$\Delta$ に対して _$A$ のイデアル $I_{\Delta}$ を次のように定義する。

$I_{\Delta}=(X_{i_{1}}X_{2}.\cdot\cdots X_{1}.|r1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{r}\leq n, \{_{XX_{2},\cdots,x:_{r}}:_{1},\}\not\in\Delta)$

.

$k[\Delta]:=A/I_{\Delta}$ を$\Delta$ の Stanley-Reisner環というo

次のことが知られている。

$\dim k[\Delta]=\dim\Delta+1$

.

$I_{\Delta}= \bigcap_{\sigma \mathrm{i}\mathrm{s}}$

afacet $(x:_{1},x:_{2}, \cdots,x:_{r}|x_{j}.\cdot\not\in\sigma)$

.

このこと$\dot{\mathrm{B}}\mathrm{a}$

ら

$\deg k[\Delta]=\#$

{

$\Delta$ の \star 次元の

faoe}

$l\backslash ^{*}?\mathrm{o}h\backslash o_{0}$

$\mathrm{a}\deg_{f}k[\Delta]=\#$

{

$\Delta\emptyset$

r–l-facet}

$\Delta$ の Alexander dual complex $\Delta^{*}$ を次で、定義する。

$\Delta^{*}=\{\sigma\subset V : V\backslash \sigma\not\in\Delta\}$

.

このとき、次が成立する。

定理 21.

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}I_{\Delta}$ -indeg

$I_{\Delta}=\dim k[\Delta^{*}]$ -depth $k[\Delta^{*}]$

.

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}I_{\Delta}=\mathrm{p}\mathrm{d}k[\Delta^{*}]$

.

$\mathrm{a}\deg_{f}(k[\Delta])=\beta_{1,n-r}(k[\Delta^{*}])$

.

\S 3

Stanley-Reisner

環の次数の上限

次の定理は [Va-Vi, $\mathrm{T}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}3.15$]

を一般化したものである。 定理 3.1. $\Gamma$ をpure な単体的複体とする。

$\Delta$ を $\Gamma$ の部分単体的複体

とする。このとき

$\deg(k[\Delta])\leq\deg(k[\Gamma])t^{\dim\Gamma-\mathrm{d}\dot{\mathrm{m}}\Delta}$

ただし、$t= \max$

{

$\#(\sigma)|\sigma\in\Gamma,$ $\sigma$ is

a.minimal

non-faoe of$\Delta$

}.

$\Gamma$ の

1

つの facet

に注目することにより、次のことを示せば十分である。

補題 3.2. $I$ を $A$ の斉次イデアノレとする。このとき、

$\deg(A/I)\leq \mathrm{r}\mathrm{t}(I)^{\epsilon \mathrm{o}\dim A/I}$

.

証明. $k$ は無限体としてよい。

$t=\mathrm{r}\mathrm{t}(I)$ とし、$I’=\oplus:$

”$I-$ とする。 $\mathrm{c}\mathrm{o}\dim A/I=\mathrm{c}\mathrm{o}\dim A/I’=\mathrm{h}\mathrm{t}I’=\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{e}(I’)$ であるから、長さ$\mathrm{h}:=\mathrm{h}\mathrm{t}I’$ の

A-regular sequenoe を

4

_{からとる。それを、}$y_{1},y_{2},$ $\ldots y_{h}$ とする (cf. [Br-He,

Prop 1.5.12])。また、 $J=(y_{1},y_{2}, . .[)$ _{とおく。すると、$A/J$ は完全交差}

f-\tilde .から、 $\deg(A/J)=t^{\mathrm{c}\mathrm{o}\dim A/J}$ _である。

$\dim A/I=\dim A/J$ で $J\subset I$ だか

ら、$\deg(A/I)\leq\deg(A/J)$ _である。

\S 4

斉次代数の算術的次数の上限

この節では、算術的休数の上限を与える不等式を示す。これは、

[Ba-Mu,

Proposition 36] の精密化となっている。これを

Alexander

duality の応用

として示す。

定理 4.1. $R=A/I$ を斉次$k$代数とする。このとき、_{$0\leq r\leq n$} に対

して、

$\mathrm{a}\deg_{r}(R)\leq(\begin{array}{lll}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g} I+n-r -l n-\mathrm{r} \end{array})-(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g} I -\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}n-r I+n-r -l)$

.

証明. $|k|=\infty$ _{ど仮定してよい。. 定理} 1J から、$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}$ Gin(I) $=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}I$

および、$h(A/I)=h(A/\mathrm{G}\mathrm{i}\mathrm{n}(I))_{\text{。}}$ polarization L, て Stanley-Reisner ring $k[\Delta]=B/I_{\Delta}$ _で$\mathrm{e}(A/I)=\mathrm{e}(k[\Delta])$ および、$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}I=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}I_{\Delta}$ なるものを得るo

$d^{*}=\dim k[\Delta^{*}]\text{、}p^{*}=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}$ $k[\Delta^{*}]$ 、および、$m=\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{b}\dim k[\Delta^{*}]$ とすると

定理 2.1 から $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}I=m-p^{*}$

.

$y_{1},$$y_{2},$_$\ldots,$$y_{p}$

.

を $k[\Delta^{*}]_{1}$ のregular sequence とし、$z_{1},$ $z_{2},$_$\ldots,$$z_{d-p}.$

.

$\in$

$(k[\Delta^{*}]/(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{p}\cdot))_{1}$ を$k[\Delta^{*}]/(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{p}\cdot)$ _の system of parameters

とする$\text{。}$ すると$\text{、}$ _{$k[z_{1},z_{2}, \ldots, z_{d-p}..]\subset k[\Delta^{*}]/(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{p}:)_{\text{。}}$} $k[z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{d-p}..]$ は$d^{*}-p^{*}$ 変数の多項式環に同型だから

$\dim_{k}(k[\Delta^{*}]/(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{p}\cdot))_{n-\mathrm{r}}\geq(^{d-p+n-r-1}..n-r)$

.

定理2.1 により‘

$\mathrm{a}\deg_{f}(A/I)$ $\leq$ $\mathrm{a}\deg_{f}(k[\Delta])$ $=$ $\beta_{1,n-r}(k[\Delta^{*}])$

$=$ $\beta_{1,n-r}^{B/(y_{1\prime}y_{2,\ldots\prime}y_{\mathrm{p}}\cdot)}(k[\Delta^{*}]/(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{p}\cdot))$

$\leq$ _{$\dim_{k}(B/(y_{1},y_{2}, \ldots, y_{p}\cdot))_{n-r}-\dim_{k}(k[\Delta^{*}]/(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{p}\cdot))_{n}$}. $\leq$ $(\begin{array}{ll}m-p^{*}+n-r -1n-r \end{array})-(\begin{array}{ll}d^{*}-p^{*}+n-r -.1n-r \end{array})$

‘

$=$ $(^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}I_{\Delta}+n-r-1}n-r)-(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}I_{\Delta} -\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}I_{\Delta}+n-rn-r -1)$

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Q.E.D.

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