単位量あたりの大きさ

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第５学年○組算数科学習指導案

１単元「単位量あたりの大きさ」

２指導観

○ 情報化社会の中、多種多様な膨大な量の情報に囲まれている子供たちにとっては、情報を正し

く捉え判断する力やその根拠を明確に表現する力の育成が必要である。算数科においても、実生

活の場面から問題解決に必要な要素を取り出して活用したり、様々な解決方法の中から場面に応

じて最適な方法を選択したりする際に、数学的に解釈・判断し、表現する力が必要となる。

本単元「単位量あたりの大きさ」の学習では、異なる二つの量の割合で表される量についての

比べ方や表し方といった「１（単位量）あたりの大きさ」を扱う。

「単位量あたりの大きさ」に関

しては、全国学力学習状況調査でも、その意味を捉えることができていないという課題が毎年の

ように挙がっている。しかし、実生活においても、人口密度や収穫高、燃費や単価など、単位量あ

たりの考え方が幅広く使われており、意味を正しく理解し、日常の場面に活用できるようにする

ことはたいへん意義深い。

児童は、これまでに長さ、重さ、面積、体積などの外延量の比べ方については学習してきてい

る。第３学年の「わり算」では、いくつ分かに着目し、一つ分の数量を求める等分除の考え方や、

第５学年の「平均とその利用」では、異なった複数の数量や測定値の違いに着目し、概括的に捉

えるという見方を使って、平均を求める方法を学習してきている。また、第４学年「変わり方」や

第５学年「体積」

「面積」において、二つの数量の対応や変化の仕方の特徴に着目し、簡単な場合

についての比例の関係を捉える学習をしてきている。本単元では、これらの上に立って、こみ具

合や収穫高のように、一つの量だけでは比較することができない事象や、単位となる数量がいく

つ分あるかを数えるという測定の考えでも数値化できない量があることを知り、どちらかの数量

の１あたりにそろえるという単位量あたりの考え方の意味を理解する。また、人口密度や単価な

ど、様々な事象の単位量あたりの大きさについて、式や表や図と関連付けながら、学習していく

ことで、

「１あたりの量にそろえる」という単位量当たりの大きさの考え方のよさを理解し、それ

を様々な場面で柔軟に活用できるようにする。このことは、第５学年の「割合」で、二つの数量の

関係に着目して、ある数量と別の数量の関係を、割合を用いて比べる学習や第６学年の「速さ」

で、単位時間あたりに移動する長さに着目し、速さを捉えたり表したりする学習へつながる。

○ 本学級の児童に、本単元に関わる以下のような実態調査を行った。

実態調査１や４から、児童は「こみ具合」について「人数が多く密集しているもの」を「こん

でいる」と捉えていることが分かった。日常生活では、車の渋滞や人の行列の場面で「こんでい

る」という言葉を使用している児童が多かった。人数と面積の二つの量の割合で表される量でこ

み具合を比較することができた児童は半分に満たない。面積に着目できていても、人数との関係

〈実態調査の内容と結果〉（N＝○）１こみ具合を比較し、根拠を説明する問題【判断の根拠を数や言葉で表現する力】（１）密集度がちがう問題〈選択〉○％〈根拠の説明〉○％（２）人数がちがう問題〈選択〉○％〈根拠の説明〉○％（３）広さがちがう問題〈選択〉○％〈根拠の説明〉○％２(１) ぶどうジュース１Ｌつくるために必要なぶどうの房数を式で求める問題【立式して答えを求める力】〈立式〉○％〈答え〉○% (２) 1.35÷９の式を読み、表す意味を選択する問題【式の意味を解釈・判断する力】○％ (３) １÷５の式を読み、表す意味を説明する問題【式の意味を解釈・判断し、言葉で表現する力】○％３どちらが安いか比べる方法を説明する問題【解決方法を解釈し、別の場面で適用して解決方法を言葉で表現する力】○％４「こんでいる」という言葉を使う場面を問う問題 ※ 本指導案は「福岡県教育センター長期派遣研修」における主題研究に基づき作成されています。教育センターホームページの「長期研修報告書：平成 30 年度：各研修報告」と併せてご覧ください。

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にまでは着目できず、こみ具合が人数の大小のみで比較するものだと考える児童が半数いた。ま

た、根拠の説明では、「なんとなく」

「多く見える」という曖昧な記述や「隙間がある」

「ちらば

っているから」という面積と人数以外に着目した記述、面積か人数のどちらか一方のみの記述な

ど、根拠の条件として不十分なものも多かった。

調査２では、１あたりの量を正しく求めることができた児童が約６割で、約２割は除法ではな

く乗法をしていた。また、除法の式の意味を解釈する問題や記述する問題でも、正答率は約６割

であった。これらのことから、除法の意味を正しく捉えられていないことが考えられる。

調査４では、どちらが安いか公倍数の考え方で説明している文を基に、１あたりの大きさで比

べる方法を記述する問題で、正答率は約 55％であった。モデルの文があれば、比較的説明できる

ようになるものの、情報が整理できず立式を間違えたり、モデルの文に倣わず記述が不足してい

たりするものもあった。問題自体を解釈できず、1 個あたり以外で求めたもの、未記入のものも

あった。

このような実態調査の結果から、

「こみ具合」についての意味の捉え方を全員で共通理解させ

ることや「単位量あたりの大きさ」の意味を、実感を伴わせながら理解させることが必要である

と考える。

そこで、多面的な見方や考え方ができ、平均や比例の意味を捉えたり、基本的な四則演算した

りすることができるこの機に、既習内容と関連付けながら数学的な表現を用いて筋道立てて考え

解決方法のよさを知って活用していく「単位量あたりの大きさ」の学習を位置付ける。

○ 本単元の指導にあたっては、児童が既習内容と関連付けながら、問題解決に必要な要素とそれ

らの関係について着目し、単位量あたり大きさの意味や表し方を捉えたり、異種の二つの量の比

べ方などを筋道立てて考えたりすることができるようにする。また、解決方法のよさを知り、簡

潔・明瞭・的確または一般化の観点でよりよい方法を選択し、その根拠を説明したり、新たな問

題場面や生活場面で、目的に応じて柔軟に活用したりすることができるようにする。そのため

に、一連の学習過程において「数学的表現」

「解決方法」

「活用場面」を関連付けながら、着目

点・解決方法の意味や活用場面や価値について、自分が納得するまで調べたり、話し合ったりす

る吟味活動を位置付けることで、児童が問題解決に必要な要素やそれらの関係などの着目点に気

付いて問題解決したり、判断の根拠を明確にしたり、異なる場面で適用したりすることができる

ようにしたい。また、

「つかむ」

「つくる」

「深める」

「いかす」

「まとめる」の一連の学習過程を

２単位時間で行うことで、児童が解釈・判断したことを十分に表現できる時間を保障できるよう

にする。

単元を通して、

「飯塚のぶどうスイーツを売り出そう！」というテーマを設定し、ぶどうショ

ップの販売員になったつもりで、児童が意欲的に学習に取り組めるようにする。

生成の段階では、広さの違う農園に同じこみ具合になるように人数を割り振る場面で、二つの

量の関係に着目し、１a あたりの人数を揃えると同じこみ具合になるという単位量あたりの大き

さの意味やよさや求め方を捉えることができるようにする。このとき、操作活動を通して、こみ

具合という単位量あたりの大きさの意味を、実感を伴って理解できるようにする。なぜこみ具合

が同じなのか、操作や図、数、式を用いて、解決できるようにする。また、単位面積あたりの人

数と一人あたりの面積という二つのこみ具合の方法を比較させることで、それぞれの意味やよさ

や不十分さに気づかせ、目的に応じてどちらも使うことができるようにする。

深化の段階では、人口密度を扱う。面積の割に人口が多いのはどちらの市か、面積と人口の関

係に着目させて、数が大きい場合のこみ具合の比べ方ついて考察させる。このとき、式や数値だ

けでなく、操作や図を基に人口密度の意味を捉えさせたり、１㏊あたりに変換させて具体的な大

きさを実感させたりする。また、１㎢あたりの人口を「人口密度」といい、市町村や都道府県な

どのこみ具合を表すときに使うものだということを捉えさせる。

発展の段階では、こみ具合以外の単位量あたりの大きさとして単価を扱う。スイーツの値段を

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設定する活動を通して、単位量あたりの大きさを基に他の量の大きさの求め方を考察する。その

際に、二本の数直線を基に考えさせ、１あたりの大きさを基に他の量の大きさを乗法で求める方

法を捉えさせる。また、単位量あたりの考えを利用した 100ｇあたりの値段など日常生活と結び

ついていることを理解できるようにする。

３単元の目標

○ 既習のわり算や平均の意味や仕組みと関連付けながら、

「１を基準としたときの量」という単位量

あたりの大きさの意味や表し方、

「異種の二つの量のどちらか一方を揃えてほかの量で比較する」と

いう比べ方を捉えることができる。

【知識・技能】

○ 問題の解決に必要な異種の二つの量の割合として捉えられる数量の関係に着目し、単位量あたり

の大きさの意味や表し方、異種の二つの量の比べ方などを、具体的操作、図、表、数直線、式、言葉

を関連付けて筋道立てて考えたり、簡潔・明瞭・的確または一般化の観点を基によりよい方法を選択

したりして、その根拠を説明することができる。【思考・判断・表現】

○ 単位量あたりの大きさの表し方や利用の仕方、異種の二つの量の比べ方など、多様な方法のよさ

を振り返り、新たな問題場面や生活場面で、見通しをもってよりよく問題を解決することができる。

【主体的に学習に取り組む態度】

４単元計画（全６時間）

段階生成(第１、２時) 深化（第３、４時）発展（第５、６時）目的意識 _{ぶどう農園に見学に行こう} _{ぶどうスイーツを売り出す地域を決めよう} _{ぶどうスイーツの値段を決めよう} ねらいこみ具合の意味を捉え、「単位面積あたりの人数」や「一人あたりの面積」に着目して、こみ具合の比べ方を、操作や図、式、言葉を用いて説明する。人口密度の意味を操作と関連付けて捉え、「1 ㎢あたりの人口」や「１ｈａあたりの人口」に着目し、面積のわりに人口が多いのはどちらか式や言葉を用いて説明する。 1 個あたりや 1ｇあたりの値段に着目し、他の量の値段を求める方法を式や言葉を用いて説明する。問題把握・見通し三つの農園に 40 人を同じこみ具合になるように振り分けると何人になりますか面積のわりに人口が多いのは、どちらですか個入りの値段がいくらになりますかぶどうゼリー3 個入りの値段から 5 【問い】人数も面積もちがうのに本当に同じこみ具合になっているか【見通し】人数か面積をそろえる【問い】そのままでは比べられないのでどちらにそろえるか【見通し】 1 ㎢あたりにそろえる【問い】どうしたら３個から５個の値段が求められるのかな【見通し】 1 個あたりの値段自力追求・おはじきの具体的操作・図・式農園ア：12÷６＝２農園イ：20÷10＝２農園ウ：８÷４＝２〈飯塚市〉 128393÷214.07＝599.7…約 600 人〈田川市〉 47883÷54.55＝877.7… 約 878 人だから、田川市の方が多い。・操作・図・式 540÷３＝180 1 個あたり 180 円 180×5＝900 ５個入りで 900 円式の解釈（吟味活動Ⅰ ）赤：１ａあたりの人数を求める 12÷６＝２ 20÷10＝２ ⇒（人数）÷（面積）８÷４＝２１ａあたり２人青：一人あたりの面積を求める６÷12＝0.5 10÷20＝0.5 ⇒（面積）÷（人数）４÷８＝0.5 一人あたり 0.5ａ ↓ 図で表す赤：１㎢あたりの人口を求める 128393÷214.07＝599.7…約 600（） 47883÷54.55＝877.7… 約 878（） ⇒（人口）÷（面積㎢）青：１ha あたりの人口を求める 128393÷21407＝5.9… 約６（） 47883÷5455＝8.7… 約９（） ⇒（人口）÷（面積 ha） ↓ 航空地図上で表す赤：１個あたりの値段を求める 540÷３＝180⇒（値段）÷（個数）１個あたり 180 円青：５個あたりの値段を求める 180×５＝900 ⇒（1 個あたりの値段）×（求めたい個数）５個あたり 900 円 ↓ 二本の数直線で表す追事象（吟味活動_Ⅱ ）どのグループが一番こんでいるか、どのくらいこんでいるかを説明する。人が住むことができる場所のこみ具合を比べる。他のサイズのアイスの値段がいくらになるか説明する。グループア２㎡２．５㎡１．５㎡グループイグループウ 12人 20人８人

★人が住むことができる場所のこみ具合を比べよう

。

人口（人）人が住むことができる場所の面積

飯塚市

128393 107.62

㎢ 10762ha

田川市

47883

38.73 ㎢

3873ha

小カップ 中カップ 大カップ特大カップ 100g 120g 180g 340g ？ 300円 ？？ぶどうショップの店員になって、地域のぶどうスイーツを売り出そう 三つのぶどう農園 農園ア６a 12人 農園イ 10a 20人 農園ウ 4a 8人 人口（人）面積（㎢） 飯塚市 128393 214.07 田川市 47883 54.55 各市町村の人口（人）と面積（㎢） 農園ア６a 13人 農園ウ 4a 13人 農園イ 10a 14人 三つのぶどう農園

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５本時（３／６～４／６時）平成○年○月○日（○曜日）第○校時第５学年○組教室於

○主眼

・面積のわりに人口が多いのはどちらか比べるときは、面積にそろえて、1 ㎢あたりの人口で

比べることや「人口密度」の意味やよさを捉えることができる。

・数が多い場合のこみ具合（人口密度）の比べ方を、式や言葉を用いて説明したり、別の事象

に適用して問題を解決し、その根拠を説明したりすることができる。

段階学習活動・内容具体的な手立て（○）と評価規準（☆）つかむ／つくる／１問題場面から課題を把握する。深化の段階のテーマ「ぶどうスイーツを売り出す地域を決めよう」たかしさん「人口が多いのは飯塚市だよ。」まゆみさん「でも、面積がちがうよ。『面積のわりに』ということは…？」（１）表の数値やたかしさん、まゆみさんの話から、どちらの市が面積のわりに人口が多いか予想する。（２）着目点に赤で印を付け、問いをつくる。着目点：人口と面積の関係 →問い「そのままでは比べられないので、どちらにそろえたらいいかな。」（３）既習のキーワードを基に見通しをもつ。見通し：面積１㎢あたりにそろえる２式を用いて考えをつくる。〈飯塚市〉128393÷214.07＝599.77… 約 600 人〈田川市〉47883÷54.55＝877.78… 約 878 人だから、田川市の方が多い。３式や図から解決方法の意味や考え方を読み取り、キーワードを考える。市町村人口（人）面積（㎢）飯塚市 128393 214.07 田川市 47883 54.55 ○ 表だけでなく、写真や白地図、人口グラフなどを準備することで、面積や人数の違いなどを視覚的に捉えられるようにする。〇飯塚市に隣接する児童に馴染みのある市のデータを出すことで、目的意識をもたせる。 ○ こみ具合（人口密度）に目が向くように、「面積のわりに人がたくさんいるところの方が、売り上げがいい」というデータを示す。〇生成の段階で作成した既習のキーワードを基に見通しが立てられるように、キーワードが毎時間活用できる『キーワード表』を入れた学習プリントの形式にしておく。〇数が大きい計算も間違いなくできるように、電卓を準備しておく。 ☆ 着目点や見通しを基に、式を用いて自力追求し、考えをつくっている。（プリント）よさの検討（吟味活動_Ⅲ ）「単位量あたりの大きさ」のキーワード表ぶどう農園に見学に行こうぶどうスイーツを売り出す地域を決めようぶどうスイーツの値段を決めよう「単位量あたりの大きさ」学習のまとめ場面こみ具合の説明の仕方を考える場面数が大きい場合のこみ具合の説明の仕方を考える場面他の数量の値段の説明の仕方を考える場面着目ワード１ａあたりの人数（㎡）に着目して一人あたりの面積に着目して 1㎢あたりの人数に着目して 1haあたりの人数に着目して 1個あたりの値段（g）に着目してに着目して単位量（１）あたりの大きさに着目して方法ワード（人数）÷（面積）をすると（面積）÷（人数）をすると（人口）÷（面積）をすると（人口）÷（面積）（人口密度）÷100をすると（値段）÷（個数）（値段）÷（重さ）をすると（１あたりの値段）× （個数、g）をすると（求めたいもの）÷（単位量にするもの）をするとよさ〇こみ具合が分かりやすい〇面積の単位を変えて使える〇一人あたりの面積が正確に求められる〇こみ具合を比べやすい〇人口密度が分かる〇こみ具合が分かりやすい 1gあたり2.5円 100ｇあたり250円〇こみ具合を比べられる〇 1個あたりの値段から他の値段が分かる〇単位を変えて、生活の中で使える〇１あたりが分かれば他の値段が分かる〇細かいところまで正確に分かる〇値段が分かりやすい〇生活に生かせるめあて面積を１㎢あたりにそろえて、面積のわりに人口が多いのはどちらか説明しよう。問題飯塚市と田川市でぶどうスイーツを売る計画を立てています。面積のわりに人口が多い方がよく売れるそうです。ショップ店員のたかしさんとまゆみさんがどちらのほうが、面積のわりに人口が多いか話し合っています。

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深める・吟味活動 Ⅰ ／いかす・吟味活動 Ⅱ ／（１）式の意味を解釈し、何を求めているか言葉で的確に説明する。赤：1 ㎢あたりの人口（人口密度）→着目ワード・128393÷214.07＝599.77… 約 600 ・47883÷54.55＝877.78… 約 87 「飯塚市の 1 ㎢あたりの人口は（飯塚市の人口密度は） 128393÷214.07＝599.77… で、約 600 人です。」「田川市の 1 ㎢あたりの人口（人口密度は）は 47883÷54.55＝877.78… で、約 878 人です。」「だから、面積のわりに人口が多いのは田川市です。」（人口）÷（面積㎢）→方法ワード（２）図と式を関連付けて、意味を解釈する。白地図上で 1 ㎢の大きさを捉える。「よく分からないな…」 → 航空地図上で 1 ㎢の大きさを捉える。「もっと詳しく見たい！」 → 拡大した航空地図上で 1 ㎢を捉える。「なんとなく分かったけど」（３）１ha あたりの人口に置き換えて考える。青： 1ha あたりの人口→着目ワード・128393÷21407＝5.99… 約６・47883÷5455＝8.77… 約９「飯塚市の１ha あたりの人口は、 128393÷21407＝5.99…で、約６人です。」「田川市の１ha あたりの人口は、 47883÷5455＝8.77…で、約９人です。」「だから、面積のわりに人口が多いのは田川市です。」（人口）÷（面積 ha）→方法ワード →「田川市でスイーツを売り出してもいいかな…」４主事象の解決方法を使って、追事象の問題を解く。問題：人が住むことができる場所のこみ具合を比べよう。（１）場面に応じて解決方法を選択し、自力追求する。赤：1 ㎢あたりの人数（人口）÷（面積㎢）・飯塚市の１㎢あたりの人数は、128393÷107.62＝1193.02 で、約 1193 人です。・田川市の１㎢あたりの人数は、47883÷38.73＝1236.32 で、約 1236 人です。 →だから、田川市の方がこんでいます。青：1ha あたりの人数（人口）÷（面積 ha）・飯塚市の１ha あたりの人数は、128393÷10762＝11.93 で、約 12 人です。・田川市の１ha あたりの人数は、47883÷3873＝12.36 で、約 12 人です。市町村人口（人）人が住むことができる面積飯塚市 128393 107.62 ㎢ 10762ha 田川市 47883 38.73 ㎢ 3873ha 〇『言葉の表現モデル』で主語、式、答え、結論の視点と手順を示すことで、自力追求で何を求めたのか自分の言葉で表現できるようにする。 ☆ 式から考え方を読み取り、その意味を捉えている。（プリント） ○ 白地図や航空地図、拡大地図などを順に提示することで、人口密度の意味をより詳しく実感できるようにする。 ○ １㏊の広さが、1 辺が 100ｍの正方形の広さであることを実感できるように、小学校の運動場の広さと比較した映像を提示する。 ○ なぜ飯塚市の人口密度の方が小さいのか航空地図を比較させながら考えさせることで、飯塚市の方が、山地が多いことに気付かせる。〇飯塚市と田川市の航空地図上でおはじきをならし、平均の学習と関連付けさせることで、山地や河川などにならすことが妥当か考えさせる。 ☆ 追事象に応じた解決方法で問題を解決し、言葉や式を使って、判断の根拠を筋道立てて書くことができる。（プリント）【表現Ⅲ】

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まとめる・吟味活動 Ⅲ →だから、どちらもこみ具合は同じです。（２）判断の根拠や解決方法のよさや不十分さを交流する。「飯塚市を田川市のこみ具合はあまり変わらないから、他のところも調べてみたい！」例）嘉麻市、桂川町等５本時の解決過程を振り返り、キーワードを基にまとめる。 ○ 児童が意欲的に他の市町村などの人口密度（こみ具合）を調べられるように、近隣の市町村のデータを準備しておく。赤：１㎢あたりの人口青：１ha あたりの人口 ○答えが大きくなるので、他と差が出て比べやすい ○市町村や都道府県など面積や人口が大きい時に使える ●１㎢は広いので、分かりにくい ●わる数が小数で計算しにくい ○１ha は運動場くらいの広さなので分かりやすい ○数が小さいので、どのくらいいるかが分かりやすい ● 数が小さくなると、あまり差がないので比べにくい大きい数の時のこみ具合の調べ方は、着目ワード：１㎢あたりの人口に着目して方法ワード：（人口）÷（面積㎢）をすると人口密度求めることができる。他のところを比べやすい。着目ワード：１ha あたりの人口に着目して方法ワード：（人口）÷（面積ｈａ）をすると、こみ具合がわかりやすい。

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