平成 12年 7月 8日 東 京理科 大掌 数 学 教育 研究 会7月 月例 会 資 料
平 成
11
年 度 上越 教育大学修
士論
文 概 要理 科実験 を利 用
し
た 中等 学
校 数 学
科 教材 開発
に 関
す
る 研 究
A
Stud
ソofDe
》dlcpmait
ofMa
廿iornah 治1Tead
−
，i−
zgMateria
］sfcr
Samday
Sdxri
UtiTLzhg
Sictie
−
meE
t＄加
藤
竜吾
RyLgo
KATO
上
越教育大学大学院
学校
教 育 研 究 科＆adnte
SdtU
Jbetw
」しh
劇 yσf
Ed
魚 t概 要
本稿の目的は
、
中等学校に お け る数掌 科と理 科 との関 わ りについて「数学的モデ リング」の手 法 を用い、
教 材開発を行 つて 両 教 科の位置付け につ いて模 索したもの である。 こ こで は、
「自然科学の 問題 を活用 した数 学的モデ リング及び数 学科と理科の 二面性」の モデルを提案する。
こ の モデル の特徴は、
数学科と理 科の共通部 分 を大きく取 り入れて、
そこ に「数 掌 的モデ リン グ」を適 用 さ せ ることにある。 理科教 材を利用した 具体的な数学科 としても取 扱え る例 示 した関 数教 材の中から、
測定点は常に連続 量と して関数を捉え さ せ る場台の 工夫が必要であること、
一
次関数において傾き が負と な る ものは 温 度減少 や林積圧縮など少ない事例に限 られ ること、
（3
畤 間変化 として関 数 を捉 え る もの が多い こ と、
定義 域に 限界かあり第 工象β劇 裁外で 現れる関数力考 えに くい こと、
吻 体 の 運 動 以外の教 材では系毛続性 に乏 し い こと な どの待徴 力＃＃られ た。
又、
提案したモデルに おい て、
数 掌 科 と も理 科 とも区別されて いない状況の中 で、
問題 解決過 程 を辿 ること は、
生 徒 に既 存の矢瞞 旨力 を仮定したもの では な く、
スパイラ ル方式 的な色彩 も保っ ている。
即 ち、
子 どもたちにとって本来的な 自然現 象の現実 世界 を捉えさせ解 決し た ヒで、
数 掌科的な指 導と理 科 的 な 指 導の 二面 性へ と導 く方式 を辿ることで意義があると考えられ る。
更に、
教育課 程上の不整 合性の問 題 もこの モデルに よる ことで 解決力咽 られる知見 を得ることが出 来た。
1．
はじめ に現
在
の日本 に お け る中等学校
の数学
教 育で行われ る教 育内 容の現 状は、
その教材 例の設定 力鯉想 化 さ れ た り非現 実 的 な もの力移
くなっ てきている と思わ れる。 こ劃 ま、
系統 的 な学 習の重 視にその一
因があ る と考え られ る。 学 力 中心 主義の時期に おいて生じ た落 ちこぼ れの問 題 は、
ゆ とりの時 間や新しい学 力 観が定着して き た現在
におい て徐々 に改善
がなさ れ つ つあ るものの上級
学校
へ の受験の ため の教
育が改 善 されたわけで はな く、
そのための受験 指導が中心 になっていることに一
．
一
っの原 因があ るのでは ないか と考
え られ る。そこで
、
現在の数学教育に おいて取り巻か れ てい る環 境と筆者の僅か な教 職嫐 からの状況 を通 して 本研 究の 目的 を提 起 する。1
．
1
．第
3
回 国 際数
学・
理科 教育調 査報 告書の結
果IEA
におけ る第3
回国際 数学理 科教
育調査が平 成6
年か ら平成7
年にか けて実
施され そ の報
告が すでに 公 表 さ れ ている。 中 学 校におけ る国際 比較で 日本の成 績は次の通 りで あったと報告 されて いる。 （国立教育
研 究所 ；1997 ）数
学
の 到達 度は、
シ ンガホー
ル、
韓 国に次いだ成 績 となって いる。3
回の調 査の中では第3
順位
であ る。一
方、
理 科の到達 度は、
シン ガポー
ル、
チェ コ に次い だ成績
と なっ てい る。 これも3
回の調 査の 中では第3
順位
である。 又、
日本の生 徒にとって 数学は、
日常
生活で使わ れ ること は ない とい う意識・
態 度になって い る。 理科
にっ いても問題 解決
に 日常
生活の事柄を使
用 する頻度が低 くなっ て いる。即ち、 日本の生徒にとっ て数学や 理科の学 力は 高 い 水 準 を維持しているものの知識理 解重 視の教
育
が相 変わ らず 行 わ れ てい ることを意 味してお り、
現 行の学 習 指導 要領で強化さ れ た理 科の観察・
実験 も こ の調 査の段 階ではあまり生 徒にとっ て意
識 されな かった ものと考
え られる。一
85
一
平 成12 年 7月 8日 策 宗理 科 大 学 救 学教育 研究会7月 月例 会 資料
1
．
2
．
教育
課 程審
議 会答
申
と新学習指導要領
の状
i
兄教育課
程審議会答申
が平成 10
年7
月に行
わ れ、 小学 校・
中学校学習指導要
領 が 平成
10
年11
月に、
高 等学校
学習 指導 要領 が 平成li
年3
月に告 示 され た。（
文部
省 ；1998
，1999
）今 回の学習 指 導要 領における中心 的課 題 は、 学 校 五日
制対
策であ
っ た が、教育課
程審議会答申
で は、
各 学 校が創意
工夫
を生か し特
色
ある教育
、学校
づ く りを進 めるこ とを強 化し、
算数・
数 学 科の目標では 多 面的にものを見るカや 論 理的
に考
えるカな ど創
造 性の基 礎 を培 うこ とを掲げ てお り、
理 科の目標では 知 的好
奇心や探
究心を持
つ こと と 目的意
識をもって 観 察、
実 験 を 行うことが 掲 げられ た。 こ の答 申を受けて高等 学校 学 習指 導 要領 数 学科で は数 学 的活 動 を通 して創 造性の基 礎 を培 うこ とが 目 標 に 掲 げ られ、
新設の必 軈 択 『数 学 基礎』では社 会 生活にお け る数
理的な考
察の中
で数学
が活用 され てい る 場 面 や 身近な事
象 を数 理的に考 察 すること を 通して、 数 学の有用性 な ど を知ることとなっ た。一
方、
理科で は、自
然に対
する関 心 や探究
らを高
め る ことが目標に掲け られ、
単に関 心 を持つ だ けでな く 調べ てい く心 を培 うこと とされ ている。 又、 新設の 必修選 択 『理科基礎
町、
r
理 科総合A
ふ 『理 科総 合B
』で は、
過 去の実 験の再現や課 題 を解 決 する過 程、
身近な自然を取扱 うことが共通 的 な背 景 となっ て お り、
数学 と同様
にいか に日常生活的な自然現 象を扱 い、
観察・
実
験を より強化 した授 業 を行っ てい くか が課 題 となること と考 え られる。1
。
3
．
生徒の意 識緒言
の最後に実 際の高 等 学校の生徒にとっ て数 学 の対する意識は ど の よ う に なってい る か意識調査 を した結
果につ い て考察 する。 表1
に結 果 を示す。 表1
平成5年度入学 生に対 する意讃調 査Q1
．
あ な たは 数 学 か好 きですか ？ はい52
名 25％D
い い 凡 147名 70％ NA 11名 5％Q2 ．
数 掌 が好 きな 理由又 は 嫌い な理 由 を 述べ て 下 さい。
この調査 は
、
平成5
年度
に東京都
下にある筆
者 の勤 務 する公 立 高等 学 校の入学生に年 度 当初の授 業 で1
学 年全員に行っ たもの である。 対象は、
普通 科210 名
全員 とした。 両側 検定で1
％有 為 さであっ た。この調
査
校は、
学力的に は中程 度の学 校であ る。 生 徒の好嫌 度につ い ては、IEA
調 査の中
学2
年生 で は、数学
が好
き とい う生徒
が53
％で嫌
いを上回 っ て いる が、
その結
果よ りはか な り下 回っ てい ると考
え られる。 又、
そ の嫌
、な 理 由 と して は、 難 しい、 問 題が解 け ない、 苦 手、 理 科のよ うに実験
がないな とが喝
げ ら れ てい た。 これ は、高等
学 校へ の受験の た めの勉強
による弊害
など とも考
え られ る。更
に、 理 科で は行
われる実
験につ いては比 較 的好 感度
があ る ようであっ た。1
。
4
．
本研 究の 目的以上の考 察 か ら
、
今後の数 学 教 育の課題
と しては、
よ り 日常の現 象を取り入 れ た数 学科教材
の設 定が 必 要であると思われる。 数 学 教 育におい て も隣接教科
である理科 教 育で行わ れる観 察・
実 験 を通 した授業
が 行 わ れ る こ とは、
数 学の学 習の 理解が 促進 される こ とのみ な らず、 理科の学 習 促 進 を含
め て 両教
科の 授 業へ の相 乗 効果を挙 げるこ とが 期待で きる。更に、
今後重視さ れつ つ ある 日常
生 活で扱 われる内容の強 化につ なが るもの と もなるであ ろ う と考え られ る。 そこ で、 第一
と して両教 科の統合
の 可能 性、
第二 と して両教科の授 業改善の可 能 陛 と発 展性 の 示唆
を 得 ること を目的 と する。
2．
「数 学的モデ リング」の理 科教育に お け る活用 日常 生 活にお け る数 学の数 学 教 育へ の活用 は 、 最 近特に叫ば れて久 しい ものである。 数学 的モデ リン グ とい う考え 方 は、
名称こそこ こ 1（ト20
無で定 着 した もので あ る が、
具体 的 な 事象、
モデルを利用 し た 数 学の理 解の手法
は、戦前
にお け る数 学 教育にお い ても『理数
』として考 え られて いた。 本 章で は、
数 学 と理 科 との関わ りにつ いて の 歴史
的t
＆経 過 と数 学 的モデ リングにお け る先
行 研 究、
現 在に お け る理 科教 材 を利用 した数 学学 習の動向と 特微を考
察し、
理 科実 験 を利 用し た 関数教
材開
発 の在 り方につ い て 述べ ることとする。2
．
1
．
数学
科 と理科
との 関わ りにつ い て の歴史 的 な 鎧昭和
10
年か ら発行され始 め た緑 表紙 『小学 算術』 におい ては、
『尋 常小学 算 徠粥ま 、 児 童の数
理 思懣 を 開 発し、
日常 生 活を数理的に正 し くするやう指導 す る…
。』（阿部
；1979
）と述べ ていると指 摘してお り、 昭和6
年が数 学 教 育改 良運 動に反映
さ れ たと考
え られる。 こ の こと は、実
験・
実
測 を重 視し、
近似 計 算、
力学や 天 文学を取 り入れた授業につ な がっ た も の と考 え られ る。 国民 学 校時
代 に も、
理数
科 とい う 教科が事物 現 象 を 正確に考 察し処 理 する こと が 目標平成 12年 7月 8 日 東 京 理 科 大学 数 掌 教 育 研 究 会7月 月例会資料 とされて いた。
戦後
、占
領下におい て は、 コア・
カ リキュ ラムと 生 活単 元学 習が重視
さ れた。 しか し、
こ の中
で は、
社 会科の取
扱いの中
で理数科
と して の統合路線
は崩
さ れて いっ た（礒
田；1995
》と述
べ てい る。そて、GHQ
指 導によ り進め られた学習指導
要 領が今
日かな りの拘
束力 を持つ よ うにな り系 統学 習、
現 代 化へ の動 向 の中
で統合的
な思．
想
か ら遠
ざ か るよ うになった。昭 和
50
年 代か らの中
心的な
話題 は、 オー
プンエ ンド・
ア ブロー
チや 問題 解 決 学習
などが、一
つの 問 題解決
過程の学 習 としての特筆
すべ き ところであ ろ う。 そ して、今
日的
な変革 と しては、
テ クノロジー
の革新で1985
年に登 場し た グ ラフ ィック電卓
の普
及 である。 こ の た め に数 学 的モデ リングがグラ フ ィ ック電 卓 を利用 した物理現 象か らの教 材化 （佐 伯 他；199 紛と して見 られ るに至ってい る と思わ れ る。2
．
2
．
先 行研究に見る数 学 的モデ リング次に、 三輪 （
1983
）、
WBIum
・
M ．
Niss
（1991 ）、
池 田・
山崎 （1993 ）、松
嵜（1998
）の研 究から数 学的モデ リ ン グの捉
え方とその思、想につ いて考 察 する。 もの ではなかっ たこと と、数学的
モデルを
より単純 化・
理想
化 しす
きて しまっている点
において リア ル ワー
ル ドの限界性
が生 じていること が考
えら れ ると 思わ れる。2
．
2
．
2
．
Bl
un・
Niss
の研究
にお ける数学的
モデリ ングWBl
・
M
．
Niss
（1991 ， 1993 ）は、
問 題 と問 題解 決、 モデルとモデ
リング、 応 用 学 と応
用数学
、 リア ル ワー
ル ドとリア ル問題 な ど といっ た言葉
の明確
な 定義
を明確
に した。 リア ル問題 と呼 ば れ る応 用数 学 的 問題の中で、
オ リジナル状 態のリア ル モデルは、 デー
タ、 概 念 関 係、条件、
そ して仮定 か ら数
学 化さ れ、
数学 的モデ ルを形 成 する過 程 をモデ リング とい い、
図表の結論 計算、
具 体的な例の チ ェ ッ ク な ど に よ り数
学 的結
果 を得て リア ル ワー
ル ドに 翻訳し な お す とい う過 程 を 数 学 的モデ リング と捉 えている。 Φp ．
37−40
を要約〉 そして、
モデルに修正 が 必要な と き に は 問題 解決過 程 は数回循 環 すると指 摘している。W ．
B1
・
M
．
Ni
．
ssの指 摘は数 学 的 な 活動と リアル ワー
ル ドと の関 連 をより明確 化した もの と言え よ う。2．
2
，
1
．
三輪の研 究にお ける数 学 的モデル化 過 程三輪 （
1983
）は、
数 学 的モデルを次のよ うに捉
えて い る。 7数学 的モデルという の は、
数掌的 手段 を主な表 現方法 として とっているもの であり、
したがって．
モデル の運朋におい ては、
当然の こと な が ら、
数 学的 作 業 が伴う もの であ る。
SfP，
11S）そ して
、
数 学的モデル化過 程 をHO ．
Pollak
（1979 ＞ の考 えを基に して 図1
のよ う に捉えて いる。2．
2 ．
3
．
池田・
山崎
の研 究におけ る数学
的モデ リング池
田・
山崎
（1993
）は、
三輪
やWBlum
・
M ．
Ni
gg に 基づ き、
数学的 モ デ リ ン グ を次 の よ うに定義してい る。 r実 際の問 題の解決 を 目標 に、
実際の問 題 を数 学化して紋 学的に解決 し、
解 釈・
険討 して 不 都合が生じればモデル の修正を讎 り返 し．
よ り適 した 劉 際 の 問 題の解決 を 見 出 していく全活動』Φ．
27）そ して
、
数 学的モデ リング を 図2
のよ う に提起 し 現実の 問題齣 世 界 図1 数学的モデル化 過程（三輪 i1983）
三輪の主張 の数 学的モデルと数学 的モデル化過程
．
を より明解に分か りやす く説いて いるところに重要
な位 置付け が あると考 えられる。 しか し、
当時の学 習環 境が 系統学
習の流れ がまだ強 く残っ ていた時 期 でもあ り、
カ リ キュ ラ ムまでを構築 して考 え られ る 図2
数学的モ デ リ ング （池田・
山崎；1993）2．
2．
4 ．
松嵜
の研 究に お け る数学
的モデ リ ング 松 嵜く1998
，1999
）は、 数 学的モ デ リ ン グ によ る 数学 科 と他
教科 との統 合 的 学習に関 する研 究の中で、 教 科の 枠組みを数学 科 と他 教科で捉え、
現 実（世購一
87
一
平 成12年 7月 8日 東 京理科 大 学 数 学 教 育 研 究会7月 月例 会資 料 の問題 か ら現 実 （世
界
）の間 題の結
果へ導
く過 程と し て捉 えている。 （1998
，p ．
359
；1999
，p．
66
）こ糾 ま、
数学 的モデリ ン グにおい て統合
的学習
をしてい く上 で の捉 え方
と して考 えら れ ている。2
．
2
．
5
．
「数学的
モデリング」と本研
究 との位置付
け数
学的モデリングは、
日常生 活や 他教 科 との関 連 において、
これ ま で にも多
くの研究
が行
わ れ てきて い ることが分か る。しか し
、
現実的 な問題 点と しては、
数学 的モ デ リング において は、 数 学の世界におけ る活 動 を強 調して いる面が強い と思わ れ る た め、数
学 科をコア と し た考 え方
が強
く周 辺領 域と して他教
科 を捉 えて いることが多い と思 われること、
数 学 的に取 扱 わ れ る数 学 的モデル の系 統 性や関 連性 を見出 して い くこ とが難 しい こ とが考 え られること、
学 際 的 な分 野を取 扱 わ なけ れ ばならない た め にその分 野に つ い て の相 当の見識 を有して いな け れ ば な ら ない こ と、
数学 科におい ては 見 識がある教員であって も小学 校教
員な ど を除い て他教
科 を指
導し得
る資
格 を必ずしも有 し て い るわ けでは ない ことな どが考え られ る と思 わ れ る。 本 研究におい ては、
数 学 的モデ リングにお ける理 科 教育
の活 用 と し て次の視 点を中心課題と して考 察 し授 業実 践 するこ とを 目的 として いる。 図 3 数 物ハ ンズ オン（帽 白・
氏家 ；1998a？資料）こ こで
、佐
伯・
氏 家 らの実 践 研究
に お け る テ クノ ロ ジー
を利用 してい る点で、
テ クノ ロジー
との組 合 せ は、
実験 デー
タの測 定、
デー
タ の信頼性、
デー
タ 処理簡便 さな どの良い 点が挙げ られ る。 しか し、
そ のデー
タ処 理 が ブ ラヅク ボヅクス化 さ れ る 可能 性 も あるため に希 薄に な る 可能 性がある。 又、 高 等専門 学 校で行わ れて いる た め に学 習指 導 要領に依 存 され る高 等学 校 など にはその ま ま下ろ せ ない問題もある。 佐 伯・
氏家
らは物理のみに視 点 を置いてい るが、
理 科教 育全 体 を捉 えた指導
につ いても必要では ない か と考え ら れ る。2
，
3
．
理科教材
を利 用した数学学
習の動向
と特徴
理 科 教材 を利 用 した数 学学 習の現 在の動向 として は、
佐 伯・
氏 家らの研 究 （199 紛が挙げ られ る。佐伯
・
氏家らは、
数学 と物理 と を 関 連づけ た実験 観 察型授 業を高等 専門学 校の学生 向け に 平成8
年 度よ り実施
して いる。 この授業に お け る 目的を次の ように述べ てい る。 「身近な物理現象デー
タを簡易センサー
とデー
タ収集1
で取 り込 み、
グ ラフ電 卓 で 数 学 的モデル化 し、
最 終 的 に は、
モ デル化 した 方程 式 の 物 理的意味 を考察 す る こ と」φ．
且0〕佐伯
・
氏家
らの利 用 して いる数学 的モデ リング は、
池田・
LL
！崎の数学 的モ デリングであ り、
その特徴的 な ものは、
テ クノロジー
を積
極 的に活 用 しているこ と で あ る。 こ こで言うテクノ ロジー
とは、 グ ラフ ィ ック電卓
とCBL
セ ンサー
である。
そ して
、
佐伯・
氏家
らは、
『数
物ハ ンズ オン』 と し て図3
に見 られる よ うな数 学 と物 理の統 台 専門 教育
と して の位
置付け を行っ て いる。2
，
4．
理 科教育
から求
め られ る視 点現 行の学 習 指 導 要 領理 科の目標で は
、
「自然に対 する関O
・を高
め、観
察、
実 験 な どを行い、 科 学的に 探 究 する能力 と態 度を育
て る と と もに…
。」（文部省， ユ989b
）と述べ ら れ て お り観 察、
実 験を行うことが 強化 され た。理科 教
育
に お け る「科学 的に調べ る能 力」又は「科学
的に探究
する能 力」とは、
何であろうか。 これ は、 「探
究の過 程」と呼ば れ る もので「問 題の提 起（問題発
見同 青報の収 集→購報
の処 理・
解釈→ 問題解決
（仮
説の検 証 と「 般 化）」とい う一
連 の過 程 を言 う。戸北（
1988
）や武 田（1991
）は、
こ の過 程に再 循鐶 過 程 も含 めて考 え られ てい る。 これ は、
これまでに述 べ た数学科
で扱われる「数学的モデリング」と 同一
視 してい くことがで きると考
え られる。又
、
自然 現象
につ い て生 徒の「誤楓念」も存 在 する 。 そこ で、
「科学
知」と して の 「誤概
念」につ いて も意識 で き る よ うな視 点 も含めて、
理科
教育から求め られ る括掠 を考え て 行 く必要があると 思 わ れ る。平 成12 年 7月 8B 寅 亰理 科 大 学 数学 教 育 研 究 会
7
月 月例 会 資 料 ●■
・ ． ・ … ● …●
●
■
■
欄
■
■
■
●
の
コ
3
理 科 ：．
幽
・
匿
・■
●
8
■畢
6●
●
●
●
■
●
咀
■
●
●
卩
●
5■
o層
■
仮 説 の 設 定 （数 学 化 し た 問 題） ●・
…
．
．
鰯
賜
．
暈
・
．
．
日
．
●
・
o鰯
コ
ロ
：数学 科
：■
國
■
6
■
」
■ 69凾
●
●
●
●
●
・
9●
■
■
■
欄
■
，
■
■
曹 自 然 科 学 の 問 題 （ 問 題 の 発 見 〉”
丶 ＼・
、
，
丶 丶、
丶
仮 説 の 修 正 仮 説 の 検 証 （実 験・
数 学 的 解 法 ） 検 証 結 果 ｛数 学 的 結 論〕／
数
学 的意
羲 自 然科学で の解釈 （・
一
般 化 ） 図4
自然科学喇 題 を活 用した数 学的モデ リング及U
澂 学 科 と理 科の 二面 性2．
5
．
理科実験 を利 用した関数 教 材開発の在
り方学 校 教 育にお ける研
究
と して は、
教 材論 指 導 法 論、
認 知 過程 論 評 価 論 など が考え られる。理 科教 育にお ける内 容で数 学的モデルを構 築す る 場 合の中心 的な 課 題は
、何
であ ろうか。 それ は、
ど の よ うな教
材 を用 意 するかであるかであ る と考えら れ る。 そ の教 材の良し悪 しが、
授 業にお け る成
果の 良 し悪し に繋が るとい っても過 言では ないであろ う。藤 岡（
1994
）は、
教材
づくりを 『四つ の局 面』 とし て捉 えている。 そ れ らは、
次の通りで あ る。
『第一
の局 面・
課 題 の 成 立、
第二 の局面・
教育 内容の研究、
第 三 の 局 面・
教 材 化、
第匹 の局面・
実験 授 菜 』Φp76喝 〔D 従って、
本研 究にお ける主 と した実践 研 究 として は、
理科 教 材の数 学 的モデルへ の適応に お け る具体 的な教材案
で あ る。
そ しても う一
つ は、
マイクロテ ィー
チングを利 用 した実験 授 業にお ける実 践であ る。 そこで、
「数 学 的モデ リング」にお け る現 実的 な 問題 点を考慮 し、
理科 実験 を利 用した数 学的モデルを次 のよ うな方 略 を用いた 教材 開 発を行う。2
．
5
，
1
．
自然
科 学の問題 を活
用 した数学
的モデ リング及 び
数
学 科と理科の二 面性まず
、
数 学科 と理科 という教
科の枠
組み に立って 厂数 学的モデリング 」の手法
を取り入 れ、
更に、
理 科教育
か ら求 め られ てい る視 点 も組み込 ん だ 図式につ一
89
一
三9成 12年二 7月 8日 東 京 理 科 大 学 数 学 教 育 研 究会7月 月例会資 料 いて次に考 えて み たい。 これらの観 点 を盛 り込 ん だ 「
自
然 科 学の問題 を活
用 した数
学的
モデ リング及
び数
学科 と
理 科の 二 面性」図
4
を提案
したい。この図 式の特 徴的 なことは
次
の4
点
で あ る。まず
、
第1 点
目と
しては、
数学科
と理科
の配 置 を左 側に理科
、右 側に数
学科 を配置
した
ことであ る。 これ は、
「数学的
モデ リング 」にお ける多
くの図式
を 意 識した ものである。 「数学的
モデ リング」にお ける 「現実
の 世 界 」（Real
World
）
と「数
学の 世界
」（
Mathematical
World
）の多くは、
左 側に「現 実の世 界」、 右 側に「数学
の世 界」を配置し、
時 計 回りに問 題解
決プロセスを説明 している。 「現 実の世 界」は、
こ こでは、
理 科に相当す る ものなので、
そ れ に合
わ せ たもの である。第
2
点 目と しては、
数 学科と理 科の共 通 部分 を 大き く取 り入れたことである。 こ の ことによっ て、
共通 領 域で行 うべ き事項 を明確化する と共に、
よ り 数学 科 と理 科の密接
な関 連性 を図っ てい くことを意識
化してい る。第
3
点目としては、 「数 学的モデリング」（図にお け る太枠
）を積極 的に活用 したことである。 従 前の 数 学 的モデ リング は、
「現 実の世界」と「数 学の世 界 」 を区 分 け して いた。 更に、 数 学科 として の活 動場 面 を意 識していたため に数学
科がコアとな る よ うな思 想が強かっ たが、
この図 式では、
「数 学 的モデ リン グ」を共通 部分に配 置してい るの で、
両 教科が対 等 な立 場に立て て いるこ とにも注 目したい。第
4
点 目としては、
「数 学的モデ リング 」に よっ て解 決した自然 科 学で の解
釈（一
般 化）を数学的意義
と理 科 的意 義（或
いは数 学 的見方と 理科的見 方）とし て二 面的
に取 り上 げたこと（図にお ける三 重 枠）であ る。 即 ち、
数 学科 として の國有の見 方 や問 題 として 取 扱 う場 面と理科 としての固有の見方
や問 題 として 取扱う場 面 を新たに保 証して いるこ とであ
る。 こ の ことによって、 各 教科で 必要な事 項を改 めて取り上 げる ことが できる わけである。以上の特徴を図 式の中に バラン ス良 く
、
シ ンメ ト リー
に配 置し、
分か りや す くしたもの である。2．
5．
2 ，
問 題 解 決の プロセス次に図
4
に お け る問 題解 決プロセスにつ い て述 べ るこ とにする。 このプロ セ スを図式の中では、
か ら
まで の手
順
で明示 している。は
、自
然科 学の問 題 （問題の発恥
か ら仮
説の設 定（数 学 化した問題）まで の過 程で あ る。
こ の図 式の出 発 点 は
、自
然科学
の問題（閤題の発 見）から出 発す る。 多くの アロセスでは、
上や左上 な ど端
から出 発 することが多
い。 それ に比べて、
こ れ は、一
見 する と中途
半端
な位
置から出 発 すると思 わ れるかも
しれない。 しかし、 これに は意
図があ
る。 自然 科学
の多くの問題、特
に 理科 教材 を積極 的に活 用 する本 研究においては、根
源 は理 科 教 材の中に存 在 する。 従っ て、
プロセ スとしては数 学 科 と理科の 共通 部分では あるが、
よ り理 科 に近い位 置に配 置 し て出
発点
としたものであ る。 そ して、 これ は 「探
究 の過
程」にお け る問 題の発 見に対応 す る もの でも あ る の で、
それ を括
弧書
きで示 した。 「数学
的モデ リ ン グ」に おけ る次の段 階 は、
数 学化した 問題である。 ここでは、仮
説の設定
とした。 「探 究の過 程」では、
情 報の収 集や情報
の組織化
力捻 まれ るこ とになる。一
見こ の図では省 略 した よ うに見 える が、
こ こ では、
それら も包含
して仮 説の設 定と して考 えている。は
、
仮説の設定 （数 学 化 した 問か ら仮説の検 証 （実 験 数学 的解 法）まで の過 程である。
一
般
的に数学的
モ デ リングで は、数
学化
した 問題 か ら数学 的 結論へ一
気に導 き出 す 。 しか し、
その閻 の 過 程は、
数学 的処理 はも ち ろんのこ と、
本研 究の よ う に 理科 教材を取 り上 げる場含
ま、
観 察・
実
験 が 行わ れ ること に な る。 既に述べ たよう に、 理 科教 育 で現 在 強化 さ れている観察・
実 験 は、
意 識 的に取 り 上げ るべ きもの であ るの で、
敢えて項 目立てをする ことに した。 「数
学的モ デリング」の一
都 には位
置 付 けてい る が、
従 前の「数 学 的モデリング 」には特 別記 述 されることのなかっ た項 目なので、
太 枠には含め ず、
細 枠で加え てい る。 又、
問 題 に よって は、
数学 的解 法の場 面 も存 在 するの で、
数学 科 側に配 置して い る。は
、
仮 説の検
証（実
験 数 学 的解法）か ら検 証 結 果（数
学的 結 論）まで の過 程で ある。仮 説の
検
証に よって、
設 定した仮 認 ま、
あ る…
定 の結論
を得
るこ とになる。 これ が検
証結
果で数学 的 モデ リ ン グ に お け る数
学 的結
論の場 面でもあ る。一
．
・
一
般 的に数学
的モデリ ングで は、
現実
の 問題に適 応し直
し たとき に、
適応渡 に応 じて再循 環 を行 う か否か を判 断す るこ とにな る が、
このモデ ル で は、検
証結
果において判 断分岐 を用意 した。 それは、
仮 説の再 設定 は、
数学 的結 論か ら用 意 した 方 が よ り望ま しい と考
え たか らである。 こ の結
果、仮
説の修正をして仮
説の設 定に戻
る場合
と本来
の間題 を見直す場合
の2
通 りのプロセスを用意 した。は
、検
証結
果徹
学 的結
論）か ら自
然 科学
で の解
釈 （一
般 化 ）までの過程である。自然科 学で の解釈 （
一
般 化 ）は、
数学 的モデ リング における現 実場 面にお ける結 論、
最 終場 面と して考平 成 ］2年 7月 8日 東 京理科 大学 故 学教 育 研究会 7月 月例会資料 える ことが出来る。 こ の
の プロセスは、 最 終 段
階
で辿るプロセ スである。は
、自然
科学
で の解 釈（
一
般 化 ）か ら数学
的意義
’
と理科
的意義
まで の過 程である。こ の過 程は
、一般的
に「数学的
モデリング」には現 れ ない。従
って、 「数
学的モデ リング」とは別の意味
合い を持っている。一一
filll
匕された 問題 を、
例 えば、
表や グ ラフを伴 うものであ駕 ま関数的
な側 面 とし て 取 扱 う よ うな数 学科 としてあ
問題と、 例え ば、自
然 現 象と しての理 論 解 釈 な ど を行う側
面と して 取扱う ような理 科 と しての問題 としての意
義と して、
得 ら れた一
つ の結論から二 面的な見方 を す る場 面 と して意
識付け てい る。これらのプロ セスを
伴
うものと して の理 科 教 材 を 利用 した数
学科教 材のあ り方につ いて次
の三点検
討 したい。 （1
）数学
教育
と理 科教 育の 両面 をコア と した学 習数 学的モデ リングを活 用 す る場 合
、
単に数 学 的モ デル を他 教科か ら借用 して くる だ けでな く、 他 教科 にお ける学習 も阻害しない指
導が望 まれ る。従っ て、
理科 教 育に お ける指 導 としての意 義も含めて数学科 教 員と理 科 教員が相 互 的に連携
し強調 して関わり、
一
つ の 実 験か ら数学教育
にも理科 教 育の指 導に 活 用 で きるこ と が 望 ま しいと言
え よ う。そ のた めには
、
数 学 科 だけをコア とし た考え 方で は なく、
理科 もコ ア となり得る指
導 方法が望 まれる と考 え られる。更に
、
この考え方は広い範 疇では、
今回の学 習指 導要 領で具体 的に設け られた 『総 合 的 な 学習の時
間』や 『選択 教科』 として の位置 付 け との関連 性 も増
して い くもの と考
え られ る。（
2
）
関 数教材
を系統
的に捉
え た数 学 的モデル 理科 教 材 を数 学的モデル と して捉 える場 合、
どの よ うな教 材と して考 えるかが大切であ る。 今 回 は、
中等学校に おい て取 扱わ れる初 等的 な関 数につ いて 系統 的に数 学的モデル として 利 用 す ることによ り指 導の一
貫性 を保て る ように した。 更に、教
材が 生徒 にとって より身近 な もので あ る と ともに親しみやす いものであることを心掛 けた。更に理科にお け る学習 指 導 としても利 用 出来るよ う、 その位 置付けや実験 教具の パ フ ォ
ー
マ ン ステス トにつ い ても意 識した数 学 的モデル である。（
3
）
指導者
の問 題数 学的モデ リングを行う場合は
、
その教 材 を指 導 する上で の相 当の見識 や 技 能などを有して いなけ れ ばならないと思わ れ る が、
その一
つ として数 学科の教
員が理科
の指導
を行
う場合
、少
な くと も理科
の指
導資格
は必腰
要件
であると考
えられる。 これ だけで 十分 なも の で はないが、
観察・
実験
な どの実
習指
導 は、数学科教
員養成
において現在
は行
わ れていない ので、
少 な くとも相 応の経験
な どがある必 要がある と慇b
れ る。 もし、
無 理 な場合
は、
数学
科と 理科
に おけ る な ども考 え られる であ ろ う。教
具や実
験 室は数学
科だ け で は 用意
し き れ ない問題 はゆ がめ な いた め、
そのための対 応 も必要であ ると思わ れ る。筆 者は
、
その両 方 を有 してお り、 主 と して数学
科 を担当 している が、 理 科の兼
担 も行った経 験 も持っ ているの で、
その間題 は改 善 さ れていると思わ れ る。以 上の観 点 を
考慮
した関数教材
と して、
これ まで 関 数 教材の一
連の流 れ を考 慮し、
次の よ うな授業実
践 を行った。 定 数値関数 ：自動 車速 度 問 題 を利用 した速さの指 導につ いて の研究
（
1998
）一
次関数 ：フックの法則
を利
用 した関数の学 習（
1999
）
二 次 関数 ：ミ 筆
駆
用 ラッ プタイマー
を利 用した
斜
面の運動 につ い ての研 究（
1999
）二 次関
数
：視覚障害者
の ため の物 理 実験に関 する
一
考察（
1995
＞
二 乗に 反比例 する関 数 ：
ru
−
？の教 材化と理科教
材か らの アプロ
ー
チ（
1999
）
分数関数 ：凸レ ンズの実験 を用いた指 導
（
1993
）
無理関 数 ：単振 り子の
実験
を 用いた指導（
19B9
，1993
，1999）
三
角
関数
：単振
り子の実験
を用いた指 導（
1999
）指数
関数・
対数
関数
：ビュ レッ トを利
用 した指 数 関数・
対 数関数の教 材 化の鬢式み（1999
）そこで
、
関数教
材 を例に と り、
教 材 化したアイデ アと実際マイクロティー
チングを行っ た結果につ い て考 察 する。 次の章では、
これらの教 材にっ い て の概 要につ い て概 略 を述ぺ ることとする。3
，
理科実験
を利 用し た関数 教材
開 発の実 際3
．
L
定数 値 関 数 ；自動 車 速 度 問題を利用 した速さの
指導
につ い て の研 究3
．
1．
L
目的速 さの指 導は
、
ノ1
丶学 校5
年生か ら始ま る が、
児 童・
生 徒に とっ て速さ の概 念 は 獲 得 するものが難
し一
91
一
平 成12年 7月 8日 東 窟理科 大学 数 学 教 育 研究会7月月例 会資料 い もの の
一
つ であ
り、長
田 （ユ997
）を始め多
くの実
践研究報告
がな されてい る。 又、 筆者は東 京 都の定 時制課
程の高
等学 校に勤務
しているが昨
今の 入学者
のt’
基 礎学
力の低 下 も著しく四 則演算
もま まな らないま ま入学
して くる生
徒 も多
い。そこで、 今 回 は
、
速 さについて今
までと異 な るア プロー
チ を行い こ のような 生徒たちにどの よ うな思考
の変 化 が起こっ たか につ い て考
察した もので あ る。3
．
1
．
2
．
研 究の方 法（
1
）
vet グラ フ の利
用 と面積
図の闘 系今
まで の多 くの先行研 究で は v・
t
グラ フに着 目 し たものは少 ない と思 わ れる。 これは、
グラフの縦軸
が表 す速 度の意味 を読み取 りに くいか らと考 え られ る。 そこで、
距離
は 時間
×速さという関係に着 目 させ、
面 積図 を利 用した問 題 として捉
えて み るこ と とした。 な お、
事前に等速 度 直線 運動 を力学 台車で 行い、
記 録 タイマー
で記録 した紙
テー
プの分析
も行 つ て いる。 などが考
え られ る。 な舷 自動車 速 度 問題の ビデオ作 成にあたって は、
速
度メーター
は デ ジタル式
が良
いこと、直線
の道 路 で撮
影す
ること、振
動力移
い の でカ メ ラをしっ かり 固定
すること、 映 縁に風 景を 入 れ ること、法定速度
を守
るな ど考慮す
る，2ee
があ
る と考
え られる。3，
2
．
一
冫欠
関数
：フッ クの法則
を利
用した関数
の学
習3
．
2
．
1
．
目的物 理 現 象にお け る
1 次
関数
の事
例と しては、
等 速度 運 動にお ける時 間 と移動距離の関係、 オー
ム の法
則に お け る電流
と電 圧の関 係、
理 想気体におけ る 温度 と内部 圧 力 或いは 温度 と体積の関 係など考え る ことができる。 しか し、時
間 的や装
置的に難
しい も の も多
い。 そこで、仮
設も立てやす く測定 も容 易な フック の法 則 を利 用 した実 験に よ る1
次関数の数 学 的モデルを導入 し、授業
を 行っ た結 果につ い て考 察 することを 目的 とする。（
2
）自
動 車速 度 問題自
動車
速 度 問題 とは、 予 め自動車の 速 度計を ビ デ オ撮影 し、 速 度から移
動距 離を求め る問 題である。 答 合せ は、
地図と トリッ プメー
ター
を利 用 した。
3．
1．
3
．
研 究 授 業の結 果 と考察
平成
10
年9
月に東京
都 内定時 制高 校の生徒1
名 に対して 行っ た。
授 業 は、vTR 、
ATR
で記 録し、
』
プロ トコ ルによる 発話分析
を 行っ た。 対象と した生 徒は、
男子で成 績 中位の生 徒で あった。こ の生 徒は
、
初め は距離、 速 さ、
時 間の 関係に お ける立 式につ い て誤概 念 を持っ ていた が、
導入の問 題でク リア した。 そ して、
v−
tグ ラフ の考 えに進め る た めに等
速度
直線 運 動を 行っ た場 合の記録タイマー
の紙テー
プの間
隔を 予想 させた 。 初 め は段々早く なると考 え たが、
等速に運動 して いる事が分 か り、
v−
t グ ラフの意味
を 理解 しても らえ た。 そ して、
最後
に 自動 車速 度問 題 を行い、
等速でなくて も 面積
が移
動距離 を表 すことを体
感して もらえ た。 この生徒 にとって はビデオ教材 を利 用することは新鮮味
があ った よ うである。3
．
1
．
4
．
本
節のま とめ調 査結果 か ら記録タイマ
ー
を利用 した面積図の問 題は 有効である こ と、
記録タイマー
は物理科でも扱 う教具なの で意 義があると思わ れ ること、
ビ デ オ教材
を利 用した問 題か ら速さ につ い て考 察できること3
．
2．
2
．
研 究の方 法（
1
）
原理つ る巻 ばねでは
、
伸び が雌
nlのと き、
弾性 力の 大き さRkgw
］はx に比例する の で次の式が成
り立 つ o 万≒叡 これ をフックの法 則 とい い、
Lr
［
kgwfm
］
をばね 定数 という。
こ の授業
では、．
ylk
ア として、
F
をおもり の個 数、
x を伸び と して考 える。（
2
）
学 習の 目当て フッ ク の法則を利用 して、
お も りの個数がバネ の 伸び に 比例す ること か ら1 次 関数の理 解 を深め、
リア ルワー
ル ドの問題にお ける限 界性につ いて考 察 することを 目的 とする。この数
学
的モデルでは、
時 間に依 存 され ない の で、
生 徒の進渡 に応じゆっ く り と学習で き る特 徴がある。3
．
2
．
3
．
研i
櫛
課
と考察平 成
11
年3
月に東 京都 内 定 時制高校
の生徒1
名 に対
して行っ た。 授 業 は、
VTR
、
ATR
で記録し、
プロ トコル によ る 発話分析 を 行っ た。対象
と した生 徒 は、女
子で成績
中位の生徒であっ た。こ の生徒は
、
は じめ か らお も りの個 数 と比 例して バ ネ カ神
びるとい う仮 説 を立てた。 これ は、
日常
生 活の モデルとし てバ ネ ば か りの1
生質 な どからも経験 的にこ の生徒は捉え ること が出来 た。結
果を グラ フ にする際に、
こ の実験で は お もり1
平 成 12年 T月 8日 東 京理科 大学 数 学教育 研究 会7 月月 例会 資 料 個に対して
