Microsoft Word - 訋é⁄‘組渋å�¦H29æœ�末試é¨fi解ç�fl仟㆓.docx

2017 年 8 月 2 日 計量経済学 期末試験 問 1. n 次元ベクトル x( ,..., )',x1 xn w( ,..,w1 wn)',v( ,.., )'v1 vn は非確率変数であり、一次独立である。最小 二乗推定法の残差と説明変数が直交することは証明無く用いてよい。確率ベクトル

e



( ,..., ) '

e

₁

e

_n は、 2

( ) 0,

i

( )

i

,cov( , ) 0 (i

i j

j)

E e



V e





e e





とし、確率ベクトル

y

=( ,...,

y

₁

y 

_n

)

は、実数

  

₁

,

₂

,

₃にたいし て

y





₁

x





₂

w





₃

v e



で定義される。その最小二乗推定量b b b₁, ,_{2 3}は



_{1 2 3}



2 1 n i i i i i

y



b x



b w



b v



を最 小化するように定義し、その残差を 1 2 3 i i i i i

q



y



b x



b w



b v

と定義する。また、d d₁, ₂ は



_{1 2}



2 1 n i i i i

x



d w



d v



を最小化する実数d d₁, ₂として定義し、その残差を 1 2 i i i i r  x d w d v と定義する。c c₁, ₂ は



_{1 2}



2 1 n i i i i

y



c w



c v



を最小化する実数c c₁, ₂として定義し、その残差を 1 2 i i i i u y c w c v とする。 (1)

0

₁

(

1

)

n i i i i

y

b x r







を示せ。 (4) 1 1 1 n i i i n i i i

r y

b

r x

 







を示せ。 (5) ₁ 1 2 1 n i i i n i i

r y

b

r

 







を示せ。 (6)

E b V b

[ ], [ ]

1 1 を求めよ。 (7) 1 1 ₂ 1 n i i i n i i

ru

b

r

 







を示せ。 解答 1 1 1

(

)

n n i i i i i i

q r



i

y



b x r





を示せ。解答

q

_i



y

_i



b x

_{1 i}



b w

_{2 i}



b v

_{3 i}と

r

_i



w

_i

r

_i



v

_iより 1 1 1

,

n i i i n i i i

r y

b

r x

 







を示せ。解答(1)、(4)より 2 1 1 1 1 2 1

,

n n n _i i i i i i n i i i i

r y

r

r x b

r

   











_

を示せ。解答r_i x_i d w_{1 i}

r

_i



w

_iより 1 1

[ ], [ ]

E b V b

を求めよ。

解答：

_{E y}

_{( )}

_i





₁

_x

_i





₂

_w

_i より





2 1 2 1 2 2 1 1 1 ₂ 2 2

1

[ ]

i i i i i i

, [ ]

i i i i i _i i

x r

w r

x r

r

E b

V b

x r

x r

_r

r



































_



問 2．n 次元ベクトル x( ,..., )',x1 xn w( ,..,w1 wn)',v( ,.., )'v1 vn は非確率変数であり、一次独立である。最小二 乗推定法の残差と説明変数が直交することは証明無く用いてよい。y は問 1 と同様に定義する。





2 1 2 3 1 n i i i i i

y



c x



c w



c v



を最小化する実数c c₁, ,c_{2 3}をc c₁, ,c_{2 3}と定義し、残差

u

_iを 1 2 3 i i i i i

u



y



c x



c w



c v

と定義する。最小二乗推定量a a₁, ₂は



_{1 2}



2 1 n i i i i

y



a x



a w



を最小化するa a₁, ₂により定義する。d₁ は





2 1 1 n i i i

x



d w



を最小化する実数d₁として定義し、その残差を 1 i i i r  x d w と定義する。実数b b₁, ₂は



_{1 2}



2 1 n i i i i

v



b x



b w



を最小化するb b₁, ₂により定義する 1 1 1 ₂ 1 1 n n i i i i i i n n i i i i i

r y

r y

a

r x

r

   













と 1 1 1 n i i i n i i i

rv

b

r x

 







は証明なく用いてよい。 (1)

a

1

 

c

1

c b

3 1 を示せ。 (2)

V a

( )

₁ を求めよ。 問 3 z=(1,1,1,0,0,0,0,0,0)’,w=(0,0,0,1,1,1,0,0,0)’, v=(0,0,0,0,0,0,1,1,1)’ x=(3,2,1,4,3,2,5,4,3)’ とする。問１の結果は証明なく用いてよい。

e(1),…,e(9)は互いに独立で E(e(i))=0,、_{V(e(i))=σ2とする。y(i)は}

y(i)=α*z(i)+β*w(i) +γ*v(i)+ *x(i)+e(i) で発生される。

(１) x(i)を被説明変数とし、

x(i)= a*z(i)+b*w(i)+ c*v(i)+誤差項(i) の a,b,c の最小二乗推定量を求めよ。

(２) q,r,s を a,b,c の最小二乗推定量とするとき、 その残差 u(i)=x(i)-q*z(i) -r*w(i) -s*v(i) を求めよ。

(3)y=(y(1),y(2),y(3) ,y(4),y(5),y(6),y(7),y(8),y(9))に対して、の最小二乗推定量 g を 求めよ。V(g)を求めよ。

(5) 問１の結果はどこで用いるか。変数の対応関係を示せ。 解答：z、w、v は直交しているので、ｚだけを使った単回帰で α を推定できる。他の係数も同様。 2,3,4 u=(1,0,-1,1,0,-1,1,0,-1) は y を u で説明すればよい。g=y’u/u’u=(y(3)-y(1)+y(6)-y(4)+y(9)-y(7))/6 g=σ2_/6 問 4 1 2 1 2 1 1 1 1 , , 0 , 0 , 0 , 0 , , , (1 , 1 , 1 , 1 ) ', (1 , 1 , 1 , 1 ) ', 2 2 2 2 z  _  _ z  _  _ x  x        とし、互 いに独立で標準正規分布にしたがう確率変数を

e



(

e

₁

,

e

₂

,

e

₃

,

e

₄

)



、実数 ₁, ₂に対して,y を 1 2 3 4 1 1 2 2

(

,

,

,

) '

y



y

y

y

y





x





x



e

と定義するとき、次の問に答えよ。ただし、正規分布に従う確率変数の定数倍とその和が正規分布に従う ことは証明無く用いてよい。また、確率変数

q

₁

,



,

q

_k が互いに独立であり、標準正規分布にしたがう とき、

q

₁2







q

_k2

~



2

( )

k

とする。 (1)

x x z z

1

, , ,

2 1 2が互いに直交することを示せ。 1 2 1 1 1 1 , , 0 , 0 0 , 0 , , 0 2 2 2 2 z z  _   _{ }  _      その他も同様。 (2)

a a b b

1

,

2

, ,

1 2 を

y



b x

1 1



b x

2 2



a z

1 1



a z

2 2 を満たす実数として定義するとき、

a a b b

₁

,

₂

, ,

_{1 2} を

y x

,

₁

,

x

₂

,

z

₁

,

z

₂ を用いて表せ。 (3)

a a

1

,

2が期待値 0、分散１を持ち、互いに相関がないことを示せ (4)

ˆe



y



b x

1 1



b x

2 2 とするとき、

e e

ˆ ˆ

'

~



2

( 2 )

を示せ。 解答 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) / x y x b x b x a z a z b x x b x y x x            同様にb₁x y x x₁ / _{1 1} ,b2 x y x x2 / 2 2 a1z y z z a1 / 1 1 , 2 z y z z2 / 2 2 , 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 3 4

( )

(

)

( )

1

( )

(

)

1

cov( ,

)

(1 / 2) cov(

,

)

0

V a

V z y

z V y z

z z

V a

V z y

z z

a a

y

y y

y

































1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2

ˆ

ˆ ˆ

e

y

b x

b x

a z

a z

e e

a

a











 



a1,a2 とも独立な標準正規変数なので、

問５： e(1),…,e(T)は互いに独立で E(e(i))=0,、_{V(e(t))=σ2とする。}

u(t)= r2*e(t-2)+ r1*e(t-1)+e(t),

(1) Var(u(t))を求めよ。 (2) Cov(u(t),u(t-1))を求めよ。 (3) Cov(u(t),u(t-2))を求めよ。 (4) u(t)と u(t-1)の相関係数を求めよ。 解答 (1) V(u(t))= (r22 + r12+1,

(2) Cov(r2*e(t-2)+ r1*e(t-1)+e(t), r2*e(t-3)+ r1*e(t-2)+e(t-1))

= Cov(r2*e(t-2)+ r1*e(t-1), r1*e(t-2)+e(t-1))=2(r1*r2+r1)

(3) Cov(r2*e(t-2), e(t-2))= r22

(4) (r1*r2+r1)/ (r22 + r12+1

問６：e(1),…,e(T)は互いに独立で E(e(i))=0,、_{V(e(i))=σ2とする。}

y(t)= e(t)+ b*y(t-1), t = 0,1,2,3,.. と順に発生するとき

(1) V(y(t)|y(t-1)を求めよ。V(Y|X)は X があたえられたときの Y の条件付き分散を示す。 (2) y(t+1)を e(t), e(t+1), y(t-1)で表し、V(y(t+1)|y(t-1))をもとめよ。

(3) y(t+2)を e(t), e(t+1), e(t+2), y(t-1)で表せ。V(y(t+2)|y(t-1))をもとめよ。 (4) n を正の整数とするとき、y(t+n)を e(t), e(t+1), .,,,e(t+n), y(t-1)で表せ。

V(y(t+n)|y(t-1))をもとめよ

解答：(1)V(y(t)|y(t-1)= V(e(t)+ b*y(t-1)|y(t-1)=V(e(t)= σ2

(2) y(t+1)= e(t+1)+ b*y(t)= e(t+1)+ b*e(t)+ b^2*y(t-1) より V(y(t+1)|y(t-1))= V(e(t+1)+ b*e(t)+ b^2*y(t-1)|y(t-1)) = V(e(t+1)+ b*e(t))=(1+b^2) σ2

(3)y(t+2)= e(t+2)+b*e(t+1)+ b^2*e(t)+ b^3*y(t-1) V(y(t+2)|y(t-1))= (1+b^2+b^4) σ2 (4) V(y(t+n)|y(t-1))= = (1+b^2+b^4+…+b^2n) σ2 問 7：次の VAR にはいくつ共和分関係が存在するか。 1

( ), ( )

2

y t y t

はそれ自体非定常であるが、階差をとると定常、すなわち I(1)とする。 1

( ), ( ), ( )

2 3

e t e t e t

で分散共分散行列一定、異時点では互いに独立とする。 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 ( ) 2 .5 1 1 ( 1 ) 0 .5 0 0 ( 2 ) ( ) ( ) 1 . 5 0 1 .5 ( 1 ) 0 0 .5 0 ( 2 ) ( ) ( ) 2 2 0 .5 ( 1 ) 0 0 0 .5 ( 2 ) ( ) y t y t y t e t y t y t y t e t y t y t y t e t                   _  _   _ _    _ _                                           解答：これを y=A1*y(-1)+A2*y(-2)+e とおく。

y-y(-1)=(A1-I)y(-1)+A2*y(-2) =(A1-I)(y(-1)-y(-2))+(A2+A1-I)*y(-2) (A2+A1-I)= 2 .5 1 1 0 . 5 0 0 1 0 0 1 .5 0 1 .5 0 0 . 5 0 0 1 0 2 2 0 . 5 0 0 0 . 5 0 0 1          _ _  _                       = 2 .5 1 1 1 .5 0 0 1 1 1 1 .5 0 1 .5 0 1 .5 0 1 .5 1 .5 1 . 5 2 2 0 .5 0 0 1 .5 2 2 2            _ _   _  _{ }                        独立な列は一つだけなので、rank(A2+A1-I)=1 問 8

V(e)=1,V(u)=1, cov(e,u)=0 とするとき、 y=a*e+b*u, , V(y)=1, cov(e,y)=r となるように a,b を定めよ。ただし、-1<r<1 とする。

cov(e,y)=cov(e,a*e+b*u)=a*cov(e,e)+b*cov(u,e)=a より a=r

V(y)=1 の条件より 1=a^2+b^2=r^2+b^2 b=±(1-r^2)^(1/2)