均衡の示し方について(2)-香川大学学術情報リポジトリ

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(1)論. 説. 均衡の示し方について（!）. 金. 子. 太. 郎. 金子（２０１２）で Gale−二階堂の補題（Gale−Nikaido−Debreu の定理）を使って経済の一般均衡理論モデルにおける均衡の存在の示し方を説明したが，この定理を以下のように一般化すると Walras-Cassel 体系における均衡の存在を示すこともできるので，このことも解説しておこう。. 一般化された Gale−二階堂の補題（Debreu の定理） $&#$ を線型部分空間ではない閉凸錐（closed convex cone）であるとする（線型部分空間とは２次元の場合では原点を通る直線，３次元の場合では原点を通る平面のように，その内部で線型性の条件を満たしてしまう空間のことである）。 $. エル. $ ) を $次元のシンプレックス（)$, ） %'#! !! %$!$!. "$$%)$ ( "とする。 ". $ を $の双対凸錐（dual convex cone，極錐（negative polar）とも言う）とする（意味はすぐ下で幾何学的に説明する）。 #：". #$ を多価写像（multi-valued mapping）とする。. # * # +がコンパクト・凸値（compact-convex-valued），上半連続（upper semicontinuous）で，１１３（４３７）.

(2) 香川法学３２巻３・４号（２０１３）. 弱いワルラス法則（Walras’ law）を満たし，つまり， (+に対して (,,%! * すべての ('"，すべての ,'" であるとき， #. +& '* '% *" )(#'") (#+ &$ ( $! * #. (#+ &$ ( $!を満たす (#'"が存在する） * （" が成り立つ。. この定理の一般化は２次元で幾何学的に見るとわかり易い。図からわかるようにこの定理の一般化は Gale−二階堂の補題（Gale−Nikaido−Debreu の #. #. # # を $に，!#" を $ に一般化したものである。「 $ が $の双対定理）の #". 凸錐，極錐である」とは２次元で図に描けば，下の左図のようになってい #. 。逆に言うと，Gale−二階堂の補ることである（ $ は斜線より下の領域） # ，題（Gale−Nikaido−Debreu の定理）とは，この一般化された定理の $$#" #. # $ $!#" としたときの特殊ケースである。. ₂. ₂. T. (0,1). R2+. (0,1) − P. ζ(p*). p* ₁. ζ(p*). (1,0). p*. ₁ (1,0). T*. −R2+. 一般化された Gale−二階堂の補題. Gale−二階堂の補題. １１４（４３８）.

(3) 均衡の示し方について（!）（金子）. Walras-Cassel 体系とは以下の連立不等式によって表される経済の一般均衡体系である。 %0%/. (. 0&1. ). %*.&-. *. 1$( .!-) (. +. /$)( .!-). ,. /!%0) .( $". -. 0!1) -( $". .. %.!-) 0( $". /. *. *. *. *. 記号，式の意味を説明していこう。 %：（+#,）の非負行列 " '## $ '$# $ $⋮ $⋮ $⋮ $⋮ $⋮ &'!#. '#$ ……………………… '#"# % '$$ ……………………… '$"% ⋮% ⋮ ⋮% ⋮ '* ⋮% ⋮ ⋮% ⋮ ⋮% ⋮ '!$ ………………………'!"'. '*とは第 * 生産物・財を１単位生産するのに必要な第. 生産要素の量，生. 産係数（production coefficient）である。 0'&" " は生産物・財の供給量を表す。 %の第. 0 ")の内積をとってみよう。 #!0 $!+!0 行と 0$(. '#0 " #"'$0 $ ++ "'"0 0 ,)という生産物・財の生産計画を実行するときに #!0 $!+!0 これは 0$( 必要となる第. 生産要素の量である。%0というベクトルはこれがタテ. !$ !+!+ まで並んでいる。に $# (式 %0%/の意味は「0という生産計画を実行するのに必要な生産要１１５（４３９）.

(4) 香川法学３２巻３・４号（２０１３）. 素の投入量（需要量）は生産要素の供給量を超えない」という意味である。 !式の 0$1とは「財の供給が需要を上回ることがあり得る」ことを意味している。0も 1もともに ,次元ベクトルで，生産物・財の番号は * で表すことにする。行と .の内積をとって，それが -!以上にな "式の %(.$-の %(の第 * 。るという意味を考えよう（%(の (は行列の転置を表す） '#!.#"'$!.$" )) "'"!." $-! これは「第 * 財を１単位生産するのに必要な費用（平均費用）はその財の価格に等しいか上回るかである」ということを意味している。これは産業の長期均衡を想定しており，もし， '#!.#"'$!.$" )) "'"!." !-! となり，第 * 財に関して価格が平均費用を上回って超過利潤が発生していると，その財の供給に新たな企業の参入が生じ，超過利潤は食い潰され，長期均衡においては平均費用＝価格が成り立つと考えているのである。" 式は平均費用＞価格となるような場合も許している。しかし，下で説明するように，そのような財の供給は０になる。 .!-'は生産物・財の需要関数である。生産物・財の需要関 & #式 1#( 数は生産物・財の価格ベクトル -%&# " だけではなく，生産要素価格ベク（例トル .%&" " にも依存するものとして考えている。これは生産要素価格えば賃金率）が変化すれば消費者の所得も変化し，財への需要にも変化をもたらす場合も考えているということである。 .!-'は生産要素の供給関数である。生産要素の供給関数は $式 /#)& # 生産要素価格ベクトル .%&" " だけでなく財の価格ベクトル -%& " にも依. 存することとする。線形計画法を用いたモデルでは生産要素の賦存量（/ ）を固定的であると想定することが多いが，ここでは .と -に依存して変化するもの，つまり .と -の関数として扱う。 /!%0' #"は .という非負の + 次元ベクトルと /!%0という非 %式 .(& 負の + 次元ベクトル同士の内積である。それが＝０にならなければなら１１６（４４０）.

(5) 均衡の示し方について（!）（金子）. ないということは，+ 項がすべて０にならなければならないということで #1'#"となるような第ある。ということは，0!&. 生産要素に対しては. /$"とならなければならない。これは「長期均衡において余っている生産要素の価値は０にならなければならない」ということを意味している。 1!3' $"は .という非負の ,次元ベクトルと 1!3という非負 %式 .*& の ,次元ベクトル同士の内積である。それが＝０にならなければならないということは，,項がすべて０にならなければならないということである。これは「長期均衡において余っている財があったら，その財の価格は０になる」ということを意味している。 * #*/!.' & $" は，#式から（#*/!.）という ,次元ベクトルは &式 1. 非負であり，1も非負の ,次元ベクトルで，この式も非負の ,次元ベクトル同士の内積である。それが＝０にならなければならないということは， ,項がすべて０にならなければならないということである。これは「もし平均費用が価格を上回ってしまうような財があったならば，その財の生産は０になる，供給されない」ということを意味している。このように Walras-Cassel 体系を定式化したのは福岡・小山（１９５９）である。もともとの Walras-Cassel 体系では"#式は等式で，$式の 3は . .' & だけの関数（3$' ）であった。"#式を不等式化したのは Kuhn（１９５６）， -,1 2 % ,2であった。福岡・小山ただし，（通常の線型計画問題の通り）0$& （１９５９）はそのさらなる一般化である。. このモデルに以下の仮定をする。 !* に対して非負でなければなら仮定１．#%" 生産係数 %!はすべての ) ない。 # !(：$" " "")→ $#"$" ( 仮定２．' " #$ "!. 連続，０次同次. " "")を定義域から外すのは，消費者の選好から議論を始めると，すべ ( ての財の価格が０になってしまうと，最適点がなくなり，需要関数が定義できないなどの問題が生じてしまうためである。'も (も連続で０次同次１１７（４４１）.

(6) 香川法学３２巻３・４号（２０１３）. 関数であるとする。 +.% ( ( -!, -!,( -!,( & ' #-)'' 仮定３．,)& これは，「生産物・財の需要量の価値額と生産要素の供給量の価値額が常に等しくなっている」という意味である。ワルラス法則は「価格と超過需要関数の内積が恒等的に０になる」という意味で使うことが多いが，福岡・小山（１９５９）はこの式を「ワルラス法則」と呼んでいる。だから，後 -!,(と内積をとる関数 #' -!,(のことを福岡・小山は「需給函数」とで' 呼んでいるが，これは生産要素の供給量（. ）（にマイナスの符号をつけたもの）と財の需要量（2）を並べた（)"*）次元のベクトルのことであって，超過需要関数の意味ではない。消費者は自らの所得によって財を購入する訳だが，所得というのは消費者が所有している生産要素の価値から生じるもので，各消費者が所得を使い切るときにこの式は成り立つ。消費者が所得を使い切るには，「消費者の効用関数の限界効用が正」，より緩い仮定としては「消費者の選好関係が局所的非飽和（locally nonsatiated）」であれば十分である。. 以下，この経済体系に均衡が存在することを証明していこう。 "/$.. !. /%2. ". まず!"式に 0&$ !1&$ というスラック変数を導入して等式化する。 ! ". !"/!0#!. /!1#2. " ". !’ "’. !"式を満たす /を求めることと，!’ "’ 式を満たす / ，0，1を求めることは同じである。これを行列とベクトルで書くと !!"/!0"#!!. 2" /!1. !’ "’. １１８（４４２）.

(7) 均衡の示し方について（!）（金子）. * !$ !) !""& !% % #+$#!-" , % " この !$ !""& !% % % " という行列を $と置くことにしよう。 !$ $#% !""& !% % " !) "’ #’ 式の右辺の !-"は後回しにしておいて，左辺のすべてのメニューはどのようなものになり得るかを考えよう。左辺がとり得るすべてのメニューは $という行列に（* ，+，, ）という非負の列ベクトルを掛けたもののすべてである。この集合を 'と置くことにしよう。 * ! " '$& $#+$( *%&" "!+%& " !,%& "' , $を構成する列ベクトルを ("!(#!)!(""!"" とすると，'という集合は " # " """ ""! * "("+ !( ","(""!""" "("* #(" ) "* "( " ) "+ ""!"" ) ","(. ("!(#!)!(""!""'の張る凸錐である。これは $を構成する列ベクトル & である。このような有限個のベクトルの張る凸錐を凸多面錐（convex polyhedral cone）と言う。凸多面錐はもちろん凸で閉集合である（この証。明は二階堂（１９６０）pp.１９２−３を参照） 'はその形状から線型部分空間ではない。線型部分空間とは &# におけ. １１９（４４３）.

(8) 香川法学３２巻３・４号（２０１３）. る原点を通る直線，&# における原点を通る平面のように，その内部で線型性の条件を満たしてしまう空間のことである。 !/ !/ この 'の中に右辺の !4"が入っていれば（!4"('となっていれば），上記の連立方程式は解けたことになる。つまり，!’ "’ 式を満たす $ 0 ，2$，3$が見つかったことになる。そうすれば!"式の連立不等式を満 $ が見つかったことになる。たす 0 !/ $ ，2$，3$が存在 "’ 式を満たす非負の 0 !4"('となっていれば，!’ することになるが，/と 4は .!-の関数であった。. .!-+ !/ !+* !4"%# $ * .!-+ * .!-+ !+* 2) ,1 ,( 1# .!-+ 0 だから，)* $(' * .!-+ * .!-+ !+* （# $('を満たすような（.!-）が存在する） * .!-+ * ということが示せればよい。なぜならば，そのような（.!-）が見つかり，その（.!-）に対して .!-+ !/ !+* !4"%# $(' * .!-+ * が成り立っていれば，それは 0 !/ $%2&%! " 4 3 $ ，2$，3$）が見つかったということになるからである。を満たす（0. それではそのような（.!-）はどの範囲から見つけたらいいのか，と言 " !+の定義域は &! " ""-であった。そして， , えば，仮定２から，* " #& "!. #式を満たす範囲で見つけなければならない。#式を満たす範囲での（.!-）のすべてのあり得る範囲，価格の探索範囲を % としよう。 " $/.&-%', .!-+ * (&! " #& ".. １２０（４４４）.

(9) 均衡の示し方について（!）（金子）. $%'$&は以下のように変形できる。 !$%'"&#! " !%"" !%#" ……… !%!"#" '" # " &" # " ０ # % % $ % $ $ $ % $ !%"# !%## ……… !%!#%$ ⋮ % $ ⋮ % $ ⋮ % ⋮ %$ ⋮ % $ ⋮ % $ ⋮ % $ ⋮ ⋮ ⋮ %$ ⋮ %"$ ⋮ %#$ ⋮ % $ ⋮ ⋮ ⋮ %$ ⋮ % $ ⋮ % $ ⋮ % ⋮ ⋮ $ ⋮% ⋮% ⋮ %$ ⋮ % $ ⋮ ⋮ $⋮% $⋮% ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ % $ % $⋮ $ ⋮ ⋮ ⋮% ⋮ % '! $ % $ $ $ ⋮ %& ' $ ⋮ % $ ⋮ % $ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ % $ ⋮ ⋮ $ % $ % & !%"" !%#" ……… !%!"' & &" ' & ０ '. １２１（４４５）.

(10) 香川法学３２巻３・４号（２０１３）. ' ',,,*+,,,). *"" １０ ………………… ０ " ! # $. !０" $# $ # $ ⋮ ０１０ …………… ０ $ ⋮ #⋮$ #⋮$ # $ ⋮ ⋮ ⋮$ #⋮$ ⋮ ⋮ $ #⋮$ #⋮$ ⋮ ⋮ $ #⋮$ #⋮$ ⋮ ⋮ $ #⋮$ #⋮$ ⋮ ⋮ $ # $ #⋮$ ⋮ #⋮$ $ *! ⋮ ０ $ # $ #⋮$ # $ ０ ……… ０１ $ # )"$ # ⋮ $ $ #⋮$ #⋮$ $ #⋮$ #⋮$ ０ ……………………… ０ $ #⋮$ #⋮$ ⋮ $ ⋮ # #⋮$ ⋮ ⋮ $ #⋮$ #⋮$ ⋮ ⋮ $ #⋮$ #⋮$ ⋮ ⋮ $ #⋮$ #⋮$ ⋮ ⋮ $ #⋮$ #⋮$ ⋮ ⋮ $ #⋮$ #⋮$ ⋮ ⋮ $ #⋮$ #⋮$ ⋮ ⋮ # $ ０ ……………………… ０ $ % )"& # ⋮ $ #⋮$ $ #⋮$ $ −１０ ………………… ０ #⋮$ $ ０ −１ ⋮ $ #⋮$ ⋮ $ #⋮ $ ⋮ ⋮ ⋮ $ #⋮$ ⋮ ⋮ $ #⋮$ ⋮ ⋮ #⋮$ ⋮ ⋮ $ #⋮$ ⋮ ⋮ $ ⋮ #⋮$ $ ⋮ ０ $ #⋮$ #０$ ０ ………………… ０ −１$ # $ $ /4444044441 & % & ( ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮. ! - !&"" !&#" ……… !&!" # 8 # 8 !&"# !&## ……… !&!# # 8 ⋮ ⋮ ⋮ # 8 ⋮ ⋮ ⋮ # (5 ⋮ ⋮ ⋮ # 8 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ # 8 ⋮ ⋮ ⋮ # 8 ⋮ ⋮ ⋮ # 8 ⋮ ⋮ # 7 !&"" !&#" ……… !&!" # # −１０ ………… ０ # ⋮ # 8 ０ −１ ⋮ # 8 8 ⋮ ⋮ # . ⋮ ⋮ #'6 ⋮ ⋮ # 8 ⋮ ⋮ # 8 ⋮ ０ # 8 ⋮ # 7 ０ ………… ０ −１ # # - ０ ………………… ０ # 8 ⋮ # 8 ⋮ ⋮ # 8 ⋮ ⋮ ⋮ # 8 ⋮ ⋮ # (5 ⋮ ⋮ # 8 ⋮ ⋮ # 8 ⋮ ⋮ # 8 ⋮ ⋮ # 8 ⋮ ⋮ # 7 ０ ………………… ０ # /444234441 % '. ( ',,,,(,,,,). ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮. ! !$$ % " "! * " $#! # $# # !% ! ０ $% ) & # $ " % ０ !% & "! * " ! !$$ % " $#! $# # # $ !% !"" % )& % & １２２（４４６）.

(11) 均衡の示し方について（!）（金子）. / ) #!("%". ここで再び #が転置された形で出て来る。すると $ というのは以下の様な形で書けることになる。 / ) $', )!(+ #!("%"* )%! "%". " （式から )&"，(&"は imply されているので %! ! ，% ! の＋は外して. いい） $ の元を２つとってきて，その凸結合も $ に入っているし，元の +倍（+!"）したものも $ の中に入っているので，$ は凸錐である。実は，以下に示すように，$ は 'の双対凸錐（dual convex cone），極錐 #. （negative polar）になっている。＊を「双対」の意味で使うと，$$' で #. １４（４３８）のある。'の双対凸錐 ' とは，２次元で幾何学的に描けば，p.１ #. &に対する & のことだが，代数的には「'のどのような元と内積をとっても０以下になるベクトルの全体」のことである。 #. まず，' ($ を証明する。$ から任意の（)!(）をとってきて，'の任意の .と内積をとって非正であることを示せばよい。任意の .)'をとってくる。'の定義とは * ! " , '', ## $. *)%" !!,)% ! !-)% !であった。だから，* ，,，-を適当に選ぶと，必ず * .$##,$ -. * !,!-&". と書くことができる。 $ から任意に * )!(+ $(（以下ではこう記す。これは内積を見易くするためであって，(には生産要素価格ベクトル )も含まれていることに注. １２３（４４７）.

(12) 香川法学３２巻３・４号（２０１３）. 意）をとってきて，.と内積をとると， )!./ . + $)1#!," 1. )1#と #)は行ベクトル（ヨコベクトル）か列ベクトル（タテベクトル） 1. かだけの違いで，#)%"だったのだから，)1#%"である。 )1#という非正の（(!'!(）次元のベクトルと（+ ，,，）という非負の（(!'!(）次元のベクトルとの内積なのだから，この値は０以下である。 + )1#!,"%" #. よって，& ($ であることが証明された。 #. #. 次に & '$ を証明しよう。& とは「&のどのような元と内積をとっても０以下になるベクトルの全体」のことだったのだから，そこから任意の *!)+をとってきて，それが $ に含まれること（))$）を示せば元 )$* よい。$ の定義とは 1. *!)+ #)%"$&, )$* )%! "%"0 #. 1. だから，任意の ))& に対して )1#%"ということを示せばよい（#)は。列（タテ）ベクトル，)1#は行（ヨコ）ベクトルで成分は同じ），つまり，「)1# これは背理法で証明しよう。証明したいことは「)1#%"」という（(!'!(）次元の行ベクトルの成分はすべて非正」ということだから，背理法の仮定として「)1#という（(!'!(）次元の行ベクトルのどこか１ヶ所に正の成分があった」としよう。具体的には )1#という行ベクトルは. １２４（４４８）.

(13) 均衡の示し方について（!）（金子）. !. !. !. $#. $#. $#. & !' ,'#"+#!!' ,'$"+$!)!!' ,'""+"!!,#!)!!,!! !+"' !+#!)! という形をしている訳だが，それを #' $' ""!""' & & & +(%' +(%' +(%' !& !)!& 'と表そう。 & & (' & +(%' が正だったとしよう。そのうち (番目の成分 & (' & +(%' "" &. その +(%の右側から，(番目の成分だけが１であとの成分はすべて０という（*")"*）次元の列（タテ）ベクトルを掛けてみよう。すると !" " %& & %* %& & %" %& %& (' & &) (番目＝& +(%' +(%% "" & %# %& & %" %& %& $ #* " となる。この左辺の後ろの部分 !" " %& & %* %& & %" %& %& &の部分は &に入っている。 %% & %# %& & %" %& %& $ #* " なぜなら，&とは %の右側から（*")"*）次元の非負ベクトルを掛けた全体だったからである。それと +%"との内積が正になってしまった。 #. #. ,!+'とは & からとってきたものであったはずで，& としかし，+$& は &のどんな元と内積をとっても０以下になるベクトル（,!+）の全体であった。１２５（４４９）.

(14) 香川法学３２巻３・４号（２０１３）. なぜこのような矛盾が現れたかと言えば，「-3#という（,"+",）次元の行ベクトルのどこか１ヶ所に正の成分があった」と仮定したことが誤りであった。よって，「-3#という（,"+",）次元の行ベクトルの成分はすべて非正」であることが証明された。 $. .!-/ ,% となり，( *% であることが証明された。よって -%. $. $. $. 「( +% かつ ( *%」ということが証明されたので，( %% が証明されたことになる。整理すると 0 ：凸多面錐 ((0 #!1"2 0 !1!2'"1 2 $. 3. #-&"1 %(0 .!-/ . ,'! #'"2 ：凸錐，(の双対凸錐（%%(） $. % が (の双対凸錐である（%%(）ということは，当然のことながら， $. (は % の双対凸錐である（% %(）ということである（後で使うのはこちらの方）。(と % が互いに双対凸錐の関係にあるということは，(に属するどんなベクトルと % に属するどんなベクトルの内積も非正になるということである。 % に属する -%. .!-/に対して価格の探索範囲はさらに絞ることがで .!-/と /%*. .!-/は０次同次関数であるから， . きる。なぜなら，3%) 相対価格だけが問題で，価格の和（財の価格だけでなく生産要素価格も含めた和）は＝１とすることができる。すると，価格の探索範囲は % とシンプレックス - との交わりだけでよいことになる。これを &と置く。 &%%)これは財の価格だけでなく生産要素価格も含めた価格に対して正規化を行っていることに注意が必要である。 .!-/に対して !*. -/と ) -/をタテに並べていった関数を $. -/ -%. . と置く。１２６（４５０）.

(15) 均衡の示し方について（!）（金子）. 1+ " !/$* # $ % / % $ $ % 1+ &* 1+ $$ !/! * % 1+% $* $ . $ / % $ % 1+' "* & . &* 1+ 1+は連続で，仮定３のワルラス法則から 1! $#であ仮定２から &* る。これは生産物・財の需要量の価値額と生産要素の供給量の価値額が常に等しくなるという意味である。ここに一般化された Gale−二階堂の補題（Debreu の定理）を適用すると #. 605 0, 5 &* )1#'( 4 1#+ &' ( $! が得られる。 2#"1#+が存在し，その価格に対してつまり，ある価格 1#$* 2#"1#+ 8#$. * # 2#"1#+ 3 $/* # に対してとなり，この 8#，3 # # !3 !8# "'' $+. が成り立っている。 #. #. 1#+ 1#+を &* * 正確ではないが，P.１１４の左図の *を '， * を ' $+，" だと見ると，イメージが(み易いだろう。 +とは 4 ! " +%, %#6$. 4')" ""6') " "7') "7 という集合であった。 # !3 # ，6#，7#）を選ぶと !8# "'+ということは，適当な（4. １２７（４５１）.

(16) 香川法学３２巻３・４号（２０１３）. " ( " !' ! " "#!#*"$ , +". とできるということである。これは " &(. " ( " !' *# $) $" ) ! " "#!#*"$ #*"$ ( , " + +". と書くこともできる。 " " ，,"，( ，*"，+"に対してこのような '. !’ "’ 式の. " " !!( !*"#!' " " " (!+ #, " " が成り立っている。*，+はスラック変数だったので除いて，' ，,"，(. に対して " " !( $'. !. ( %,. ". ". ". が成り立っている。 " " ，,"，( が見つかったことになる。残以上で!−$を満たす &"，%"，'. りは%−&式である。 " " !( $' !式の両辺の左側から &"を掛け，内積をとる。&"は非負だか. ら不等号の向きは変わらない。 " " &"'!( $&"'' " %," "式の両辺の左側からに %"を掛け，内積をとる。%"は非負次に，(. だから不等号の向きは変わらない。 " %"'( %%"'," " 次に，!'&"%%" #式の両辺の左側から ( を掛ける。 "' ' " "' " !& %( % (. これらの式を組み合わせると " "' ' " " !& $&"'' %"',"$%"'( $(. １２８（４５２）.

(17) 均衡の示し方について（!）（金子）. " が得られる。一方，最初の #"&'"と最後の $"&% はワルラス法則により等し. いので，これらの４つはすべて等しいことがわかる。 " "& & " " "$ #$"&% #"&'"##"&& #&. ここから " " $"&$ % !"& % #!. #. &!'% #$ #!. $. "$ !#% &$ #!. %. "&. "&. ". ". &". ". が得られる。以上により，"−%式によって表された Walras-Cassel 体系に均衡が存在することが証明された。. 参考文献 Cassel, G. １９１８.. Theoretische Sozialökonomie.. Debreu, G. １９５６. “Market equilibrium,”Proceedings of National Academy of Science of ７８. the USA. ４２, ８７６−８. Reprinted as Chapter７ in G. Debreu, Mathematical Economics.. Cambridge University Press, Cambridge, １９８３ Debreu, G. １９５９.. Theory of Value.. Dorfman, R., P. A. Samuelson Economic Analysis.. and. Yale University Press, New York : Willy R. M. Solow. １９５８.. Linear. Programming. and. McGraw-Hill.. Gale, D. １９５５. “The Law of Supply and Demand,”Mathematics Scandinavia３, pp.１５５− １６９ Gale, D. １９６０.. The Theory of Linear Economic Models.. New York, McGraw-Hill.. Kuhn, H. W. １９５６. “On a Theorem of Wald， ”Linear Inequalities and Related Systems. Nikaido, H. １９５６. “On the Classical Multilateral Exchange Problem,”Metroeconomica, ８, ４５ pp.１３５−１ Nikaido, H. １９５６.. Convex Structures and Economic Theory.. Takayama, A. １９８４. Urai, K. ２０１０. Walras, L. １９２６.. Mathematical Economics.. New York, Academic Press. Cambridge University Press. Fixed Points and Economic Equilibria.. World Scientific Press. Éléments d’économie politique pure ou Théorie de la richesse sociale.. 岡田章『経済学・経営学のための数学』（東洋経済新報社２００１年）二階堂副包『現代経済学の数学的方法』（岩波書店１９６０年）福岡正夫・小山昭雄「カッセル一般均衡体系の再検討」『季刊理論経済学』１９５９年. １２９（４５３）.

(18) 香川法学３２巻３・４号（２０１３）. pp.４４−５１福岡正夫『一般均衡理論』（創文社１９７８年）金子太郎「均衡の示し方について」『香川法学』第３１巻第３・４号２０１２年 pp.４１−５０（かねこ・たろう. １３０（４５４）. 法学部教授）.

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