1/10 平成 29 年 3 月 24 日午後 1 時 37 分第 5 章ローレンツ変換と回転 第 5 章ローレンツ変換と回転 Ⅰ. 回転 第 3 章光速度不変の原理とローレンツ変換 では 時間の遅れをローレンツ変換 ct 移動 v相対 v相対 ct - x x - ct = c, x c 2 移動

第５章 ローレンツ変換と回転

Ⅰ.回転

【第3 章光速度不変の原理とローレンツ変換】では、時間の遅れをローレンツ変換 2 2 2 2 , 1 1 ct x x ct c c ct x c c - -= = - 相対 - 相対 相対 相対 静止 静止 静止 静止 移動 移動 v v v v (5.1) を導いた。これを、図の場合に当てはめると、 2 2 2 2 , 1 1 1 ct x _{x t} c ct x c c - -¢= ¢= - - v v v v (5.2) 2 2 2 2 , 2 1 1 ct x _{x t} c ct x c c ¢+ ¢ _{¢+ ¢} = = - - v v v v (5.3) を得る（【問題 1】(5.1)から、図の状況を考慮して(5.2)と(5.3)を導け）。また、(5.3)を解けば(5.2)が 導かれる（【問題２】(5.3)から(5.2)を導け）。 ローレンツ変換の(5.2)には、2 つの変数（ct x, ）があるので２行２列の行列表記をすると、 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ct ct c c c c c t x x c c U x æ ö ç ÷ -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ¢ æ ö æ ö æ ö =ç ÷ = ç _¢÷ ç ÷ ç ÷ è ø ç ÷è ø è ø ç_- ÷ -ç ÷ ç ÷ ç ÷ è -ø v v v v v v (5.4) で表される事が分かる（【問題３】(5.4)から(5.2)を導け）。ここで、２行２列の行列をU で表して ある。(5.4)でUのそれぞれの成分は2 種類しか無く 2 2 2 2 , 1 1 1 C c S c c = = -v v v (5.5) で表す事ができ、 C S U S C -æ ö = ç_- ÷ è ø (5.6) になる。ここで、(5.5)より、_C2_-S2_{を計算すると} 2 2 ₁ C -S = (5.7) x[m] v 0 秒目 vt’[m] v 0 秒目 t’秒目 x’ [m] x [m] vt’ [m] t’秒目 t 秒目 t 秒目 移動する人 移動する人 静止している人 静止している人 x’ [m] 1 2 －v

がわかる。 さて、この式(5.7)は、よく知られている関係式 2 2 2 2 si 1 s n co 1 S C q q+ = - = (5.8) と比較すると、「+ 」が「- 」になった式に対応することが分かる。そこで、虚数_{i i}

(

2 _{= - を用1}

)

いると

( )

( )

2 2 2 ₁ 2 2 2 2 2 2 ₁ C -S =C + - S =C +i S =C + iS = (5.9) である。より、 s n cos i i S C q q = ì í = î (5.10) にすれば、自動的に_C2_-S2 _{= を満たすことがわかる。ところが、(5.5)と(5.10)は矛盾するので正1} しい表式ではない（【問題５】矛盾する理由を述べよ）。ここで、三角関数のオイラーの公式 cos sin i eq = q +i q (5.11) より得られる関係式（【問題４】_e-iq_{を求めよ）：} cos , sin 2 2 i i i i e e e e i q q q q q = + - q = - - (5.12) を手がかりにして、正しい表式を見つける。（【問題５】(5.11)から(5.12)を導け）。_C2 _S2 ₁ q - q = を満 たすには（CとSの代わりに、C_q とS_qと表記する）

(

)

( )

2 = 2 e e C C e e S S q q q q q q -ì ₌ + ïï í -ï ₌ ïî (5.13) にすれば良いことがわかる（【問題６―１】(5.13)が_C2 _S2 ₁ q - q = を満たす事を示せ。【問題６―２】 この表式が(5.5)と矛盾しないことを述べよ）。その結果、  (5.13)は_C2 _S2 ₁ q - q = を自動的に満たす ことになる。つまり、  , 2 2 e e e e C S q q q q q q - -+ -= = を用いれば、_C2 _S2 ₁ q - q = は忘れてよい ことになる。 三角関数(5.12)と似た関数(5.13)の振る舞い図形を書いて調べてみる。三角関数は極座標に現れ 2 2 2 cos , sin x r= q y r= qÞ x +y =r ･･･円 (5.14)

である。一方、これに対比して、C_q とS_qは 2 2 2 , x rC= _q y rS= _q Þ x -y =r ･･･双曲線 (5.15) とできる。グラフより、  q は 、 色 づ け さ れ た 箇 所 の 面 積 が 2 2r q （ 2 ₂ r q = ´面積と計算する） として導入される（【問題７】双曲線の場合（超難問）と円の場合に、図で示される面積が 2 2r q を 示せ）。双曲線に関係する事から、C S_q, _q は  双曲線関数（そうきょくせんかんすう：Hyperbolic function） と呼ばれ、

(

)

(

)

cosh ypabolic sinh ypabolic C ine S e q q q q = = h cos h sin   ハイパボリックコサイン ハイパボリックサイン (5.16) と表す。大事な関係式： 2 2 cosh q -sinh q =1 (5.17) を満たす。(5.12)と(5.13)をまとめると

(

)

(

)

2 2 2 2

cos , sin cos sin 1

2 2

cosh , sinh cosh sinh 1

2 2 i i i i e e e e i e e e e q q q q q q q q q q q q q q q q - -- -+ -= = + = + -= = - = (5.18) を得る。従って、

( )

( )

coshq =cos iq , sinhq = -isin iq (5.19) の関係があるので（【問題８】(5.19)を証明せよ）、形式的に  双曲線関数は虚数の回転角iq を持つ ことになる。また、tanq に対してtanhq として sinh sin tanh tan cosh cos q q q q q q æ ö = _çÜ = _÷ è ø (5.20) と定義される。 この双曲線関数を用いると、(5.6)は cosh sinh sinh cosh U q q q q -æ ö = ç_- ÷ è ø (5.21) と表せる。また、(5.5)より

2 2 2 2 1 cosh , sinh 1 1 c c c q = q = - -v v v (5.22) 従って、(5.20)より sinh tanh cosh c q q q æ₌ ö₌ ç ÷ è ø v (5.23) を得る。(5.4)をまとめると ct ct U x x ¢ æ ö æ ö = ç ÷_¢ ç ÷ è ø è ø ct ct U x x ¢ æ ö æ ö = ç ÷_¢ ç ÷ è ø è ø (5.24) cosh sinh sinh cosh U q q q q -æ ö = ç_- ÷ è ø (5.25) であり、速度 v は、角度q と tanh c q = v (5.26) で結びついている。ローレンツ変換：(5.2)は、 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 cosh cosh sinh 1 1 sinh cosh sinh 1 1 1 ct ct c c ct c c c x t _c x c c c x x x x t ct q q q q q q ü - _ï ì ₌ ï ¢ = = - _ï ï -ï - _ï ïï ï_Ü ý í ï ï -- ï ï = ¢ = = = - _{ï ï} -ï ï - - _î ïþ v v v v v v v v v (5.27) と表記される。U で表される行列で引き起こされる（虚数回転角をもつ）回転をローレンツ回転 という。しばしば、

(

tanh

)

, 1 ₂

(

cosh

)

1 c b q g q b = = = = -v (5.28) という表記を用いる。また、(5.27)より、

( )

_ct¢ 2_-x¢2 ₌

( )

_ct 2_-x2

(

_{= 一定}

)

_(5.29) が成り立つ事がわかる。

Ⅱ.素粒子のエネルギーと運動量

（静止）質量m の素粒子のエネルギー₀ E と運動量p p p p の間には、アインシュタインの:

(

_x, _y, _z

)

関係式：

(

)

2 2 2 2 4 0 : E -c p =m c c 光速度 (5.30)

がある。ニュートン力学では運動量p と速度v v v v は:

(

_x, _y, _z

)

0 m = v p (5.31) の関係で結ばれている。光速近くの速度では、どのように変更されるであろうか？(5.30)を用いて 2 E c = v p (5.32) に変更される事を示す。(5.30)と(5.32)より 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 = + + 1 x y z m c E c b b æ ö = _ç = Ü _÷ - è ø v v v v v (5.33) を得る。_{b について解くと}2 2 2 2 2 2 2 c c E b æ_ç= ö_÷= è ø p v (5.34) を得るので、3 次元速度v v v v が:

(

_x, _y, _z

)

c c = E v p (5.35) と表せることがわかる。従って、運動量は、(5.32)で与えた 2 E c = v p (5.36) である。速度が小さいとき（ 2 _®0 v ）には、(5.33)より 2 0 2 0 E E m c m c ® Þ =p v® v (5.37) になり、ニュートンの運動量(5.31)と一致する。そこで、特殊相対論でも、 E₂ c = v p を「運動量の 形式＝質量×速度」で表すと、(5.33)を用いて 0 2 2 2 ₂ 2 2 0 2 1 1 m c E c m c c c = = = -p v v v v v (5.38) を得る。以上から、素粒子のエネルギーと運動量として、 2 2 0 2 ₀ 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 1 1 = + + 1 x y z m m m m c E c _m c c c c E m c ì = = ï _{æ ö} ï _{- ç} = _÷ ï _{ç ÷} -= _{Ü í ç ÷} ï = = ç_ç ÷_÷ ï _{è ø} ï -î v v v v v v v v v v p p (5.39) を得る。【第２章 光子とニュートン力学】－Ⅱ.エネルギー・運動量・質量の(2.43)と(2.47)のベク トルによる拡張になっている

Ⅲ.素粒子と慣性系

さて、同じ素粒子を観測して異なるエネルギーと運動量

(

E c¢, p¢

)

を得たとき、(5.30)と同じ関係： 2 2 2 2 4 0 E¢ -c p¢ =m c (5.40) をえる。素粒子がx 方向にのみ動いているとすれば

(

)

(

)

: p, 0, 0 , :¢ p¢, 0, 0 p p (5.41) となるので、 2 2 2 2 2 2 E¢ -c p¢ =E -c p (5.42) を得る。この表式を、(5.29)：

( )

_ct¢ 2_-x¢2 ₌

( )

_ct 2_{- と比較してx}2 ct E x cp Þ Þ (5.43) に対応することがわかる。従って、(5.27)のようなローレンツ変換を得ることができる。どのよう にローレンツ変換を得ることができるか見てみる。 簡単のため、図のように、  静止している素粒子を観測：

(

2

)

0 ,0 m c  速度v で移動している素粒子を観測：

(

E cp,

)

したとき、(5.1)： 2 2 2 2 , 1 1 ct x x ct c c ct x c c - -= = - 相対 - 相対 相対 相対 静止 静止 静止 静止 移動 移動 v v v v (5.44) に対応して(5.43)を考慮すると , ct E ct E x cp x cp Þ Þ ì ì ï ï í _Þ í _Þ ï ï î î 静止 静止 移動 移動 移動 移動 静止 静止 静止 移動 (5.45) の対応により 2 2 2 2 , 1 1 E cp cp E c c E cp c c - -= = - 相対 - 相対 相対 相対 静止 静止 静止 静止 移動 移動 v v v v (5.46) である。 【間違いの議論】 単純に静止している素粒子と v で移動している素粒子に適用して 2 0 , 0 , E m c p E E p p ì = = ï = í = = ïî 静止 静止 相対 移動 移動 v v (5.47) と(5.46)より 観測する人 v 静止中

(

2

)

0 ,0 m c

(

E cp,

)

with cp c = E v

2 0 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 E cp _{m c} c E E c c cp E m c _{m c m} c c cp p p c c c c ì -ï = Þ = ï ï -ïï í ï _- -- -ï _{= Þ = = ® =} ï ï _{- - -} -ïî 相対 相対 相対 静止 静止 移動 相対 静止 静止 移動 v v v v v v v v v v v (5.48) となり、 2 0 0 2 2 2 2 , 1 1 m c m E p c c -= = - -v v v (5.49) を得ることができる。ところが、cp Eを計算すると cp E = - vc (5.50) となり、(5.41)を用いた(5.35)の結果のcp E = v と矛盾する。c 【正しい議論：慣性系】 正しいローレンツ変換を得るには、  比較するのが 2 つの慣性系（2 人の観測者） ということに気がつかないといけない。従って、  観測者が 1 人で速度の違う同じ素粒子を観測 していた状況から  静止している観測者が、速度 v で動いている素粒子 を観測する  速度 v で（素粒子と共に）移動する観測者が、同じ 速度 v で移動する素粒子を観測する（静止して見える） という状況に見直す必要がある（【問題９】このとき、素粒子は加速度をもってはいけないが、何 故か？）この場合、(5.47)と違って 2 0 , , 0 E E p p E m c p = = ìï = í = = ïî   静止 静止 相対 移動 移動 している観測者 している観測 動 者 静止 移 v v (5.51) になる事がわかる。従って 2 0 2 2 2 2 1 1 E cp E cp c c E m c c c - -= Þ = -- 相対 相対 静止 静止 移動 v v v v (5.52) 2 2 2 2 0 1 1 cp E cp E c c cp cp E c c c - -= Þ = Þ = -- 相対 相対 静止 静止 移動 v v v v v (5.53) 静止している 観測者 静止中

(

2

)

0 , 0 m c

(

E cp,

)

速度 で移動 する観測者v v v

を得る。(5.53)から、正しくcp E = v が導かれ、更に、(5.52)よりc 2 2 2 2 0 _{2 2 2 2} 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 E E E E cp _c c c cp E c c m c E c c c c c æ ö æ _- ö æ _- ö -ç ÷ - ç_è ÷_ø ç_è ÷_{ø è ø} = = = = = -- - - -v v v v v v v v v v (5.54) より 2 0 2 2 1 m c E c = - v (5.55) を得る。運動量は、 0 2 2 ₂ 0 2 2 2 2 1 1 m c m p c E c c c -= = = -v v v v v (5.56) と表せる。 【運動量のローレンツ変換】 (5.46)は、運動量のローレンツ変換として表す事が多く、 2 2 2 2 , 1 1 E E p p E _{c c c c} p c c c - -¢ _¢ = = - -v v v v (5.57) になる。従って、

(

ct x,

)

, E,p c æ ö ç ÷ è ø (5.58) の組が、同じローレンツ変換を受けることがわかる。

Ⅳ.速度の合成

速度v で移動する物体から速度₁ v の球を投げるとき、静止し₂ ている人から見た球の速度 v は 1 2 = + v v v (5.59) である。これが正しくない事は、「光速度不変の原理」に反する事からも分かる（【問題１０】何 故、反するか説明せよ）。特殊相対性理論では、物体の速度 v は、ローレンツ回転の角度q ： tanh c q = v (5.60) で与えられている。ここで、(5.25)のUを速度 v による違いを明記するため、U

( )

q とすると

( )

cosh sinh sinh cosh U q q q q q -æ ö = ç_- ÷ è ø (5.61) である。このU

( )

q を用いると、(5.59)に対応して、 2 v 1 v ??? = v



( )

 1 1 1 tanh 1 ct ct U x q x q c ¢ æ ö ₌ æ ö _{Ü =} ç _¢÷ ç ÷ è ø è ø 速度 で動く物体上の人v 静止している人 v _(5.62) 

( )

 1 2 1 2 2 tanh 2 ct ct U x q x q c ¢¢ ¢ æ ö æ ö = Ü = ç _¢¢÷ ç ÷_¢ è ø è ø 速度 で動く物体上の人に対して 速度 で動く物体vv 速度 で動く物体上の人v v (5.63) で表される。従って、(5.62)と(5.63)より、静止している人から見ると 

( )



( ) ( )

 1 2 1 2 2 1 ct ct ct U U U x q x q q x ¢¢ ¢ æ ö æ ö æ ö = = ç _¢¢÷ ç ÷_¢ ç ÷ è ø è ø è ø 速度 で動く物体上の人に対して 速度 で動く物体 速度 で動く物体上の人 静止している人 v v v (5.64) になるので、静止している人から見た速度v の物体の速度は、₂ U

( ) ( )

q2 U q から与えられるはずで1 ある。U

( ) ( )

q₂ U q を計算すると₁

( ) ( )

(

)

(

)

2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2

cosh sinh cosh sinh

sinh cosh sinh cosh

cosh cosh sinh sinh sinh cosh sinh cosh

sinh cosh sinh cosh cosh cosh sinh sinh

U q U q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q - -æ öæ ö = ç_- ÷ç_- ÷ è øè ø + - + æ ö = ç_{- + +} ÷ è ø

(

)

(

)

(

11 22

)

(

11 22

)

cosh sinh sinh cosh q q q q q q q q + - + æ ö = ç_{- + +} ÷ è ø (5.65)

を 得 る （【 問 題 １ １ 】sinh

(

q q₁+ ₂

)

=sinh coshq₁ q₂+sinhq₂coshq₁ 、cosh

(

q q₁+ ₂

)

=cosh coshq₁ q₂

1 2 sinh sinhq q + を示せ）。従って、 

(

)

(

)

(

)

(

)

 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 cosh sinh sinh cosh ct ct x x q q q q q q q q ¢¢ æ + - + ö æ ö æ ö = ç ÷ ç _¢¢÷ _{- + +} ç ÷ è ø è ø è ø 速度 で動く物体上の人に対して 速度 で動く物体 静止している人 v v (5.66) を得るので、合成速度 v は、(5.60)より

(

1 2

)

tanh c q q+ = v (5.67)

で与えられる事が分かる。ここで、tanh

(

q q₁+ ₂

)

をtanh , tanhq₁ q で表すことができ₂

(

)

1 2 1 2 1 2 tanh tanh tanh 1 tanh tanh q q q q q q + + = + (5.68) なので、 1 2 1 2 tanh , tanh c c q =v q =v (5.69)

を用いると（【問題１２】sinh

(

q q₁+ ₂

)

=sinh coshq₁ q₂+sinhq₂coshq₁、cosh

(

q q₁+ ₂

)

=cosh coshq₁ q₂ 1 2 sinh sinhq q + よりtanh

(

q q₁+ ₂

)

を求め、(5.68)を示せ）、(5.67)と(5.69)より直ちに速度の合成則 1 2 1 2 2 1 c + = + v v v v v (5.70) が得られる（【問題１３】(5.70)を求めよ）。v_1c,v_{2 }cのときには、(5.59)がほぼ成り立つ事が 分かる。また、 2 =c v のときには、v=c (5.71) がわかる（【問題１４】(5.71)は相対性理論で何を意味するか具体的に説明せよ。「 v が光速度にな る」は適切な答えではない）。 【例】 右図の様に、静止系で２つの物体 A と B がそれぞれ速さv と₁ 2 v で近づいてくるときに、その相対速度v（下側の図）が(5.70)で 計算される。つまり、 A から見た B の速度は、符号を含 めて通常は B ( 1+ 2) = -v v v

×

A のように、-

(

v₁+v₂

)

と思うのだが、正しくは、 2 1 2 2 1 1 c - + = + v v v v v

○

A B である。 次に、地球から見て、 A と B がそれぞれ速さv と₁ v で遠ざかるとき、 A から見た B の速度₂ は、 1 2 1 2 2 1 c + = + v v v v v B A 同様に、 1 2 1 2 2 1 c + = + v v v v v になる。 1 v B 2 -v A 静止している 観測者 v 速度 で移動 する物体Ａv A B 1 v A B 2 -v B 2 v B 1 -v A