: /5 ( ) gnuplot x i x[i] () x(t) =, π < t t, < t < π (2) cos (3) sin (4) Fourier Shigeki Sagayama, FourierTrans26nov.tex

東京大学 工学部 計数工学科 システム情報工学演習第ニ

2006.11.08

フーリエ解析・信号処理

嵯峨山 茂樹

東京大学 工学部 計数工学科

<

sagayama@hil.t.u-tokyo.ac.jp

>

http://hil.t.u-tokyo.ac.jp/

_∼

sagayama/enshu2/FourierTrans2006nov.pdf

演習問題

1:

_{奇関数、偶関数、フーリエ展開}

11/15

までに以下の問題を解いて嵯峨山あて

(

ポストあるいは秘書

)

に提出のこと。

なお、図の作成には

gnuplot

などのソフトウェアを用いても良い。また、

x

i

は

x[i]

と表記しても良い。

(1)

x(t) =

          

0,

−π < t ≤ 0

t,

0 < t < π

を偶関数と奇関数との和で表しなさい。

(2)

_{上記の関数の偶関数の}

cos

_{級数展開を求めなさい。}

(3)

_{上記の関数の奇関数の}

sin

_{級数展開を求めなさい。}

(4)

_{上記の関数の指数}

Fourier

_{級数展開を別途求め、上記２問の結果}

との関係を論じなさい。

演習問題

2: Fourier

_展開

11/15

までに以下の問題を解いて嵯峨山あて

(

ポストあるいは秘書

)

に提出のこと。

なお、図の作成には

gnuplot

などのソフトウェアを用いても良い。また、

x

i

は

x[i]

と表記しても良い。

(1)

_{次の信号をフーリエ級数展開しなさい}

:

(2)

_{次の信号をフーリエ級数展開しなさい}

:

(3)

_{上記の２つの問題の間の関係を論じなさい。}

(1)

_{の解答から}

(2)

_の

演習問題

3: Fourier

_変換

11/15

までに以下の問題を解いて嵯峨山あて

(

ポストあるいは秘書

)

に提出のこと。

なお、図の作成には

gnuplot

などのソフトウェアを用いても良い。また、

x

i

は

x[i]

と表記しても良い。

次のフーリエ変換対が成立することを示せ。

(1)

δ(t)

↔ 1

(2)

U (t)

↔ πδ(ω) +

1

jω

(3)

e

−at

2

↔

v u u u u u t

π

a

e

−

ω2

_4a

(4)

∞

X

n=

_−∞

δ(t

− nT ) ↔

2π

T

∞

X

n=

_−∞

δ(ω

−

2π

T

)

演習問題

4:

_{サンプルホールドと直線補間}

11/15

までに以下の問題を解いて嵯峨山あて

(

ポストあるいは秘書

)

に提出のこと。

なお、図の作成には

gnuplot

などのソフトウェアを用いても良い。また、

x

i

は

x[i]

と表記しても良い。

(1)

任意の連続信号

x(t)

(

t

_は時刻

)

に対して、サンプリング定理を満たすような周期

T

でサンプリングして、サンプル値列

_{x

i

}

を得た。ホールドにより信号

x

H

(t)

を、直線補間により信号

x

L

(t)

を得た。

(2)

これらの操作は、いずれもサンプル値列

(

デルタ関数列

)

と、ある線形フィルタ

(

インパルス応答

h

H

(t)

および

h

L

(t)

)

との畳み込みとみなせる。

h

L

(t)

はどのよう

な形状か。式および図で答えなさい。

(3)

元の信号

x(t)

に対して形状が必ずしも一致しないため、複素スペクトル

X(ω))

にも偏差が生じる。その偏差を、振幅と位相に分けて、式と図で答えなさい。

演習問題

5:

_{離散系の畳み込み}

11/15

_{までに以下の問題を解いて嵯峨山あて}

(

_{ポストあるいは秘書}

)

に提出のこと。なお、図の作成には

gnuplot

などのソフトウェア

を用いても良い。また、一般に

x

_i

_は

x[i]

_{と表記しても良い。}

(1)

任意の連続信号

x(t), y(t)

(

t

は時刻

)

を周期

T

でサンプリングしてサンプル値列

を

_{x

i

}

および

{y

i

}

とし、それらの畳み込みを

z

i

とする。それが、連続信号の

畳み込み

z(t) = x(t)

∗ y(t)

を周期

T

でサンプリングしたものと一致するための

条件は何か答えなさい。できるだけ図も併用して、その信号としての意味を論

じる方が望ましい。

(2)

x(t)

と

y(t)

の相互相関関数について同様の考察をしなさい。

(3) Parseval

の定理についても同様の考察をしなさい。

信号空間と直交関数系

信号解析、信号空間

直交展開、直交関数系、関数の最良近似

二値直交関数系

(Rademacher, Haar, Walsh)

*

_信号解析

信号とは

?

情報としての

[

時間の

][

連続値を取る

]

関数

(

_「信号

(signal)

_{」←→ 「記号}

(symbol)

_」

)

信号の例

音声信号

:

x(t)

画像信号

:

I(x, y)

映像信号

:

I(x, y, t)

* 2

_{次元ベクトル}

ベクトルの概念と基本事項

(2

_次元

)

幾何学的意味

: (

_右図

)

ベクトルの成分表示

:

a = (a

₁

, a

₂

)

ベクトルの線形独立性

:

x = c

₁

a + c

₂

b

ベクトル空間

(

_線形空間

)

ベクトルのノルム

:

_{kak =}

s

a

2

₁

+ a

2

₂

≥ 0

O

a

c

b

d

= (a , a )

1 2

ベクトル間の

(Euclid)

_距離

:

d(a, b) =

|a − b| =

v u u t

_(a

1

− b

1

)

2

+ (a

2

− b

2

)

2

ベクトルの内積

:

a

· b = a

₁

b

₁

+ a

₂

b

₂

=

|a · b| cos θ

ベクトルの直交

:

a

· b = 0

, i.e., (

θ =

±π/2

)

ベクトルの射影

(

a, b

_は直交

):

x = c

₁

a + c

₂

b =

(x, a)

a +

(x, b)

b

*

n

_{次元ベクトル空間}

ベクトル

:

v = (v

₁

, v

₂

,

· · · , v

_n

)

ベクトルの線形独立性

:

x = c

₁

u + c

₂

v

ベクトル空間

(

_線形空間

)

ベクトルのノルム

:

_{kvk =}

v u u u u t

n

X

i=1

v

2

i

≥ 0

ベクトル間の

(Euclid)

距離

:

d(u, v) =

ku − vk =

v u u u u t

n

X

i=1

(u

i

− v

i

)

2

ベクトルの内積

:

u

· v =

X

n

i=1

u

i

v

i

ベクトルの直交

:

u

· v = 0

, i.e., (

θ =

±π/2

)

ベクトルの射影

(

v

_i

は直交ベクトル基底

):

x =

X

n

i=1

c

i

v

i

=

n

X

i=1

x

· v

_i

kv

i

k

2

v

_i

*

_{正規直交ベクトル空間}

正規直交基底ベクトル

_{u

_i

_}

:

u

_i

· u

_j

=

          

1,

i = j

0,

i

6= j

任意のベクトル

x

は、

x = c

₁

u

₁

+ c

₂

u

₂

+

· · · + c

_n

u

_n

と表せる。

部分和

(

m

_個

,

m < n

)

_{での最良近似}

x =

m

X

i=1

c

i

u

i

+

ε

とすると誤差のノルム

_k

ε

k

2

が最小になる条件は、

c

_i

=

x

· u

i

ku

i

k

2

*

_{離散信号空間}

–

_{信号をベクトルと捉える}

信号空間の直観的な理解

時刻

t

₁

, t

₂

,

· · · , t

_n

_{における信号}

x(t)

_{の値の系列}

x =

{x(t

₁

), x(t

₂

), x(t

₃

),

· · · , x(t

_n

)

} = {x

₁

, x

₂

, x

₃

,

· · · , x

_n

}

を

n

_{次元ベクトル}

x = (x

₁

, x

₂

, x

₃

,

· · · , x

_n

)

と捉える。

t

1

t

2

t

3

t

n

....

*

_{離散信号空間の性質}

線形独立性

ベクトル空間

(

線形空間

)

信号サンプル値系列ベクトル間の内積

:

(x, y) = x(t

₁

)y(t

₁

) + x(t

₂

)y(t

₂

) +

· · · + x(t

_n

)y(t

_n

) =

X

n

i=1

x(t

i

)y(t

i

)

ベクトルの射影

(

u

_i

は直交ベクトル基底

):

x =

X

n

i=1

c

i

u

i

=

n

X

i=1

(x, u

_i

)

(u

_i

, u

_i

)

u

i

誤差最小の近似

(

_{加算ベクトルの数が次元数より少ない場合}

)

信号サンプル値系列ベクトル間の距離

:

d

2

(x, y) =

X

n

i=1

(x(t

i

)

− y(t

i

))

2

*

_{連続信号空間}

連続信号の場合

(Cf. Riemann

_積分

)

線形独立

信号空間

(

_無限次元

) — Hilbert

_空間

信号間の内積

:

(x(t), y(t)) =

Z

_t

t

₁

2

x(t)y(t)dt

Cf.

_{重みつき内積}

(

_重み

f (t) > 0

)

(x(t), y(t)) =

Z

_t

t

2

1

x(t) y(t) f (t)dt

=

Z

_t

t

₁

2

x(t) y(t) dF (t)

(Stieltjes

_積分

)

信号間のユークリッド距離

:

d

2

(x(t), y(t)) =

Z

_t

t

2

1

(x(t)

− y(t))

2

_dt

*

_{連続信号の直交展開}

信号の直交展開

(

u

_i

(t)

_{は直交基底}

):

x(t)

=

?

∞

X

i=1

c

i

u

i

(t) =

n

X

i=1

(x(t), u

_i

(t))

(u

_i

(t), u

_i

(t))

u

i

(t)

誤差最小の近似

(

加算ベクトルの数が次元数より少ない場合

)

任意の関数が展開可能なら、

_{u

_i

(t)

}

_は完全

(complete,

_完備

)

_系。

Cf. Hilbert

_空間

David Hibert:

_無限次元

Euclid

_空間

(1990)

_。

F. Riesz:

L

₂

_空間。

*

_{直交関数系}

1/2

(

_{岩波数学辞典第}

2

_版から

)

直交

:

区間

(a, b)

で

L

₂

に属する複素関数値関数

f (x), g(x)

に対し

て、内積

(f, g) =

R

_a

b

f (x) ¯

g(x)dx

_、ノルム

kfk = (f, f)

1/2

_を定義す

る。

(f, g) = 0

_のとき、

f, g

_{はこの区間で直交するという。}

(

_積分は

Lebesgue

_{積分とする。}

)

正規直交

:

kfk = 1

のとき、

f

_{は正規化されているという。}

直交関数系

_{f

_i

(x)

}

:

_区間

(a, b)

_{で定義された関数系}

{f

_n

(x)

}

_のど

の

2

_{つの関数も互いに直交しているとき、この系を直交系}

(orthog-onal system)

_といい、

_{f

_n

_{} ∈}

O

(a, b)

_と書く。

正規直交関数系

:

_{特にすべての}

f

_n

(x)

_{が正規化されているとき正}

規直交系

(orthonormal system,

略して

ON

系

)

といい、

_{f

n

} ∈

*

_{直交関数系}

2/2

(

_{岩波数学辞典第}

2

_版から

)

閉じた直交関数系

:

一般に、

R

を区間

(a, b)

の上の関数の族でノル

ムが定義されているものとし、

_{f

n

}

が

(a, b)

の上の関数の一次独

立な系であって、

R

_{の任意の関数が}

{f

_n

}

_{の中の有限個の関数の一}

次結合でノルムの意味で任意に近似できるとき

_{f

n

}

は閉じてい

る

(closed)

_という。

完備な正規直交関数系

:

_また、

R

_が

(a, b)

_の上の

L

₂

_{に属する関数の}

或る族で

_{f

n

} ∈

O

(a, b)

のとき、すべての

n

について

(ϕ, f

n

) = 0

なる

ϕ(x)

∈ R

_{はほとんど至るところ}

0

_{であるならば直交系}

{f

_n

}

は

R

_{において完備}

(complete)

_{であるという。}

(

_この

R

_{ではじめに}

述べた

L

₂

_{のノルムを考えた場合は、直交系}

{f

_n

}

_{が閉じているこ}

とと完備であることとは同等である。

)

*

_{関数の最良近似}

1/2

関数

f (t)

_{を直交関数基底}

v

_i

(t)

_{の線形結合として近似できるか}

?

f (t) = c

₁

v

₁

(t) + c

₂

v

₂

(t) +

· · · + c

_N

v

_N

(t) + e(t) =

N

X

n=1

c

i

v

i

(t) + e(t)

近似誤差関数のノルムは

ε =

Z

_t

t

₁

2

e

2

(t)dt =

Z

_t

t

₁

2

      

f (t)

−

N

_X

n=1

c

i

v

i

(t)

      

2

dt

関数

_{v

_i

_}

は互いに直交しているから

ε =

Z

_t

t

2

1

f

2

_(t)dt

− 2

N

X

i=1

c

i

Z

t

₂

t

₁

f (t)v

i

(t)dt +

N

_X

i=1

c

2

i

Z

t

₂

t

₁

v

i

2

(t)dt

*

関数の最良近似

2/2

近似誤差関数のノルム

ε

_{を最小にするような係数}

{c

_i

}

_は

?

∂ε

∂c

_i

=

−2

Z

t

₂

t

₁

f (t)v

i

(t)dt + 2c

i

Z

t

₂

t

₁

v

i

2

(t)dt = 0

と置いて

c

_i

=

Z

t

₂

t

₁

f (t)v

i

(t)dt

Z

t

₂

t

₁

v

i

2

(t)dt

=

(f, v

i

)

(v

_i

, v

_i

)

近似誤差のノルム

ε

≥ 0

_{の最小値は}

?

min ε =

Z

_t

t

2

1

f

2

_(t)dt

−

N

X

i=1

c

2

i

Z

t

₂

t

₁

v

i

2

(t)dt

≥ 0

Bessel

_の不等式

Z

t

₂

t

₁

f

2

(t)dt

≥

N

_X

i=1

c

2

i

Z

t

₂

t

₁

v

i

2

(t)dt

{v

i

}

が完全ならば、

N

→ ∞

で等号が成り立ち、

Parseval

の等式

Z

_t

₂

f

2

(t)dt =

∞

X

c

2

Z

t

2

v

2

(t)dt

*

_{二値直交関数系}

: Rademacher

_関数系

(1922)

Hans Rademacher

(Born: 3 April 1892 in Wandsbeck, Schleswig-Holstein, Germany;

Died: 7 Feb 1969 in Haverford, Pennsylvania, USA)

Rademacher

_関数系

(1922):

区間

(0, 1)

で直交関数系

–

完全ではない

r

_n

(t) =

sign

(sin 2

n

πx),

sign

(t) =

                    

+1,

t > 0

0,

t = 0

−1,

t < 0

r

₁

(t)

r

₂

(t)

r

₃

(t)

r

₄

(t)

r

₅

(t)

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

*

_{二値直交関数系}

: Haar

_関数系

(1910)

Alfr ´ed Haar

( Born: 11 Oct 1885 in Budapest,

Hungary; Died: 16 March 1933 in Szeged, Hungary)

Haar

関数系

(1910):

区間

(0, 1)

_で直

交関数系

χ

(0)

₀

(t) = 1,

χ

(k)

_n

(t) =

                                  

√

2

n

,

k

₂

−1

n

< t <

k

−1/2

₂

n

−

√

2

n

,

k

−1/2

₂

n

< t <

₂

k

n

0,

l

−1

₂

n

< t <

₂

l

n

,

l

6= k, 1 ≤ l ≤ 2

n

1

≤ k ≤ 2

n

,

n

≥ 0, integer.

最も早く発表された方形波形の直交

関数系

χ

(0)

₀

(t)

χ

(1)

₀

(t)

χ

(1)

₁

(t)

χ

(2)

₁

(t)

χ

(1)

₂

(t)

χ

(2)

₂

(t)

χ

(3)

₂

(t)

χ

(4)

₂

(t)

1 -1 1 -1 2 -2 2 - 2 - 2 2 2 -2 2 -2 2 -2

*

二値直交関数系

: Walsh

関数系

(1923)

Walsh

関数系

(1923):

区間

(0, 1)

で完全直交関数系

Paley (1932)

_{による定義}

: (

r

_k

(t)

_は

Rademacher

_関数

)

n =

m

X

−1

k=0

n

k

· 2

k

₍

_n

_の

₂

_進数表示

₎

w

_n

(t) =

m

Y

−1

k=0

(r

k+1

(t))

n

_k

さまざまな順序定義

: Walsh

_順序、

Paley

_順序、

Hadamard

_順序

w

0

(t) =

wal

(0, t) =

cal

(0, t)

w

1

(t) =

wal

(1, t) =

sal

(1, t)

w

2

(t) =

wal

(3, t) =

sal

(2, t)

w

3

(t) =

wal

(2, t) =

cal

(1, t)

w

4

(t) =

wal

(7, t) =

sal

(4, t)

w

5

(t) =

wal

(6, t) =

cal

(3, t)

w

6

(t) =

wal

(4, t) =

cal

(2, t)

w

7

(t) =

wal

(5, t) =

sal

(3, t)

1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

* Gram-Schmidt

_{の直交化法}

一次独立な関数系

_{f

_i

(x)

}

から、正規直交系

_{φ

_i

(x)

}

を作る手順。

φ

₁

(x) = ψ

₁

(x)/

kψ

₁

(x)

k, ψ

₁

(x) = f

₁

(x)

φ

₂

(x) = ψ

₂

(x)/

kψ

₂

(x)

k, ψ

₂

(x) = f

₂

(x)

− (f

₂

, φ

₁

)φ

₁

(x)

φ

₃

(x) = ψ

₃

(x)/

kψ

₃

(x)

k, ψ

₃

(x) = f

₃

(x)

− (f

₃

, φ

₁

)φ

₁

(x)

· · · ·

− (f

3

, φ

2

)φ

2

(x)

φ

_n

(x) = ψ

_n

(x)/

kψ

_n

(x)

k, ψ

_n

(x) = f

_n

(x)

−

n

X

−1

i=1

(f

n

, φ

i

)φ

i

(x)

冪関数列

_{{1, x, x}

2

, x

3

, x

4

,

· · ·}

_から

Gram-Schmidt

_{の直交化法で}

直交関数系を構成する。

区間

(

−1, 1)

_{で重み関数なし。→}

Legendre

直交多項式系

区間

(0,

∞)

_{で重み関数}

e

−x

_。→

Laguerre

_{直交多項式系}

参考

:

z = e

jω

_{の冪関数列}

{1, z, z

2

, z

3

, z

4

,

· · ·}

_{から、音声スペクト}

ルを重みとして

Gram-Schmidt

_{の直交化法で直交関数系を構成}

* Legendre

直交多項式

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

P(x)

x

Legendre Prthogonal Polynomials

Legendre0(x) Legendre1(x) Legendre2(x) Legendre3(x) Legendre4(x) Legendre5(x)

Legendre

_多項式

Z

₋₁

1

P

_m

(x)P

_n

(x)dx =

          

0,

m

6= n

2

2n+1

,

m = n

P

₀

(x) = 1, P

₁

(x) = x, P

₂

(x) = (3x

2

− 1)/2, P

₃

(x) = (5x

3

− 3x)/2,

P

₄

(x) = (35x

4

− 30x

2

+ 3)/8, P

₅

(x) = (63x

5

− 70x

3

+ 15x)/8,

· · ·

*

_{代表的な直交多項式}

名称

記号

区間

重み

Legendre

_多項式

P

_n

(x)

(

−1, +1)

1

陪

Legendre

多項式

P

_n

m

(x)

(

−1, +1)

1

Gegenbauer

_多項式

C

_n

ν

(x)

(

−1, +1)

(1

− x

2

)

ν

−

1

2

Tchebycheff

_多項式

T

_n

(x)

(

−1, +1)

(1

− x

2

)

−

1

2

Hermite

_多項式

H

_n

(x)

(

−∞, ∞)

e

−

x2

2

Jacobi

_多項式

G

_n

(α, γ; x)

(0, 1)

x

γ

−1

(1

− x)

α

−γ

Laguerre

多項式

L

(α)

_n

(x)

(0,

∞)

e

−x

x

α

Z

_b

a

f

m

(x)f

n

(x)w(x)dx

          

= 0,

m

6= n

> 0,

m = n

音声スペクトル

-8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000 0.415 0.42 0.425 0.43 0.435 0.44 0.445

Amplitude

time (sec)

(a)

男声「こしらえる」中の

/i/

の音声波形

(

高域強調処理前

)

と

Hamming

窓

-40 -30 -20 -10 0 10 20 0 1 2 3 4 5 6

Spectrum Density (dB)

frequency (kHz)

(b)

音声の対数スペクトル

(

細かい凹凸曲線

)

と線形予測分析

(LPC)

によるスペクトル包絡

(

滑らかな曲線

)

*

_{音声スペクトルを重みとした直交多項式}

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0 1 2 3 4 5 6

Spectrum Density (linear)

frequency (kHz)

(c)

線形軸のスペクトル

(

細かい凹凸曲線

)

、

CSM

直交多項式の値、および

CSM

周波数

(

縦線

)

-40 -30 -20 -10 0 10 20 0 1 2 3 4 5 6

Spectrum Density (dB)

frequency (kHz)

(d) CSM

周波数と強度

(dB)(

縦線

)

、すなわち直交多項式の零点と

Christoffel

数

および

LPC

推定による音声スペクトル包絡

(

曲線

)

*

_{直交関数と通信の話題から}

CDMA/One

_方式

: Walsh

_{関数によるスペクトル拡散}

実験計画法

:

直交計画

フーリエ解析

音声分析理論

[

_{嵯峨山・板倉}

1980]

音声スペクトルを重みとする直交多項式の理論

LPC(

_線形予測

)

_分析は

z

_{の直交多項式の係数を求めること}

PARCOR

分析は

z

の直交多項式の漸化式係数を求めること

LSP

_分析は

x = cos ω

_{の直交多項式の零点を求めること}

→

TwinVQ

_{方式、携帯電話の音声符号化}

フーリエ展開

三角関数による直交系

フーリエ級数、フーリエ展開

複素フーリエ級数、フーリエスペクトル

——————————————————————————

Jean Baptiste Fourier

数学者物語

: Fourier

Jean Baptiste Joseph Fourier ( Born: 21 March 1768 in Auxerre, Bourgogne, France;

Died: 16 May 1830 in Paris, France)

裁縫職人の

9

番目の子。

8

才で孤児。学才を買われ、

Auxerre

王立軍学校へ。

14

才で

B ´ezout

の数学をマスター。

19

才で修道院へ。

22

才で、

Auxerre

王立軍学校の教師。数学と宗教のど

ちらを取るか悩む。

1793

年、地域の革命委員会に参加。抜けられずに悩む。ある派閥を擁護して逮捕され、あわ

やギロチン。ロベスピエールが処刑されて、フーリエは自由になる。

26

才でエコール・ノルマル

(

ナボレオンが

1795

年設立

)

に進み、

Lagrange

と

Laplace

に学

ぶ。

1795

年、エコール・ポリテクニクで教える。

1797

年、

Lagrange

の後任。

1798

年、ナポレオンのエジプト遠征に科学顧問として参加。文化工作に貢献。ナポレオン帰

国後、

Is `ere

県の長官に指名された。熱伝導研究は

Grenoble

でのこと。

Fourier

級数の最初の論文は、

1807

年

12

月

21

日、

Lagrange, Laplace, Monge, Lacroix

ら

により審査されたが、評価されなかった。王への忠誠を説いたが、ナポレオンがエルバ島脱

出時、ナポレオンを恐れてグルノーブル脱出。のち中立的立場を説明して、ローヌ県の長官

の指名を受けるが、結局辞職。

*

_{余談：数学者たち}

Marc-Antoine Parseval des Ch ˆenes (27 Apr 1755 in Rosi `eres-aux-Saline, France —

16 Aug 1836 Paris)

王党派で体制に反対する詩を出版したため、ナポレオンが逮捕を命じた

ので、フランスを脱出。論文

5

件、

2

番めが有名な

Parseval

の定理。

Hans Rademacher (Born: 3 April 1892 in Wandsbeck, Schleswig-Holstein, Germany;

Died: 7 Feb 1969 in Haverford, Pennsylvania, USA)

Alfr ´ed Haar ( Born: 11 Oct 1885 in Budapest, Hungary; Died: 16 March 1933 in

Szeged, Hungary)

Jacques Salomon Hadamard ( Born: 8 Dec 1865 in Versailles, France; Died: 17 Oct

1963 in Paris, France)

Raymond Edward Alan Christopher Paley ( Born: 7 Jan 1907 in England; Died: 7

April 1933 in Banff, Alberta, Canada )

Adrien-Marie Legendre (Born: 18 Sept 1752 in Paris, France; Died: 10 Jan 1833 in

Paris, France)

Edmond Nicolas Laguerre (Born: 9 April 1834 in Bar-le-Duc, France; Died: 14 Aug

1886 in Bar-le-Duc, France)

Pafnuty Lvovich Chebyshev (Born: 16 May 1821 in Okatovo, Russia; Died: 8 Dec

1894 in St Petersburg, Russia)

*

_{余談：数学者たちの名前}

Laplace - la place

_{場所、所、職、席次、広場、市場、要塞}

Lagrange - la grange

納屋、穀物庫

Legendre - le gendre

_婿

Laguerre - la guerre

_{戦争、戦法、陸軍省}

Rademacher - Rad

_{輪、車輪、水車}

; Rade

_{ムギナデシコ}

Haar - Haar

_{毛、毛髪、繊維}

三角関数による直交系

1/2

余弦関数

:

_{{cos kΩt}}

—

_{直交関数系}

(

_{完全ではない}

)

e.g.,

奇関数を表せない

正弦関数

:

_{{sin kΩt}}

—

_{直交関数系}

(

_{完全ではない}

)

e.g.,

_{偶関数を表せない}

三角関数系

:

_{{1, cos Ωt, sin Ωt, cos 2Ωt, sin 2Ωt, · · ·}}

—

_{完全直交関}

数系

-1 -0.5 0 0.5 1 -3 -2 -1 0 1 2 3

Function

Time Trigonometric Functions 0 1 cos(t) sin(t) cos(2*t) sin(2*t) cos(3*t) sin(3*t) cos(4*t) sin(4*t)

三角関数による直交系

2/2

関数

f (t)

_の区間

(t

₀

, t

₀

+ T )

_{での三角関数系による展開}

(

_いわゆる

フーリエ級数展開

)

Ω = 2π/T

_とすると

(

注意

:

記号は同じだが特性周波数ではない

)

f (t) = a

₀

+

∞

X

k=1

(a

k

cos kΩt + b

k

sin kΩt),

t

0

< t < t

0

+ T

と書けて、直交展開係数は以下のように求められる。

a

_k

=

Z

t

₀

+2π/Ω

t

₀

f (t) cos kΩtdt

Z

t

₀

+2π/Ω

t

₀

cos

2

kΩtdt

=

2

T

Z

t

₀

+T

t

₀

f (t) cos kΩtdt

b

_k

=

Z

t

₀

+2π/Ω

t

₀

f (t) sin kΩtdt

Z

t

₀

+2π/Ω

t

₀

sin

2

kΩtdt

=

2

T

Z

t

₀

+T

t

₀

f (t) sin kΩtdt

三角級数の位相と振幅

–

cos

_と

sin

_{をまとめて、位相・振幅で表現}

f (t) =

∞

X

k=0

c

k

cos(kΩt + φ

k

)

v u

−1

偶関数と奇関数

任意の関数は、偶関数と奇関数の和で表せる。

f (t) =

f (t)

+f (

−t)

+ f (t)

−f(−t)

2

=

f (t) + f (

−t)

2

| {z }

偶関数

f

e

(t)

+

f (t)

− f(−t)

2

| {z }

奇関数

f

o

(t)

偶関数

f

_e

(t) = f

_e

(

−t)

_、奇関数

f

_o

(t) =

−f

_o

(

−t)

_。

例題：

x(t) =

          

0,

t < 0

t,

t

≥ 0

を偶関数と奇関数との和で表せ。

演習問題：偶関数と奇関数

1.

f (x) = x

3

+ 5x

2

− 2x

2

+ x

− 7

_を奇関数

f

_o

(x)

_と偶関数

f

_e

(x)

_の和

f (x) = f

_o

(x) + f

_e

(x)

に分けなさい。

2.

g(x) = 3 sin(x

−

π

₄

)

_を奇関数

g

_o

(x)

_と偶関数

g

_e

(x)

_の和

g(x) = g

_o

(x)+

g

_e

(x)

_{に分けなさい。}

3.

h(x) = e

−(x−1)

2

_を奇関数

h

_o

(x)

_と偶関数

h

_e

(x)

_の和

h(x) = h

_o

(x) +

h

_e

(x)

_{に分けなさい。}

偶関数と奇関数のフーリエ級数

関数

f (t)

_の区間

(

−T/2, T/2)

_{でのフーリエ級数展開}

(

Ω = 2π/T

)

f (t) = a

₀

+

∞

X

k=1

(a

k

cos kΩt + b

k

sin kΩt)

関数

f (t)

_が偶関数

:

f (t) = f (

−t)

_{→ フーリエ余弦}

(cos)

_級数

a

_k

= =

2

T

Z

T /2

−T/2

f (t) cos kΩtdt =

4

T

Z

T /2

0

f (t) cos kΩtdt

b

_k

= 0

関数

f (t)

_が奇関数

:

f (t) =

−f(−t)

_{→ フーリエ正弦}

(sin)

_級数

a

_k

= 0

b

_k

= =

2

T

Z

T /2

−T/2

f (t) sin kΩtdt =

4

T

Z

T /2

−T/2

f (t) sin kΩtdt

複素

(

_指数

)

_{フーリエ級数と負の周波数の概念}

Euler

_の公式

:

e

jΩt

= cos Ωt + j sin Ωt

_から、

cos Ωt =

e

jΩt

_{+ e}

−jΩt

2

,

sin Ωt =

e

jΩt

− e

−jΩt

2j

より、

f (t) = a

₀

+

∞

X

k=1

(a

k

cos Ωt + b

k

sin Ωt)

= a

₀

+

1

2

∞

X

k=1

{(a

k

− jb

k

)e

jkΩt

_{+ (a}

k

+ jb

k

)e

−jkΩt

}

                    

c

₀

= a

₀

c

_k

= (a

_k

− jb

_k

)/2

c

_−k

= (a

_k

+ jb

_k

)/2

                    

とおけば、

(

_{→ 重要}

:

_{負の周波数の概念！}

)

f (t) =

∞

X

k=

−∞

c

k

e

jkΩt

c

=

1

Z

T

2

_{f (t)e}

−jkΩt

_dt

偶関数と奇関数の複素フーリエ級数

f (t) =

∞

X

k=

−∞

c

k

e

jkΩt

において

f (t)

_{が実関数ならば、}

< c

k

=

< c

−k

= c

k

=

−= c

−k

実関数

f (t)

_が偶関数

(

f (t) = f (

−t)

)

_ならば、

c

_n

_{は全て実数}

実関数

f (t)

_が奇関数

(

f (t) =

−f(−t)

)

ならば、

c

_n

_{は全て虚数}

演習：矩形波の

Fourier

_展開

-1 -0.5 0 0.5 1 -4 -2 0 2 4

Amplitude

Time * omega

Gibbs Phenomenon (Fourier approximation of a rectangular function)

PartialFourier1(t) PartialFourier3(t) PartialFourier7(t) PartialFourier23(t) PartialFourier101(t)

f (t) =

                    

1

(t

≥ 0 ≥ π)

0

(t = 0, t =

±π)

−1 (−π ≥ t ≥ 0)

矩形波の

Fourier

_展開

-1 -0.5 0 0.5 1 -4 -2 0 2 4

Amplitude

Time * omega

Gibbs Phenomenon (Fourier approximation of a rectangular function)

PartialFourier1(t) PartialFourier3(t) PartialFourier7(t) PartialFourier23(t) PartialFourier101(t)

c

_k

=

1

2π

Z

_π

−π

sgn t

· (−j) sin ktdt

=

−2j

2π

Z

_π

0

sin ktdt =

j

π

[cos kt/k]

π

0

=

          

0

(k =

_偶数

)

−

2j

_k

(k =

_奇数

)

→ 矩形波は奇数倍音のみ

Gibbs

_の現象

-1 -0.5 0 0.5 1 -4 -2 0 2 4

Amplitude

Time * omega

Gibbs Phenomenon (Fourier approximation of a rectangular function)

PartialFourier1(t) PartialFourier3(t) PartialFourier7(t) PartialFourier23(t) PartialFourier101(t)

不連続関数のフーリエ級数近似

(

_部分和

)

_{で、不連続点で}

1.17897975

倍

(Gibbs

の定数

=

_π

2

Si π

)

のオーバーシュート。

(

不連続幅の

9%

近

*

_「

Gibbs

_{の現象」物語}

級数が収束するならば、部分和で十分良い近似が得られる、と考えるのが工学

的なセンス。ところが！

不連続関数のフーリエ級数近似

(

つまり、級数の部分和

)

で、不連続点で

1.17897975

倍

(Gibbs

の定数

=

_π

2

Siπ

)

のオーバーシュート。

(

不連続幅の

9%

近い誤差

)

1898

年、

Michelson + Stratton :

調和解析機製作。任意の関数に対して

80

次

までのフーリエ成分を計算。方形波の分析・合成で奇妙な現象を発見。

Gibbs

に相談。

Josiah Willard Gibbs (1839–1903)

、

「不連続点近くでフーリエ級数が一様収

束しないから」と解明して

Nature

に発表。

J. W. Gibbs: Fourier’s series,

Nature, Vol. 59, No. 200, pp. 606-, 1898–99.

後に、ボーシェ

(1906)

がより厳密に現象解明したとき「ギブス現象」と呼んだ。

すでに

1848

年、ウィルブラハムが同じ現象の説明。

1874

年、デュ・ボア・レ

*

_{ディリクレ}

(Dirichlet)

_核

周期

2π

_の関数

f (t)

_{のフーリエ級数の部分和は、}

f

_n

(t) =

X

n

k=

−n

c

k

e

−jΩt

₌

1

2π

n

X

k=

−n

e

−jkt

Z

_π

−π

f (t)e

jkτ

dτ

=

1

2π

Z

_π

−π

n

X

k=

_−n

e

jk(τ

_−t)

_{f (τ )e}

jkτ

_{dτ =}

1

2π

Z

_π

−π

n

X

k=

_−n

e

jk(τ

_−t)

_{f (τ )dτ}

=

Z

_−π

π

D

_n

(τ

− t)f(τ)dτ

ただし

D

_n

(t)

は、

Dirichlet

核

:

D

_n

(t) =

1

2π

sin(n +

1

₂

)t

sin

1

₂

t

*

_{ディリクレ}

(Dirichlet)

_核

(

_続き

)

つまり、フーリエ級数の最初の

n

_{項の和は、元の関数と}

Dirichlet

核

D

_n

(t)

の畳み込みである

!

→ 下のようなインパルス応答の線形系に入力したときの出力

→ 不連続点付近で激しいリンギング →

Gibbs

_現象

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -3 -2 -1 0 1 2 3

function

t DirichletKernel(t,1) DirichletKernel(t,2) DirichletKernel(t,3) DirichletKernel(t,5) DirichletKernel(t,10) DirichletKernel(t,20)

*

_{フーリエ級数の収束性}

: Dirichlet

_の条件

ディリクレ

(Dirichlet

_の条件

) —

_収束条件

(Hsu p. 18)

関数

f (t)

_{が一周期において}

(1)

_{区分的に連続}

:

•

不連続点は有限個。

•

不連続点

t

₀

_で

lim

e

_→0

f (t

0

+ e), lim

e

_→0

f (t

0

− e)

が存在して有限の値

を取る。

(2)

_{区分的に滑らか}

:

•

区分的に連続な関数

f (t)

_の導関数

f

0

(t))

_{が区分的に連続。}

f

0

(t)

_{は区分内で連続、かつ不連続点で}

f

0

(t

₀

+ 0), f

0

(t

₀

− 0)

_が

存在して有限。

* Fourier

級数の収束条件は、いろいろな表現の仕方があるが、

Dirichlet

の

条件が最も簡潔

関数

f (t)

_{が一周期において絶対積分可能である。}

Z

T /2

*

_{フーリエ級数の収束性}

リポー・フェイェール

(Lip ´

ot - Fej ´er)

_の定理

関数

f (t)

が区間

_{−π < t < π}

で定義されており、絶対積分可能で、

区間内各点

t

_で

f (t

−)

_、

f (t+)

_{が存在すれば、フーリエ級数}

(

_部分

和の相加平均

)

_は

1

2

{f(t−) + f(t+)}

に収束する。特に、点

t

で連続ならば、

f (t)

に収束。

演習

:

_{鋸波のフーリエ級数展開}

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 0 1 2 3

function

t

Fourier Expansion of a Saw Waveform

SawWave(t) Fourier1(t) Fourier3(t) Fourier10(t)

鋸波のフーリエ級数展開

(

_例題

)

2π

_{を周期とする鋸波波}

:

_{→ 奇関数}

f (t) = t

(

−π < t < π),

f (t + 2π) = f (t)

Fourier

_{級数展開係数}

(

k

6= 0

):

c

_k

=

1

2π

Z

_π

−π

te

−jkt

dt

これを、

d

dt

[te

−jkt

_{] = e}

−jkt

_{− jkte}

−jkt

_{を用いて部分積分すると、}

c

k

=

1

−2jkπ

   

te

−jkt

−

1

−jk

e

−jkt

   

π

−π

=

1

−2jkπ

· 2π(−1)

k

=

(

−1)

k

_j

k

(

純虚数

)

従って、フーリエ級数は、

f (t) =

∞

X

k=

_−∞

(

₋₁₎

k

j

k

e

−jkt

_{= 2}

∞

X

k=1

(

₋₁₎

k

−1

k

sin kt

= 2(sin t

−

sin 2t

2

+

sin 3t

3

−

sin 4t

4

+

· · ·)

注

:

_{このケースは、直接}

sin

_{展開する方が計算が易しい。奇関数で}

あるから

sin

_{のみの級数になる。}

鋸波のフーリエ級数展開

(

_図解

)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 0 1 2 3

function

t

Fourier Expansion of a Saw Waveform

SawWave(t) Fourier1(t) Fourier3(t) Fourier10(t)

f (t) =

∞

X

k=

_−∞

(

−1)

k

−1

jk

e

jkt

_{= 2}

∞

X

k=1

(

−1)

k

−1

k

sin kt

(

奇関数だから

)

= 2(sin t

−

sin 2t

2

+

sin 3t

3

−

sin 4t

4

+

sin 5t

5

− · · ·)

→ 「鋸波は、周波数に反比例した振幅の整数倍音を持つ。」

(

_音響学

鋸波のフーリエスペクトル

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Imaginary part of coefficient

k (Fourier coefficient number) Fourier Coefficients of a Saw Waveform

SawWaveSpectrum(omega)

鋸波の

(

_複素

)

_{フーリエ係数列}

(

_実数部

=0,

_虚数部

=

(

−1)

k

−1

/k

)

スペクトル

:

_{フーリエ級数}

f (t) =

∞

X

k=

−∞

c

k

e

jkΩt

は、

(

_角

)

_周波数

kΩ

_{の整数倍で、周波数成分}

c

_k

_を持つ。

複素スペクトル、正・負の周波数

フーリエ変換

フーリエ積分定理、フーリエ変換・逆変換

フーリエ変換の性質、畳み込み定理