Dirac のデルタ関数 ( 単位インパルス関数 ) - : /5 ( ) gnuplot x i x[i] () x(t) =, π < t t, < t

* デルタ関数に収束するさまざまな数列

いろいろな数列の極限がデルタ関数。→ いろいろ応用できる。

面積

1

のまま、幅を

0

に。

Gaussian

_{パルスの極限}

δ(t) = lim

τ → 0

1 τ e ⁻ ^πt

2 τ 2

三角パルスの極限

δ (t) =











τ lim → 0

1 τ







1 − | t | τ







, | t | ≤ τ 0, | t | > τ

指数パルスの極限

δ (t) = lim

τ → 0

1 2τ e ^| ^τ ^t ^|

標本化関数

(sinc

関数

)

の極限

δ (t) = lim

k →∞

sin(kt)

πt = lim

k →∞

k

π sinc(kt) 2

_{乗標本化関数}

(sinc ²

_関数

)

_の極限

δ (t) = lim

k →∞

k π

sin ² (t)

t ² = lim

k →∞

k

π sinc ² (t)

デルタ関数を含むフーリエ変換 (1/3)

デルタ関数のフーリエ変換

F [ δ (t) ] =

_−∞ ^∞ e ⁻ ^jωt δ (t)dt = 1

定数

A(

つまり直流

)

のフーリエ変換

矩形パルス関数

: R _τ (t) = 1 (τ < 1/2) or 0 (τ > 1/2)

_{を用いて、}

F [ A ] = lim _τ _→∞ F [ A · R _τ (t) ] = lim _τ _→∞ Aτ · sinc





ωτ 2





= 2πA _τ lim

→∞

τ /2

π · sinc





ωτ 2





= 2πAδ (ω) signum

_関数

: sgn(t) =









1, t > 0

− 1, t < 0

^{のフーリエ変換}

F [ sgn(t) ] = 2

jω

(

導出

) Heaviside

の単位ステップ関数を用いて、

sgn(t) = 2 · u(t) − 1 = lim

a → 0

e ⁻ ^at (1)(t) − e ^at (1)( − t)

^¸

と書けるから、

∞ − at − jωt

0 − at − jωt



− 2jω

^

2 デルタ関数を含むフーリエ変換 (2/3)

Heaviside

_関数

(

_{単位ステップ関数}

) u(t)

_{のフーリエ変換}

u(t) = 1

2 { 1 + sgn(t) } = 1

2 {F [ 1 ] + F [ sgn(t) ] }

により、

F [ u(1) ] = πδ (ω) + 1 jω cos(Ωt), sin(Ωt)

_{のフーリエ変換}

F [ cos(Ωt) ] = π[δ(ω − Ω) + δ (ω + Ω)]

F [ sin(Ωt) ] = − jπ [δ(ω − Ω) − δ (ω + Ω)]

(

_導出

)

F [ cos(Ωt) ] = lim

_τ

→∞

Z τ /2

−τ /2

e

⁻^j(ω⁻^Ω)t

+ e

⁻^j(ω+Ω)t

2 dt

= lim

τ→∞





e

⁻^j(ω⁻^Ω)t

− 2j(ω − Ω) + e

⁻^j(ω+Ω)t

− 2j(ω + Ω)



 τ /2

−τ /2

= lim

τ→∞





sin(ω − Ω)τ /2

(ω − Ω) + sin(ω + Ω)τ /2 (ω + Ω)





=

_τ

lim

→∞

τ 2





sin(ω − Ω)τ /2

(ω − Ω)τ /2 + sin(ω + Ω)τ /2 (ω + Ω)τ /2





= lim

_τ

→∞





τ 2 sinc





(ω − Ω)τ 2





+ τ 2 sinc





(ω + Ω)τ 2









デルタ関数を含むフーリエ変換 (3/3)

e ^jΩt ( −∞ < t < ∞ )

_{のフーリエ変換}

F

^^

e ^jΩt





= 2πδ (ω − Ω)

(

導出

) = F [ cos(Ωt) + j sin(Ωt) ]

= π [δ(ω − Ω) + δ(ω + Ω) − δ(ω + Ω) + δ(ω − Ω)]

周期関数

f (t)

_{のフーリエ変換}

周期関数はフーリエ級数

(

_係数を

F _k

_とする

)

_{で表現できるから、}

f (t) = ^∞

k= −∞ F _k e ^jkΩt

と書くと、

F [ f (t) ] = ^∞

k= −∞ F _k F

^^

e ^jkΩt





= 2π ^∞

k= −∞ F _k δ (ω − k Ω)

演習 : インパルス列のフーリエ変換

単位インパルス関数

(

_{デルタ関数}

) δ (t)

_を周期

T

_{で並べた関数}

: δ _T (t) = ^∞

k= −∞ δ(t − kT )

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 1 2 3 4 5

Time Sampling of a Signal

Sampling(t)

最重要インパルス列のフーリエ変換

単位インパルス関数

(

_{デルタ関数}

) δ (t)

_を周期

T

_{で並べた関数}

: δ _T (t) = ^∞

k= −∞ δ(t − kT )

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 1 2 3 4 5

Time Sampling of a Signal

Sampling(t)

Ω = 2π/T

とすると、フーリエ級数は、

δ _T (t) = ^∞

k= −∞ c _k e ^jkΩt , c _k = 1 T

T /2

− T /2 δ _T (t)e ⁻ ^jkΩt dt = 1 T

だから、

F [ δ _T (t) ] =

₋ ^{T /2} _{T /2}







∞

k= −∞

1 T e ^jkΩt







e ⁻ ^jωt dt = 1 T

∞

k= −∞

T /2

− T /2 e ⁻ ^j(ω ⁻ ^kΩ)t dt

= 1 T

∞

k= −∞ F [ 1 ] (ω − kΩ) = 1 T

∞

k= −∞ 2πδ(ω − kΩ) = Ω ^∞

k= −∞ δ (ω − kΩ)

= Ωδ _Ω (ω)

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-40 -20 0 20 40

Frequency Signal Spectrum Sampling

Sampling(omega)

「インパルス列のフーリエ変換はインパルス列」

重要なフーリエ変換 ( 定常信号、時間対称信号 )

t(

時間

)

領域表現

ω(

周波数

)

領域表現意味

δ(t) 1 Dirac

のデルタ関数

1 2πδ(ω)

_直流

| t | − 2

ω ²

cos Ωt π[δ (ω − Ω) + δ (ω + Ω)]

_余弦波

sin Ωt − jπ [δ (ω − Ω) − δ (ω + Ω)]

_正弦波

W

2π sinc W 2 t









1, | ω | < W/2

0, | ω | > W/2 sinc

_関数

重要なフーリエ変換 (t > 0 _{のみの信号} )

t(

時間

)

領域表現

ω(

周波数

)

領域表現意味









1, | t | < τ /2

0, | t | > τ /2 τ sinc τ

2 ω

_{矩形パルス}









1 − ^| _τ ^t ^| , | t | < τ

0, | t | > τ τ sinc ² τ

2 ω

^{三角パルス}

( =

矩形パルス同士の畳み込み

)

e ⁻ ^a ^| ^t ^| 2a

a ² + ω ²

^{両側指数減衰}

e ⁻ ^t

2 2σ 2 σ √

2πe ⁻ ^σ

2 ω 2

2

ガウス関数

δ _T (t) Ωδ _Ω (ω) (Ω = 2π

T )

_{周期的インパルス列}

重要なフーリエ変換 (t > 0 _{のみの信号} )

t(

時間

)

領域表現

ω(

周波数

)

領域表現意味

u(t) πδ (ω) + 1

jω

Heaviside

の単位ステップ関数

u(t) · e ⁻ ^at 1

a + jω

一次系のインパルス応答

u(t) · te ⁻ ^at 1

(a + jω) ²

臨界制動二次系のインパルス応答

(=

同一の一次系インパルス応答同士の畳み込み

)

u(t) · cos Ωt π

2j [δ(ω − Ω) + δ(ω + Ω)] + jω Ω ² − ω ²

余弦波右半分

(= u(t)

と余弦波の積

= ω

領域では畳み込み

)

u(t) · sin Ωt π

2j [δ (ω − Ω) − δ(ω + Ω)] + Ω Ω ² − ω ²

正弦波右半分

(= u(t)

と正弦波の積

= ω

領域では畳み込み

)

u(t) · e ⁻ ^at sin Ωt Ω

(a + jω) ² + Ω ²

減衰正弦波

(=

一次系インパルス応答と正弦波の積

= ω

領域では畳み込み

)

サンプリング定理

エリアシング、折り返し、

Nyquist

_周波数リサンプリング

信号のサンプリング ( _標本化 ) _と復元

目的

:

ディジタル信号処理、離散系への変換、

etc.

信号

f (t)

_{から等しい間隔の標本}

(

_サンプル

)

_{列を取り出す。}

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Time (* sampling period) Sampling a Signal

signal samples

サンプリング

(

_標本化

)

_↓

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Time (* sampling period) Sampling a Signal

samples

信号復元 ↓

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Time (* sampling period) Sampling a Signal

信号のサンプリング ( _標本化 ) _{と復元の問題}

正確に復元できる

(

原情報の情報を保存している

)

_{サンプリングの} 条件は何か

?

サンプル値列の多義性

-1 -0.5 0 0.5 1

0 1 2 3 4 5

Time (* sampling period) Ambiguity of a Sample Sequence

low band signal high band signal samples

正弦波のサンプリング

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0 2 4 6 8 10

Time (* sampling period) Ambiguity of a Sample Sequence

low band signal high band signal samples

一般信号のサンプリング直感的サンプリング定理

:

サンプリング ( _標本化 ) _定理

標本化定理

◆

f _m [Hz]

以上の周波数成分を持たない帯域制限信号

f (t)

_は、

1/2f _m [

_秒

]

より短い等しい間隔の標本

(

_サンプル

)

_{で完全に決定される。}

F [ f (t) ] = F (ω) =











0, | ω | > ω _m = 2πf _m any, | ω | < ω _m = 2πf _m

情報を失わずに連続データと離散データを相互に変換可能。

-1 -0.5 0 0.5 1

0 2 4 6 8 10

Time (* sampling period) Satisfying the Sampling Theorem

low freq signal samples

サンプリング定理を満たす正弦波

-1 -0.5 0 0.5 1

0 2 4 6 8 10

Time (* sampling period) Violating the Sampling Theorem

high freq signal samples

サンプリング定理を満たさない正弦波

サンプリング定理 ( _図解 )

信号波形

(

_時間領域

)

_{スペクトル}

(

_{周波数領域}

)

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 1 2 3 4 5

Frequency (* pi) Signal Spectrum Distribution

Waveform(t)

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-40 -20 0 20 40

Frequency (* pi) Signal Spectrum Distribution

Spectrum(omega)

もとの信号波形とスペクトル。周波数帯域が制限されている。

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 1 2 Time 3 4 5

Sampling of a Signal

Sampling(t)

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-40 -20 Frequency0 20 40

Signal Spectrum Sampling

Sampling(omega)

サンプリングとは、信号波形にデルタ関数列を掛けることである。

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 1 2 3 4 5

Time Sampling of a Signal

Waveform(t) Samples(t)

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-40 -20 0 20 40

Frequency (* pi) Signal Spectrum Distribution

Spectrum(omega)

信号サンプル値倍のデルタ関数の列。そのスペクトルは原スペクトルとインパルス列の畳み込み。

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-3 -2 -1 0 1 2 3

Time

Sample Interpolation Function

Interpolation(t)

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-40 -20 0 20 40

Frequency Low Pass Filter

LowPassFilter(freq)

スペクトルに矩形を掛けて余分なスペクトルを除く。

これは信号サンプル値インパルス列と標本化関数

(sinc)

の畳み込み。

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 Sampling of a Signal

Waveform(t) Samples(t) Interpolation(t,0.) Interpolation(t,1.) Interpolation(t,2.) Interpolation(t,3.) Interpolation(t,4.) Interpolation(t,5.)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 Signal Spectrum Distribution

Spectrum(omega)

サンプリング定理の導出

信号

f (t)

_の帯域を

Ω[rad/S]

_以下に制限

: F (ω) = F [ f (t) ]

_とすると、

F (ω) = 0 where | ω | > Ω

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-40 -20 0 20 40

Frequency (* pi) Signal Spectrum Distribution

Spectrum(omega)

f (t)

_を間隔

T ≤ _2π ^Ω

^{でサンプリ} ングした標本列信号

f _T (t)

_は、

f _T (t) = f (t)δ _T (t)

^-0.4

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 1 2 3 4 5

Time Sampling of a Signal

Waveform(t) Samples(t)

F _Ω (ω) = F [ f _T (t) ] , Ω = 2π/T

_{とすると、}

F _Ω (ω) = F [ f (t)δ _T (t) ] = 1

2π F (ω) ∗ F [ δ _T (t) ]

= 1

2π F (ω) ∗ { Ωδ _Ω (ω) } = 1 T

∞

−∞ F (ω)δ _Ω (ω − σ)dσ

F _Ω (ω)

_{は周波数領域で}

F (ω)

_を周期

Ω

_{で並べたものとなる。}

エリアシング

◆ 信号の帯域

(0

でないスペクトル成分の存在範囲

): B

_、

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-40 -20 0 20 40

Frequency (* pi)

Signal Spectrum Distribution

Spectrum(omega)

原信号スペクトル。帯域は

B

◆ サンプリング周波数

f _m

でサンプリングしたサンプル値のインパルス列信号のスペクトルは、

f _m

間隔で繰り返しパターン。→ エリアシング

(aliasing)

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-40 -20 0 20 40

Frequency (* pi)

Signal Spectrum Distribution

Spectrum(omega)

折り返し

◆

Nyquist (

_{ナイキスト}

)

_周波数

: f _m = 2B (Nyquist

_間隔

: T = _2f ¹

m

、最大サンプリング周期

)

Nyquist

周波数以上の周波数でサンプリングすれば情報が保存で

きる。

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-40 -20 0 20 40

Frequency (* pi)

Signal Spectrum Distribution

Spectrum(omega)

折り返しのないサンプル列スペクトル

◆

Nyquist

周波数未満の周波数でサンプリングすると、スペクトル

の折り返しが生じる。情報の一部が失われる。

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Frequency (* pi)

Signal Spectrum Distribution

Spectrum(omega) Spectrum(omega-10) Spectrum(omega+10) Spectrum(omega-20) Spectrum(omega+20)

折り返しの生じたサンプル列スペクトル

サンプリング定理による波形の復元

原信号

f (t) (f _m = Ω/2π

_{以下に帯域制限}

)

_{をサンプル値系列}

f _T (t) (

_{サンプル間隔}

T = 1/2f _m )

_{から復元するには}

?

周波数領域で、

(rect _W

_は幅

W

_{の矩形関数}

)

f (t) = F ⁻ ¹ [T F _T (ω) rect _2Ω (ω)] = T f _T (t) ∗











Ω

π sinc(Ωt)











= f _T (t) ∗ sinc(Ωt)

k

_{番目の標本値を}

f _k

_とすると

f _T (t) = ^∞

−∞ f _k δ(t − kT ) f (t) = f _T (t) ∗ sinc(Ωt) =

_−∞ ^∞ ^∞

k= −∞ f _k δ(s − kT )sinc(Ω(t − s))ds

= ^∞

k= −∞ f _k sinc(Ω(t − kT )) = ^∞

k= −∞ f _k sin Ω(t − kT )

Ω(t − kT )

サンプリング定理による波形の復元

-1 -0.5 0 0.5 1

0 2 4 6 8 10

Time (* sampling period) Interpolation of Samples

signal samples

サンプル値列から原信号の復元

(

_{正弦波の例}

)

-1 -0.5 0 0.5 1

0 2 4 6 8 10

Time (* sampling period) Interpolation of Samples

signal samples

サンプル値列から原信号の復元

(

_{一般信号の例}

)

周波数領域におけるサンプリング定理

サンプリング定理は時間領域と周波数領域で双対性を持つ。

◆ 周波数領域のサンプリング定理

:

時刻

| t | > T [

_秒

]

_で

0

_{となる時間制限信号}

f (t)

_は、

1/2T [Hz](= π/T [rad/s])

_より小さな当間隔の周波数スペクトルのサンプルで完全に決定できる。

(

_導出

) | t | > T

_で

f (t) = 0

_より、

T = π/ω ₀

_{とすると、}

f (t) =

^∞ _−∞ c _k e ^jkω ^o ^t

_だから

c _k = 1

2T

T

− T f (t)e ⁻ ^jkω ⁰ ^t dt = 1 2T

∞

−∞ f (t)e ⁻ ^jkω ⁰ ^t dt

= 1

2T F [ f (t) ] (kω ₀ )

F [ f (t) ] (kω ₀ ) = F (kω ₀ )

_{は、周波数領域で}

ω ₀ = π/T [rad/s]

_{間隔のサンプル列。}

F (ω) =

_−∞ ^∞ f (t)e ⁻ ^jωt dt =

₋ ^T _T







∞

k= −∞

1 2T F (kω ₀ )e ^jkωt







e ⁻ ^jωt dt

= ^∞

k= −∞







F (kω ₀ ) 1 2T

T

− T e ⁻ ^jk(ω ⁻ ^ω ⁰ ^)t dt







=

₋ ^T _T F (kω ₀ ) sin(ω − kω ₀ )T

(ω − kω ₀ )T dt

信号のサンプリングの手順

サンプリング周波数

Ω

による信号のサンプリングと復元の実際

x(t)

^- ^- ^- ^- ^-

-低域通過フィルタ

ω <

^ω₂⁰

標本化

ディジタル処理、記録伝送、etc.

信号復元

低域通過フィルタ

ω <

^ω₂⁰

y(t)

低域通過フィルタ

(low-pass filter: LPF)

_{により、周波数}

ω ₀ /2

_以上をカット。

サンプリング周波数

ω ₀

により信号をサンプリング。

目的のディジタル信号処理、ディジタル記録、ディジタル伝送などを行なう。

サンプル値を並べて、インパルス列信号を生成。

低域通過フィルタ

(low-pass filter: LPF)

_{により、周波数}

ω ₀ /2

_以上をカット。

信号のリサンプリング

x(t):

_原信号

, x _k :

_{サンプル列}

,

Ω:

サンプリング周波数 → サンプリング周波数

ω _m ⁰

_{への変換。}

目的

/

_用途

:

ディジタル系の間の情報の適切な変換

例

: CD(44.1kHz)

と

DAT(48kHz)

の変換、画像の画素数の変換、その他あらゆるデジタル系接続。

任意の時刻

t

についての信号の補間計算

x(t) = ^∞

k= −∞ x _k · sinc Ω(t − kT ) (T

_{はサンプリング周期}

) ω _m ⁰ > Ω

_の場合

(

_{アップサンプリング}

)

新しいサンプリング点における信号の補間計算

(

_{サンプリング周期}

T ⁰ = 2π/ω _m ⁰ ) x(iT ⁰ ) =

^∞

k= −∞ x _k · sinc Ω(iT ⁰ − kT ) ω _m ⁰ < Ω

_の場合

(

ダウンサンプリング

)

新しいサンプリング点における信号の補間計算

(

_{サンプリング周期}

T ⁰ = 2π/ω _m ⁰ )

x(iT ⁰ ) = ^∞

x _k · sinc ω _m ⁰ (iT ⁰ − kT )

四種のフーリエ変換

4

_{つのタイプ}

Type 1 Type 2 Type 3 Type 4

時間無限連続有限連続無限離散有限離散周波数無限連続無限離散有限連続有限離散

演習問題 1: 四種のフーリエ変換対の関係

1.

四種のフーリエ変換対のそれぞれについて、畳み込み定理を証明せよ。

⁽

ヒント

:

畳み込みをどのように定義すれば、畳み込み定理が成立するか

? [

_{巡回畳み込み}

])

2.

連続信号の畳み込み結果をサンプリングしたものは、信号をサンプリングして得られた離散信号の畳み込み結果に等しいことを示せ。

(

無限長、有限長の両方について

)

動機

: type 4 (DFT)

_は、

FFT

により高速計算可能。→ これを連続系にも利用したい。→ 連続系と離散系をつなぐ理論が必要。

提出期限：

12/01 12:00 (

_{嵯峨山ポストに提出}

)

四種のフーリエ変換対

t(

時間

)

領域表現

ω(

周波数

)

領域表現

(type 1)

ドキュメント内 : /5 ( ) gnuplot x i x[i] () x(t) =, π < t t, < t < π (2) cos (3) sin (4) Fourier Shigeki Sagayama, FourierTrans26nov.tex (ページ 71-96)

Dirac のデルタ関数 ( 単位インパルス関数 )

* デルタ関数に収束するさまざまな数列

1

0

Gaussian

δ(t) = lim

τ → 0

1

τ e − πt

2 τ 2

δ (t) =

τ lim → 0

1 τ

1 − | t | τ

, | t | ≤ τ 0, | t | > τ

δ (t) = lim

τ → 0

1 2τ e | τ t |

(sinc

)

δ (t) = lim

k →∞

sin(kt)

πt = lim

k →∞

k

π sinc(kt) 2

(sinc 2

)

δ (t) = lim

k →∞

k π

sin 2 (t)

t 2 = lim

k →∞

k

π sinc 2 (t)

デルタ関数を含むフーリエ変換 (1/3)

F [ δ (t) ] =

−∞ ∞ e − jωt δ (t)dt = 1

A(

)

: R τ (t) = 1 (τ < 1/2) or 0 (τ > 1/2)

F [ A ] = lim τ →∞ F [ A · R τ (t) ] = lim τ →∞ Aτ · sinc

ωτ 2

= 2πA τ lim

→∞

τ /2

π · sinc

ωτ 2

= 2πAδ (ω) signum

: sgn(t) =

1, t > 0

− 1, t < 0

F [ sgn(t) ] = 2

jω

(

) Heaviside

sgn(t) = 2 · u(t) − 1 = lim

a → 0

e − at (1)(t) − e at (1)( − t)

∞ − at − jωt

0 − at − jωt

− 2jω

2

デルタ関数を含むフーリエ変換 (2/3)

Heaviside

(

) u(t)

u(t) = 1

2 { 1 + sgn(t) } = 1

2 {F [ 1 ] + F [ sgn(t) ] }

F [ u(1) ] = πδ (ω) + 1 jω cos(Ωt), sin(Ωt)

F [ cos(Ωt) ] = π[δ(ω − Ω) + δ (ω + Ω)]

F [ sin(Ωt) ] = − jπ [δ(ω − Ω) − δ (ω + Ω)]

(

)

F [ cos(Ωt) ] = lim

e

+ e

τ e ⁻ ^πt

1 2τ e ^| ^τ ^t ^|

(sinc ²

sin ² (t)

t ² = lim

π sinc ² (t)

_−∞ ^∞ e ⁻ ^jωt δ (t)dt = 1

: R _τ (t) = 1 (τ < 1/2) or 0 (τ > 1/2)

F [ A ] = lim _τ _→∞ F [ A · R _τ (t) ] = lim _τ _→∞ Aτ · sinc

= 2πA _τ lim

e ⁻ ^at (1)(t) − e ^at (1)( − t)

e ^jΩt ( −∞ < t < ∞ )

e ^jΩt

F _k

f (t) = ^∞

k= −∞ F _k e ^jkΩt

F [ f (t) ] = ^∞

k= −∞ F _k F

e ^jkΩt

= 2π ^∞

k= −∞ F _k δ (ω − k Ω)

: δ _T (t) = ^∞

最重要インパルス列のフーリエ変換

: δ _T (t) = ^∞

δ _T (t) = ^∞

k= −∞ c _k e ^jkΩt , c _k = 1 T

− T /2 δ _T (t)e ⁻ ^jkΩt dt = 1 T

F [ δ _T (t) ] =

₋ ^{T /2} _{T /2}

T e ^jkΩt

e ⁻ ^jωt dt = 1 T

− T /2 e ⁻ ^j(ω ⁻ ^kΩ)t dt

k= −∞ 2πδ(ω − kΩ) = Ω ^∞