著者大高眞人, 山田雅浩, 小林喬郎

(1)

ベクトル有限要素法による導波路固有モードの解析 : 新しい変分表現式によるスプリアス解のない解析法

著者大高眞人, 山田雅浩, 小林喬郎

雑誌名福井大学工学部研究報告

巻 35

号 2

ページ 201‑208

発行年 1987‑09

URL http://hdl.handle.net/10098/4279

(2)

第35巻第2号

昭和62年9月

ベクトル有限要素法による導波路固有モードの解析

一一新しい変分表現式によるスプリアス解のない解析法一一

大高員人* 山田雅浩料小林喬郎*

Vector Finite‑Element Analysis of the Waveguide Modes

Without Sprious Solutions Using an Improved Variational Expression

Masato OHTAKA

，

Masahiro YAMADA and Takao KOBAYASHI (Received

，

Sept.5

，

1987 )

An improved vector variational expression for the finite‑

element analysis of the dielectric waveguide problems is formulated in terms of the transverse magnetic‑field components and the axial electric‑field component. The axial electric‑field component is eliminated by using the numerical matrix technique after constructing the matrix eigenvalue problem with the three field components. In this approach the squared values of propagation constants are obtained for the given frequency and no sprious

，

non‑physical solutions exist in the whole region of a propagation diagram. To verify the accuracy of the present method

，

numerical results for the 2‑‑dimensional waveguide are presented and compared with the exact solu七ions.

1

.まえがき

マイク口減、ミリ波、光被の導液型機能素子の小型化や集積化にともなって、厳密な導波特性のシミュレーションが不可欠となってきている。このため、任意形状の導波路を有限要素法によって解析する研究が活発に行われており、.特にベクトル場の解析におけるスプリアス解の除去が重要な課題となっている1)。また、結合器等の機能素子の解析に当っては、間被数の関数として伝搬定数を導出する形式の解析法が極めて重要である。

家電気工学科 **大学院工学研究科電気工学専攻

(3)

202

小柴らは、磁界の3成分を含む角周波数 ωの変分表現式を用い、この場合に生ずるスプリアス解を磁界の縦〈伝送軸〉成分を数値的に行列消去する手法により回避しているの。さらに、伝搬定数

n

を固有値として得るために、この変分表現式をβ2の

2

次の固有値問題に帰着させる形式の有限要素法を用いている。松原らは、電磁界の 4つの横成分を含む伝搬定数βの変分表現式を用いる有限要素法を提案し、スプリアス解の無いことを示している3)。

我々は、従来、磁界の横成分を用いる伝搬定数と角周波数の

2

種類の変分表現式を用いて変分法による光導波路の代、クトル解析を行い、常にスプリアス解のない解析結果を得てきている4)‑7)。これらの変分表現式は界成分の

2

階微分項を含むため、県成分の値のみを使用する通常の有限要素法解析には用い難いとされている。しかし、小柴らの手法は磁界の縦成分の数値的な消去によって、

我々の導いた ωの変分表現式引を用いることと等価な状態を作り出したものと見ることが出来る。

しかし、この手法は伝搬定数βを周波数の関数として得るためには、

2

次の固有値問題を解〈必要があり、行列サイズの増加と複素根の出現による数値計算上の困難を招く可能性がある。

本報告では、我々が従来用いて来た伝搬定数の変分表現式を有限要素法に適合させるために、磁界の横成分と電界の縦成分を含む変分表現式を新たに導出し、これに電界の縦成分を数値的に消去する手法を適用す弓ことにより、スプリアス解が無く、固有値問題の行事JIサイズの小さい有限要素解法が実現できることを示す。

2.

変分表現式

マクスウエルの方程式は VxE ーjωPH V x H ω E E

︑ . ︐ ︐

a

・・

︐e

・ ︑

•

• ‑

・

⁽²⁾

ここに、

ω

は角周波数であり、誘電率テンソル

ε

及び透磁率テンソルμは次の形式とする。

，

、ε =

z

o o z

ε

v' v'

x y O ε ε x y

x

骨

X O

ε ε

llXX llxy 0 P =

Ill~_

_{xy yy}^l^l^̲^̲ ⁰

o

0 llZZ

‑

・

(3)

線路がZ軸(伝送軸〉方向に一様として、電磁界を次のように仮定する。

E(x

，

y

，

z

，

t) {et(x

，

y)+eZ(x

，

y)iZ}exp{j(wt‑sZ)}

H(x

，

y

，

z

，

t) {ht(x

，

y)+hZ(x

，

y)iz}exp{j(ωt‑sz)}

‑ ・・何 }

‑

・

(5) ここで添字

t

は横成分を表す(以下同じ)。これらを(1)、 (2)式に代入し尽t、hzを消去すれば、 htとezで表された波動方程式

F = Et

・

izx{ω2Ptht‑Vtx(

jωezi z )} 田 izx{Vtllï~Vt ・ Ptht-ß2ht}

^;^:^:⁰

・・・

(6) を得る。

また、 htとezの間には次の関係がある。

VtXht ω ε zzeziz

‑ ・・

⁽⁷⁾

今、式(6)に対する変分表現式として次式を得る。

(4)

‑

・

(8)

P =

Jlli Z ^X { 判h~-VtX(jweziz}川

ーω2lJil(Vt

・

Otht}(Vt‑Otht}]dS Q = I{ω2h_J_{， ‑ .}_.

・

骨

_t .

⁰

_t ._._.

・

^h.‑ε_._t ‑z_z⁽_'^jωe̲)_{I ‑ ‑}_Z_I

骨 (

_"^jωe̲)}ds

ここで、面積分は導波路の断面全体について行う。

式(8)の変分を取ると次式を得る。

ds2Q =

‑ J ( ^ベ吋}・

^(izxF)dS

小

^j

^内

^iz)^{骨・}^(VtxF)

‑

・

^(8.1 )

‑

・

・ (8.2)

刈中't

dh

t '

.n}(jshZ}dl

+

J

(jωdeziz)¥[州 ( 九円 ) ・n}izldl+c.c.

‑ ・・

⁽⁹⁾

ここに線積分は導波路の境界に沿って行い、

n

は境界での外向き単位法線ベクトルである。

式(9)より、式(8)に用いる試験関数ht

・ ^e ^z

は、誘電率テンソ))..，と透磁率テンソルの不連続境界において、

u.h..n'連続 ez :連続 μt"t."

なる境界条件を満たし、電気壁との境界において

‑

・

⁽¹⁰⁾

•• ︐ ︐

4

・・

4

・・

︐a

・・

• ︑

• •

をtet

・

^{n = 0} ez 0

なる境界条件を満たす必要がある事が分る。一方、磁気壁との境界においては

。

^tht

^・

^{n = 0} hz 0

・・・

⁽¹²⁾

が、いわゆる自然境界条件となっており、自動的に満たされる。

式(8)は、森下の式的〈付録1参照〉を式(7)の関係を用いて2階微分項を1階微分項に変換した形式になっている。式(1

0 )

ー(1

2 )

で明らかなように、試行関数の

1

次微分の連続を要求していないので、容易に有限要素法を適用することが出来る。しかし、この場合の電磁界は磁界の横成分のみで表せるので

e z

は冗長であり、これがスプリアス解の原因のーっと考えられる。このため、式 (7)の関係式に相当する操作を数値的に行列上で行えば

結果的に森下の式と等栖となり、スプリアス解のない解析が行えると考えられる。

3.

有限要素法による定式化

導波路の横断面を図1に示すように2次の三角形要素に分割する。各要素内での電磁界成分は次式の様に各節 2 点での値で表される。

3

関

1 2

次三角要素

(5)

204

@号

[N]T{φ}e ・・ ‑

⁽¹³⁾

' 7 、7・弓~

0:....0:....1:

︑ ︐

EBEE‑EEEBEE‑J

︑ ﹃ ︐ ︑ 邑

Ea

︑E Ea '

O O N

︐a・ ︐

a・ ︐ . ︐ .

‑ ‑ ‑ ‑ e

︑ . ︐ ︑ ︐

︐ ︑ .

︐ O N o

︐aE︐

a・ ︐

a・

︑ 島

E︐

︑

E︐a

︑ . ︐ N o o

︐a・ ︐

E官皿 ︑ ︐

a︐

︐ ・

EBEE‑EEEBEE‑‑︑

‑ ‑

Ea

a

N

r

・

‑

L

・ ‑ ⁽ ¹ ⁴ ⁾

^{︑ ...}・E^・^E^・^E^{. .} _‑

• • • ^︑ ^. ^︐

^{a ‑ ‑} ^d^k ^{E '}^{. E}

‑E

EE

︐

e e e

︑ .

︐

J︑ ︐

︐ ︑ ︐

︐

x y h z

h h e

︐a・ ︐

E︐ . ︐

侃

a z

E︐ ・

E‑

‑E

・・・・・

・・・ ︑

=

︑ . h v ︐

a︐・

ここで、 {N}は形状関数ベクトル、 {O}は零ベクト)J.，.、 Tは転置を、{・}および{・}Tはそれぞれ夢jIベクトル及び行ベクトルである。 {hx}e、 {hy} eと{ez} eは各要素内記おける節点に対応する電磁界成分である。

式(7)に式(13)を代入し、停留条件

単一川

( i =x

，

y

，

j = 1‑6) • (16) を適用すると次の固有値問題に帰着される。

[P]

{骨}岨

s2

(Q] {骨}

= {O}

{p}

、 {Q}は付録

2

に示されている。

さらに、式(7)にガラーキン法を適用すると次式を得る。

IIe{NlezdS I e

^仙

^ZdS 式 j~JJe{NIE:z J J e { N l 石 ( 五 ⁽ ~Xhy- hy‑ ayhx}dS i

‑

・

⁽¹⁷⁾

‑

・

(18)

式(13)を式(18)に代入し各要素についての和をとると次式を得る。

[Gz]{ez

^}=

[Gt]{ht}

ここで

・・ ‑

⁽¹⁹⁾

即 1 : 何可 f { N }{N}T dS

a ̲

̲T ̲

̲ a ̲

T

[ G t ] =

L

卜一一[ { N }

ー

{ N } . ‑{N}γ{N} ] d s

ëJωεZZL~""ay~"" ，

. . . . o x

‑

・

⁽²⁰⁾

‑・・ (21)

︑E

Ea

争LhH ︐a

・・

︑

_E

EE

‑B

EE

BE

E‑

EJ

︑ . ︐ ︑ 也

E'

x y

hH

﹄ "

︐ateak

=

︐ ・ E・E・‑11EEK

‑

・

・ ⁽ ² ² ⁾

式(19)を使って各節点における電磁界ベクトルは次の様に表せる。

{骨}

[G]{h

_t} _‑_・_・ ₍₂₃₎

ここで

[G]

︑ ••

E a‑ ‑

‑ ‑‑ a

︐

E

唱‑ ‑

E a

争LG

唱・

・

a︐E・

U・1︐

•.. 喧・・・

a

z

G

F E ‑ ‑ ‑

︐E

・

E

・

‑E

EE

也E

EE︑

・・ ‑

⁽²⁴⁾

{U}は単位マトリックスである。

(6)

式(23)を式(17)に代入し、さらに式(17) に左から

[G]

Tを掛けると磁界の横成分

のみで表された行列方程式を得る。 ^E^d_n

uk

d

内ζ

nu

・

‑‑nu

司ζ唱目z

‑ ‑ =

a

' 且 . ︐

︐ ︐ ︐

εεb

ε

₂

ε2 { O } ・・・ ( 2 5 )

[P]{h _t } ‑ s

²

[Q]{h _t}

ここで x

‑

・

(26)

[ a ] [G]T[Q][G] ・・・ ⁽ ² ⁷ ⁾

式

( 2 5 )

は伝搬定数β2と

{h

けをそれぞれ間有値と固有ベクトルとするエルミート

対称一般固有値問題であり、計尊機上で容易に解くことができる。この式は周波数〈波長〉を与えて伝搬定数を求める形式であり、また式(18)‑(24)の電界の縦成分の数値的消去により、小柴

らの手法の半分の行列サイズとなっている。

唱

・司 '

﹄

qd

‑ ー ‑ ー

‑

誘電体装荷平行平板線路と

2

次線要素

民 ‑b →k:- a~← b 一司

図

2 [ G ] T [ P ] [ G ] [P]

4.

数値計算結果

関

2

に数値計算例として用いる

2

次元導波路、誘電体装荷平行平板線路の横断面を示す。式(1

7 )

においてスプリアスモードの発生する

TM

モードの数値計算例を示す。この場合、外部境界「は磁気壁とおく。誘電体領域と外部の真空領域の幅は等しくとられ、また要素分割も等間隔としているので、全要素数をNEとすれば、 2次の形状関数を用いているから、全節点数NNは式(25)のとき (2NE‑1)、式(17)のとき 4NEであり、この全節点数がマリックスサイズとなり同時に得られる国有値の数となる。

まず、式(1

7 )

による有限要素解をNE培、

TMo‑TM2

モードについて関3に示す。実線は厳密解、

OE

¥lは解析結果である〈以下同じ)。非常に多くのスプリアスモードが導波領域 [0<(slkl1) 2

<2.25Jに存在してい弓ことが分る。

2.0

c o

. . . . .

~ 町制伺 ‑

cl 0

o

^ピ

』、、

cl Qユ

、 ‑

'c

1 .0

ω

N

句E

'‑

z

0

一戸

C ω

一戸

ω c o υ

5

10

Normal ized frequency

。

kOa

(式(17)による有限要素解)

TM

モードの伝搬曲線[

1 ]

図3

(7)

206

2.0

1 .0

C 0

. . . .

，

伺N

c) ... 、町

ω o

0. .x:

。、

』也

0 . ‑ 司

@ N

ω

E

。

』

z

巴

伺︼

Fω co o

。

5

Normal ized frequency kOa

〈式(25)による有限要素解〉

T M

モードの伝搬曲線

[ I I ]

関4

lOO 10・1

10‑7

o ¹⁰

kOa 5

Normalized frequency

(NE:

要素数〉

次に式(25)により行列の数値的消去をおこなった場合の結果を、関4に示す。スプリアスモードが導被領域には全く存在しないことが分る。さらに、この場合の

TMo

モードの伝搬定数の計算精度を図 5に示す。誤差 Eは次式で定義されている。

E Isexact ‑sF酬 I/sexact

…

⁽²⁸⁾

誤差の変化は緩やかであり要素数NEの増加にともなって急速に小さくなっており、極めて良い結果が得られていると考えられる。

表1に、厳密解と式(25)と式(17)の要素数NE::8、規格化周波数 K0

a

=0.39644の場合の

T M

モードの伝搬定数の値あるいは数を各領域に分類して示す。厳密解

( E x a c t

)に対応しないものがスプリアスモードであ旬、丸め誤差のオーダー(壬

1 0 ‑

¹⁴)の解(零間有値、 NearZero Value と表示〉

と負の間有値 (N開ativeValue) に関してはその数のみを示した。式(25)においては、導波領域を

TMo

モード計算精度

図

5

(8)

指定するのみで真の導波モードに対応する計算 _表

1 伝搬定数の計算値の比較結果を得ることができることが明らかである。

要素数NEが小さいので高次モードの精度にはば

(β/ko )

2

らつきが見られる。 T予10 NE=8

k

0

a

=0.3964422 Exact Eq .(25) Eq. (17)

5.

まとめ 2.00338

磁界の横成分と電界の縦〈伝送軸〉成分を用 1.83243 1.83254 1.83219 1.46815 いる伝搬定数

β

の変分表現式を導出し、さらに 0.96493 電界の縦成分を数値的に消去する手法を用いて 0.91677 0.92282 0.91386 Guided 0.63440 スプリアス解のないベクトル有限要素法が実現 Modes 0.48544 0.44669 できることを示した。この手法は、周波数を与 0.20958 えて伝搬定数が計算でき、行予IJのサイズも小さ 0.20741 0.18993 0.20781 0.18261 いことからマイク口被やミリ波、光被領域の各

Near!vy a None 8 種導波素子の解析に有用であると考えられる。 Zero Value

今後は、本手法によって異方牲媒質を含む導

vNaeglaut e i ve 12 13 波路や共振器の解析、さらには損失媒質を含む

場合への拡張などを行う予定である。

文献

1) 小柴.早田，鈴木."マイクロ波および光導波路の解析手法としての有限要素法ースプリアス解対策の現状ーペ電子通信学会論文誌(C)，Vol..J69・C，12， pp.1477・1486(昭61‑12)

2) K.Hayata

，

M.Koshiba.ヤ1.Eguch i andドI.Suzuki: "Vectorial Finite‑Element門ethodWithout Any Spurious Solutions for Dielectric Waveguiding Ploblems using Transverse門agnetic Field Component" IEEE Tansactions on 門 icro~ave Theory and Techniques司 VOL.門TT‑34 11

，

pp.1120・1124(1986・11).

3) T.Angkae~. ~.Matsuhara and N.Kumagai : " Finite‑Element Analysis of Waveguide門odes: A Novel Approach That EI iminates Spurious門odes"• 1 EEE Tansact i ons on 月 icro~ave Theory and Techn i ques. VOL.川TT‑35. 2

，

pp.117・123(1987・2).

4) 森下.熊谷."電磁界解析における変分表現式の統一的導出について"電子通信学会論文誌(8)， Vol.J59‑B. 3

，

pp.165‑172 (昭51・03)•

5) 大高，小林."異方性媒質を含む誘電体方形線路の導波モードの解析ぺ電子通信学会論文誌(C). Vol.J64‑C. 10. pp.674・681 (昭56‑10).

の 6 )

大高，I小、林."異方性誘電J

f

体本線路の解析のためのベベ、クトル変分表現式報告， 32. ，1 pp.133・140(昭59・03)•

7) 大高，小林."三次元異方性誘電体光線路の導波モードのベクトル変分法による解析"電子通信学会論文誌(C)，Vo 1. .J68・C. 9. pp.677・684(Ug60‑09).

(9)

208

付録1

" ，2 ̲ N

‑ ‑ D

。『普唱

N sLJS(izXht)‑Ei'

・

^(izXht)ds

唖骨骨畢唱

+ JS[{VtX lJ ~~(Vt ・ 0t ・ ht)i

z

} ・ 2i' ・ (izXh

t

⁾

長一唱唱

+(izXht}-Êì^'

・

{VtXll;~(Vt ・ Ût ・ h

t

^}i

z

^}1ds

+Jsεi;{Vt

叫 } ・

^(VtXht}ds

‑

・

⁽^A^l^.^l⁾

. ︐ ︐

•

ラ﹄

4・・

A ︐EE

• • •

CM

AU ︑

︐

JZ ︑.E︐

4t

hH

•

争L

AUF

‑

&

t

O曹

︐ ︐ . ︑

‑ 1z

?ι HF

X &

t

w v

︐E

︐ .

•

︑

4・・

‑&

t

A ε

•

︑EFJZ . ︐ ︐

普

t

hH

•

骨

‑

ANH + L

+t

w v

︐E

E・ ︑

4E

Tι

‑ ヲ

ι

HF

X &

t

w v

︐aE

c u

r ‑ ‑ J

a ラ﹄ uF

+

o

⁺_t ^・^‑^E^E︐ ^d

^s

hH

‑

争L

AU

•

ゐt

w v

︐s

.E

E︐

品百 + も

hH

•

普t

Aい

•

ゐt

v

︐a

也 ︑

1 z

‑z

u

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EE

J﹄B

q'

﹄QHF +

e ι ‑

du

+

t

hH

•

争t

AHH

•

且官t

ιH

c u

rt EE

︐

J

付録

2

‑‑‑ (Al.3)

︑.EEEEE

・

e

・

‑‑‑‑‑‑‑EE‑‑EJ

'EE

﹄唱・・

z

﹄

o o z

hu可︐ .. ︐

. . ︐

. . _也

︑ . a

'

・・

a ' ・_E

﹄

V J

nυ

VJ

nu

n﹃︐

•• ﹃

E‑‑‑F

・

・且

唱 . ﹄ ' ・

・

a

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x

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︐ . . ︐

. . .

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︐ . . .

唱・

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F‑

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邑[ P1

︑ ︐ ︐ ︐

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‑

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A ' a

a

︑

' •

・

︐﹄

司自

﹄︑

目﹄

・

z z z x y z

nvnFnv ︐ ...

︐

E・E・‑ F E・E・ ‑

中E

・

E

・﹄唱

・・

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・﹄

y y z x y y

nrnvnv ︐E

・・ ︐

EE‑‑eEE

・

4 E 4 B

'EE

﹄唱

EE

﹄唱・・

﹄

x y z x x x

nvnvnv

︐ ・

・

a︐

EE

E

r・・・

[p

，， "

1 ]; r (E....w4u2 {N} {N} T̲ω2

五位斗

HiLs

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( ~r~. ， ~r.. ， T

(Pxy]

~J

^{‑W²¹¹

喫}吟寸

^yJu2{N}{N

内

ds (Pxzl

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r T

1

， ̲ ^̲A.2

^ヮ a{N} a{N}

[pyy1 ⁼EJCεxXW~ lJL{N}{N}'-w~Uーァ一一

J (l

y

(l

y

~ r.... T ̲ ~..， T [pyz1

~){ーω3 U 布河川 ^{N}梨l'

^+εxy{N)

^等ど)

^}ds

Iω= rfω2~旦(E ^M ^{盟近世} ^T ^呉 ^N) ^単位 ^T

e J ε o ‑xx ax dX ^Y dX dy

〈

y

場

ⁱ

梨

i T

場

ⁱ

場上

^T}ds

(qxx1

=

(qvv]

L 1 (ω2~{N}{N}T)dS

e '

[qzz1

~f(-Ezzw2ζ旦 {N}{N}T)dS

c ‑ ~O

‑

・

^(A2^.²⁾

‑

・

⁽^A²^.³⁾

‑

・

⁽^A²^.⁴⁾

…(A2

. 5 )

‑

・

・ ( A 2 . 6 )

‑

・

^(A2^.⁷⁾

‑

・

⁽^A²^.⁸⁾

‑

・

^(A2.9)

‑

・

^(A2.10)

著者 大高 眞人, 山田 雅浩, 小林 喬郎

ベクトル有限要素法による導波路固有モードの解析 : 新しい変分表現式によるスプリアス解のない解析 法