舞鶴工業高等専門学校添田満 設計生産工学科制御教室黒須顕二

九州工業大学研究報告（工学）No，61 1990年9月       1

フィードバック系内のプロセス動特性推定

（平成2年5月29日 原稿受付）      ／

設計生産工学科制御教室古谷忠義

舞鶴工業高等専門学校添田満

設計生産工学科制御教室黒須顕二

Indentification of Processes in Feedback Systems

by Tadayoshi FURUYA

    Mitsuru SOEDA     Kenji KUROSU

Abstract

   System Identification is most important in the first stage for designing control systems． Even some simple methods which require no strict knowledge about dynamic characteristics of their con．

trol objects need the input−output relationship to prove causality and controllability．

   In these cases， the feedback loops make it difficult or impossible to indentify whether the consi．

dered input signals really affect the outputs． Further， the feedback loops cannot be removed in most cases because they are not added by the designers using the controllers． So it is often neces，

sary in practice to implement identification experiments on some systems in closed loops．

   In this paper， the method for identification of feedback systems having colored stochastic input and measurement noise is presented． The proposed method consists of two parts；One is the part of equivalent transfomation of noise processes， and the other is the paH of least squares estimation which uses only output data of feedback system． Even if the input of the subsystem in the closed loop can not be measured， this method provides a useful identification function for the control sys−

tem design where it enables ones to obtain the consistent estimates of the forward path processes in closed loop；where the method doesn t depend whether the dynamics of the feedback path proces−

ses is known or not． The practicability and effectiveness are shown in the examples by some digi．

tal SimUlatiOn．

      されない3）。また，フィードバック系への入力が十分大

      きい場合でも，フィードバック系内のサブシステムの入

 フィードバック系内のプロセスの動特性を，ループを  力は微小で測定不可能となることもある。

切り離すことなく，操業データから推定することは重要   ここではGraupeの方法4）をフィードバックループの である。系内のサブシステムの入出力信号から直接同定  後向き要素の動特性が未知の場合に拡張して，フィード する場合，システム雑音がフィードバックされるため入  バック系出力のみからサブシステムの動特性を推定する 力と独立でなくなり，推定値にバイアスを生じることが  方法を提案し，さらに赤池のFPE法5）6）を応用してパ ある。これを避けるため雑音を白色化フィルタを通して  ラメータ個数と精度について検討する。

推定する方法など1）2）があるが，フィードバックループ に遅れ要素が必要など特定の条件のもとでしか一致推定

2      古谷忠義・添田 満・黒須顕二

 2．推定原理       晦  B（2−・）ぬ ε克 G（2−・）

 図1に示すシステムの前向き径路のサブシステム

音が成形フィルタを経て入るものとする。この系におい        図一3 図2より得られる系 て，出力系列｛x丘｝だけが既知と考える。

 これらの雑音をまとめて取り扱うために図1の系を図

ω化         μ★  ε克

B（2−1）       十 G（2−1）

一4此

F（ 1）

∬瓦

2のように等価変換する。図2において，晦，η，仇は  いまAR次数Mは未知であるのでFPE法により最適次 正規性だから晦も正規性信号となり，点線内の3つの  数Mを決定しパラメータの推定を行う。得られたパラ        バ

成形フィルタをあるひとつの等価なフィルタBでおくこ  メータ推定値をC，とすると，未知入力晦は，（1）より とにより，図3のような，一入カー出力のフィードバッ    〈   M＾

       晦＝X一ΣGX此一、      （2）

ク系に変換される。ここで入力晦は未知な正規性白色        国 雑音でありβ（一1）も未知であるから，まず吻の推定  により推定される。

を行う必要がある。       G（z一りの推定問題は，サブシステムを除いたループ  そこで晦と品の間をARモデルで表すと，その入  上の残りの要素全体の動特性F（ 1）が既知の場合，未

出力関係は      知の場合の2通りに大別される。

      2．1F（2−1）が既知のときのG（2−1）の推定

  晃＝C・品一・＋C・悉一・＋ ＋C〃X・一・＋％・ （1） 図3において各フ，，レタの伝達関数を次のようなMA

       モデルでおき

      ρκ      れ

       B（ 一12）＝bo十b12−1十…十bη2一月 D（2−11日E（ガ1）   F（ 1）＝カ＋五2−1＋ ◆ ＋方2−

      G（2−1）＝ρ・＋912−1＋…＋9卿2一幼       （3）

      （注1）

      とすると

       X永＝G（ 1）θ此        ＝G（一1）（μ仁鋤

       ＝ヲG（z−1）B（2−1）ε〃ん一G（2−1）4〃      （4）

       ここで  図一1 一般のフィードバック系

       H（一1）＝G（z−1）B（ 1）

       カ       ＝Σん，2−，

B（ガ1）       ＝o

「一一一一…一一゜一一一一「       とおくと，（4）式は

，l   D （2−1）

1         十 1η E （、−1）＋

十  yん1   ・4（z−1）

｜

｜

l

l＋

1

；

1μκ      X〃＝C化τ、R       （5）

L−一一＿＿一＿＿＿一一」

G（2−1）

F（2−1）

工永

ただし

       （注1）（3）式において，n， pおよびmが未知の場合には， n，

       pおよびmは十分大きくしておくか，雛元らのMAモデルの 図一2 図1と等価な系       項数決定法7）を用いる。

      フィードバック系内のプロセス動特性推定      3        そして，この愈を用いてG（ 一12）の推定を行うと，

  αT＝［ω永Z〃κ＿1…％此＿卿＿π一4κ一仇＿1…一仇＿坊］

      （6）式，（9）式により一致推定値が得られる。

  RT＝［〃。乃、…煽．。9。9、…9吻］

       3．模擬実験例

と表される。

（5）式に最小自乗法を適用すると       図1の系のシミュレーションを行い出力晃を得る。

（呈α（γ）窟一呈脳    （・永＝1       κ＝1）㌶三㌃芸竺；篭：麗知な場合と未知

によってパラメータ推定値が求まる。      ただし，D（2−1）＝（1−0．62−1）−1  2．2F（2−1）が未知のときのG（2−1）の推定      E（2−1）＝（1−0．72−1）−1  （3）式においてサブシステムの伝達関数をARモデルで      F（2−1）＝・（1−0．32−1）−1

      であり，n， pはいずれも7， mは10で推定を行った。

  G（ 1）＝（1−・・ 1− 一・・ガ勿）−1  （7）このとき，⌒，ηは平燐の正雛白色乱数で，そ とすると，システムの入出力関係は      れらが成形フィルタA，DおよびEを経て有色になると       する。

 X永＝91Xκ一1十…十σ卿X此一初十θκ

       ここでE｛ヵ〃2｝／E』2｝＝0．2，E｛γの／E』2｝＝0．2と       ＝Σρ，xκ一，＋μ永一σ克

    ＝1

  ＝監9 晃一，＋￡b，Z〃此一一￡万元一、       ＿：真値

    工1          ＝0          20

      1・0         0：推定値（F（ 1）が既知の場合）

  ＝C永「R       （8）

      ×：推定値（F（ 1）が未知の場合）

ここで

Cゾ＝［x〃−1…x此一〆左…ωん一π一x兎…−xκ一♪］        0．5

RT＝［91…9坊bo…b誘・・プ日

（8）式に最小自乗法を適用して

（慧⇒論一星脳    （・）°     ㎞

によってパラメータ推定値が求まる。      図一4（a）サブシステムのインパルス応答

2．3データ個数と瀧         ^{G（・一り一 P一ま5、．、}

 以上の方法によりフィードバック系内のサブシステム の動特性が推定されるが，G（ 一12）の推定精度が問題と なるぷが既知とすると通常の最小自乗法と同一とな 1・°

るので，ここで検討すべき点は，硫の推定精度である。

赤池の論文4）より

      0．5

  E｛（   ∧ω永一ωた）2｝＝Mσ2川4

   ただし N4はデータ数， E｛％潟＝σ2

という関係が得られるので      O

   E｛嚇 M        図＿4（、）サブシステムのインパルス応答

㌫、鑑籔二；叢三㌘の2°倍以上の  Gピ）一、一芸1≡

4      古谷忠義・添田 満・黒須顕二 した。最初の倫の推定の際のデータ数は2000個とした。

      参 考 文 献 この場合，M＝5が得られ，理論上ψの推定精度は0．

05となる。このときのG（ガリの推定値をインパルス応  1）古谷：内部雑音のあるシステムにおけるサブシステムの動 答で比較した結果が図4である。このグラフから推定し   特性推定・第14回自動制御連合講演会予稿集（1971）

たインパルス応答列が真値にたいして飢同盤の精 21琳細・藤井：フィードバックのあるプ゜セスの同定

度で一致していることがわかる。       3）PE． Wellstead and J． M Edmunds：Least．Squares Iden．

       tification of Closed−Loop Systems， INT． J． CONTROL， vol．

 4．おわりに       21，689／699（1975）

       4）D．Graupe：On Identifying Stochastic Closed↓oop Sys一  統計的推定理論と雑音の等価変換に基づいて，フィー   tems， IEEE Trans．・n Aut・matic Contr・1， AC20，553／555

ドバック系内のサブシステムの動特性推定法を示した。   （1975）

       5）H．Akaike：Statistical Predictor Identification， Ann． Inst．

 この方法によると，サブシステムへの入力が未知な場   Statist． Math．，22，203／217（1970）

合，フィードバック要素の動特性についての知識の有無  6）赤池中川：ダイナミックシステムの統計的解析と制御        50／61，サイエンス社（1972）

にかかわらず・同じ方法で系の出力データのみからサブ  7）雛元，前川，青木：観測された入出力デ＿タに基づくシス システムの動特性推定がなされる。これらのことを具体   テムの構造決定とパラメータ推定について，第20回日本自動 的に1次，2次形のサブシステムを含むフ，一ドバ。ク 制御協会学㈱演会前刷…4（1976）

系に適用して実験を行い，その有効性を確かめた。