ゴルディアン複体の双曲性について

(1)

ゴルディアン複体の双曲性について

K.Ichihara I.D. Jong

ゴルディアン複体大域的性質問題 Gι^λ G^∆_∇

ゴルディアン複体の双曲性について

市原一裕（日本大学文理学部）

鄭仁大 （大阪府立大学高等教育推進機構）

日本数学会

2012

年度年会 東京理科大学神楽坂キャンパス

, 2012.3.26

(2)

ゴルディアン複体

大域的性質問題 Gι^λ G^∆_∇

ゴルディアン距離

λ

：結び目の局所変形（例えば，交差交換）

ゴルディアン距離

2

^{つの結び目}

K

^と

K ⁰

^の

λ-

^{ゴルディアン距離}

d ^λ (K, K ⁰ )

= K

^を

K ⁰

に変形するために必要な

λ

^{の最小回数}

局所変形として交差交換

x ⇒ d ^x

：（単に）ゴルディアン距離

平澤–内田（2002）

d ^x

を用いて，ゴルディアン複体を定義

(3)

ゴルディアン距離

λ

ゴルディアン距離

2

^{つの結び目}

K

^と

K ⁰

^の

λ-

d ^λ (K, K ⁰ )

= K

^を

K ⁰

λ

^{の最小回数}

x ⇒ d ^x

平澤–内田（2002）

d ^x

(4)

ゴルディアン距離

λ

ゴルディアン距離

2

^{つの結び目}

K

^と

K ⁰

^の

λ-

d ^λ (K, K ⁰ )

= K

^を

K ⁰

λ

^{の最小回数}

x ⇒ d ^x

平澤–内田（2002）

d ^x

(5)

ゴルディアン距離

λ

ゴルディアン距離

2

^{つの結び目}

K

^と

K ⁰

^の

λ-

d ^λ (K, K ⁰ )

= K

^を

K ⁰

λ

^{の最小回数}

x ⇒ d ^x

平澤–内田（2002）

d ^x

(6)

ゴルディアン複体

λ-ゴルディアン複体 G ^λ ［中西–大山（2006）］

K : 3

^次元球面

S ³

内の全ての結び目からなる集合

I G ^λ

^{の頂点集合（つまり}

0–

^単体）は

K

I n + 1

^個の頂点

K 0 , . . . , K n

において，

各

i 6 = j

^に対して

d ^λ (K _i , K _j ) = 1

^{であるとき，}

K ₀ , . . . , K _n

が

n–

単体を張る

注意

λ = x

のとき，平澤

–

内田の定義した

G ^x

背景

様々な局所的な性質の研究

⇒

^{大域的な性質は？}

(7)

ゴルディアン複体

λ-ゴルディアン複体 G ^λ ［中西–大山（2006）］

K : 3

^次元球面

S ³

内の全ての結び目からなる集合

I G ^λ

^{の頂点集合（つまり}

0–

^単体）は

K

I n + 1

^個の頂点

K 0 , . . . , K n

において，

各

i 6 = j

^に対して

d ^λ (K _i , K _j ) = 1

^{であるとき，}

K ₀ , . . . , K _n

が

n–

単体を張る

注意

λ = x

のとき，平澤

–

内田の定義した

G ^x

背景

様々な局所的な性質の研究

⇒

^{大域的な性質は？}

(8)

大域的性質

λ- ゴルディアングラフ G ^λ

G ^λ

^の

1–

^骨格

⇒

^{辺の長さを}

1

^{として距離空間}

さらに測地空間（

geodesic space

）

⇒

重要な大域的性質：グロモフ双曲性

Gambaudo-Ghys, 2005

x-

ゴルディアングラフ

G ^x

は双曲的でない．

拡張（堀内 – 大山）

G ^C

ⁿは双曲的でない（

n ≥ 4

）．

(9)

大域的性質

λ- ゴルディアングラフ G ^λ

G ^λ

^の

1–

^骨格

⇒

^{辺の長さを}

1

^{として距離空間}

さらに測地空間（

geodesic space

）

⇒

重要な大域的性質：グロモフ双曲性

Gambaudo-Ghys, 2005

x-

ゴルディアングラフ

G ^x

は双曲的でない．

拡張（堀内 – 大山）

G ^C

ⁿは双曲的でない（

n ≥ 4

）．

(10)

グロモフ双曲性

グロモフによって定義［

Gromov 1987

］

Γ :

連結グラフ（距離空間とみなす）

N (γ, ε)

^：

γ ⊂ Γ

^の

ε-

^近傍

δ-thin

Γ

^内の

s 1 , s 2 , s 3

を三辺とする三角形

T

^について

T

：

δ-thin ⇔ s _i ⊂ N (s _j ∪ s _k , δ)

双曲性

Γ

^が

δ-

双曲的（またはグロモフ双曲的）

⇔

任意の測地三角形が

δ-thin

（

δ ≥ 0

）

(11)

グロモフ双曲性

グロモフによって定義［

Gromov 1987

］

Γ :

連結グラフ（距離空間とみなす）

N (γ, ε)

^：

γ ⊂ Γ

^の

ε-

^近傍

δ-thin

Γ

^内の

s 1 , s 2 , s 3

を三辺とする三角形

T

^について

T

：

δ-thin ⇔ s _i ⊂ N (s _j ∪ s _k , δ)

双曲性

Γ

^が

δ-

双曲的（またはグロモフ双曲的）

⇔

任意の測地三角形が

δ-thin

（

δ ≥ 0

）

(12)

ゴルディアングラフは（非）双曲的か？

問題

G ^λ

は（いつ）双曲的になる（ならない）か？

——————————————————

デルタ変形［ Matveev 1987 ］［村上 – 中西 1989 ］

問題

G ^∆

は双曲的になる（ならない）か？注意：

∆-

変形は

C ₂ -

変形（

c.f.

［堀内

–

大山］）

(13)

ゴルディアングラフは（非）双曲的か？

問題

G ^λ

は（いつ）双曲的になる（ならない）か？

——————————————————

デルタ変形［ Matveev 1987 ］［村上 – 中西 1989 ］

問題

G ^∆

は双曲的になる（ならない）か？

注意：

∆-

変形は

C ₂ -

変形（

c.f.

［堀内

–

大山］）

(14)

ゴルディアン複体の商空間

∼ ι

：不変量

ι

により自然に定義される

K

^{上の同値関係}

[K] _ι

：結び目

K

が代表する同値類

(ι, λ)- ゴルディアン複体 G ι ^λ

I G ι ^λ

の頂点集合は

K ι = { [K] ι | K ∈ K }

I

各

i 6= j ∈ { 0, . . . , n }

^{に対して，}

結び目の組

K i,j ∈ [K i ] ι

，

K j,i ∈ [K j ] ι

が存在して

d ^λ (K _i,j , K _j,i ) = 1

を満たす時，

n + 1

^個の頂点

[K 0 ] ι , . . . , [K n ] ι

は

n–

^{単体を張る}

G ^λ _ι

^：

G ι ^λ

の

1–

^骨格，

(ι, λ)-

^{ゴルディアングラフ}

（各辺の長さを

1

として

G ^λ _ι

を距離空間と見なしたとき）

d ^λ _ι

^：

G ^λ _ι

^{上の距離，}

(ι, λ)-

(15)

ゴルディアン複体の商空間

∼ ι

：不変量

ι

により自然に定義される

K

^{上の同値関係}

[K] _ι

：結び目

K

が代表する同値類

(ι, λ)- ゴルディアン複体 G ι ^λ

I G ι ^λ

の頂点集合は

K ι = { [K] ι | K ∈ K }

I

各

i 6= j ∈ { 0, . . . , n }

^{に対して，}

結び目の組

K i,j ∈ [K i ] ι

，

K j,i ∈ [K j ] ι

が存在して

d ^λ (K _i,j , K _j,i ) = 1

を満たす時，

n + 1

^個の頂点

[K 0 ] ι , . . . , [K n ] ι

は

n–

^{単体を張る}

G ^λ _ι

^：

G ι ^λ

の

1–

^骨格，

(ι, λ)-

^{ゴルディアングラフ}

（各辺の長さを

1

として

G ^λ _ι

を距離空間と見なしたとき）

d ^λ _ι

^：

G ^λ _ι

^{上の距離，}

(ι, λ)-

(16)

結果

∆-

変形と関係する不変量：コンウェイ多項式

∇ K

（

c.f.

［

Conway 1970

］［岡田

1990

］）

定理［市原 – 鄭 2011 ］

G ^∆ _∇

は双曲的．実際，

G ^∆ _∇

は実数直線

R

^{と擬等長．} さらに

G ^∆ _∇

は

G _∇ ^∆

と一致することがわかるので，

系

G _∇ ^∆

自体も双曲的であり，実数直線

R

^{と擬等長．}

(17)

結果

∆-

変形と関係する不変量：コンウェイ多項式

∇ K

（

c.f.

［

Conway 1970

］［岡田

1990

］）

定理［市原 – 鄭 2011 ］

G ^∆ _∇

は双曲的．実際，

G ^∆ _∇

は実数直線

R

^{と擬等長．}

さらに

G ^∆ _∇

は

G _∇ ^∆

と一致することがわかるので，

系

G _∇ ^∆

自体も双曲的であり，実数直線

R

^{と擬等長．}

ゴルディアン複体の双曲性について

ゴルディアン複体の双曲性について

2012

, 2012.3.26

ゴルディアン距離

λ

ゴルディアン距離

2

K

K 0

λ-

d λ (K, K 0 )

= K

K 0

λ

x ⇒ d x

平澤–内田（2002）

d x

ゴルディアン距離

λ

ゴルディアン距離

2

K

K 0

λ-

d λ (K, K 0 )

= K

K 0

λ

x ⇒ d x

平澤–内田（2002）

d x

ゴルディアン距離

λ

ゴルディアン距離

2

K

K 0

λ-

d λ (K, K 0 )

= K

K 0

λ

x ⇒ d x

平澤–内田（2002）

d x

ゴルディアン距離

λ

ゴルディアン距離

2

K

K 0

λ-

d λ (K, K 0 )

= K

K 0

λ

x ⇒ d x

平澤–内田（2002）

d x

ゴルディアン複体

λ-ゴルディアン複体 G λ ［中西–大山（2006）］

K : 3

S 3

I G λ

0–

K

I n + 1

K 0 , . . . , K n

i 6 = j

d λ (K i , K j ) = 1

K 0 , . . . , K n

n–

注意

λ = x

–

G x

背景

⇒

ゴルディアン複体

K ⁰

d ^λ (K, K ⁰ )

K ⁰

x ⇒ d ^x

d ^x

K ⁰

d ^λ (K, K ⁰ )

K ⁰

x ⇒ d ^x

d ^x

K ⁰

d ^λ (K, K ⁰ )

K ⁰

x ⇒ d ^x

d ^x

K ⁰

d ^λ (K, K ⁰ )

K ⁰

x ⇒ d ^x

d ^x

λ-ゴルディアン複体 G ^λ ［中西–大山（2006）］

S ³

I G ^λ

d ^λ (K _i , K _j ) = 1

K ₀ , . . . , K _n

G ^x

λ-ゴルディアン複体 G ^λ ［中西–大山（2006）］

S ³

I G ^λ

d ^λ (K _i , K _j ) = 1

K ₀ , . . . , K _n

G ^x

λ- ゴルディアングラフ G ^λ

G ^λ

G ^x

G ^C

λ- ゴルディアングラフ G ^λ

G ^λ

G ^x

G ^C

δ-thin ⇔ s _i ⊂ N (s _j ∪ s _k , δ)