平面単位距離グラフの彩色について

平面単位距離グラフの彩色について

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渕野 昌 神戸大学大学院 システム情報学研究科

大阪府立大学 情報数理談話会での講演

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グラフ

グラフ

ここでは，グラフとは無向で一重のグラフのこととする

がグラフとは， ^¾ で，

は つまり，

すべての に対し，

となることとする．

ここでは，グラフとは無向で一重のグラフのこととする

がグラフとは， ^¾ で，

は つまり，

すべての に対し，

となることとする．

を と書いて，

と は このグラフで つながっている

グラフの

空でない集合（色の集合） に対して写像 が

であるとは，すべての に対し，なら

となることとする．

空でない集合（色の集合） に対して写像 が

であるとは，すべての に対し，なら

となることとする．

の を，次のように定義する

グラフの

空でない集合（色の集合） に対して写像 が

であるとは，すべての に対し，なら

となることとする．

の を，次のように定義する

から基数 への が存在する

空でない集合（色の集合） に対して写像 が

であるとは，すべての に対し，なら

となることとする．

の を，次のように定義する

グラフの

空でない集合（色の集合） に対して写像 が

であるとは，すべての に対し，なら

となることとする．

の を，次のように定義する

から基数 への が存在する

空でない集合（色の集合） に対して写像 が

であるとは，すべての に対し，なら

となることとする．

の を，次のように定義する

から基数 への が存在する

グラフの

空でない集合（色の集合） に対して写像 が

であるとは，すべての に対し，なら

となることとする．

の を，次のように定義する

から基数 への が存在する

平面単位距離グラフ

Ê

¾ 上の関係 を

Ê

¾

¾

と定義して，グラフ ^ʾ を，

平面単位距離グラフ とよぶ．

上の関係 を

Ê

¾

¾

と定義して，グラフ ^ʾ を，

平面単位距離グラフ とよぶ．

以下では，このグラフを とあらわすことにする．

Ê

¾

平面単位距離グラフ

Ê

¾ 上の関係 を

Ê

¾

¾

と定義して，グラフ ^ʾ を，

平面単位距離グラフ とよぶ．

以下では，このグラフを とあらわすことにする．

Ê

¾

である．

は何か

上の関係 を

Ê

¾

¾

と定義して，グラフ ^ʾ を，

平面単位距離グラフ とよぶ．

以下では，このグラフを とあらわすことにする．

Ê

¾

である．

は何か

平面単位距離グラフ

Ê

¾ 上の関係 を

Ê

¾

¾

と定義して，グラフ ^ʾ を，

平面単位距離グラフ とよぶ．

以下では，このグラフを とあらわすことにする．

Ê

¾

である．

は何か

ただし，次の部分解が知られている

不等式とその証明

補題

補題

証明．

不等式とその証明

補題

証明．

補題

証明．

不等式とその証明

補題

証明．

の定理

の問題は，有限グラフの の問題に還元できる．

の問題は，有限グラフの の問題に還元できる．

定理

任意のグラフ に対し，

は の有限部分グラフ が有限なら

の定理

の問題は，有限グラフの の問題に還元できる．

定理

任意のグラフ に対し，

は の有限部分グラフ が有限なら

が成り立つ．

系

" は の有限部分グラフ

の問題は，有限グラフの の問題に還元できる．

定理

任意のグラフ に対し，

は の有限部分グラフ が有限なら

が成り立つ．

系

" は の有限部分グラフ 系 の証明

の定理

の問題は，有限グラフの の問題に還元できる．

定理

任意のグラフ に対し，

は の有限部分グラフ が有限なら

が成り立つ．

系

" は の有限部分グラフ 系 の証明

を の部分グラフとするとき， である．

の問題は，有限グラフの の問題に還元できる．

定理

任意のグラフ に対し，

は の有限部分グラフ が有限なら

が成り立つ．

系

" は の有限部分グラフ 系 の証明

を の部分グラフとするとき， である．

したがって，

は の有限部分グラフ

の定理の証明

定理

任意のグラフ に対し，

は の有限部分グラフ が有限なら

が成り立つ．

任意のグラフ に対し，

は の有限部分グラフ が有限なら

が成り立つ．

の定理の証明

定理

任意のグラフ に対し，

は の有限部分グラフ が有限なら

が成り立つ．

証明．

" は の有限部分グラフとすると，

は明らかである．

任意のグラフ に対し，

は の有限部分グラフ が有限なら

が成り立つ．

証明．

" は の有限部分グラフとすると，

は明らかである．

有限な に対し， Ü

Ü

を対応する の部分グラフ

の定理の証明

定理

任意のグラフ に対し，

は の有限部分グラフ が有限なら

が成り立つ．

証明．

" は の有限部分グラフとすると，

は明らかである．

有限な に対し， Ü

Ü

を対応する の部分グラフ とし ^{Ü !!!} を とする．

は有限 とする． を，すべての

に対し， となるような ^#と して， を ^{Ü Ü} の による とする．

任意のグラフ に対し，

は の有限部分グラフ が有限なら

が成り立つ．

証明．

" は の有限部分グラフとすると，

は明らかである．

有限な に対し， Ü

Ü

を対応する の部分グラフ とし ^{Ü !!!} を とする．

は有限 とする． を，すべての

に対し， となるような ^#と して， を ^{Ü Ü} の による とする．

と考えてよいが， ^!!! は の

の定理の証明

定理

任意のグラフ に対し，

は の有限部分グラフ が有限なら

が成り立つ．

任意のグラフ に対し，

は の有限部分グラフ が有限なら

が成り立つ．

の定理の証明

定理

任意のグラフ に対し，

は の有限部分グラフ が有限なら

が成り立つ．

注意．

$%と^&' による証明はここで示したものとは異なる．

任意のグラフ に対し，

は の有限部分グラフ が有限なら

が成り立つ．

注意．

$%と^&' による証明はここで示したものとは異なる．

ここで示した証明では選択公理が ^# の存在を保証す

の定理の証明

定理

任意のグラフ に対し，

は の有限部分グラフ が有限なら

が成り立つ．

注意．

$%と^&' による証明はここで示したものとは異なる．

ここで示した証明では選択公理が ^# の存在を保証す るところで 本質的に用いられている．

実際，選択公理を仮定しないときには，定理が成り立たない 場合もある ^()(!

任意のグラフ に対し，

は の有限部分グラフ が有限なら

が成り立つ．

注意．

$%と^&' による証明はここで示したものとは異なる．

ここで示した証明では選択公理が ^# の存在を保証す るところで 本質的に用いられている．

実際，選択公理を仮定しないときには，定理が成り立たない 場合もある ^()(!

" は の有限部分グラフ が 選択公 理を仮定しない 集合論と矛盾しない可能性は 今のところ ま

グラフの

グラフ の を，以下の ^* を満た

グラフの

グラフ の を，以下の ^* を満た す最小の数（基数） とする

* の各点に任意の 色からなる色のリストを対応させたと き，それらのリストから色を選ぶような が 必ず存在する．

グラフ の を，以下の ^* を満た す最小の数（基数） とする

* の各点に任意の 色からなる色のリストを対応させたと き，それらのリストから色を選ぶような が 必ず存在する．

! "

グラフの

グラフ の を，以下の ^* を満た す最小の数（基数） とする

* の各点に任意の 色からなる色のリストを対応させたと き，それらのリストから色を選ぶような が 必ず存在する．

! "

任意のグラフ に対し， である．

証明． として， の頂点に同一の 色の色のリス トを対応させた場合を考えれば明らかである．

となるグラフ は存在する

例 立方体の頂点と辺からなるグラフを とする

例

となるグラフ は存在する

例 立方体の頂点と辺からなるグラフを とする

例 立方体の頂点と辺からなるグラフを とする

¼

平面単位距離グラフの彩色 ^"

!

Ò を 次元立方体の頂点と辺からなるグラフとするとき

¼

平面単位距離グラフの彩色 ^"

!

Ò を 次元立方体の頂点と辺からなるグラフとするとき

Ò

となる．

! #

次元立方体の頂点と辺からなるグラフ Ò は に埋め込める．

!

Ò を 次元立方体の頂点と辺からなるグラフとするとき

Ò

となる．

! #

¼

平面単位距離グラフの彩色 ^"

!

Ò を 次元立方体の頂点と辺からなるグラフとするとき

Ò

となる．

! #

次元立方体の頂点と辺からなるグラフ Ò は に埋め込める．

系

グラフの

グラフ の を，以下の ^* を 満たす最小の基数 とする

満たす最小の基数 とする

* 上の整列順序 ⁺⁾ で，すべての に対 し， のサイズが になるようなも

グラフの

グラフ の を，以下の ^* を 満たす最小の基数 とする

* 上の整列順序 ⁺⁾ で，すべての に対 し， のサイズが になるようなも のが存在する．

! %

すべてのグラフ に対し， が成り立つ．

満たす最小の基数 とする

* 上の整列順序 ⁺⁾ で，すべての に対 し， のサイズが になるようなも のが存在する．

! %

すべてのグラフ に対し， が成り立つ．

グラフの

グラフ の を，以下の ^* を 満たす最小の基数 とする

* 上の整列順序 ⁺⁾ で，すべての に対 し， のサイズが になるようなも のが存在する．

! %

すべてのグラフ に対し， が成り立つ．

証明． で， を対応する 上の整列順序とする．

を の各点に 個の要素からなる 色の 集合を対応させる 関数 リスト とする．

満たす最小の基数 とする

* 上の整列順序 ⁺⁾ で，すべての に対 し， のサイズが になるようなも のが存在する．

! %

すべてのグラフ に対し， が成り立つ．

証明． で， を対応する 上の整列順序とする．

を の各点に 個の要素からなる 色の 集合を対応させる 関数 リスト とする．

に関する帰納法で， の を

グラフの

グラフ の を，以下の ^* を 満たす最小の基数 とする

* 上の整列順序 ⁺⁾ で，すべての に対 し， のサイズが になるようなも のが存在する．

! %

すべてのグラフ に対し， が成り立つ．

証明． で， を対応する 上の整列順序とする．

を の各点に 個の要素からなる 色の 集合を対応させる 関数 リスト とする．

に関する帰納法で， の を

となるように作れる

が 上で既に定義されたとき，

は空でないから，この要素の一つを と

すればよい．

&

¼ 平面単位距離グラフの彩色

定理

定理

¼

証明は による の特徴付け

を用いると数行でできる．

詳細は

(!, - .

-/0(12. 2.

&

¼ 平面単位距離グラフの彩色

定理

¼

証明は による の特徴付け

を用いると数行でできる．

詳細は

(!, - .

-/0(12. 2.

を参照．

系

$ % 平面単位距離グラフの彩色

講演者 渕野 は，平面の

の問題 ³⁺⁾⁴ について，

5年秋に^-/0(の集合論研究集会に参加し た ^{6 4789} から教わった．

講演者 渕野 は，平面の

の問題 ³⁺⁾⁴ について，

5年秋に^-/0(の集合論研究集会に参加し た ^{6 4789} から教わった．

この直後，講演者からこの話を聞いた酒井拓 史は ^¼ の直接証明を得た．この証 明について ^{4 7 89} と人で議論し たが，その後，酒井も渕野もこの証明を忘れ

$ % 平面単位距離グラフの彩色

講演者 渕野 は，平面の

の問題 ³⁺⁾⁴ について，

5年秋に^-/0(の集合論研究集会に参加し た ^{6 4789} から教わった．

この直後，講演者からこの話を聞いた酒井拓 史は ^¼ の直接証明を得た．この証 明について ^{4 7 89} と人で議論し たが，その後，酒井も渕野もこの証明を忘れ てしまった．

講演者は，年の初めに の ⁾

による特徴付けを発見して，この特徴付けを用いて

¼ の証明の再現を含む，より一般的な結果を得た．

この論文をさらに拡張したものを酒井との共著で準備中である．

参考文献など

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参考文献など

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& 平面単位距離グラフの彩色