担当：平田 健太郎

1/20

11

過渡応答と安定性（続）

周波数応答

(1)

システム制御Ⅰ

担当：平田 健太郎

4

月

5, 6

14

00-16

10

3, 4

11

00-13

10

5

15

(

Schedule

1. 12/2 (today) 2. 12/5

3. 12/9 4. 12/12 5. 12/16 6. 12/19 7. 12/23 8. 1/6

9. 1/9

10. 1/16

11. 1/20 12. 1/23 13. 1/27 14. 1/30 15. 2/3

16. 2/6

伝達関数

𝐺 𝑠 =

𝑠²+𝑠−2 は不安定である.

𝐺 𝑠 は有理伝達関数であるから, 安定性の必要十分条件は すべての極の実部が負であることである.

極とは分母多項式を零にする点であるから 𝑠² + 𝑠 − 2 = 𝑠 + 2 (𝑠 − 1) より, 極は 𝑠 = −2, 1 である. 𝑠 = 1 の実部は負でない.

+ 𝐺(𝑠)

−

𝐾

𝑟 𝑢 𝑦

というフィードバック制御によって, 𝐺 𝑠 を含むフィードバック系を安定にしよう.

ただし 𝐾 はスカラーのゲインとする.

𝐺 𝑠 = 1

𝑠

+ 𝑠 − 2

+

−

𝐾

𝑟 𝑢 𝑦

フィードバック系 (𝑟から𝑦まで) の伝達関数は ^{𝐾𝐺(𝑠)}

1+𝐾𝐺(𝑠) であるので 閉ループ系の極は 1 + 𝐾𝐺(𝑠)=0 とする点である.

1 + 𝐾𝐺(𝑠)=0 1 + 𝐾

𝑠² + 𝑠 − 2=0 𝑠² + 𝑠 + (𝐾 − 2)=0

2次系の安定条件は全ての係数が同符号であったから 𝐾 > 2 ならば フィードバック系を安定にすることができる.

前回のおさらい

フルビッツの安定判別法 安定性の必要条件 行列式の展開

必要十分条件 振子系の安定性

平衡点

運動方程式 線形化

根軌跡

𝐺(𝑠)

.

,

𝑟

𝑦

+ 𝐺(𝑠)

−

𝐾

𝑟 𝑢 𝑦

𝐾𝐺(𝑠) 1 + 𝐾𝐺(𝑠)

であり

,

1 + 𝐾𝐺(𝑠)=0

.

𝐾

,

𝐾

.

𝐾

0

+∞

.

,

,

.

𝐺 𝑠 = 𝑏

ς

(𝑠 − 𝑧

)

𝑎

ς

(𝑠 − 𝑝

) = 𝑏

𝑠 − 𝑧

⋯ (𝑠 − 𝑧

)

𝑎

𝑠 − 𝑝

⋯ (𝑠 − 𝑝

) = 𝑁 𝑠 𝐷(𝑠)

𝑁 𝑠 :

𝑚

, 𝐷 𝑠 :

𝑛

, 𝑛 ≥ 𝑚 𝐷 𝑠 = 𝑎

𝑠

+ 𝑎

𝑠

+ ⋯ + 𝑎

𝑁 𝑠 = 𝑏

𝑠

+ 𝑏

𝑠

+ ⋯ + 𝑏

,

1 + 𝐾𝐺(𝑠)=0

, 𝑎

, 𝑏

≠ 1

𝐾

=

𝑎₀

𝐾

𝐾

,𝑎

= 𝑏

= 1

.

𝑝

: 𝐺 𝑠

, 𝑧

: 𝐺 𝑠

R0 (Rule 0): 根軌跡は実係数の代数方程式 𝐴(𝑠)=0 の根であるから, 𝑛本の 分岐からなり実軸に関して（上下）対称である.

1 + 𝐾𝐺(𝑠)=0

𝐺 𝑠 = ς

(𝑠 − 𝑧

)

ς

(𝑠 − 𝑝

) = 𝑠 − 𝑧

⋯ (𝑠 − 𝑧

)

𝑠 − 𝑝

⋯ (𝑠 − 𝑝

) = 𝑁 𝑠 𝐷(𝑠)

𝐷(𝑠) + 𝐾𝑁(𝑠) = 0

𝐴 𝑠 ≔ ෤𝑎₀ 𝑠^𝑛 + ෤𝑎₁𝑠^𝑛−1 + ෤𝑎₂𝑠^𝑛−2 + ⋯ + ෤𝑎_𝑛 = 0 𝑁 𝑠 : 実係数 𝑚 次多項式, 𝐷 𝑠 : 実係数 𝑛 次多項式, 𝑛 ≥ 𝑚

෤

𝑎₀, ⋯ , ෤𝑎_𝑛: 実数

複素根は必ず複素共役対として現れる.

R1: 𝐾=0 に対応する根軌跡上の点は開ループ伝達関数𝐺 𝑠 の極に一致する.

1 + 𝐾𝐺 𝑠 =0 𝐺 𝑠 = −1/𝐾

𝐺 𝑠 = ς

(𝑠 − 𝑧

)

ς

(𝑠 − 𝑝

)

ෑ

𝑘=1 𝑛

(𝑠 − 𝑝_𝑘) = −𝐾 ෑ

𝑘=1 𝑚

(𝑠 − 𝑧_𝑘)

𝐾=0 のとき, 𝑠 は 𝑝₁, ⋯ , 𝑝_𝑛 のいずれか

1 + 𝐾𝐺 𝑠 =0

R2: 𝐾= ± ∞ のとき, 根軌跡は無限遠点も含めた𝐺 𝑠 の零点に漸近する.

1 + 𝐾𝐺 𝑠 =0 𝐺 𝑠 = −1/𝐾

𝐺 𝑠 = ς

(𝑠 − 𝑧

)

ς

(𝑠 − 𝑝

)

− 1 𝐾ෑ

𝑘=1 𝑛

(𝑠 − 𝑝_𝑘) = ෑ

𝑘=1 𝑚

(𝑠 − 𝑧_𝑘)

𝐾= ± ∞のとき, 𝑠 は 𝑧₁, ⋯ , 𝑧_𝑚 のいずれか もしくは 無限遠点 𝑠 = ∞ (n > 𝑚 のとき)

1 + 𝐾𝐺 𝑠 =0

R3: 無限遠点に発散する分岐の漸近する直線は実軸上の特定の点を通り, その角度も定まる.

1 + 𝐾𝐺 𝑠 =0 1

𝐺 𝑠 = −𝐾

𝑠

+ 𝑎

𝑠

+ ⋯ + 𝑎

𝑠

+ 𝑏

𝑠

+ ⋯ + 𝑏

= −𝐾

𝑠 → ∞ のとき, 𝜈 ≔ 𝑛 − 𝑚 とおくと左辺は 𝑠^𝜈 + 𝑎₁ − 𝑏₁ 𝑠^𝜈−1 で近似できる.

𝑠^𝜈 + 𝑎₁ − 𝑏₁ 𝑠^𝜈−1 = 𝑠^𝜈 1 + 𝑎₁ − 𝑏₁

𝑠 ≃ 𝐾 𝑒^𝑗𝜋

𝑠^𝜈 1 + 𝑎₁ − 𝑏₁

𝑠 ≃ 𝐾 𝑒^𝑗𝜋

両辺の 𝜈 乗根をとり, 1 + 𝑥 ^𝛼 ≃ 1 + 𝛼𝑥 ( 𝑥 ≪ 1) を用いると

𝑠 = −𝑎₁ − 𝑏₁

𝜈 + 𝐾 ^1𝜈𝑒^𝑗𝜃𝑙 𝜃_𝑙 = 2𝑙 + 1 𝜋

𝜈 ,

𝑙 = 0,1, ⋯ , 𝜈 − 1

−𝑎₁ − 𝑏₁

𝜈 = 1

𝜈 ෍

𝑖=1 𝑛

𝑝_𝑖 − ෍

𝑖=1 𝑚

𝑧_𝑖 解と係数の関係より 分岐の重心：

𝜈 = 1

Re Im

発散方向 (バターワースパターン)

𝜈 = 2

Re Im

𝜈 = 3

Re Im

𝜈 = 4

Re Im

𝜃 = −180° 𝜃 = ±90° 𝜃 = −180°, ±60° 𝜃 = ±135°, ±45°

R4: 実軸上にいくつかの𝐺 𝑠 の極と零点が存在するとき, 実軸の どの部分が軌跡に含まれるかも, 解析的に求まる.

1 + 𝐾𝐺 𝑠 =0 1

𝐺 𝑠 = ς

(𝑠 − 𝑝

)

ς

(𝑠 − 𝑧

) = −𝐾

𝑠 が実軸にあるとき, 複素共役な極・零点は無関係 1

𝐺 𝑠 の位相が−𝜋

∠ (𝑠 − 𝑝)(𝑠 − ҧ𝑝) = ∠ 𝑠 − 𝑝 + ∠ 𝑠 − ҧ𝑝

= ∠ 𝑠 − (𝜎 + 𝑗𝜔) + ∠ 𝑠 − (𝜎 − 𝑗𝜔) 𝑠 ∈ ℝ

= ∠ 𝑠 − 𝜎 + 𝑗𝜔 + ∠ 𝑠 − 𝜎 + 𝑗𝜔) = 0 複素共役

𝑠 と極・零点の左右が入れ替わると, 位相が±𝜋 で反転. その総和が−𝜋 となる部分が実軸上の軌跡となる.

R5: 根軌跡が実軸から分岐する点は, ある代数方程式の根によって定まる. 分岐点では 𝑠 は重根 𝐴 𝑠 = 𝑠 − 𝑠₁ ²𝐵(𝑠)

𝐴 𝑠 = 𝑁 𝑠 𝐷 𝑠

𝑁 𝑠 + 𝐾 𝐴′ 𝑠 = 𝑁′ 𝑠 𝐷 𝑠

𝑁 𝑠 + 𝐾

𝑑 𝐷 𝑠 +𝑁(𝑠) 𝑑

𝑑𝑠

𝐷 𝑠 𝑁 𝑠

∴ 𝐴 𝑠₁ = 𝐴′ 𝑠₁ =0

𝐴^′ 𝑠 = 2 𝑠 − 𝑠₁ 𝐵 𝑠 + 𝑠 − 𝑠₁ ²𝐵′(𝑠)

𝐷 𝑠

𝑁 𝑠 + 𝐾 = 0

分岐点も根なので

R6: 根軌跡が虚軸を横切るときのゲイン𝐾および交点の値はラウス・フルビッツの 方法を用いて求めることができる.

フィードバック系が安定限界にあるとき, 極のうちひとつは虚軸上にあるため

The Origin of Control Theory

Cambridge University

Sir Maxwell Routh

分かりやすい例

𝐺(𝑠) = 1

𝑠(𝑠 + 4) の根軌跡

1 + 𝐾𝐺 𝑠 = 1 + 𝐾

𝑠(𝑠 + 4) = 0 𝑠² + 4𝑠 + 𝐾 = 𝑠 + 2 ² + 𝐾 − 4 = 0

根軌跡の性質は使わずに 𝑝₁, 𝑝₂ = −2 ± 4 − 𝐾 と直接計算できる.

0 < 𝐾 < 4 のとき 𝑝₁, 𝑝₂ ∈ ℝ, 点 −2 の両側から近づく 𝐾 = 4 のとき 𝑝₁, 𝑝₂ = −2 (重根)

𝐾 > 4 のとき 𝑝₁, 𝑝₂ は実部が −2の共役複素数で, 𝐾 が大きくなるにつれて虚部は大きくなっていく

Re Im

𝑘 → 0 𝑘 → 0

𝑘 → +∞

𝑘 → +∞

−4 −2 0

𝐺(𝑠) = 1

𝑠(𝑠 + 4) 𝐴 𝑠 = 𝑠² + 4𝑠 + 𝐾, 𝑛 = 2

Re Im

𝑘 → 0 𝑘 → 0

𝑘 → +∞

−4 −2 0

R0: 実係数代数方程式𝐴(𝑠)=0 の根の軌跡であるから, 2本の分岐からなり実軸に関して対称.

R1: 𝐾=0に対応する根軌跡上の点は開ループ伝達関数𝐺 𝑠 の極. 𝑠 = −4, 0

R3: 無限遠点に発散する分岐の漸近する直線は実軸上の特定の点を通り, 角度も定まる.

𝑠_𝑔 = 1

𝜈 ෍

𝑖=1 𝑛

𝑝_𝑖 − ෍

𝑖=1 𝑚

𝑧_𝑖 = 0 + (−4)

2 = −2

重心

相対次数 𝜈 = 2なので発散方向は±90°

Check

相対次数𝜈 = 2, 極𝑝₁ = 0, 𝑝₂ = −4,零点(𝑧_𝑖) なし

𝐺(𝑠) = 1

𝑠(𝑠 + 4) 𝐴 𝑠 = 𝑠² + 4𝑠 + 𝐾, 𝑛 = 2

R4: 実軸上にいくつかの𝐺 𝑠 の極と零点が存在するとき, 実軸のどの部分が軌跡に 含まれるかも, 解析的に求まる.

1

𝐺 𝑠 = 𝑠(𝑠 + 4) = −𝐾

−4 0

𝑠

複素数𝑠 を表すベクトル 𝑠 が実軸上のここにあるとする

位相は−𝜋

−4

𝑠 0

複素数𝑠 + 4を表すベクトル

位相は−𝜋 𝑠 + 4 = 𝑠 − (−4)

終点−始点

𝐺(𝑠) = 1

𝑠(𝑠 + 4) 𝐴 𝑠 = 𝑠² + 4𝑠 + 𝐾, 𝑛 = 2

Re Im

𝑘 → 0 𝑘 → 0

𝑘 → +∞

−4 −2 0

R4: 実軸上にいくつかの𝐺 𝑠 の極と零点が存在するとき, 実軸のどの部分が軌跡に 含まれるかも, 解析的に求まる.

1

𝐺 𝑠 = 𝑠(𝑠 + 4) = −𝐾

−4 0

位相 −𝜋 と−𝜋 で− 2𝜋 ≠ −𝜋 位相0と0で0 ≠ −𝜋 𝑠

𝑠 − (−4)

−4 0

位相0と−𝜋で − 𝜋: ここが軌跡 𝑠 − (−4) 𝑠

𝐺(𝑠) = 1

𝑠(𝑠 + 4) 𝐴 𝑠 = 𝑠² + 4𝑠 + 𝐾, 𝑛 = 2

Re Im

𝑘 → 0 𝑘 → 0

𝑘 → +∞

𝑘 → +∞

−4 −2 0

R5: 根軌跡が実軸から分岐する点は, ある代数方程式の根によって定まる.

𝐴’ 𝑠 = 2𝑠 + 4 = 0 𝑠 = −2

𝐺(𝑠) = 5 − 𝑠

𝑠(𝑠 + 2) の根軌跡

𝐺 𝑠 の極 𝑠 = 0, −2

から始まり, 𝐺 𝑠 の零点 𝑠 = 5 および無限遠点に向かう.

Re Im

𝑘 → 0 𝑘 → 0

𝑘 → +∞ 𝑘 → +∞

極 零点

1 + 𝐾𝐺 𝑠 = 1 + 𝐾(5 − 𝑠)

𝑠(𝑠 + 2) = 0 𝑠 𝑠 + 2 + 𝐾(5 − 𝑠) = 0 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔

𝜎² − 𝜔² + 2 − 𝐾 𝜎 + 5𝐾 = 0 ・・・(1) 2𝜎 + 2 − 𝐾 𝜔 = 0

実部

虚部 𝜔 = 0 or 𝐾 = 2(𝜎 + 1)

式(1) に代入すると

𝜎² − 𝜔² − 2𝜎² + 10(𝜎 + 1) = 0

𝜎 + 𝑗𝜔 𝜎 + 2 + 𝑗𝜔 + 𝐾 5 − 𝜎 − 𝑗𝜔 = 0

𝜎² + 𝜔² − 10(𝜎 + 1) = 0 (𝜎 − 5)²+𝜔² = 35

軌跡が実軸上にないとき (𝜔 ≠ 0), 中心 5,0 , 半径 35 の円周上にある.

1 + 𝑘𝐺 𝑠 = 0

𝑠(𝑠 + 2) + 𝑘(5 − 𝑠) = 0 𝑠² + (2 − 𝑘)𝑠 + 5𝑘 = 0

𝑎₀ 𝑎₁ 𝑎₂

フルビッツ行列

𝐻 = 𝑎₁ 0

𝑎₀ 𝑎₂ = 2 − 𝑘 0

1 5𝑘

フルビッツ行列式（2次までの主座小行列式）

が全て正 ⇔ 多項式は安定

Δ₂ = 5 2 − 𝑘 𝑘 > 0

𝑘 < 2

0 < 𝑘 < 2 Δ₁ = 2 − 𝑘 > 0

𝐺(𝑠) = 5 − 𝑠 𝑠(𝑠 + 2)

Re Im

𝑘 → 0 𝑘 → 0

𝑘 → +∞ 𝑘 → +∞

𝐺(𝑠) = 1

𝑠(𝑠 + 1)(2𝑠 + 1) の根軌跡

𝐺 𝑠 の極 𝑠 = 0, −1, −1/2 から始まり, 𝐺 𝑠 の無限遠零点

（−𝜋, ±𝜋/3 のバターワース パターン）に向かう.

Re Im

𝑘 → 0 𝑘 → 0

𝑘 → 0

𝑘 → +∞

𝑘 → +∞

𝑘 → +∞

1 + 𝑘𝐺 𝑠 = 0

𝑠(𝑠 + 1)(2𝑠 + 1) + 𝑘 = 0 2𝑠³ + 3𝑠² + 1𝑠 + 𝑘 = 0 𝑎₀ 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃

フルビッツ行列

𝐻 =

𝑎₁ 𝑎₃ 0 𝑎₀ 𝑎₂ 0 0 𝑎₁ 𝑎₃

=

3 𝑘 0 2 1 0 0 3 𝑘

フルビッツ行列式（3次までの主座小行列式）

が全て正 ⇔ 多項式は安定

Δ₂ = 3 𝑘

2 1 = 3 − 2𝑘 > 0,

自明

𝑘 < 3/2

0 < 𝑘 < 3/2 Δ₁ = 3 > 0

Δ₃ = 𝑘Δ₂ = 𝑘(3 − 2𝑘) > 0

Re Im

𝑘 → 0 𝑘 → 0

𝑘 → 0

𝑘 → +∞

𝑘 → +∞

𝑘 → +∞

𝑘 = 3/2

𝑘 = 3/2

0 3/2

周波数応答

安定な伝達関数システムに正弦波入力を印加すると？

𝑢 𝑦

𝐺(𝑠)

𝐺 𝑠 = 1

𝑠 + 1 𝑢 𝑡 = sin 𝑡 𝑢 𝑠 = 1

𝑠² + 1

𝑦 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑢 𝑠 = 1

𝑠 + 1 ⋅ 1

𝑠² + 1 = 1 2

1

𝑠 + 1 + −𝑠 + 1 𝑠² + 1

𝑦 𝑡 = ℒ⁻¹ 1 1

+ −𝑠 + 1

2 = 1

𝑒^−𝑡 + 1

sin 𝑡 − 1

cos 𝑡

𝛼 sin 𝑡 + 𝛽 cos 𝑡 = 𝛾 sin 𝑡 + 𝜙 = 𝛾 sin 𝑡 cos 𝜙 + cos 𝑡 sin 𝜙

𝛼 = 𝛾 cos 𝜙 , 𝛽 = 𝛾 sin 𝜙 𝛾 = 𝛼² + 𝛽² 𝜙 = atan 𝛽/𝛼 𝛼 = 1/2

𝛽 = −1/2

𝛾 = 1/ 2

𝜙 = atan −1 = −𝜋/4 𝑦 𝑡 = 1

2𝑒^−𝑡 + 1

2sin 𝑡 − 1

2cos 𝑡

𝑦 𝑡 = 1

2𝑒^−𝑡 + 1

2sin 𝑡 − 𝜋 4

時間が十分に経過すると 𝑡 → ∞ 右辺第1項は0に収束.

定常応答は, 振幅が1/ 2倍され, 位相が𝜋/4だけ遅れた, 入力と同じ 周波数の正弦波となる.

これは一般論としても成立し, 安定な伝達関数システムに正弦波入力を印 加すると, 定常応答は, 振幅, 位相が変化した, 入力と同じ周波数の正弦波 となる.

これが周波数応答の原理である.

𝑢 𝑦

𝐺(𝑠) +1

−1

+1/ 2

−1/ 2

𝜋/4

𝑢 𝑡 = sin 𝑡 𝐺 𝑠 = 1

𝑠 + 1 𝑦 𝑡 ≃ 1

2sin 𝑡 − 𝜋 4

Frequency Response



Steady-State Response to Sinusoidal Input

Key Points: Start from 𝑔 𝑡 ∗ 𝑢(𝑡) !

How to describe “steady-state” ? Assumption: 𝐺 𝑠 : stable 𝐺 ⇔ 𝑔 𝑡 → 0, 𝑡 → ∞

𝑦 _𝑠 𝑡 : steady-state output for 𝑒 ^𝑗𝜔𝑡

Different views of young and old

Now (𝑡 = 0) Infinite future (𝑡 = ∞)

Infinite past (𝑡 = −∞) Now (𝑡 = 0)

𝑡