機械力学１講義 第 11 回

機械力学１講義 第 11 回

2007.1.22

= 0

∂

− ∂

 

 





∂

∂

q L q

L dt

d

&

U T

L = −

q Q L q

L dt

d =

∂

− ∂

 

 





∂

∂

&

q Q D q

L q

L dt

d =

∂ + ∂

∂

− ∂

 

 





∂

∂

&

&

2

2 1 c q

D = &

種々の運動におけるラグランジュの方程式

(1) 保存系

q：一般座標．x，y，r，θなど (2) 外力が働く場合

並進：Qは力

回転：Qはモーメント (3) 減衰がある場合

D：散逸関数

c q

前回の復習

教科書 p.131

r r

r r

q Q D q

L q

L dt

d =

∂ + ∂

∂

− ∂

 

 





∂

∂

&

& r = 1 ~ N

x F L x

L dt

d =

∂

− ∂

 

 





∂

∂

&

ε

∂ =

− ∂

 

 





∂

∂

q L q

L dt

d

&

e

m

W

W U

T

L = − + − (4) 多自由度系

(5) 電気回路を含む場合

磁界のエネルギ 電界のエネルギ q：電荷 ε：電源電圧

種々の運動におけるラグランジュの方程式

2

2 1 LI W

=

2

2

1 CV

W

=

ニュートンの方程式

x y

m

θ

Fr

Fθ

r

F r

mr r

m _&& − θ ^{& 2 遠心力} =

θ θ

θ m r F

mr && + 2 & & =

コリオリ力

ラグランジュの方程式

F

r L r

L dt

d =

∂

− ∂

 

 





∂

∂

&

L N L

dt

d =

∂

− ∂

 

 





∂

∂

θ

θ ^&

運動方程式の極座標表示

r 方向

Θ方向

rF

=

7.4.5 摩擦のある棒上の質点

[

( )

]

2

1 m r _& r θ ^&

T = +

U T

L = −

= 0 U

ω

F

r

µ F

F

= −

m ω t

θ =

図

摩擦のある棒上のリング

摩擦係数μ 摩擦力 F

はコリオリ力 F

により決定

F

r L r

L dt

d =

∂

− ∂

 

 





∂

∂

&

r 方向の運動方程式

θ

θ ^rF

L L

dt

d =

∂

− ∂

 

 





∂

∂

&

θ方向の運動方程式

F r

mr r

m _&& − θ ^{& 2} =

θ θ

θ mr r rF

mr ² && + 2 & & =

. const

=

= ω θ ^&

0

2 − ² =

+ µ m ω r mr ω

r

m && &

m の運動を棒上に拘束 r 方向の運動方程式 θ方向の運動方程式

動摩擦が働く F _r = − µ F _θ

①

②

③

④

F r

mr r

m _&& − ω ² =

ω rF θ

r

mr & =

2

③＋④×μ／ r

①→

②→

m

ω

m

k = − c = 2 m ωµ

r

図 5.6

θ

ω = ^&

µ F

F

=

m

r

F

0

2 − ² =

+ m r m r r

m _&& µ ω _& ω

ばねが負なので，無限遠に遠ざかる

c k

θ

m r ω

F = 2 &

図

回転する棒上のリング

ω t

θ = ^m

r

= 0 F

摩擦がない場合

2 = = 0

− mr F _r r

m _&& θ ^&

r 方向の式のみでよい

（自由度方向のみ）

const

=

= ω

θ ^& r && = r ω ² r = e ^{ω t} , e ^{− ω t}

式①は保存系と同じ．しかしエネルギーは変化．矛盾？

ω一定が，エネルギ変化（ F

が仕事をすること）を表す．

F

の効果はθの中に入っている．

F

はθを介してのみ r に影響．θが既知なので F

不要．

θ方向の式を立てると何が分かるか？

①

r

→∞ 質点の運動エネルギ∞

θ θ

θ mr r rF

mr ² && + 2 & & =

θ方向の式を立てると 何が分かるか

コリオリ力 F

が分かる

ω一定で棒を回すために必要な力が分る

θ

m r ω

F = 2 &

ω t

θ = ^m

r

= 0 F

2 = 0

− mr ω

r

m && ^{r 方向の式より， r 既知}

ω t

θ = 一定回転条件より，θ既知

θ θ

θ ^rF

L L

dt

d =

∂

− ∂

 

 





∂

∂

&

指数関数的に増大

・変位が欲しい場合：

変位が未知の自由度の方程式を立てる

・力が欲しい場合：

力が未知の自由度の方程式を立てる

F

θ

r

F

F _θ θ r F _r

r 方向の方程式

θ方向の方程式

(a) xの１自由度系．θ=ωt既知 x方向の運動方程式のみでよい

7.4.6 弾性支持されたモータ

により回転するおもり

k c

r

M m

N

(a)角速度ω一定 (b)トルクN一定 x

r

v

= ω cos θ + & v

= r ω sin θ

2 2 2 2

2 2

cos

2 r ω x θ r ω x

v v

v =

+

= & + & +

2 2

2 1 2

1 M x mv

T = & +

おもりの速度

おもりの速度

v

v

ω r

x &

x &

θ

θ

運動エネルギ

) sin

2 2 (

1 2

1 M x _&

+ m x _&

+ r θ ^& x _& θ + r

θ ^&

=

g

v

2

2 ) 1 sin

( x r kx

mg Mgx

U = + + θ +

2

2 1 c x

D = &

U T

L = −

= 0

∂ + ∂

∂

− ∂

 

 





∂

∂

x D x

L x

L dt

d

&

&

( ^{M + m} ) ^x _&& ^{+ c x} _& ^{+ kx = mr ω 2 cos θ − ( M + m ) g}

ω

θ & =

) sin

2 2 (

1 2

1 M x

m x

r ω x θ r

ω

T = & + & + & +

運動エネルギ

) sin

2 2 (

1 2

1 M x _&

m x _&

r θ ^& x _& θ r

θ ^&

T = + + +

k c

r

M m

N

x 方向の外力なし g

(7.96)

散逸関数

ｒ

θ

r sinθ

x

x方向の式の意味

r θ

M

m

x

c &

x

m &&

kx

θ ω

cos mr

x mg

M &&

Mg

( ^{M + m} ) ^x _&& ^{+ c x} _& ^{+ kx = mr ω 2 cos θ − ( M + m ) g}

全慣性力 遠心力 全重力

遠心力

モータの回転トルク N は ω一定に含まれている．

未知数は x だけ． N も未知だが

N がなくても x は解ける．

xとθの２自由度系

x方向

(b)トルクN一定

2

2 ) 1 sin

( x r kx

mg Mgx

U = + + θ +

2

2 1 c x

D = &

U T

L = −

= 0

∂ + ∂

∂

− ∂

 

 





∂

∂

x D x

L x

L dt

d

&

&

) sin

2 2 (

1 2

1 M x _&

m x _&

r θ ^& x _& θ r

θ ^&

T = + + +

D N L

L dt

d =

∂ + ∂

∂

− ∂

 

 





∂

∂

θ θ

θ ^{& &}

N g

x mr

mr

θ && − ( && + ) cos θ =

θ方向

( ^{M + m} ) ^x && ^{+ c x} & ^{+ kx = mr} ( ^{θ &}

^{cos θ + θ && sin θ} ) ^{− ( M + m ) g}

θ x

k c

r

M m

g N

(7.99)

(7.97)

θとxが未知なので，連立させて解く．

( ^{r θ x cos θ} ) ^{N mgr cos θ}

mr && + && = −

Θ方向の式の意味

重りの回転加速度＋上下動加速度のθ方向成分

＝θ方向の全回転加速度

モータトルク＋重力のθ方向成分

θ

x &&

r

m

g N

θ ^&&

mr

θ cos x

m &&

θ cos mg

mg

回転加速度 重力

上下動加速度

ω

θ & =

= 0 θ ^&&

ω θ ,

x

N

x 方向 θ方向

(a)角速度ω一定

( )

g m M

mr

kx x

c x m M

) (

2

cos − +

=

+ +

+

θ ω

&

&&

N g

x

mr + =

− ( && ) cos θ

ω，θを与えて

を求める

ω，θ， x を与えて N を求める ω一定

x と N の２自由度系

自由度

N 一定

x とθの２自由度系 (b)トルクN一定

N g

x mr mr

= +

− θ

θ

cos ) (

2

&&

&&

( )

( )

g m M

mr

kx x

c x m M

) (

sin

2

cos +

−

+

=

+ +

+

θ θ

θ

θ ^{& &&}

&

&&

N

を与えて

とθを求める

ω t

θ =

( )

^{( )}

2

= a φ + a sin φ ⋅ ω

v &

( ) ^{( )}

{

}

2

sin

2 1 2

1 = φ + φ ⋅ ω

= mv m a a

T &

( ^{1 − cos φ} )

= mga U

ｒ方向：r=a（一定）

θ方向：θ=ωt（強制変位）

φ方向：未知

φ

θ

)

( θ & = ω

o a

m

ω

a

φ ^&

φ a

φ sin a

( ^{1 − cos φ} )

a ^{（実質半径）} a sin φ ⋅ ω φに関する１自由度系

7.4.7 回転するリング上の質点

g

= 0

∂

− ∂

 

 





∂

∂ φ φ

L L

dt d

&

φ φ

φ ^{& & &}

ma

T

L =

∂

= ∂

∂

∂ φ

φ ^{& &&}

ma

L dt

d   =

 





∂

∂

φ φ

φ

φ ω ^{sin cos sin}

2

2

mga

L ma

−

∂ =

∂

0 sin

cos

2

sin + =

− ω φ φ φ

φ a

&& g

( ) ^{( )}

{

}

2

sin

2 1 2

1 = φ + φ ⋅ ω

= mv m a a

T &

( ^{1 − cos φ} )

= mga U

φに関する１自由度系

U T L = − ラグランジュの

方程式 第１項

第２項

運動方程式

φ方向に外力なし．減衰なし．

第１項：遠心力のφ方向成分 第２項：重力のφ方向成分

運動方程式 a φ && = a sin φ ⋅ ω

⋅ cos φ − g sin φ

sin φ ⋅ ω 2

a

φ a

φ sin a

（実質半径）

φ ^&&

a

φ

sin

g g

φ ω

φ cos sin ⋅ ²

a

（遠心力）

左辺：φ方向の加速度

r 方向の運動方程式

↓

重力，遠心力，輪の拘束力 θ方向の運動方程式

↓

コリオリ力

実質的な回転半径 a sin φ が変化

（質点の運動エネルギも変化）

θ，ω

0 sin

cos

2

sin + =

− ω φ φ φ

φ a

&& g

= 0

= φ

φ ^{& &&}

0 cos

sin

 =



 



 −

φ ω

φ a

g

コラム16 回転リングの問題の解

非線形方程式 静的平衡点

π φ

ω

^{> 1 → sin} φ ^{= 0 → = 0 ,}

a g

2

2

1 cos

φ ω

ω a

g a

g < → =

φ

ω

θ & =

o a

= 0

φ π

φ = _g

cos

φ ω

a

= g

（ωが大きいとき）

0 sin

cos

2

sin + =

− ω φ φ φ

φ a

&& g

2

 = 0



 

  −

+ ω φ

φ a

&& g

a t t g

a

g

cos ,

sin ω ω

φ = − −

2t a

g

e

φ =

φ<<1により線形化

φ=0近傍の運動

質点は振動し，遠ざからない → 安定

指数部正の解が無限大に発散

→ 不安定

φ

ω

θ & =

o a

= 0

φ

g

0 の基本解

2

>

− ω a

g

0 の基本解

2

<

− ω a

g

2

+ = 0

− ω φ φ

φ a

&& g

（ωが大きいとき）

（ωが小さいとき）

（少しずらすとどうなるか）

φ 1 φ

0 sin

cos

2

sin + =

− ω φ φ φ

φ a

&& g

ε π

φ = +

0 sin

cos

2

sin − =

− ω ε ε ε

ε a

&& g

2

 = 0



 



 +

− ω ε

ε a

&& g

2 t a g

e

+

=

ε

φ=π近傍の運動

ε<<1により線形化

基本解

指数部正の解が無限大に発散

→ 不安定（ωによらず）

φ

ω

θ & =

o a

π

φ = _g

- sin ε ^{- cos} ε _{- sin} ε

ε ¹ ε

0

ε φ

φ = +

0 2

cos φ ω

a

= g

( )

0 sin

sin cos

sin cos

sin cos

sin cos

2 0

0 2

0

0 2 0

2 2

= +

+

−

−

ε φ

φ ω

ε φ

ε ε

φ φ

ω ε

a g

&&

0 sin

2

⋅ =

+ ω φ ε

ε _&&

( )

{ ^sin

^t } ^{, cos} { ( ^sin

) ^t }

sin ω φ ω φ

ε =

ε<<1により線形化

基本解

質点は振動し，遠ざからない → 安定

φ

ω

θ & =

o a

g

cos

φ ω

a

= g

cos

φ ω

a

= g 近傍の運動 _



 



 − ω

< 0 a

g

1 ε

0

φ

ω

a π

φ =

g

cos 2

φ ω

a

= g

= 0

φ < ω ²

a g a

< g

ω 2

常に不安定

まとめ

a g 2

π φ

ω

0

●期末試験（ 3/5 月）範囲

演習問題 問 8.3 〜問 10.7 のうち，○◎△の問題

＝授業で解いたもの，教科書に載っているもの

△ 8.3, ○ 8.4, ○ 8.5

◎ 9.1.2, ○ 9.2.1, ○ 9.2.2, ○ 9.2.3, ○ 9.3.2,

△ 10.1, △ 10.2, △ 10.3, △ 10.4, ○ 10.5, ○ 10.6, ○ 10.7

△教科書 7.4.3

θ m

M x

F 質量無視

ℓ

質量Mの台車に力Fを加える g

図10.6

問 10.6 図に示す倒立振子について以下の問に答えよ．

システム創成学科・倒立振子プロジェクト

倒立振子

θ

m, J

x, F 2L

M

θ ^&&

&&

&& F m x mL

x

M = − −

 

 

− +

= + F

m g M

mL J

mL 1

2

θ

θ ^&&

θ

θ

^&

1

K x C

K

F = + +

運動方程式 安定条件

e

θ =

0 ]

Re[ λ <

ＡＤ変換

マイコン ^モータ

ドライバ

θ モータ

9V電池 (006P)

ポテンショメータ

（棒の倒れ角計測）

制御基板

（CPU，AD変換器，モータドライバ）

ホストコンピュータ シリアルポートへ モータ （ミニ四駆用１３０型モータ）

電機子巻線をφ0.3mmから φ0.16mmに巻き直す

ロータリエンコーダ（車軸の回転計測）

（スリット円板＋フォトインタラプタ２個）

倒立振子実体組立図

棒（40〜50cm）

機構部の組立

組み立てる前の部品

基板の拡大図

完成した本体

回路の作成

ソフトウェア

PC からマイコンに プログラムを送信

開発環境

プロジェクト実施風景

特徴抽出結果

電源 動物，人間

人工物

センサ

インターネット 無線機 生態観察

健康診断 故障診断

プロセッサ

認識処理アルゴリズム

ユビキタスセンサネットワーク

センサ端末

未来の情報機器の紹介

機械力学の応用分野

腕時計型センサ

PC

GPS

屋内外 センサ 咀嚼・発話センサ

靴型センサ

微弱無線

ウェアラブル行動認識システム

身につけたセンサで個人の感情・未来を予測し，

欲しい情報・必要な情報を自動的に提供

腕時計型運動センサ

・歩行 (50,75,90,120m/min ）

・走行 (130,150m/min ）

・日常動作（立ち作業等）

・軽い運動

・激しい運動

・消費カロリー

２秒ごとに行動パターン を PC に送信

加速度計，ジャイロ 手首の動き

ブルートゥース

運動識別 運動識別

歩 数 歩 数

消費エネルギ 消費エネルギ

2613kcal 24500 歩

加速度，角速度データからの処理

マイコン＋

電池

ワイヤレスセンサシューズ

圧力センサ

（７個）

右

歩行，走行，階段，着席，自転車，足組の識別

ウェアラブルセンサシステム

・

中央装置

‐

ウェアラブルPC

・

センサ制御

・

データ計測・蓄積

・

行動認識ソフトウェア

・ 活動支援アプリケーション

ウェアラブルセンサ

①日常的に身に付けるものに内蔵 例：靴，腕時計，メガネetc

→ 実生活でも日常的に着用

②ワイヤレスなセンサネットワーク

→ 身体動作を物理的に制約せず

咀嚼発話センサ

GPS受信機 超音波センサ

腕運動計測ウォッチ 足圧分布計測シューズ

ウェアラブルPC

足圧分布 計測シューズ

腕運動 GPS

ウォッチ

屋内外センサ

咀嚼 発話 センサ

足圧分布 計測シューズ

Bluetooth

US

ホストB

アダプタ

微弱無線 (2.4GHz, 独自規格)

情報t提示 装置

携帯型PC

会話，食事

屋内外位置

ブルートゥース

姿勢，動作

駒場講義

本郷会議

電車

食事

自宅PC

柏講義 屋外歩行

メール

時刻表

天気予報

ニュース ナビゲー ション 本郷講義

0.2 0.1

0.7

0.6

0.1

0.5 0.5 0.5

0.7

0.7

0.5

0.2 0.1 0.1

0.1 0.1 0.1 0.1

0.1

0.1 0.1

0.2 0.2

0.2 0.1

0.1

0.2 0.2

センサ 行動パターンと状態遷移(例） 提示情報（例）

ウェアラブルセンサによる行動予測

次の行動を予測

今日の 行動 行動識別

歩行 走行 階段

会議

エレ ベータ 自転車

食事 腕時計型

運動 センサ

センサ シューズ

GPS

超音波 センサ 骨伝導 マイク

ブルー トゥース 日常行動を長期間蓄積し、規則性を抽出

行動順序の確率モデルを生成

携帯電話にアプリを組み込み，手動で行動記録

行動，感情と時刻を記録

0

時

時

時

休憩

読書 移動 入浴 その他

・帰宅したら必ず

時間から

時間程度後に入浴する

・起床したらまず

に向かうなどの規則性がある。

１週間の行動パターン計測例

相手によ る メールの処理時間の違い

0.1 1 10 100 1000

送信者の重要度(受信者の主観による3段階評価)

本文長さ あ た り の 処理 時間( 秒 / 行 )

主観重要度A 主観重要度B 主観重要度C 仕事

メール重要度の判別実験 送信者ごとの処理時間を計測

ねらい：読み取り記録によりメールの重要度を自動判別

脈波センサ 脳波計

眼球運動 センサ 心電計 腕時計型運

動センサ

足圧センサ

送受信機

PCサーバ

加速度センサ

生体情報

人体通信

人体を通信媒体に使用．空中伝播より消費 電力，耐ノイズ性，秘匿性に優れる．

人体上に分散配置された

センサ， PC 間の通信

受信機

Z₄

Z₁ Z₅ Z₆ Z₂

Z=

入力 出力

均質インピーダンス モデル

４端子回路 モデル

受信機

良導性誘電体伝送 モデル

人体の等価回路を解明中

単純化

人体外も考慮

Electrode Human body

Transmitter

FM demodulator Amp.

Output

Receiver ^10MHz

Electrode Signal Amp. FM modulator

送受信機試作品

（アナログタイプ． 13 年度製作）

人体内伝送結果

時間

（ ms ）

電圧

(a) 入力

(b) 人体内伝播

(c) 空中伝播

0 5 10 0 1 2 3 4 5

時間 ( 秒 )

電圧

入力（心拍加速度）

出力

アプリケーション アプリケーション

握手による名刺交換 ドアの自動開閉

送信機

ID情報

受信機

電子マネー

自動車のキーレスエントリーシステム

PHSによる物流位置情報システム

基地局Ａ

基地局Ｃ

基地局Ｂ

基地局Ｄ

電界強度情報

↓

緯度経度情報

パレットの増減

増加

均衡

減少

パレットの滞留率 大 小

製品生産過剰 パレットやや滞留

生産供給均衡・在庫少 パレット管理適性・高効率

製品在庫過剰（生産停止）

パレット完全滞留

生産供給均衡・在庫大 パレット管理適正・低効率

PHS 電界強度 位置探査

製品移動パターン 需給バランス推定

あらゆる物体の位置を安価な通信端末で追跡

データマイニング

学生のアイデアのビジネス化

4000

端末稼働中！

コイル 永久磁石

100 mm

Gear DC motor

人体運動を用いる発電機

人間・環境が放出する余剰エネルギによりモバイル機器を駆動

ジャイロ型

（ 1W ） 歩行利用型

（ 1W)

共振型（ 0.1W) 腕時計型

（ 10 μ W ）

・人間は常時 100W を放出 ・携帯電話は 1W で動く．

→人のエネルギを 1% 回収すれば情報社会が変わる

N S

発電機

↓ 整流

↓

電気二重層 コンデンサ

電気二重層コンデンサ

パ ル ス オ キ シ メ ー タ

＋RF回路 消費電力

計測時：15mW，送信時：27mW 間欠駆動のため平均で2〜3mW

腕時計型発電機による

生体センサと RF （無線）回路の駆動

腕の振り（エネルギ）

パルスオキシメータ

↓

回路

受信機

↓

血中酸素濃度 脈拍数の表示 血流（光透過量）

発電＋整流＋充電

腕時計発電機

（２次元回転）

電 力

デジタル

信号

t

dt d

∂ + ∂

×

=

= h

h h ω

τ

質量M

y

x z

G θ

F ω_z

a h

τ

ロータの運動方程式

＝皿回しの運動方程式

S N

・歳差運動を強制入力し，高速回転を発生

・インピーダンス制御により人体と電機子の 運動を同期化

ジャイロ型発電機

力学的には皿回し，ヨーヨー，

大車輪と同じ

→ 大道芸ロボットの一種．

機械力学＋制御． 皿回しロボット 出力 1w

３次元回転