● 講義資料 ★ 浮動小数点数の表現

(1)

● 講義資料

★ 浮動小数点数の表現

仮数部２桁,指数部−1≤e≤1の２進浮動小数点数で表すことができる数.

0=0.00

q

1/8=0.01×2−1

a

2/8=0.10×2−1

a

3/8=0.11×2−1

a

−1/8=−0.01×2−1

a

−2/8=−0.10×2−1

a

−3/8=−0.11×2−1

a

4/8=1.00×2−1

q

−4/8=−1.00×2−1

q

5/8=1.01×2−1

q

−5/8=−1.01×2−1

q

6/8=1.10×2−1

q

−6/8=−1.10×2−1

q

7/8=1.11×2−1

q

−7/8=−1.11×2−1

q

4/4=1.00×20

q

−4/4=−1.00×20

q

5/4=1.01×20

q

−5/4=−1.01×20

q

6/4=1.10×20

q

−6/4=−1.10×20

q

7/4=1.11×20

q

−7/4=−1.11×20

q

4/2=1.00×21

q

−4/2=−1.00×21

q

5/2=1.01×21

q

−5/2=−1.01×21

q

6/2=1.10×21

q

−6/2=1.10×21

q

7/2=1.11×21

q

−7/2=−1.11×21

q

Underflow

subnormal e=−1

e=−1 e= 0

e= 0

e= 1 e= 1

overflow- ^overflow

この浮動小数点数の体系で表現できる数は,図のなかの黒円で示したものに限られる. “subnormal”

と示した数は,有効桁が少なくなっていることに注意.

したがって, 1/2 + 1/8 = 5/8と正確に計算することが可能であるが, 1/2 + 1/16は正確な計算ができないことがわかる.

★

ASCII

コード表

0x0 0x1 0x2 0x3 0x4 0x5 0x6 0x7

0 NULL DLE SP 0 @ P ‘ p

1 SOH DC1 ! 1 A Q a q

2 STX DC2 " 2 B R b r

3 ETX DC3 # 3 C S c s

4 EOT DC4 $ 4 D T d t

5 ENQ NAK % 5 E U e u

6 ACK SYN & 6 F V f v

7 BEL ETB ’ 7 G W g w

8 BS CAN ( 8 H X h x

9 HT EM ) 9 I Y i y

A LF SUB * : J Z j z

B VT ESC + ; K [ k {

C FF FS , < L \ l |

D CR CS - = M ] m }

E SO RS . > N ^ n _

F SI US / ? ) _ o DEL

(2)

1. 以下のex04-1.cを入力してコンパイルおよび実行を行ってみよう.

• 整数型変数の除算は「商」が得られる.

• 整数型変数同士の除算を浮動小数点数に代入しても「商」が得られる. すなわち, 右辺の

「式の値」が左辺の変数に代入される.

• 算術演算の被演算子の片方が浮動小数点型の時には, 浮動小数点型としての演算が行われる. すなわち,算術演算では「算術変換」が行われている.

• 明示的な型変換(cast)によって「式の値の型」を変更できる.

• 正の整数の除算は予想通りの結果を得ることができる.

• 除算において,少なくとも一方の被演算子が負の場合には,除算の結果および余りの結果の符号は処理系依存となる. したがって,負の数を被演算数に持つ除算（または余り）を行ってはいけない.

• 負の数に関係する除算で保証されることは, – (a/b)*b+a%b=aが成り立つ.

– 余りの絶対値は除数の絶対値より小さい.

の２点のみである.

• 浮動小数点数の演算には誤差がある.

• 特に0.1は２進浮動小数点表示では誤差があり,0.1の１０回の加算が 1.0になるわけではない.

• double型変数の有効桁数は２進で５３桁程度であるため,１０進での有効桁数は１６桁程

度となる.

• char型変数を「整数型変数」として評価する際には「整数への格上げ」が行われる.

• char 型変数は「符号付き」か「符号無し」かは処理系依存であり, 符号付きの場合には,

「整数への格上げ」の時点で「符号拡張」が行われる可能性がある. なお, 「符号拡張」が行われるかどうかは処理系依存である.

• したがって,char型変数に「負の数」を代入する場合には,必ずunsigned char型を用いなければいけない.

• sizeof演算子によって,各型が占めるメモリ内での「バイト数」を得ることができること.

• Ｃ言語における「バイト数」とは,char型変数の占めるビット数を１バイトとして定義されている.

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(3)

★

ex04-1.c

の内容

/* ex04-1.c */

/* 除算 */

#include <stdio.h>

int i, j, k, l ; double x, y, z ;

int main(int argc, char **argv) {

i = 3 ; j = 2 ; k = i/j ; l = i%j ;

printf("%d/%d = %d, modulo %d\n", i,j,k,l) ;

z = i/j ;

printf("%d/%d = %f\n", i,j,z) ;

x = 3.0 ; y = 2.0 ; z = x/y ;

printf("%f/%f = %f\n", x,y,z) ;

z = i/y ;

printf("%d/%f = %f\n", i,y,z) ;

z = x/j ;

printf("%f/%d = %f\n", x,j,z) ;

z = (double)i/j ;

z = i/(double)j ;

z = (double)(i/j) ;

return 0 ; }

(4)

/* 負の数に関する除算 */

#include <stdio.h>

int i, j, k, l ;

i = 3 ; j = 2 ; k = i/j ; l = i%j ;

i = 3 ; j = -2 ; k = i/j ; l = i%j ;

i = -3 ; j = 2 ; k = i/j ; l = i%j ;

i = -3 ; j = -2 ; k = i/j ; l = i%j ;

return 0 ; }

(5)

★

ex04-3.c

の内容

/* ex04-3.c */

/* 浮動小数点数の加減算 */

#include <stdio.h>

double x, y=0.1, z = 0.5 ;

/* 0.0 に 0.1 を１０回加算する */

x = 0.0 ;

x += y ; x += y ; x += y ; x += y ; x += y ; x += y ; x += y ; x += y ; x += y ; x += y ; printf("%.16e\n", x) ;

/* 1.0 から 0.1 を１０回減算する */

x = 1.0 ;

x -= y ; x -= y ; x -= y ; x -= y ; x -= y ; x -= y ; x -= y ; x -= y ; x -= y ; x -= y ; printf("%.16e\n", x) ;

/* 0.0 に 0.5 を２回加算する */

x = 0.0 ;

x += z ; x += z ; printf("%.16e\n", x) ;

/* 1.0 から 0.5 を２回減算する */

x = 1.0 ;

x -= z ; x -= z ; printf("%.16e\n", x) ;

return 0 ; }

(6)

/* 文字型変数と整数への格上げ */

#include <stdio.h>

char c ;

unsigned char d ;

c = 0x61 ; /* c = ’a’ */

printf("c = %c\n", c) ; printf("c = %d\n", c) ; printf("c = %X\n", c) ; printf("\n") ;

c = 0x80 ;

printf("c = %d\n", c) ; printf("c = %u\n", c) ; printf("c = %X\n", c) ; printf("\n") ;

d = 0x80 ;

printf("d = %d\n", d) ; printf("d = %u\n", d) ; printf("d = %X\n", d) ; printf("\n") ;

printf("%d\n",c-d) ; return 0 ;

}

(7)

★

ex04-5.c

の内容

/* ex04-5.c */

/* いろいろな型の変数のサイズ */

#include <stdio.h>

printf("char:\t%lu\n", sizeof(char)) ; printf("short:\t%lu\n", sizeof(short)) ; printf("int:\t%lu\n", sizeof(int)) ; printf("long:\t%lu\n", sizeof(long)) ; printf("float:\t%lu\n", sizeof(float)) ; printf("double:\t%lu\n", sizeof(double)) ;

printf("long double:\t%lu\n", sizeof(long double)) ; return 0 ;

}

(8)

号付き整数と符号無し整数がある.

• 計算機内部での整数は,最大値と最小値を持ち,最大値を越える計算結果は一般には保証されない.

• 負の整数は２の補数による表現で表されることが多い.

• Ｃ言語では整数を表す変数の型として intがある.

• Ｃ言語では,変数は利用する前に宣言（定義）を行わなければならない.

● 前回の実習の解説

• int型の「正の最大の整数」を定数として代入する場合には, i = 0x7fffffff ;

として１６進定数で代入すべきである. これを１０進定数で i = 2147483647 ;

と書くと,１文字が異なっていてもそれに気が付くとは限らない.

• より正しくは,このような「システムに依存した定数値」を用いるときには,

#include <stdio.h>

#include <limits.h>

int i=INT_MAX ; printf("%d\n",i) ; return 0 ;

}

のように「システムヘッダファイル」（この場合はlimits.h）を用いて,INT_MAXのようなあらかじめ定義された値を用いることが望ましい.