表示と

(1)

A 型の量子 Weyl 群双有理作用の Sato-Wilson 表示

黒木玄 (東北大学大学院理学研究科数学専攻)^∗

Noumi-Yamada [3] はべき零 Poisson 整域の分数体への Weyl 群作用(双有理作用) を構成した. 筆者は [1]でその Weyl 群作用を量子化し, さらに [2]において量子 τ 変数をパラメーター変数の正準共役変数の指数函数として導入し, Weyl群作用を量子 τ 変数まで拡張した. この講演ではA 型の量子化された Weyl群作用の Lax表示および

Sato-Wilson 表示について報告する. この要旨では最も基本的な A_∞ 型の q 差分化さ

れた量子 Weyl群双有理作用の場合のみを扱う.

1. A_∞

型の量子

Weyl

群双有理作用

A^pa は f_i, t_i (i∈Z) と p から生成される C(q) 上の代数で以下の基本関係式で定義されたものであるとする: t_ia=at_i, pa=ap (a∈A^pa),

f_i²f_i_±₁−(q+q⁻¹)f_if_i_±₁f_i+f_i_±₁f_i² = 0, f_if_j =f_jf_i (j ̸=i±1).

形式的に t_i = q⁻^ε^∨ⁱ, p = q⁻^δ^∨ と書く. さらに α^∨_i = ε^∨_i −ε_i+1 とおく. すなわち q⁻^α^∨ⁱ =t_i/t_i+1. このとき A^pa は Ore 整域になるので,その分数斜体を K^pa と書く. f_i を量子従属変数と呼び, t_i とp をパラメーター変数と呼ぶ. (記号 ( )^pa はパラメーター変数付きの代数を意味する.)

D(K^pa) はK^pa と τ_i^±¹ (i∈Z)で生成されるC(q)上の代数で以下の関係式で定義されたものであるとする: τ_iτ_j =τ_jτ_i, τ_iτ_i⁻¹ =τ_i⁻¹τ_i = 1,

τ_it_jτ_i⁻¹ =

{q⁻¹tj (j ≦i),

t_j (j > i), τ_ipτ_i⁻¹ =q⁻¹p, τ_if_jτ_i⁻¹ =f_j.

つまり D(K^pa) は K^pa に作用する q 差分作用素環である. τ_i を量子τ 変数と呼ぶ.

D(K^pa) の代数自己同型 π, s_i を以下の条件で定めることができる: π(fi) = fi+1, π(ti) =ti+1, π(p) =p, π(τi) =τi+1, s_i(f_j) = qa_i −q⁻¹a⁻_i ¹

q−q⁻¹ f_j+ a⁻_i ¹−a_i

q−q⁻¹ f_if_jf_i⁻¹ (j =i±1), s_i(f_j) =f_j (j ̸=i±1),

s_i(t_i) =t_i+1, s_i(t_i+1) = t_i, s_i(t_j) = t_j (j ̸=i, i+ 1), s_i(p) =p, si(τi) = fi

τi−1τi+1

τ_i , si(τj) = τj (j ̸=i).

ここで a_i = q⁻^α^∨ⁱ = t_i/t_i+1. これによって D(K^pa) に A_∞ 型の拡大 Weyl 群 fW =

⟨s_i, π|i∈Z⟩ の作用が定まる. (これは[2] の結果の特別な場合とみなせる. 論文[2] では f_i の非整数べきを用いてWeyl群作用を構成している.)

本研究は科研費(課題番号:23540003)の助成を受けたものである.

∗e-mail:[email protected]

web: http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/index-j.html

(2)

2. Lax

表示と

Sato-Wilson

表示

f_ij ∈ A^pa (i < j) を j に関して帰納的に f_i,i+1 = (q−q⁻¹)f_i, f_i,j+1 =f_jf_ij −q⁻¹f_ijf_j と定め,無限行列 L,e D_t, M を次のように定める:

Le= 1 +∑

i<j

f_ijE_ij, D_t=∑

i

t_iE_ii, M =D_tLDe _t.

ここで 1,E_ij はそれぞれ無限サイズの単位行列と行列単位である. Le は A_∞ 型の普遍 L作用素をそのCartan部分で割ったものになっている. 対角成分がすべて1 の上三角行列 U で M を M =U D²_tU⁻¹ と対角化するものが一意に存在する. g_i = −[α^∨_i]_q/f_i, [α^∨_i]_q = (a⁻_i ¹ −a_i)/(q−q⁻¹) とおくと, U の (i, i+ 1) 成分は −g⁻_i ¹ になる. さらに zi =τi/τi−1 とおき, 無限行列DZ, Z, Λ, Gi, S_i^g,Si を次のように定める:

DZ =∑

i

ziEii, Z =U DZ, Λ =∑

i

Ei,i+1, Gi = 1 +giEi+1,i, S_i^g =g_i⁻¹E_i,i+1−g_iE_i+1,i+ ∑

k̸=i,i+1

E_kk,

S_i =−[α_i^∨−1]⁻_q¹E_i,i+1+ [α^∨_i + 1]_qE_i+1,i+ ∑

k̸=i,i+1

E_kk.

ここで [α^∨_i ±1]_q = (q^±¹a⁻_i ¹−q^∓¹a_i)/(q−q⁻¹). このとき M =q²ZD²_tZ⁻¹ が成立している. 行列 X の各成分への拡大 Weyl 群の元 w の作用させた結果を w(X) と書くことにする. 主定理は次の通り.

定理 (Lax表示とSato-Wilson表示). 以下の公式が成立している:

s_i(M) = G_iM G⁻_i¹, π(M) = ΛMΛ⁻¹; s_i(Z) =G_iZS_i, π(Z) = ΛZΛ⁻¹. これらをそれぞれ量子 Weyl群双有理作用の Lax 表示とSato-Wilson 表示と呼ぶ. 注意. (1) s_i(U) =G_iU S_i^g, s_i(D_Z) = (S_i^g)⁻¹D_ZS_i, s_i(D_t) = (S_i^g)⁻¹D_tS_i^g =S_i⁻¹D_tS_i. (2) n ≧3ならばA_∞ の場合のn 簡約でA⁽¹⁾_n₋₁ 型の場合の Lax表示と Sato-Wilson 表示が得られる.

(3) すべてが可換な古典の場合には, Weyl群双有理作用の Sato-Wilson表示から, Weyl 群の任意の元 wに対する w(τ_i) のJacobi-Trudi 型公式が得られ,w(τ_i)が f_i について多項式になること(正則性)がただちに導かれる. しかし,量子化された非可換な場合はそう簡単ではない. (非可換行列式は一般に成分の非可換多項式ではなく, 非可換有理函数になる.) 筆者は [2] において量子化された場合の w(τ_i) の正則性を表現論における translation functor の理論に帰着して証明している.

参考文献

[1] Kuroki, Gen. Quantum groups and quantization of Weyl group symmetries of Painlev´e systems. Exploring new structures and natural constructions in mathematical physics, 289–325, Adv. Stud. Pure Math., 61, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2011.arXiv:0808.2604 [2] Kuroki, Gen. Regularity of quantumτ-functions generated by quantum birational Weyl

group actions. Preprint 18 June, 2012.arXiv:1206.3419

[3] Noumi, Masatoshi and Yamada, Yasuhiko. Birational Weyl group action arising from a nilpotent Poisson algebra. Physics and combinatorics 1999 (Nagoya), 287–319, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2001.arXiv:math.QA/0012028