(,) uv ≧ 1(1)402  vu 1(1)02  vtut (,) uv (,) uv (,) uv uxyvxy  1,12 (,) xy

[ 東京工業大学 1969 年 ３ ]

(1) 点

( , ) x y

1, 1 2 u    x y v   xy

によって与えられる点

( , ) u v

(2) aが 1

2 ≦ ≦a 1 の範囲を動くとき，

上の

( , ) u v

それを囲む曲線の方程式を求めよ。

(1)

x

 y

 a

x    y u 1

2 xy   1 v

① ⇔

( x  y )

 2 xy  a

2 2

( u  1)    (1 v ) a

v    ( u 1)

 a

 1

( , ) u v

(2) ②，③を満たす実数

x y ,

t

1

( 1) 0

2 t u t  v

   

2

1

( 1) 4 0

2

u     v ≧

1

( 1) 1 v ≧  2 u  

2 ≦ ≦a 1 のとき④より

1

( 1) (1 ) 1

2 ≦ u    v ≦

よって ²

3 ( 1)

v ≧   u  2

v ≦   ( u 1)

 2

( , ) u v

図示すると図の斜線部のようになる。

ただし，境界線上の点も含む。

囲む曲線の方程式は

1

( 1) 1

v   2 u  

3

( 1)

v    u  2

( 1)

2

v    u 

O 1

1

u v

O ^{1 2}

1

2 v=-0u-1 +21²

v

u v=-0u-1 +1² 3

2

v=-1 2

0u-1 +112