第１章はじめに

(1)

1

第１章はじめに

バスケットボール男子日本代表チームは

1936

年のバスケットボールがオリンピック正式種目に認定されたベルリンオリンピックから毎回のようにオリンピックに出場してきた．

しかし，1976年のモントリオールオリンピック出場を最後に世界規模の大会への出場はなされていない．2016年ではリオオリンピックでは世界最終予選まで勝ち進んだが，ラトビア，チェコに敗れ，予選ラウンドで敗退し，オリンピック出場を成し遂げることができなかった．また

2020

年には自国である東京でオリンピックが開催されることになっており，男子日本代表チームの活躍が期待されている．

そこで，本研究は今後バスケットボール男子日本代表チームがオリンピック出場にすることに少しでも繋がり，活躍できるようにバスケットボールの試合のモデルを作成し，作成したモデルを用いて試合の分析をおこなう．そして，日本代表チームの戦術の特徴，勝敗の要因を分析する．

(2)

2

第

2

章マルコフモデル

2.1 マルコフ連鎖と推移確率行列

本研究ではマルコフ性をもった確率過程であるマルコフ過程を扱う．マルコフ連鎖には，

状態と状態間の推移という概念がある．一般に，時点𝑛における確率過程𝑋_𝑛がとりうる値を状態といい，状態のすべての集合を状態空間という．

状態𝑖から状態𝑗に移ることを推移するという．推移に関して，「時点𝑛で状態𝑖にいたとき，

つぎの時点𝑛 + 1において状態𝑗に推移する確率は，時点𝑛 − 1以前にどの状態にいたかには無関係である」という仮定に基づいている．この仮定をマルコフ性という．

離散時点の確率過程𝑋_𝑛

(𝑛 = 0,1, ⋯ )を考える．任意の𝑛 ≥ 1と状態空間 S = {𝑖

₀

, 𝑖

₁

, ⋯ , 𝑖

_𝑛−1

, 𝑗}に対して

P{𝑋

_𝑛

= 𝑗 | 𝑋

₀

= 𝑖

₀

, ⋯ , 𝑋

_𝑛−1

= 𝑖

_𝑗−1

} = P{𝑋

_𝑛

= 𝑗 | 𝑋

_𝑛−1

= 𝑖

_𝑗

}

(2.1)

が成り立つとき，確率過程{𝑋_𝑛

}はマルコフ性を持つという．そして，マルコフ性を持った状

態空間が離散的であるとき，確率過程{𝑋_𝑛

}をマルコフ連鎖という．また，式(2.1)の推移確率

が時点𝑛によらないとき，推移確率は定常であるといい，マルコフ連鎖は斉次的であるという．

斉次的マルコフ連鎖𝑋_𝑛の推移確率を

𝑝

_𝑖𝑗

= 𝑃{𝑋

_𝑛

= 𝑗 | 𝑋

_𝑛−1

= 𝑖} (1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑁) (2.2)

とおく．𝑝_𝑖𝑗は確率であるから，確率の基本性質

0 ≤ 𝑝

_𝑖𝑗

≤ 1, ∑

^𝑁_𝑗=1

𝑝

_𝑖𝑗

= 1 (2.3)

を満たしている．𝑝_𝑖𝑗を行列の形に並べた

P = (

𝑝

₁₁

𝑝

₁₂

𝑝

₂₁

𝑝

₂₂

⋯ 𝑝

_1𝑁

⋯ 𝑝

_2𝑁

⋮ ⋮

𝑝

_𝑁1

𝑝

_𝑁2

⋱ ⋮

⋯ 𝑃

_𝑁𝑁

) (2.4)

を(1次の)推移確率行列という．この行列は式(2.3)の条件から行和(各行について横に加えたもの)はすべて

1

である．このようにマルコフ連鎖は推移確率行列によって推移の構造を表現することができる．

2.2

高次の推移確率と状態確率

時点𝑛(𝑛 = 0,1,2, ⋯ )で状態𝑖にいたとき，𝑚ステップ(m = 1,2, ⋯ )の推移の後，時点𝑛 + 𝑚 で状態𝑗にいる確率𝑃{𝑋_𝑛+𝑚

= 𝑗 | 𝑋

_𝑛

= 𝑖}を求める．

(3)

3 𝑚 = 1のときは，式(2.2)より

P{𝑋

𝑛+1

= 𝑗 | 𝑋

𝑛

= 𝑖} = 𝑝

𝑖𝑗

(2.5)

である．

m = 2のときを考えると， 2

ステップで状態𝑖から状態𝑗へ推移したのだから，まず１

ステップ目で状態𝑖からある状態𝑘へ推移し，次の２ステップ目で状態𝑘から状態𝑗へ推移したと考えられる．この確率は𝑃{𝑋_𝑛+1

= 𝑘, 𝑋

_𝑛+2

= 𝑗 | 𝑋

_𝑛

= 𝑖}で表すことができる．これが１ス

テップの推移確率の積𝑝_𝑖𝑘

𝑝

_𝑘𝑗に等しいことがマルコフ性を使って次のように証明される．この確率を確率の乗法法則を用いて書きかえると,

P{𝑋

_𝑛+1

= 𝑘, 𝑋

_𝑛+2

= 𝑗 |𝑋

_𝑛

= 𝑖}

= 𝑃{𝑋

_𝑛+1

= 𝑘 |𝑋

_𝑛

= 𝑖} ∙ 𝑃{𝑋

_𝑛+2

= 𝑗 |𝑋

_𝑛

= 𝑖, 𝑋

_𝑛+1

= 𝑘}

(2.6)

となる．式(2.1)のマルコフ性を用いると

𝑃{𝑋

_𝑛+2

= 𝑗 |𝑋

_𝑛

= 𝑖, 𝑋

_𝑛+1

= 𝑘} = 𝑃{𝑋

_𝑛+2

= 𝑗, 𝑋

_𝑛+1

= 𝑘}

(2.7)

となる．したがって式(2.6)の確率は

𝑃{𝑋

_𝑛+1

= 𝑘, 𝑋

_𝑛+2

= 𝑗 | 𝑋

_𝑛

= 𝑖} = 𝑝

_𝑖𝑘

𝑝

_𝑘𝑗

(2.8)

と書ける．これをすべての可能な𝑘について加えると，

2

ステップの推移確率が求められる．

すなわち

𝑃{𝑋

_𝑛+2

= 𝑗, 𝑋

_𝑛

= 𝑖} = ∑

^𝑁_𝑘=1

𝑝

_𝑖𝑘

𝑝

_𝑘𝑗 (2.9) となる．この確率は 1 ステップの推移確率と同様𝑛によらないので𝑝_𝑖𝑗⁽²⁾と書き，2次の推移確率という．

m = 3のときも，まず 2

ステップで状態𝑖から状態𝑘に推移し，次の

3

ステップ目で状態𝑗へ推移すると考えれば，まったく同様にして

𝑃{𝑋

_𝑛+3

| 𝑋

_𝑛

= 𝑖} = ∑

^𝑁_𝑘=1

𝑝

_𝑖𝑘⁽²⁾

𝑝

_𝑘𝑗

(2.10)

となることがわかる．これも𝑛によらないので，この確率を

3

次の推移確率といい𝑝_𝑖𝑗⁽³⁾と書く．一般の𝑚についても同様に𝑚次の推移確率𝑝_𝑖𝑗^(𝑚)が定義でき，

𝑝

_𝑖𝑗^(𝑚)

= ∑

^𝑁_𝑘=1

𝑝

_𝑖𝑘^(𝑚−1)

𝑝

_𝑘𝑗 (2.11) で与えられる．

この関係式を行列で表す．𝑁 × 𝑁行列𝑃^(𝑚)の𝑖行𝑗列の要素を𝑝_𝑖𝑗^(𝑚)とすると，式(2.11)はちょうど行列の積の形になっているので

𝑃

^(𝑚)

= 𝑃

^(𝑚−1)

𝑃

(2.12)

となる．この式を繰り返し使うと

𝑃

^(𝑚)

= 𝑃

^𝑚

(2.13)

が与えられる．

2.3

吸収的マルコフ連鎖

(4)

4

図

2.1

のような推移図をもったマルコフ連鎖を考える．この推移図には推移確率を記入していないが，矢印のあるところにはすべて正の推移確率があるものとする．

マルコフ連鎖が状態 1 から出発したとする．次の時点では状態

2,4,6

のいずれかの状態に推移する．しかし，一回状態

2

に推移すると，その後は状態

2

と

3

を行き来するだけでこの二つの状態以外に推移することはない．

このように，このマルコフ連鎖では状態

1，6，7

の間を推移している間，いつか𝐶₁

= {2,3}, 𝐶

₂

= {4,5}, 𝐶

₃

= {8,9}の三つの集合のいずれかに推移して，一度その集合に推移すると，

いつまでもその中でだけ推移していて集合の外へ決して出てこない．これが一般的なマルコフ連鎖の典型的なふるまいである．上の𝐶₁

, 𝐶

₂

, 𝐶

₃のような状態の集合のことを既約な集合とよび，既約な集合𝐶はつぎの二つの条件で特徴づけられる．

①

𝐶の中のどの二つの状態をとっても一方から他方へ何ステップかで推移すること

ができる．

②

𝐶のどの状態からも𝐶の外の状態へ推移することはできない．

一般のマルコフ連鎖の状態空間𝑆は，この二つの条件を満たすいくつかの既約な集合𝐶_𝑣と，

それらに含まれない状態の集合𝑇に分割できる，図 2.1 の例では𝑇 = {1,6,7}であり，

𝑆 = 𝑇 ∪ 𝐶

₁

∪ 𝐶

₂

∪ 𝐶

₃となっている．

このように，一般のマルコフ連鎖の推移の様子は二つに分けて考えることができる．一つは

𝑇

の中で推移していずれかの

𝐶

_ｖに推移するまでであり，もう一つは

𝐶

_ｖへの推移後である．

例えば，図

2.1

のマルコフ連鎖でいずれかの

𝐶

_ｖに推移するまでの様子を調べる場合，

𝐶

₁

, 𝐶

₂

, 𝐶

₃をそれぞれ一つの状態にまとめた図 2.2 のような推移図をもったマルコフ連鎖を調べればよい．図 2.2 のように既約な集合がすべて一つの状態からなっているとき，その状態を吸収状態とよび，集合Aで表わす．Aに含まれない状態を一時的状態とよぶ．吸収状態，一時的状態をもつマルコフ連鎖を吸収マルコフ連鎖とよぶ．

吸収的マルコフ連鎖の推移確率行列𝑃の主対角線上に

1

があるとき，それに対応する状態は吸収状態である．状態の番号を適当につけ変えて一時的状態に若い番号を与えると，𝑃は

(5)

5

図 2.1 一般的なマルコフ連鎖の例

図 2.2 既約な集合をまとめた吸収的マルコフ連鎖

𝑃 = ( 𝑄 𝑅

0 𝐼 )

(2.14)

と表される．ここで，

𝑁はすべての状態の数， 𝑟は一時的状態の数とする． 𝑃を四つに分けて

考え，

𝑄は𝑟 × 𝑟行列で𝑇から𝑇への推移を表わし， 𝑅は𝑟 × (𝑁 − 𝑟)行列で𝑇から𝐴への推移を表

わしている．0は(𝑁 − 𝑟) × 𝑟の零行列(すべての要素が

0

の行列)で，𝐼は(𝑁 − 𝑟) × (𝑁 − 𝑟)の単位行列(対角要素は

1，その他は 0

の行列)である，この式(2.14)を推移確率行列の標準形という．

2.2

節で述べたように𝑛次の推移確率行列𝑃^(𝑛)は𝑃^𝑛はで与えられるが，式(2.14)の形をした

𝑃

に対しては，

𝑃

^𝑛

= ( 𝑄

^𝑛

𝑅

𝑛

0 1 )

(2.15)

(6)

6

となることが証明できる．ここで，𝑄^𝑛は行列𝑄の𝑛乗，𝑅_𝑛は

𝑅

_𝑛

= (𝐼 + 𝑄 + ⋯ + 𝑄

^𝑛−1

)𝑅 (2.16)

である．これらは直接計算して確かめることができる．

行列𝑄は非負行列で行和が

1

であるが，これは0 < 𝑞 < 1の範囲をもつ実数𝑞と似ている．

𝑞

^𝑛が𝑛 → ∞のとき 0に収束するのと同様，𝑄^𝑛も𝑛 → ∞のとき零行列に収束する．また

1 + 𝑞 + 𝑞

²

+ ⋯ + 𝑞

^𝑛−1

= (1 − 𝑞

^𝑛

)/(1 − 𝑞)

に対応して

𝐼 + 𝑄 + 𝑄

²

+ ⋯ + 𝑄

^𝑛−1

= (𝐼 − 𝑄

^𝑛

)(𝐼 − 𝑄)

⁻¹

= (𝐼 − 𝑄)

⁻¹

(𝐼 − 𝑄

^𝑛

)

(2.17)

が成り立つ．𝑛 → ∞とすると

𝐼 + 𝑄 + 𝑄

²

+ ⋯ = (𝐼 − 𝑄)

⁻¹

(2.18)

である．この(𝐼 − 𝑄)⁻¹を基本行列とよび𝑀で表すことにする．式(2.16)と式(2.18)から，

n →

∞のとき𝑅

_𝑛

→ 𝑀𝑅であるから 𝑃

^𝑛

→ ( 0 𝑀𝑅

0 𝐼 ) (𝑛 → ∞) (2.19)

となる．

2.3.1

平均訪問回数

平均訪問回数とは，状態𝑖から出発したマルコフ連鎖がいずれかの吸収状態に吸収されるまでに状態𝑗を訪問する平均回数のことをいう．これは基本行列𝑀の要素𝑚_𝑖𝑗で表される．

吸収的マルコフ連鎖{𝑋_𝑛

}の一時的状態𝑖, 𝑗に対してつぎのような確率変数𝑢

_𝑛を考える．

𝑢

_𝑛

= { 1, 0,

𝑋

𝑛

= 𝑗

のときそれ以外その和は,

𝑣

_𝑗

= 𝑢

₀

+ 𝑢

₁

+ 𝑢

₂

+ ⋯ (2.20)

である．マルコフ連鎖が吸収されるまでに一時状態𝑖を訪問する回数ということになる．したがって，連鎖が状態𝑖から出発したという条件のもとで，式(2.20)の両辺の期待値をとると

𝐸(𝑢

_𝑛

) = 𝑃

_𝑖𝑗^(𝑛)

であるから

𝑚

_𝑖𝑗

= 𝐸(𝑣

_𝑗

| 𝑋

₀

= 𝑖) = 𝑝

_𝑖𝑗⁽⁰⁾

+ 𝑝

_𝑖𝑗⁽¹⁾

+ 𝑝

_𝑖𝑗⁽²⁾

+ ⋯ (2.21)

となる．状態𝑖, 𝑗はともに𝑇の要素なので，式(2.16)から，𝑝_𝑖𝑗^(𝑛)は𝑄^𝑛の要素である．したがって，式(2.21)の右辺を行列の形で書けば

(7)

7 𝐼 + 𝑄 + 𝑄

²

+ ⋯ = (𝐼 − 𝑄)

⁻¹

となり，基本行列𝑀に等しい．このように𝑀は平均訪問回数の行列となっている．

2.3.2

吸収確率

式(2.19)の極限に出てくる行列𝑀𝑅の要素は𝑖 ∈ 𝑇, 𝑗 ∈ 𝐴なる𝑛ステップ推移確率𝑝_𝑖𝑗^(𝑛)の極限であるから，マルコフ連鎖が状態𝑗に推移すると，それ以後はずっとそこに留まっている．

したがって，𝑝_𝑖𝑗^(𝑛)は，｢マルコフ連鎖が状態𝑖から出発し𝑛ステップまでに状態𝑗に推移する確率｣と解釈できる．その極限は「状態𝑖から出発したマルコフ連鎖がいつかは状態𝑗に推移する (すなわち吸収される) 確率」と考えられ，𝑏_𝑖𝑗を吸収確率という．𝑀𝑅は吸収確率の行列

𝐵 = (𝑏

_𝑖𝑗

)に等しい．

2.3.3

平均吸収時間

平均吸収時間とはいずれかの吸収状態に吸収されるまでの平均時間(平均ステップ数)のことをいう．吸収されるまでにマルコフ連鎖が一時的状態の間で推移を続けるステップ数は，式(2.20)の𝑣_𝑗を状態𝑗について加えたものになっている．したがって，状態𝑖から出発したという条件のもとでのその期待値𝑡は

𝑡

_𝑖

= ∑

_𝑗∈𝑇

𝑚

_𝑖𝑗

(2.22)

となる．これをベクトルの形で書くために，期待値𝑡を要素とする列ベクトルを𝜏,すべての要素が

1

の列ベクトルを𝜉とすれば

𝜏 = 𝑀𝜉 (2.23)

となる．𝜏は平均吸収時間の行列である．

(8)

8

第

3

章バスケットボールマルコフモデル

本章では，研究の対象であるバスケットボールと，使用するデータについて述べた後，バスケットボールマルコフモデルを作成する．

3.1 バスケットボールの概要

バスケットボールについて簡単に説明する．バスケットボールとは，

5

人ずつのプレーヤーからなる

2

つのチームがボールを使って得点を競う球技スポーツのことである．ゴールとなるバスケットが，コートの両端の中央に

2

つあり，シュートにより，バスケットにボールを入れることにより，得点となる．自チームのバスケットに相手チームにボールを入れさせないようにすることをディフェンスといい，相手チームのバスケットにボールを入れるように攻めることをオフェンスという．各チームともオフェンス，ディフェンスを繰り返し，

制限時間内に得点が失点を上回った方のチームが勝利となる．

また，

3P

エリアから打たれる

3P

シュートは

3

得点，

2P

エリアとゴール下(ペネトレイトエリア)から打たれるシュートは

2

得点である．また，シュート時にファウルを受けるとフリースローを打つことができ，フリースローが

1

回入るごとに

1

得点することができる．

アシストパスとは，シュートに直接繋がるパスを出すプレーのことである．リバウンドとは，

シュートされたボールがゴールしなかった場合に，外れたボールを掴み取るプレーのことである．

3.2

データの集計方法及び状態空間の定義

(9)

9

本研究で使用するデータは，2015年に行われたバスケットボール日本代表国際強化試合日本対チェコ戦，

2016

年に行われたリオオリンピック最終予選日本対チェコ戦，

2016

年に

行われた

Atlas Challenge

日本対中国戦の計

3

試合である．データの集計方法として，いず

れの試合も動画を見て自分で収集した．定義した状態空間の各状態間を行き来する回数をカウントする．データの詳細は表

3.1

に示す．

表

3.1 各試合の対戦チーム・スコア

次に，状態空間の定義について述べる．各チームのオフェンスだけに着目し，チームがボールを得てから，攻撃が終了し，相手にボールが渡るまでを一区切りとして，状態と状態間の推移を定義する．選手一人一人を対象としないのは，

1

チーム選手はコート内外の人数を合わせて最大

15

人いるため，集計が困難であると判断したためである．

バスケットコートを図

3.1

のように

4

つに分割し，バックコートを(W)，

3P

エリアを(R)，

2P

エリア(B)，ゴール下を(Y)と定義する．

図

3.1

バスケットコートの分割

パスについて述べる．オフェンスを組み立てるために重要なパスはコート上を分割して定義したエリア(W)，(R)，(B)，(Y)間のそれぞれへのパスを状態の一つとして定義する．

年度日付試合名対戦チームスコア

2015 8月15日国際強化試合日本対チェコ 65-54 2016 7月6日リオオリンピック最終予選日本対チェコ 71-87 2016 6月14日 Atlas Challenge 日本対中国 71-70

(10)

10

次にシュートについて述べる．バスケットボールにはたくさんの種類のシュートがあるが本研究では，

3P

シュート，

2P

シュート，ドリブルシュートの

3

種類に分ける．また，アシストパス，リバウンド，フリースローが行われるファウルを一つの状態として定義する．

これら以外にバスケットボールにはスクリーンプレーやピボット，トラベリングなど，細かく分ければたくさんのプレーがあるが，本研究では考慮しない．その理由としてはこれらの細かいプレーを適用しないと試合が成り立たない程ではなく，加えて状態を細かく分けると分析時に結果が見にくいと判断したからである．これらを適用した状態空間を表

3.2

に示す．

表

3.2 バスケットボールマルコフモデルの状態空間

(11)

11 3.3 集計結果に基づいた推移確率行列の決定

3.2

節に基づいてデータの集計をおこなう．表

3.2

の各状態間を推移する回数をカウントする．また，各試合の集計結果を表

3.3，表 3.4，表 3.5，表 3.6，表 3.7，表 3.8

に示す．行の番号は推移前の状態で，列の番号は推移先の状態を表す．番号は表

3.2

の状態の番号に対応する．行番号と列番号の枠内の色は，コートを分割した際の各エリアの色に対応している．

つまり，(W)で行われた状態は白，(R)で行われた状態は赤，

(B)で行われた状態は青，(Y)で

行われた状態は黄色で表される．

表

3.3 2015

年

8

月

15

日国際強化試合日本対チェコ戦(65-54)の日本側の集計結果

状態エリア内容

0 W,R,B,Y

ボールを取得

1 W WからWへパス

2 W WからRへパス

3 W WからBへパス

4 W WからYへパス

5 R RからRへパス

6 R RからBへパス

7 R RからYへパス

8 R Rからアシストパス

9 R

３Pシュート

10 R Rでドリブルシュート

11 R Rでリバウンド

12 R Rでファウルを受ける

13 B BからRへパス

14 B BからBへパス

15 B BからYへパス

16 B Bからアシストパス

17 B

２Pシュート

18 B Bでドリブルシュート

19 B Bでリバウンド

20 B Bでファウルを受ける

21 Y YからRへパス

22 Y YからBへパス

23 Y YからYへパス

24 Y Yからアシストパス

25 Y

２Pシュート

26 Y Yでドリブルシュート

27 Y Yでリバウンド

28 Y Yでファウルを受ける

29 R

得点(3点)

30 B,Y

得点(2点)

31 R,B,Y

得点(1点)

32 R,B,Y Play off

(12)

12

表

3.4 2015

年

8

月

15

日国際強化試合日本対チェコ戦(65-54)のチェコ側の集計結果

表

3.5 2016

年

7

月

6

日リオオリンピック最終予選

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 0 0 2 65 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 50 8 1 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 83 21 14 0 10 6 0 0 0 0 0 1 7 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 4 2 0 5 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 5 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 0 0 2 0 0 0 0 0 0 3 8 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 5 0 0 11 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 0 5 11 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 0 0 0 0 0 5 3 2 0 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 6 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 21 0 0 0 0 0 4 1 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 5 0 3 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 6 0 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 0 0 4 65 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 54 4 5 0 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 62 14 11 0 15 6 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 1 0 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 8 0 0 0 0 0 0 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 4 0 0 15 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 2 0 3 11 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 0 0 0 0 0 1 0 2 0 4 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 6 0 5 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21 0 0 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 7 0 3 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 1 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(13)

13

日本対チェコ戦(71-87)の日本側の集計結果

表

3.6 2016

年

7

月

6

日リオオリンピック最終予選日本対チェコ戦(71-87)のチェコ側の集計結果

表

3.7 2016

年

6

月

14

日

Atlas Challenge

日本対中国戦(71-70)の日本側の集計結果

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 0 0 11 46 2 2 3 2 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 9 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 35 4 2 2 3 6 0 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 43 12 6 4 15 2 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 2 0 1 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 7 0 0 0 0 0 0 2 8 0 0 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 9 0 0 13 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 0 5 0 3 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 0 0 0 0 0 3 4 3 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 6 0 11 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 21 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 6 0 3 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 0 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 0 0 0 66 2 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 43 10 6 0 2 4 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 62 11 13 0 19 5 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 2 1 0 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 1 0 12 0 0 0 0 0 0 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 9 0 0 12 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 6 0 2 11 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 0 0 0 0 0 6 0 1 0 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 7 0 6 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 1 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21 0 0 0 0 0 8 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 12 0 4 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 3 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(14)

14

表

3.8 2016

年

6

月

14

日

Atlas Challenge

日本対中国戦(71-70)の中国側の集計結果

集計結果から

3.2

節で設定した各状態間の推移確率行列𝑃を求める．本項で得た集計結果

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 0 0 0 71 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 55 1 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 63 25 6 0 9 10 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 2 0 0 7 3 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 3 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 7 0 0 1 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3 0 5 0 0 3 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 9 0 7 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 13 0 0 0 0 0 3 1 2 0 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 8 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 0 5 0 5 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 8 2 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 0 0 0 0 75 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 51 2 7 0 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 6 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 89 15 11 0 13 6 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 3 0 0 0 6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 5 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 5 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 6 0 0 10 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 5 0 4 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 6 0 4 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 0 0 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 21 0 0 0 0 0 8 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 5 0 7 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 6 7 0 29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(15)

15

を行列𝐷，要素を𝑑_𝑖𝑗とし，𝑖行の行和𝑠𝑢𝑚_𝑖，そして，式(2.14)より，𝑃の各要素𝑝_𝑖𝑗は

𝑝

_𝑖𝑗

= {

𝑑_𝑖𝑗 𝑠𝑢𝑚_𝑖

1 0

(0 ≤ 𝑖 ≤ 27,0 ≤ 𝑗 ≤ 31)

(28 ≤ 𝑖 ≤ 31,0 ≤ 𝑗 ≤ 31, 𝑖 = 𝑗) (28 ≤ 𝑖 ≤ 31,0 ≤ 𝑗 ≤ 31, 𝑖 ≠ 𝑗)

(3.1)

として推定する．また，状態空間𝑆は{0,1, ⋯ ,32}，一時的状態の集合𝑇は𝑇 = {0,1, ⋯ ,27}，吸収状態の集合𝐺は𝐺 = {28,29,30,31}である．式(3.1)から求まる各試合の推移確率行列は付録に示す．

(16)

16

第４章マルコフモデルを用いたチーム力の分析

第

3

章で作成したバスケットボールマルコフモデルを用いて，試合のシミュレーションをおこなう．そして，作成したモデルの結果が実際の試合の結果にほぼ等しい結果が得られることを検証する．検証後，モデルから試合の分析をおこない，勝敗を分ける要因を考察する．

4.1

マルコフモデルを用いた試合のシミュレーションの概要

4.1.1

シミュレーションの設定

試合のシミュレーションは以下の

3

つのルールに従う．

・各チームのオフェンスのみをシミュレーションをおこなう．

・実際の試合を見て集計した総推移回数に，シミュレーション時の推移回数が達したら試合を終了する．

・ファウルを受け，フリースローが行われる場合のみのファウルを考え，他の場面のファウルは考えない．

・ボールが相手に渡った時すべてをとして考える．

他にもバスケットボールには細かいルールが存在するが，本研究では考慮しない．例えば，ボールを持って

3

歩以上歩いてはいけないトラベリングや，一人の選手が一試合に

5

回ファウルしたら退場しなくてはいけないなどがある．しかし，細かいルールを適用しないと試合が成り立たないほどではなく，相手にボールが渡るものはすべて

Play off

と考えることで十分試合のシミュレーションが成り立つと判断した．

次に，シミュレーションを実行する際の，状態空間の推移の規則について述べる．状態空間の推移は

0

以上

1

以下の一様乱数を用いる．まず，推移確率行列𝑃が

∑

^𝑁_𝑗=1

𝑝

_𝑖𝑗

= 1

(𝑁は列数)

(4.1)

であることから，状態間の推移をプログラムで処理するために，以下で定義する𝑐_𝑖𝑗 を要素とする行列𝐶を計算する.

𝑐

_𝑖𝑗

= ∑

^𝑗_𝑘=1

𝑝

_𝑖𝑗

(1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 32) (4.2)

次に，乱数x(0 ≤ x ≤ 1)を発生させ，𝑐_𝑖𝑗−1

< 𝑥 < 𝑐

_𝑖𝑗のとき状態𝑖から状態𝑗へ推移させる.

吸収状態(状態

29

から状態

32)へ推移したときは，マルコフモデルの推移を打ち切る．

そして，再び初期状態(状態

0)からモデルを実行する．シミュレーションの流れを図 4.1

に示す．

(17)

17

図

4.1 シミュレーションの流れ

4.1.2

シミュレーションのアルゴリズム

4.1.1

項に作成したシミュレーションのアルゴリズムを示す．

＜記号の定義＞

𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 :

チームの得点

𝑘:推移回数

𝐿:総推移回数

＜シミュレーションのアルゴリズム＞

(ステップ 1)

𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 ≔ 0とし，また𝑘 ≔ 0

とする．

𝐿には実際の各試合の各チームの総推移回数を代入する．

(ステップ 2)

オフェンス時の初期状態を決める．𝑖 ≔ 0とする．

0 ≤ 𝑥 ≤ 1

の一様乱数𝑥を発生させて，𝑐_𝑖𝑗−1

< 𝑥 ≤ 𝑐

_𝑖𝑗を満たす𝑗(∈ 𝑆)へ推移させる．

推移後，𝑘 = 𝑘 + 1と，更新して，𝑘 ≥ 𝐿ならば，終了する．

(18)

18 (ステップ 3)

𝑗 = 29ならば(a) 𝑗 = 30ならば，(b) 𝑗 = 31ならば，(c)

𝑗 = 32ならば，(d)を行う．

それ以外ならば，(e)を行う．

(a) 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 ≔ 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 + 3と更新し，𝑖 ≔ 0とし，ステップ 2

へ戻る．

(b)𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 ≔ 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 + 2と更新し，𝑖 ≔ 0とし，ステップ 2

へ戻る．

(c)𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 ≔ 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 + 1と更新し，𝑖 ≔ 0とし，ステップ 2

へ戻る．

(d) 𝑖 ≔ 0とし，ステップ 2

へ戻る．

(e)𝑖 ≔ 𝑗として，ステップ 2

へ戻る．

4.1.3

シミュレーション結果と実際の試合結果との比較

集計した

3

試合のシミュレーションを

100

試合ずつおこない，各試合の実際の試合結果とシミュレーション結果を比較したものを示す．比較対象は得点，各シュートの成功率である．2Pは

2P

シュート(B)，2Pシュート(Y)をまとめたもの，ドリブルはドリブルシュート

(R)，ドリブルシュート(B)，ドリブルシュート(Y)をまとめたものを表している．

表

4.1 実際の試合とシミュレーションの比較

表

4.1

より，シミュレーション結果と実際の試合結果のスコア，各シュートの成功率は，

ほぼ等しい値であることがわかる．スコアの誤差は最大で

3.11

であり，シュート成功率の誤差は最大で

0.100

程度である．よって，これらの誤差はバスケットボールの試合において無視できる値であると判断した．以上より，バスケットボールマルコフモデルが実際の試合にほぼ等しい結果を出力することがいえる．

4.2 シミュレーションによる試合分析

集計した

3

試合のシミュレーションを

100

回ずつおこなう．そして，平均訪問回数𝑚_𝑖𝑗，試合チーム名実際シミュレー

ション実際シミュレー

ション実際シミュレーション

日本

65 67.90 0.294 0.293 0.536 0.571 0.308 0.317

チェコ

54 50.89 0.222 0.221 0.464 0.456 0.416 0.360

日本

71 71.66 0.391 0.401 0.364 0.364 0.294 0.317

チェコ

86 86.34 0.346 0.374 0.613 0.587 0.642 0.542

日本

71 70.06 0.417 0.390 0.290 0.319 0.435 0.395

中国

70 69.30 0.333 0.303 0.355 0.403 0.333 0.302

ドリブル

2016年リオオリンピック最終予選

スコア 3P 2P

2016Atlas Challenge 2015年国際強化

試合

(19)

19

吸収確率𝑏_𝑖𝑗，平均吸収時間(吸収状態までに要するステップ数)𝑡_𝑖の平均を求めて，試合の分析をおこなう．

表

4.3，表 4.4，表 4.11，表 4.12，表 4.19，表 4.20

に(R)，(B)，(Y)の

3

つのエリアから

(R)，(B)，(Y)の 3

つのエリアへの各チームのパスの平均訪問回数を示す．図

4.2，図 4.4，

図

4.6

は表

4.3，表 4.4，表 4.11，表 4.12，表 4.19，表 4.20

の平均訪問回数を比較できるようにした図である．表

4.5，表 4.6，表 4.13，表 4.14，表 4.21，表 4.22

に各チームの(R)，

(B)， (Y)の 3

つのエリアから

3P

シュート，

(B)からの 2P

シュート，

(Y)からの 2P

シュート，

(R)からのドリブルシュート，(B)からのドリブルシュート，(Y)からのドリブルシュートの 6

つのシュートの状態までに推移する平均訪問回数を示す．図

4.3，図 4.5，図 4.7

は表

4.5，

表

4.6，表 4.13，表 4.14，表 4.21，表 4.22，の平均訪問回数を百分率で示したものである．

また，表

4.7，表 4.15，表 4.23

にシュートの平均訪問回数の中で特に目立った箇所を示す．

表

4.8，表 4.16，表 4.24

に各チームの吸収確率を示す．表

4.8，表 4.17，表 4.25

に各チームの平均吸収時間を示す．行は推移開始時の状態，列は推移先を表す．3Pシュートは

3P，2P

シュートは

2P，ドリブルシュートはドリブル，アシストパスはアシスト，ファウルを受け

てフリースローを行う状態をファウルと表す．また，枠内が赤ならば(R)で，青ならば(B)で，

黄色ならば(Y)で行われていることを示す．

4.2.1 2015

年国際強化試合日本対チェコ戦の試合分析

以下に

2015

年国際強化試合日本対チェコ戦(以下，

2015

日本対チェコ戦)のシミュレーションを

100

回おこなった時の得点，各シュートの成功率，平均訪問回数，吸収確率，平均吸収時間の各要素の平均を示す．

表

4.2 2015

年日本対チェコ戦のシミュレーション結果(100試合)

表

4.2

を見ると，日本がチェコに勝利し，シュート成功率も総合的に見ると高く，日本の方が有利であると推測できる．シミュレーションにおいての成功率は日本の方が全体的に高い．

表

4.3

と表

4.4，図 4.2

の日本とチェコの各平均訪問回数を見比べてみると，両チームと

も，

(R)地点から(R)地点へのパス回しが中心となっている．日本のほう全体的に多くパス回

しをしている．また，日本はチェコに比べて(B)地点へのパスが多いことがわかる．

3P 2P

ドリブル

日本

67.90 73.20 0.293 0.571 0.317

チェコ

50.89 69.17 0.221 0.456 0.360

得点攻撃回数成功確率

(20)

20

表

4.3 2015

日本対チェコ戦における日本のパスの平均訪問回数

表

4.4 2015

日本対チェコ戦におけるチェコのパスの平均訪問回数

図

4.2 2016

日本対チェコ戦におけるパスの平均訪問回数の比較

日本

R B Y

計

R 7.302 1.737 0.979 10.018 B 1.475 1.462 0.095 3.032 Y 0.539 0.258 1.000 1.797

計

9.316 3.457 2.074 14.847

チェコ

R B Y

計

R 5.480 0.769 0.917 7.166 B 1.523 1.000 0.062 2.585 Y 0.683 0.065 1.000 1.748

計

7.686 1.834 1.979 11.499

0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000

R→R R→B R→Y B→R B→B B→Y Y→R Y→B Y→Y

日本中国

(21)

21

表

4.5 2015

日本対チェコ戦における日本の各シュートへの平均訪問回数

表

4.6 2015

日本対チェコ戦におけるチェコの各シュートへの平均訪問回数

図

4.3 表 4.5，表 4.6

の平均訪問回数を百分率表示

表

4.5，表 4.6，図 4.3

を見てみると，シュートの総数は日本もチェコもさほど変わらな

い．日本は

2P

シュート(B)がシュート総数の約

45.3％を占めていて，チェコは 3P

シュー

トが約

34.9％，2P

シュート(Y)が約

24.1％を占めている．つまり，日本は 2P

シュート(B)

を主として攻撃し，チェコは

3P

シュートと

2P

シュート(Y)を主として攻撃している．ドリブルシュートの割合が両チームとも少ないのは，ゴールへのドリブルを使っての侵入を防ぐような守備が機能していたと推測できる．

日本

3P 2P 2P

ドリブルドリブルドリブル計

R 1.443 1.005 0.529 0.346 0.105 0.000 3.428 B 0.501 1.462 0.631 0.066 0.095 0.000 2.755 Y 0.272 1.462 0.706 0.030 0.012 0.000 2.482

計

2.216 3.929 1.866 0.442 0.212 0.000 8.665

チェコ

3P 2P 2P

ドリブルドリブルドリブル計

R 1.834 0.676 0.707 0.286 0.128 0.000 3.631

B 0.900 0.478 0.355 0.033 1.877 0.000 3.643

Y 0.383 0.085 1.095 0.040 0.055 0.000 1.658

計

3.117 1.239 2.157 0.359 2.060 0.000 8.932

(22)

22

表

4.7

は平均訪問回数から各チームが主に使っているシュートの状態に推移する平均訪問回数をピックアップして表したものである．表

4.7

を見てみると，日本が主として使っている

2P

シュート(B)は，

(R)から(R)へのパスの後にドリブルして(B)に侵入し， 2P

シュート

(B)を行う，または(R)から(B)，(B)から(B)，(Y)から(B)へのパスの後，そのまま 2P

シュー

ト(B)を行うなど，パスから攻撃を仕掛ける回数が多いことがわかる．またチェコは，(B)から(R)へのパスで

3P

シュートを行う回数と，(Y)から(B)へのパスを行った後，ドリブルし，

(R)から 3P

シュートを行う回数が一番多いことがわかる．また，2Pシュート(Y)は(Y)でリ

バウンド後，2Pシュート(Y)を行う回数が一番多く，(R)から(Y)へのパス後に

2P

シュート

(Y)が行われる回数も多いのがわかる．チェコは(B)や(Y)等いろんなエリアにパスを回しな

がらシュートを行っていると推測できる．

表

4.7 2015

日本対チェコ戦の各チームの主なシュートへの平均訪問回数日本 2P チェコ

3P 2P

取得

0.247

取得

0.317 0.186

W→W 0.269 W→W 0.330 0.191

W→R 0.269 W→R 0.330 0.191

W→B 0.000 W→B 0.000 0.000

W→Y 0.000 W→Y 0.000 0.000

R→R 0.291 R→R 0.367 0.190

R→B 0.319 R→B 0.296 0.150

R→Y 0.241 R→Y 0.107 0.515

アシスト

0.291

アシスト

0.000 0.000

3P 0.005 3P 1.048 0.077

ドリブル

0.005

ドリブル

0.033 0.068

リバウンド

0.291

リバウンド

0.296 0.150

ファウル

0.000

ファウル

0.000 0.000

B→R 0.280 B→R 0.604 0.206

B→B 0.452 B→B 0.000 0.000

B→Y 0.002 B→Y 0.276 0.560

アシスト

0.341

アシスト

0.000 0.000

2P 1.016 2P 0.057 0.117

ドリブル

0.000

ドリブル

0.000 0.000

リバウンド

0.000

リバウンド

0.000 0.000

ファウル

0.000

ファウル

0.000 0.000

Y→R 0.166 Y→R 0.533 0.121

Y→B 0.691 Y→B 0.604 0.206

Y→Y 0.000 Y→Y 0.000 0.000

アシスト

0.342

アシスト

0.000 0.000

2P 0.003 2P 0.019 1.039

ドリブル

0.000

ドリブル

0.000 0.000

リバウンド

0.085

リバウンド

0.268 0.544

ファウル

0.017

ファウル

0.000 0.000

(23)

23

表

4.8

を見てみると，日本の

2P

シュート(B)は，約

62.8％成功している．また，3P

シュ

ートも約

29.8％の成功率である。チェコはが中心的に使っている 3P

シュートは約

18.4％，

2P

シュート(Y)は約

58.1％である．また，パスをしている状態での Play off

への吸収確率を見比べてみても，どれも

5

割から

6

割の確率であり，日本もチェコもそんなに大きな差はなかった．

表

4.8 2015

日本対チェコ戦における各チームの吸収確率

日本

3点 2点 1点 Play off

チェコ

3点 2点 1点 Play off

取得

0.070 0.315 0.074 0.540

取得

0.069 0.245 0.040 0.646

W→W 0.075 0.317 0.039 0.568 W→W 0.068 0.234 0.038 0.660

W→R 0.075 0.317 0.039 0.568 W→R 0.068 0.234 0.038 0.660

W→B 0.000 0.000 0.000 0.000 W→B 0.261 0.565 0.130 0.043

W→Y 0.000 0.000 0.000 0.000 W→Y 0.000 0.000 0.000 0.000

R→R 0.087 0.310 0.036 0.567 R→R 0.075 0.245 0.039 0.640

R→B 0.054 0.339 0.026 0.581 R→B 0.083 0.284 0.034 0.599

R→Y 0.079 0.268 0.028 0.625 R→Y 0.024 0.302 0.059 0.614

アシスト

0.087 0.310 0.036 0.567

アシスト

0.000 0.000 0.000 0.000

3P 0.298 0.022 0.004 0.676 3P 0.185 0.059 0.010 0.745

ドリブル

0.004 0.347 0.168 0.481

ドリブル

0.018 0.360 0.139 0.483

リバウンド

0.087 0.310 0.036 0.567

リバウンド

0.083 0.284 0.034 0.599

ファウル

0.000 0.000 0.000 0.000

ファウル

0.000 0.000 0.000 0.000

B→R 0.118 0.271 0.024 0.587 B→R 0.109 0.199 0.027 0.665

B→B 0.050 0.466 0.043 0.442 B→B 0.000 0.000 0.000 0.000

B→Y 0.001 0.277 0.061 0.660 B→Y 0.056 0.362 0.070 0.512

アシスト

0.004 0.579 0.083 0.335

アシスト

0.000 0.000 0.000 0.000

2P 0.005 0.628 0.002 0.365 2P 0.012 0.506 0.015 0.468

ドリブル

0.000 0.500 0.000 0.500

ドリブル

0.261 0.565 0.130 0.043

リバウンド

0.000 0.000 0.000 0.000

リバウンド

0.261 0.565 0.130 0.043

ファウル

0.000 1.000 0.000 0.000

ファウル

0.000 0.000 0.000 0.000

Y→R 0.144 0.183 0.020 0.653 Y→R 0.099 0.142 0.023 0.735

Y→B 0.044 0.498 0.018 0.440 Y→B 0.109 0.199 0.027 0.665

Y→Y 0.000 0.000 0.000 0.000 Y→Y 0.000 0.000 0.000 0.000

アシスト

0.102 0.402 0.043 0.453

アシスト

0.000 0.000 0.000 0.000

2P 0.003 0.555 0.123 0.319 2P 0.013 0.582 0.117 0.288

ドリブル

0.000 0.000 0.000 0.000

ドリブル

0.000 0.000 0.000 0.000

リバウンド

0.074 0.369 0.072 0.486

リバウンド

0.055 0.360 0.068 0.516

ファウル

0.015 0.274 0.614 0.097

ファウル

0.043 0.261 0.522 0.174

(24)

24

表

4.9

において，

0

からの平均吸収時間を見比べてみると，日本のほうが大きい．つまり，

日本のほうが多くパスを回し，一回の攻撃に時間をかけて攻撃している．しかし，各シュートからの平均吸収時間を見てみると，若干だがチェコの方が大きい．これはチェコの方が日本よりもリバウンドを取る確率が大きく，リバウンドを取った後にまた攻撃を再開するという場面が多いからであると推測できる．

表

4.9 2015

日本対チェコ戦の各チームの平均吸収時間

以上より，日本は，たくさんパスを回すことで時間をかけ，得点する確率が大きいパスの後の

2P

シュート(B)を多く使った．これが，日本が有利であった要因と推測できる．対して，チェコは，パス回しの回数は比較的日本より少ないが，いろんなエリアにパスを回しながら

3P

シュートと

2P

シュート(Y)を中心的に使った．しかし，3Pシュートの成功率が低く，成功率が高いシュートを中心的に使わなかった．このことがチェコの敗北の要因となっ

2015

日本チェコ

取得

6.196 5.485

W→W 7.454 5.770

W→R 5.454 4.520

W→B 1.000 2.348

W→Y 1.000 1.000

R→R 5.051 4.106

R→B 3.714 3.168

R→Y 3.965 2.410

アシスト

6.051 1.000

3P 1.218 1.679

ドリブル

1.475 1.825

リバウンド

6.051 4.168

ファウル

1.000 1.000

B→R 4.523 3.182

B→B 4.014 1.000

B→Y 1.674 3.592

アシスト

2.344 1.000

2P 1.336 1.817

ドリブル

1.000 1.348

リバウンド

1.000 2.348

ファウル

1.000 1.000

Y→R 4.063 3.613

Y→B 3.802 4.182

Y→Y 1.000 1.000

アシスト

2.301 1.000

2P 1.348 1.571

ドリブル

1.000 1.000

リバウンド

3.706 3.815

ファウル

1.741 1.391

(25)

25

たと推測できる．

4.2.2 2016

年リオオリンピック最終予選日本対チェコ戦の試合分析

以下に

2016

年リオオリンピック最終予選日本対チェコ戦(以下，2016日本対チェコ戦) のシミュレーションを

100

回おこなった時の得点，各シュートの成功率，平均訪問回数，

吸収確率，平均吸収時間の各要素の平均を示す．

表

4.10 2016

年日本対チェコ戦のシミュレーション結果(100試合)

表

4.10

を見ると，チェコが日本に

15

点差近く差を広げて勝利している．シミュレーションにおける

2P

シュート，ドリブルシュートなどゴール近くで打つシュートはチェコの方が成功確率は大きい．

表

4.11 2016

日本対チェコ戦における日本のパスの平均訪問回数

表

4.12 2016

日本対チェコ戦におけるチェコのパスの平均訪問回数

表

4.11

と表

4.12，図 4.4

の日本とチェコの各平均訪問回数を見比べてみると，両チーム

とも，

(R)地点から(R)地点へのパス回しが中心となっている．パス回しの回数は全体的に見

ると，日本の方が多くパスを回している．また，チェコは日本に比べて(Y)地点へのパスが多いことがわかる．これは，チェコの選手の方は身長が高く，(Y)地点へのパスが通りやすいためであると考えられる．

3P 2P

ドリブル

日本

70.06 72.49 0.390 0.319 0.395

中国

69.3 73.96 0.303 0.403 0.302

得点攻撃回数成功確率

日本

R B Y

計

R 6.160 1.321 0.780 8.262 B 1.973 1.725 0.000 3.698 Y 1.108 0.108 0.108 1.323

計

9.241 3.153 0.888 13.283

チェコ

R B Y

計

R 7.264 0.817 1.131 9.212

B 1.098 1.609 0.054 2.762

Y 0.006 0.001 0.001 0.008

計

第１章 はじめに

1

1936

2020

2

2

2.1 マルコフ連鎖と推移確率行列

(𝑛 = 0,1, ⋯ )を考える．任意の𝑛 ≥ 1と状態空間 S = {𝑖

, 𝑖

, ⋯ , 𝑖

, 𝑗}に対して

P{𝑋

= 𝑗 | 𝑋

= 𝑖

, ⋯ , 𝑋

= 𝑖

} = P{𝑋

= 𝑗 | 𝑋

= 𝑖

}

(2.1)

}はマルコフ性を持つという．そして，マルコフ性を持った状

}をマルコフ連鎖という．また，式(2.1)の推移確率

𝑝

= 𝑃{𝑋

= 𝑗 | 𝑋

= 𝑖} (1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑁) (2.2)

0 ≤ 𝑝

≤ 1, ∑

𝑝

= 1 (2.3)

P = (

𝑝

𝑝

𝑝

𝑝

⋯ 𝑝

⋯ 𝑝

⋮ ⋮

𝑝

𝑝

⋱ ⋮

⋯ 𝑃

) (2.4)

1

2.2

= 𝑗 | 𝑋

= 𝑖}を求める．

3 𝑚 = 1のときは，式(2.2)より

P{𝑋

= 𝑗 | 𝑋

= 𝑖} = 𝑝

(2.5)

m = 2のときを考えると， 2

= 𝑘, 𝑋

= 𝑗 | 𝑋

= 𝑖}で表すことができる．これが１ス

𝑝

P{𝑋

= 𝑘, 𝑋

= 𝑗 |𝑋

= 𝑖}

= 𝑃{𝑋

= 𝑘 |𝑋

= 𝑖} ∙ 𝑃{𝑋

= 𝑗 |𝑋

= 𝑖, 𝑋

= 𝑘}

(2.6)

𝑃{𝑋

= 𝑗 |𝑋

= 𝑖, 𝑋

= 𝑘} = 𝑃{𝑋

= 𝑗, 𝑋

= 𝑘}

(2.7)

𝑃{𝑋

= 𝑘, 𝑋

= 𝑗 | 𝑋

= 𝑖} = 𝑝

第１章はじめに