沿岸域における波浪変形予知のための汎用モデル: University of the Ryukyus Repository

Title

沿岸域における波浪変形予知のための汎用モデル

Author(s)

筒井, 茂明

Citation

琉球大学工学部紀要(65): 1-12

Issue Date

2003-03

URL

http://hdl.handle.net/20.500.12000/2222

Rights

琉球大学工学部紀要第65号，2003年 １

沿岸域における波浪変形予知のための汎用モデル

筒井茂明＊

GeneralizedModelshrPredictionofCoastalWave-DefOrmation

ShigeakiTsuTsuI＊

Abstract Anassumptionofcollinearstraightcoastlinesinthefarfie1.,traditionallyusedinwavemodelsfbrharbors,is alimitationtowavesimuIationsinthedomainextendingtoinfmity,sincethisassumptionisinvalidfbrmostrcal coastlinesByalleviatingthislimitationbasedonthegeometric-opticsapproximation,fUnctionsofmodelsfOr coastalwave-defbrmationaregeneralizedtobeabletopredictwavepattemsaroundthesemi-infinitebreakwater

andconvexandconcavecoasts,suchasbulkheadswithdiscontinuousalignmenLSeventestproblemsofwave

diffiPactionaresolvedbythcfiniteelementmethodbasedonthecoastalwave-defbrmationmodelscombinedwith theimtegrabIe,cubicinfiniteelement､AsaresuItofcomparisonwiththeanalyticalsolutions,thegeneralized modelsarefOundtobeeffectiveandaccuratefbrproblemsofwavescattermg． KeyWords:WavedefOrmation,Wavescattering,Infiniteelements,Convexcoasts,Concavecoasts,Breakwater． 1．緒言 _{る地形は,一定水深の直線海岸である．} したがって,従来の港湾モデルにおいては,次のようにモ デルが設定されている．図－１に示すように,全海域を仮想 境界ｃにより解析対象領域｡と遠方場である外部領域ｎ.゜ に二分し，外部領域に対して次の３仮定が設けられる． (1)外部領域｡・・での水深は一定である． (2)外部領域での左右の海岸線(A,Ａ，)は同一直線上にある． (3)これら直線状の海岸線は波を完全に反射する． 解析対象領域Ｑでは海岸線および水深は任意に変化する ことが許される．この領域での所要の解は,外部領域Ｑ_に おいて波の放射条件を満たす解と境界ｃにおいて接続する ことにより決定される． 沿岸開領域における波の屈折,回折･散乱などの波の変形 解析においては，緩勾配方程式(Berkhoffl972)あるい波の 非線形性を考慮したBoussinesq型のモデル方程式など(例え ば,Ｔsayら,1982;Liuら,1985;灘岡・中川,1993;磯部,1994； 喜岡・柏原,1995;筒井・大木,1918)が用いられる．これら の方程式を用いた有限要素法に基づく波の変形解析におけ る考え方は次の通りである． 無限遠まで広がった海域があり，その一部に離岸堤,港湾 などの海岸構造物･施設を建設すると,周辺海域では水深お よび海岸地形が変化し，波高分布などの波の諸現象も従前 に比べて変化する．しかし，鳥臓的にこれらの現象を見る と，この海域から十分に離れた地点まではその影響は及ば ず,遠方場での波動現象には変化が見られない.全海域での このような波動現象を対象とし解析するときには，数理解 析モデルを用いて境界値問題を処理することになる．この 処理に当たっては，遠方場での不変な波動現象は既知であ ることが要求される．そのためには,遠方場での現象の取り 扱いが容易であることが望ましく，最も簡単な波浪条件とな 受理：2002年12月９日 ＊琉球大学工学部環境建設工学科 DepLofCivilEngimceringandATchitcctuに,Facu1tyofEngrg． 図－１港湾モデルとその定義

２ _{筒井：沿岸域における波浪変形予知のための汎用モデル} (1)半無限防波堤 (2)凸型海岸地形 (3)凹型海岸地形 図－２各種の海岸地形モデル これらの仮定に対して，Panchangら(2000)は外部領域で の一定水深の仮定(1)が長周期波に及ぼす影響について論じ ている．現地海岸においては,通常,岸沖方向の水深変化が 卓越することから，そこでは岸沖方向のみの－次元的な水 深変化が仮定されている．しかし,一定水深の仮定によるこ の制約はモデルの設定を工夫することにより回避すること が可能である(TsutsuiLewis,1192)．一方，Jeongら(1998） は第二の仮定,すなわち,外部領域で同一直線上にある海岸 線条件の緩和を試みている.その際には,無限遠での波の放 射条件を取り扱うため，放射方向では水深を一定と仮定し ている.他方,これと直交する方向には水深変化を許してい る．しかし，これらの仮定も現実の海岸地形とは相違する． 上述の３仮定は,外部領域における波動場を簡単にし,そ の取り扱いを容易にする．しかし,現実の海岸ではこのよう な理想的な地形は稀である.例えば,大規模な埋立てが行わ れる場合には，不連続な法線形状を有する隅角部周辺の波 高を推算することが要求される.このように,港湾モデルの 現地海岸への適用の際には，仮定②は厳しい制約となる． 本研究の目的は，仮定(2)および(3)を緩和し，現実の海 岸地形に適用可能な波浪変形予知のための汎用モデルを提 案することである.すなわち,外部領域での２海岸線は従来 の港湾モデルと同様に直線であるが,図－２(2)-(3)に示す ように，これらを延長すると任意の角ｙを成す凸型および凹 型の海岸地形を対象とする波浪変形予知モデルを提案す る．特に,角度ｖ＝Ｏの場合は図－２(1)に示す半無限防波堤 に，ｖ＝兀の場合は図－１に示す港湾モデルとなる． 外部領域Ｑ_での波の放射条件の取り扱いについては,そ の方法の１つとして，級数解あるいは境界積分と接続する 取り扱いがなされている．これらの中で級数解を用いた混 成型の有限要素法(HFEM)(Chen・Mei,1975)は高精度な推 算結果を与えることが判っている．しかし,要素行列を導く 際に特異な行列が現れる．その特異`性を回避するためには 陽的な行列表示が必要であり,取り扱いが不便である．ここ では,ＨＦＥＭと同様に,外部領域Ｑ・・での水深を一定と仮定 し，可積分型の無限要素(筒井,1199a,1999b,2000)を用い て無限遠での波の放射条件を処理する． 本研究の構成は次の通りである．第２章では有限要素解 析のためのシステムについて述べる.第３章では,システム への外力決定に必要な凸型および凹型の海岸地形に対する 幾何光学的な波動場を定め，波の変形予知モデルを提案す る．第４章ではこの予知モデルを用いて，各種の海岸地形 に対する波高分布の数値シミュレーションを行う．それらの 結果は解析解と比較され，本モデルの妥当性および有用性が 示される．最後に，得られた結果は第５章でまとめられる． ２有限要素解析のためシステム 解析対象領域Ｑでの水深および地形は変化し，図－１に 示すように，そこには海岸線や構造物などの境界「Bあるい は水深不連続部Ｔ､が存在する．一方,外部領域Ｑ~での水 深は一定と仮定され，無限要素はこの領域に適用される 全ての物理量は､代表水深Ａｌ;および重力加速度gにより定

義される基準長:Ai，時間:〃両,速度:(/雨による無次

元量である.静水面に座標原点を置き，水平方向に(X,y)-軸， 鉛直上方にZ-軸を採る.また，（ふり):領域Ｑおよびgooで の水面変動量，刀ｃ：入射波および反射波などの幾何光学的

な波,が:散乱波，Ｃ:波速,ｃｇ:群速度，⑩:周波数とする．

支配方程式は次式で与えられる.

▽(ccgV勾十の2(c:/c)曲＝Ｑ領域Ｑ内（'）

▽(ccgV〃s)＋の2(cg/c)’7s＝Ｏ領域Ｑ－内（２）

境界条件は次の通りである． 〃.Ｗ､,＋"-.V(〃c＋〃s)＝Ｏ境界C上（3｣） 白＝77o＋りｓ 境界Ｃ上（3.2） 境界ＴＢ上（４） "Ｂｖ曲＝Ｂ白

［…｡ⅥJ:←､畠鮴｢･上（５）

無限遠でのSommerfUdの放射条件（６） ただし,Ｖ＝(3/8Ｘ,３/Dy),〃＝±11±21...であり，（",〃-),〃B，〃Ｄ はそれぞれ境界ＣＴＢ,ｒＤでの外向き法線ベクトルを表す． 支配方程式(l〕は〃次のFourier成分波に対する非線形波動 方程式(筒井・大木,1998;Tsutsuiら,1998)であり，同式の右 辺のＱは高次成分波を含む非線形項を表す．Ｑ＝ｏのときの 線形解析では，式(1)は緩勾配方程式となる．領域Ｑ_での 水深は一定であるから，式(2〕はHelmholtz方程式となる． 式(3)は境界Ｃ上での水粒子速度および水面変位の連続条件

琉球大学工学部紀要第65号，2003年 である．式(4)は境界「Bでの反射境界条件(TsutsuiLcwis， 1992)であり，係数Ｂは境界での波の反射率および境界への

波の入射角の関数である.式(5)は水深不連続部「Dにおける

境界条件(TsutsuiZamami,1193)であり，水深の深い側より

浅い側へ波が伝播すると仮定して適用される.ただし，§｡:水

深不連続部の位置，Ｄ:無次元係数である．なお，式(1)-(6) においては,Ｑを除く波動量は全て"次成分波に対するもの であるが，畠以外の添字〃は省略されている． 式(1),(2),(3.1〕,(4),(5)に対する弱形式は，形状関数ｗを 用いると，次式で与えられる． ろ無限要素による波動場の定式化の際に，近似的ではある が自動的に満たされる． 式(9)で与えられるベクトルＭは,綾勾配方程式に相当 する式(1)の左辺より導かれ,幾何光学的な波(710)の境界ｃ 上での法線微分に対する線積分で与えられる．したがって， 式(8)の右辺は幾何光学的な波により定められるシステムへ の外力と解釈できる．結局，式(8)に基づく数値シュミレー ション結果の良否は，境界ｃ上での外力項を定める幾何光 学的な波動場の設定に依存する． 3．波浪変形予知のための汎用モデル

岬虐汎Ⅶ‐…Ｍ`Ｍ}`｡

÷ｌＬ("汎w-wwcwQ‐

-L…聯-1.叫鋤

‐し",〃Ｍ,（７）

さらに，式(7)の各項を離散化して得られる要素行列をそれ ぞれ(Ｋ}，（Ｋ､Ｊ，｛ＫＥ)，｛Ｋ､)，（９）とすると，未知数である 水面変動量白に関する次の連立方程式が得られる．

［;{k)‐;(K`)-用{K･)+星{KJ]{畠｝

＝:[(9)+(ﾊﾟｰ}{〃。)１（８）

ここに，ベクトル（9)は次式で与えられる．

（９１薑"ご川．“（９）

支配方程式(2)は外部領域9..における散乱波のみに対す るものであるから，式(7)を離散化して得られる結果におい ては，仮想境界Ｃ上での水面変動量が不連続となっている そこで,境界条件(3.2)を満たすため,次のような処理が行わ れている.すなわち，無限要素の要素行列｛K_)と境界ｃ上 の幾何光学的な波(〃c)より{【.」(刀G)なる量を求め,式(8) の両辺の対応する節点に付加されている．したがって，境 界ｃ上では全体の水面変動量ムーワc＋がが未知量となり， 境界条件(3.2)が満されている． 無限遠での波の放射境界条件(6)は，外部領域Ｑ_におけ 3.1外部境界Ｃ上での外力の算定 前述のＨＦＥＭは高精度な計算結果を与えるが，図－１に 示したように，同一直線上にある直線海岸を仮定してい る．一定水深の直線海岸においては，幾何光学的な波は入 射波とその反射波のみである．したがって，式(8)の右辺の 境界ｃ上での外力項は容易に定められる． より汎用性のある海岸地形モデルとして，図－２に示す 凸型および凹型海岸地形が考えられる．外部領域の２直線 海岸を延長してできる角ｖは，一般的にＯから2兀の範囲を 変化することができる．これらのモデルが有用となるため には，図－３に示すように,２直線海岸が任意の角ｖを成す 隅角地形に対する周辺海域での幾何光学的な波を決定しな ければならない．その結果，システム(8)の右辺の外力が算 定され,所要の汎用モデルが構築される． 図－３に示すような２直線海岸より成る隅角部周辺の海 域は，幾何光学的な近似によると， (1)入射波９，とその反射波92が共存する反射領域， (2)入射波8,のみが存在する入射領域，および (3)幾何光学的な波が存在しない影の領域(回折領域） に分割される，幾何光学的な波動場は，これら各領域に応 じて定められなければならない．ただし，合い隣る２領域 の境界線上の共通点(図－３の●印)では，各領域に対応し た成分波を採用することが特に肝要である． 幾何光学的な影の領域が存在しない場合および凹型海岸 地形において生じる多重反射の場合にも，幾何光学的な近 似に基づき海域を分割し，それぞれの領域で成分波を特定 し，全海域での幾何光学的な波動場を定める必要がある． ３２各種海岸地形に対する幾何光学的な波動場 ここでは§3.1で述べた幾何光学的方法により，各種海岸 地形に対する波動場を決定する． 図－１，２に示すように，正のｴｰ座標を一方の直線海岸 に沿って採り，座標原点は２直線海岸の交点に置く．極座 標を(尼⑩とする．さらに，【:時間，Ａ:波数，９，:入射波，

8ｊ(ﾉｰ2,3,…):反射波，畠(="．):境界C上での幾何光学的

な波動場，α:入射波の振幅，α:入射波の入射角，ｉ＝V二丁： 虚数単位とし，波動成分の時間項をexp(iのりとする． 議論を進めるに当たり，凹型海岸地形においては以下の ような注意が必要である．図－４（１）に示す兀＜ｖ＜3兀/2の 場合,β＝ｖ－兀とおくと,波の入射角α＝βおよびα＝兀－２β のときに一方の壁面からの反射波が他方の壁面と平行にな る．したがって，β＝兀/３を境に両者の大小関係が逆にな 図－３凸型海岸地形における幾何光学的な波動場

４ _{筒井：沿岸域における波浪変形予知のための汎用モデル} (｢， '、／、 0Ｖ＝Ｏ ＫＬ 図－５半無限防波堤 Ｋ)Ｐ (1)兀〈し〈3兀/2,0〈β＝ｖ－兀＜兀/２ Kｈ (3)α＝兀 鼻=9,,(O≦Ｏ≦21c）（114） (4)兀〈α〈２兀；０，＝α－兀，０２＝３兀一α ら＝[0,(に０〈０，);８，/2,(0＝０１)； glKeI＜８＜０２);８１＋９３/2,(Ｂ＝０２)； ９，＋83,(B2〈０≦2兀)］（11.5） (5)α＝2兀 鼻＝[0,(0≦ｅ<冗);８１/2,(0=ｎ)； 8,,(兀＜ｅ≦2九)］（116） (ｃ-1)凸型海岸地形：Ｏ〈ｖ〈冗 図－６に示す凸型海岸地形に対する幾何光学的な波動場 の決定に必要な成分波は次式で与えられる． $ ｋｈＫｈ (2)３冗/2＜γ〈2兀，０＜β＝跡一Ｖ＜兀/２ 図－４凹型海岸地形での波の反射状況

る．一方,図－４(2)に示すような3兀/2＜ｙ＜2兀の場合には，

β＝2兀－Ｖとおくと，α＝3β－兀およびα＝兀－２βのときに

同様の現象が生じ,これらはβ＝2兀/5を境に両者の大小関係

が逆になる．したがって,凹型海岸地形においては,ｖ＝4兀/3,

3冗/2,8兀/5を境に，場合分けをして考える必要がある． さらに，ｙ〉5兀/3の場合には,(1)入射角によっては多重反

射した波が隅角部の奥に集中し波高が大きくなり，このとき

には重複波の砕波の可能性が生じること，(2)実際の海岸地 形のほとんどはｖ≦5兀/３の場合に含まれると考えられるこ となどの理由により，凹型海岸地形としては兀＜ｙ≦5兀/３の 場合を解析対象とする．

各種の海岸地形モデルに対する幾何光学的な波動場は，

波の入射角αに依存し，以下の諸式で与えられる． (A)島モデル

島あるいは海岸構造物が外海に点在する本モデルでは，

無限遠における幾何光学的な波は入射波のみである．した がって，幾何光学的な波動場は次式で与えられる．

４＝81,(O≦ｅ≦２，U),９１＝αexp{ikrcos(0-の）（10）

(B)半無限防波堤：ｖ＝Ｏ 図－５に示す半無限防波堤に対する幾何光学的な波動場 の決定に必要な成分波は次式で与えられる．

’

８１＝αexp{ikrcos(０－②） 92＝αKRexP{WCos(ｅ＋⑳｝ 93＝αKLexp(iltrcos(０＋α＋２Ｖ)｝ (12.1） 図－６凸型海岸地形 ここに，ＫＲおよびＫＬは壁面ｅ＝Ｏおよびｅ＝－Ｖ沿いの波 の反射率である．座標原点は法線屈曲点に置かれている． (1)α＝０ 鼻＝[8,,(0≦０<冗);８，/2,(0=兀)； 0,(兀＜ｅ≦2兀一ｖ)］（12.2） (2)Ｏ＜α＜兀－Ｖ；０，＝兀一α，０２＝兀＋α 角＝[８，＋82,(0塁ｅ〈０，);g]＋８２/2,(O＝０，)； ｇ】,(e】＜０＜ｏ２Ｘｇ】/2,(ｅ＝０２)； 0,(02＜０≦2兀－Ｖ)］（12.3） (3)α＝兀－Ｖｉｅ,＝兀一α ５k＝[8,＋82,(O≦ｅ〈０１);８，＋82/２，(e＝０１)； 8,,(６１＜０≦2兀一ｖ)］（12.4） (4)兀一ｙ＜α＜兀ｉＯ,＝兀一α，ｅ２＝３兀－α－２Ｖ 鼻＝[８１＋82,(O≦ｅ〈０，);８，＋８２/2,(O＝0,)； 9,,(０，＜Ｂ＜６２);９，＋９３/2,(０＝０２)； 8,＋83,(０２＜０≦２兀－Ｖ)］（12.5）

｝

８，＝αexp{iArcos(０－⑳） ８２＝qKRexp{ikrcos(0＋⑳｝ ８３＝αKLeXP(ib･COS(e＋α)） (11.1） ここに，ＫＲおよびＫＬは壁面０＝ＯおよびＯ＝2兀沿いの波の 反射率である．座標原点は防波堤先端に置かれている． (1)α＝０ 鼻＝[8,,(o≦e<汀);g]/2,(e=穂)； 0,(兀＜０≦2兀)］（11.2） (2)Ｏ＜α＜兀；０，＝兀一α，02＝兀＋α ら＝[８１＋82,(O≦ｅ〈０１);8,＋８２/2,(o＝０１)； 8,,(０，＜ｅ＜o2X8I/2,(０＝０２)； 0,(０２＜０≦2兀)］（113）

琉球大学工学部紀要第65号，2003年 ５ (5)α＝兀；ｅＦ２兀－２Ｖ Ａ＝[8,,(O≦Ｏ〈0,);8,＋８３/2,(O＝0,)； 81＋93,(０，＜ｅ≦2兀－１ｍ（12.6） (6)兀＜α＜酌一Ｖ；０１＝α－兀，０２＝3兀－α－２Ｖ 白＝[0,(O≦Ｂ〈８１);８，/2,(0＝０１)； 8,,(０１＜ｅ＜０２);８，＋９３/2,(ｅ＝０２川 ９，＋93,(02＜ｅ≦２兀一ｖ)］（12.7） (7)α＝2兀一ｖ;０，＝兀一ｖ Ａ＝[0,(に０〈０，);８１/2,(8＝０，)； 8,,(０，＜０≦2兀－１/)］（12.8） (C-2>港湾モデル：ｖ＝兀

幾何光学的な波動場の決定に必要な成分波は，式(12.1)に

おいてv＝兀として定められる．ただし，ＫＲおよびＫＬは壁面

ｅ＝ＯおよびＯ＝元沿いの波の反射率である． 図－７凹型海岸地形(兀＜ｖ＜3兀/2） ８１＋８３＋82/2,(０＝０２)； ８１＋83,(６２〈０≦兀一β)］ (5)α＝兀－２β;０，＝兀一α 鼻＝[g'＋８２＋８３，(o≦ｏ〈０１)； ９，＋９３＋９２/2,(０＝０１)； ８１＋83,(８，〈ｅ≦兀一の］ (6)兀－２β〈α＜兀一β;０１＝2β＋α~兀'０２＝兀￣α 鼻＝[８１＋８２+８３+gsKo≦０〈０１)； ８１＋８２＋９３＋８５/2,(０＝０')； ９，＋９２＋g3KO,＜Ｏ＜02)； ９１＋８３＋82/2,(ｅ＝０２)； ９１＋93,(02〈ｅ≦冗一β)］ (7)α＝兀一β;０，＝兀一α 鼻＝[g'十82,(0≦０〈8[);８１＋８２/２，(o＝e')； 9,,(０１＜０≦兀一β)］ (14.5） (14.6） (1)α=0,,魚＝８１，(0≦ｅ≦庇）（13｣） (2)Ｏ＜α＜兀；０，＝兀一α 鼻＝[８，＋82,(に０〈0,)； ９１＋(92＋８３)/2,(８＝０１)； ８，＋83,(０，＜０≦兀)］（13.2） (D-1)凹型海岸地形＃１：兀＜ｖ＜4兀/３

図－７に示すように，β＝ｖ－兀とおくとＯ〈β＜冗/3であ

る．幾何光学的な波動場の決定に必要な成分波は次式で与 えられる． (147） (14.8） (D-2)凹120.型海岸地形：ｖ＝4兀/３ 幾何光学的な波動場の決定に必要な成分波は，式(14.1)に おいて炸冗/３として定められる．ただし，ｘＲおよびKLは 壁面０＝Ｏおよび０－Ｖ沿いの波の反射率である． (1)α＝ｏ；０，＝兀－２β 鼻＝[8,,(にｏ〈８，);81＋８３/2,(e＝0,)； 8,＋83,(0,〈に兀一β)］（15｣） (2)Ｏ＜α＜β;６，＝兀－２β－α,０２＝兀－２β＋α 魚＝[８１＋82,(O≦Ｏ〈０１);８，＋82＋８３/2,(e＝０１)； ９，＋９２＋93,(01＜０＜０２)； ８，＋92＋93＋94/2,(O＝仏)； 8,＋82＋８３＋94,(０２〈ｅ≦兀一β］（15.2） (3)α＝β 白=８,十82十83,(O≦０≦兀一β）（15.3） (4)β〈α〈兀一β;０，＝2β＋α－兀,０２＝兀一α 角＝[８，＋８２十83＋85,(にｅ〈0')； ９，＋８２＋９３＋８５/2,(ｏ＝８，)； ８，＋８２＋83,(０１＜Ｂ＜０２)； ８１＋８３＋９２/2,(０＝ｏユハ ８１＋83,(０２＜ｅ≦兀一β］（15.4） (5)α＝兀一β;０，＝兀一α 魚＝[８，＋82,(にｅ〈０１);８１＋８２/2,(e＝０１)； 8,,(０１＜０≦兀一β)］（15.5）

Ｉ

８，＝qexp{ikrcos(０－α)｝ ８２＝αＫ丹exp{ikrcos(０＋α)｝ 93＝αKLexp(Wcos(O＋2β＋α)｝ 84＝αXRKLexp(iA「ＣＯＳ(0＋Zβ－α)） 85＝akRKLexp{ikrcos(0-2β－α)｝ (14.1） ここに，ＫＲおよびＫＬは壁面ｅ＝Ｏおよび０＝－Ｖ沿いの波 の反射率である．座標原点は法線屈曲点に置かれている． (1)α＝Ｏ；０，＝兀－２β Ａ＝[8,,(にｅ〈0,);8,＋８３/2,(e＝０１)； ９，＋83,(０，〈０≦冗一β0］（14.2） (2)０＜α〈β;,,＝兀－２β－α,０２＝兀－２β＋α 鼻＝[9,＋82,(にe〈０１);８１＋８２+８３/2,(0＝0,)； ｇ】＋９２＋93,(0,＜０＜０２)； ８１＋８２＋８３＋８４/2'(ｅ＝０２)； ９，＋82＋８３＋84,(０２＜Ｏ≦兀一β］（14.3） (3)α＝β;０，＝兀－２β－α ら＝[8,＋82,(にｏ〈０，);９，＋８２+83/2,(e＝0,)； ９，＋８２＋83,(０，〈０≦兀－β)］（14.4） (4)β〈α〈兀－２β;０，＝兀－２β－α,02＝兀－α 皇＝[8,＋82,(O≦ｅ〈e]);91＋92＋８３/2,(e＝0,)； ９，＋８２＋82,,(０１＜ｅ＜Ｂ２)；

》（｛①Ⅱや）㎡、配十曲軸十鈎凹＋刷軸十一軸 轆（『①Ｖ①Ⅵ。）・輯十輯十週十一節］Ⅱぶ ぱＩご＋口ＮⅡ一ｍ》罠－口、Ⅱ弓（巴 （い・韓一） ［ａⅥやＶＮや）一塁十週十認十一軸 》（感①Ⅱ。）両端函十寺函十ｍ幽十卸軸十戸軸 ｝令①Ｖ①ｖ［①）争い軸＋マ鞄十［的十御酌十一軸 学（｜①Ⅱ①）両、凹十崎鞠十国閲十Ｎ閲＋『軸 ｛（｜⑪Ｖ①ⅥＣ）←鑓十鑓十畠十一】］Ⅱ＄ ご＋国劇－陰Ⅱご巨－ご＋興句Ⅱ【や質Ｉ胃ＶごＶ吾－屋寺） （『。韓一） ［ｓⅥ①Ｖ二囮）与助十輯十圏＋一曲 》（一①Ⅱ①）闘弓叱十『聞十駒』＋、駒十一閣

一（｜①ＶやⅥＣ）驍笛十寸唖十週十剣十一軸］Ⅱ＄

ご＋亘甸－膣Ⅱ［①輻亘べ－陰Ⅱ弓（己 （、。』［） ［⑤Ⅵ①Ｖ劇①）・晶十誼十劃十一軸 季（Ｎ①Ⅱ①）司私鞄十寸餉十両蝿十御酌＋［餉 串戸①Ｖ⑮Ｖ｜①）晶蝿＋寸鼬＋、蝿十両】＋（軸 媚（【①Ⅱ①）何毛』＋頃軸十で軸十ｍ”十Ｎ酌十一凹 蛎（｛①ｖ①Ⅵ。）も叱十輯十晶十釘十認十｛軸］Ｍ＄ 己十胃－匡Ⅱござ－胃‐陰Ⅱ一色》胃‐陰ｖごｖＣ（ぺ） （園。酌『） ［⑤Ⅵ①Ｖ【①）《輯十『配 》（｛⑩Ⅱ⑩）鍔刷話坤十円蝿十一唾 》（［①Ｖ⑯ⅥＣ）（輯十輯十【軸］Ⅱ頓 巨べ－筐Ⅱ百｛。Ⅱ己（［） ．仰こい黒餐魍ｕ一睡租凹蘂坦型睡幽韓倒．蝿穐世‐儲蚕哩 ｅ鰹ｅｓ坦亘Ⅱｍも捕縄ＣⅡ①旧劉托－ざる鵲縄壁轌が一ＵＵ 、岬黒③侭叶Ｐ 精馬泣騨余掻弾鴎叡埋倶患ｅ喪揖竪御岳朴謂Ｅ蝋．蝿穐艀 ご陰ｖ亘Ｖ辺萬判〉鱒剖ニー高Ⅲ唾《Ｕ一炉端ヤ隈叩一画１国 迺晶ｖ１ｖ御直色、＃聖署趾蟻剰曰（｜‐」） （一．閣胄） －－ （浸Ｖ１ｖご畠）選詞班蟻剰国②１国 ｛君＋亘寸－①）ぬｃ：三島ロ『轌與】ｇ】ロⅡト鞠 一合十胃十や）８．皇｝ｓ・』】曰】閨】巳Ⅱ輯 ｛ｓ－回御十①）四。：語｝目。ｑ】瞠廷弓Ⅱ鐘 ｛き－吾－ｍ）ぬ８皇｛｝畠⑨］轄瞠】ご側逼 ｛ｓ＋吾‐①）吻・・全｝身心『】電Ⅱ釘 ｛ｓ＋①）⑫・・皇｝島⑨』篭己Ⅱ錨 ｛ｓＩ①）ぬ。・皇｝身じごⅡ｜軸

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琉球大学工学部紀要第65号,2003年 ７ ｇ】＋８２＋８３＋94＋８５，(０１〈にβ)］（18.6） (6)3β－兀＜α＜β;０，＝2β＋α＿兀,０２＝4β＿α＿兀 角＝[9,＋92＋８３+85,(o≦ｅ〈0,)； ｇ'＋82＋８３＋８５＋８４/2,(ｅ＝８，)Ｉ ８】＋９２＋８３＋９４＋ｇ５Ｋｅ,＜０＜０２)； ８１＋８２＋９３＋９４＋９５＋９７/2,(Ｏ＝０２)； ｇ'＋８２＋93＋８４＋８５＋87,(０２＜Ｏ≦β)］（18.7） (7)α＝β;０，＝2β＋α＿兀 魚＝[８，＋82,(にｅ〈０１);8,＋92+84/2,(e＝,])； ｇ'＋82＋94,(０１〈０≦β)］（18.8） (F-2)凹72．型海岸地形：ｖ＝8兀/５ 幾何光学的な波動場の決定に必要な成分波は，式(,8.,)に おいてβ＝2兀/5として定められる．ただし，Ｋ府およびKLは 壁面Ｏ＝Ｏおよび０＝27[/5沿いの波の反射率である． (1)α＝０;０，＝兀－２β 鼻＝[81＋８３+95,(に6〈e])； ９１＋83＋８５/2,(ｅ＝０，)； ９１＋8ｺ,(01〈０≦β０］（,9.,） (2)Ｏ〈α＜兀－２β;ｅｌ＝兀－２β＿α,０２＝兀－２β＋α Ａ＝[８，＋82＋８３+８４＋８５+g`,(o≦ｅ〈0,)； ８１＋９２＋８３＋８４＋８５＋９６/2,(Ｏ＝０，)； ｇ'＋８２＋８３＋84＋85,(０，＜ｅ＜０２)； 81＋８２＋８３＋８４＋９５/2,(ｅ＝０２)； ９１＋９２＋83＋84,(B2〈ｅ≦β)］（,9.2） (3)α＝兀－２β 史＝８，＋８２＋８３＋８４＋85,(o≦０≦βリ（,93） (4)兀－２β〈α〈β;０，＝2β＋α＿兀,０２＝4β＿α_兀 史＝[８，＋８２+83+85,(o≦ｅ<０，)； ８１＋８２＋８３＋９５＋84/2,(Ｏ＝０，)； ８１＋８２＋83＋８４＋85,(0,〈０＜６２)； ８'＋８２＋８３＋９４＋８５＋８７/2,(ｅ＝０２)； ｇ'＋８２＋８３＋94＋８５＋87,(０２＜ｅ≦β)］（19.4） (5)α＝β;０，＝2β＋α＿兀 曵＝[８１＋82,(に0〈0,);8,＋82+84/2,(e＝０１)； ９１＋８２＋94,(0,〈０≦β］（,9.5） (G~1)凹型海岸地形＃４：８兀/5＜ｙ＜5兀/３ β＝2兀－Ｖとおくと7V3＜β＜2兀/5である．幾何光学的な 波動場の決定に必要な成分波は，式(18.1)で与えられるた だし,ＫＲおよびＫＬは壁面ｅ＝Ｏおよびｅ＝β沿いの波の反 射率である． (1)α＝０；０，＝兀－２β 〈ii＝[８１＋93＋85,(o≦8〈０１)； ８１＋９３＋85/2,(ｅ＝,,)； ｇ'＋８３，(０１＜ｅ≦β）］（20.1） (2)Ｏ〈α〈3β－兀;０，＝兀－２β＿αﾛ９２＝兀－２β＋α Ａ＝[８１＋92＋93＋94＋9s＋86,(O≦０〈０，)； ８１＋９２＋９３＋９４＋９５＋８６/2,(Ｏ＝０１)； ８１＋８２＋９３＋９４＋85,(０，＜ｅ＜０２)； ８１＋８２＋９３＋９４＋９５/2,(ｅ＝０２〕； ９１＋92＋８３＋94,(０２〈ｅ≦β)］（20.2） (3)α＝3β－，０，＝兀－２β＿α Ａ＝[８，＋８２+83＋８４＋8s＋g`,(o≦ｅ〈０，)； ９１＋92＋９３＋８４＋８５＋86/2,(ｅ＝,,)； ９１＋８２＋８３＋８４＋85,(０１＜ｅ≦ｑ］（20.3） (4)3β~兀＜α〈兀－２β;０，＝兀－２β＿α,０２＝4β＿α＿兀 ４＝[８，＋８２＋８３＋８４＋８５＋g`,(o≦０〈０，)； ８１＋８２＋８３＋８４＋９５＋９６/2,(０＝０１)； ９１＋８２＋８３＋８４＋85,(０，＜ｅ＜０２)； ８１＋８２＋８３＋８４＋９５＋８７/2,(ｅ＝９２)； ８'＋８２＋83＋84＋８s＋97,(０２〈ｅ≦β)］（204） (5)α＝兀-2β;８１＝4β＿α＿冗 角＝[８１＋８２+８３+８４+８５，(o≦０〈０J； ８１＋９２＋９３十８４＋９５＋９７/2,(Ｏ＝０１)； ８１＋８２＋93＋８４＋95＋97,(01＜ｅ≦β)］（20.5） (6)〃－２β〈α〈β;０，＝2β＋α＿兀,仏＝4β＿α＿兀 白＝[8,＋８２+８３＋85,(o≦ｅ〈０，)； ８１＋９２＋８３＋９５＋８４/2,(Ｏ＝０，)； ８１＋８２＋９３＋８４＋85,(01＜,＜ｅコハ ９１＋９２＋８３＋９４＋８５＋87/2,(ｅ＝e2X gI＋８２＋８３＋94＋８s＋97,(02〈にβ)］（20.6） (7)α＝β;０，＝2β＋α＿兀 凸＝[８，＋82,(o≦e〈Ｃｌ);８，＋92+94/2,(｡＝0,)； ｇ'＋92＋84,(0'〈ｅ三川（20.7） (G-2)凹60．型海岸地形：ｖ＝5兀/３ 幾何光学的な波動場の決定に必要な成分波は，式(,8.,)に おいてβ＝兀/３として定められる．ただし，ＫＲおよびKLは 壁面ｅ＝Ｏおよびｅ＝兀/3沿いの波の反射率である (1)α＝Ｏ Ａ＝81＋83＋８５，(O≦８≦β）（2,.,） (2)Ｏ〈α〈β;０，＝β＿α 角＝[g]＋８２+８３+８４+８５＋86,(o≦０〈０，)； ８１＋82＋８３＋84＋９５＋(96＋９６)/2,(Ｏ＝０１)； ８１＋８２＋８３＋８４＋85＋87,(０１＜Ｏ≦β)］（21.2） (3)α＝β

鼻＝８１＋８２＋84,(O≦ｅ≦β）（2,.3）

4．数値計算例 島モデルおよび港湾モデルについては，これまでに種々 検証されている(例えば,Ｃｈｅｎ･Mei,1975；Bettessら，1984； Zienkiewiczら,1985;筒井,199,a,1991b,2000)．ここでは，こ れらを除く凸型および凹型の海岸地形に対する波の変形 予知モデルを検証する.すなわち,上述の各種海岸地形に対

８ _{筒井：沿岸域における波浪変形予知のための汎用モデル} する汎用モデルをCATWAVES(筒井,2001)－３次の無限要 素を用いた有限要素法(筒井,2000)に基づく波浪解析システ ムーに組み込み,周辺海域での波高分布の数値シミュレー ションを行う．それらの結果と解析解との比較によりモデ ルの妥当性および有用性を検討する． 凸型および凹型の隅角部を成す海岸地形に対する解析解 として，一定水深および壁面の完全反射の条件の下に，次

の級数解(Stoker,1957;三井・村上,1967)が得られている．

§='ｗb)+2,畠cxp(iザ腿冗)ﾉﾁﾞ､(kDx

xcos号,mecos："ａ（22）

ここに,Ｊβは,U次のBessel関数であり，パラメター腕は隅角 部の角ｖに対して,,z＝2兀/(2兀－，として定められる．ただ し,~上式はｖ＝0,兀/3,J[/2,27[/3,兀,４７V3,37u/2,および5兀/3に

対して成立する．式(２２)による水面変動量は複素数で表さ

れるから，入射波高に対する任意点での波高比は,式(22）

の絶対値|‘Iで与えられる．

数値計算モデルでの支配方程式は，式(1)において非線

形項をＱ＝ｏとして得られる緩勾配方程式である．なお，

数値計算条件は，ﾊﾙ＝２０，Ar｡＝5.0("水深，「｡:外部境界ｃ

の半径)である．また，壁面は完全反射壁(ＫＲ＝ＫＬ＝１）と

仮定する． (1)半無限防波堤 図－９は,図中の矢印で示すように，波の入射角がα=45゜， 90゜の場合の半無限防波堤(v＝O)周辺の波高分布の比較を 示す.左右の図は，それぞれ本提案の汎用モデルによる数 値シミュレーション結果および式(２２)で与えられる解析解を 示す．図中の実線は入射波高に対する波高比ＫがＫＺｌ， 破線はＫ＜ｌとなる等波高線を示し，数値は波高比の値を 表す．等波高線の間隔は0.2である． 両入射角に対する汎用モデルによる数値シミュレーショ ン結果は，反射,入射,および回折の全領域にわたり，解析 解とよく一致している．この事実は，波の回折・散乱を取 り扱う場合，システムへの外力決定に対し§３で述べた幾何 光学的な方法が有効かつ適切であることを示す． ただし，波高比が小さくなる防波堤背後の回折領域とそ

穂

(a)汎用モデルによる解

_熱

_(b)解析解 (1)波の入射角α＝45。

+…

_+whv.，

齢

(a)汎用モデルによる解 _(b)解析解 (2)波の入射角α＝90°

図－９半無限防波堤周辺の波高分布(にO）

琉球大学工学部紀要第65号，2003年 ９

埒

(a)汎用モデルによる解 (b)解析解 (1)波の入射角α＝45。

+…

(b)解析解 (a)汎用モデルによる解 (2)波の入射角α＝90゜ 図-10凸60.型海岸地形周辺の波高分布(v＝”3） (b)解析解 (a)汎用モデルによる解 (1)波の入射角α＝45． 図－１１凸90.型海岸地形周辺の波高分布(v＝〃2）

10 筒井：沿岸域における波浪変形予知のための汎用モデル

+…

+wiw.。

(a)汎用モデルによる解 (b)解析解 (2)波の入射角α＝go。 図－１１凸90.型海岸地形周辺の波高分布(に、2）（続き） Wavcs ２２２ ■ 一｛ や 』 ■タ ヶ● ■ ｐ０ら の

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9L---. ２２２２ ＺＺＺＺ 】､２ 】､２ §{ (a)汎用モデルによる解 _(b)解析解 (1)波の入射角α＝45゜

癖

(a)汎用モデルによる解 (b)解析解 (2)波の入射角α＝90゜ 図－１２凸120.型海岸地形周辺の波高分布(v＝2ｍ3）

琉球大学工学部紀要第65号，2003年 11 (a)汎用モデルによる解 (b)解析解 (1)波の入射角α＝30゜ (a)汎用モデルによる解 _(b)解析解 (2)波の入射角α＝60。 図－１３凹120.型海岸地形周辺の波高分布(v＝4河3,β＝7V3） lH (a)汎用モデルによる解（b)解析解 (1)波の入射角α＝30。 (a)汎用モデルによる解（b)解析解 (2)波の入射角α＝45。 図－１４凹90.型海岸地形周辺の波高分布(v＝3河2,β＝河2）

蕊

1十$､ (a)汎用モデルによる解（b)解析解 (2)波の入射角α＝30゜ (a)汎用モデルによる解（b)解析解 (1)波の入射角α＝15。 図-15凹60.型海岸地形周辺の波高分布(v＝5,3,β＝祠3）

1２ _{筒井：沿岸域における波浪変形予知のための汎用モデル} の近辺においては，工学上は無視しうる程度のわずかな差 異が両者に生じている．この原因として，海域の反射，入 射，および回折領域の遷移領域での波高には，境界c上での 幾何光学的な波動場の設定が微妙に影響しているであろう と考えられる．すなわち，境界ｃ上の有限要素網の節点が これら領域の境界線上の共通点(例えば，図－３の●印)と 一致していなかったことが考えられる．有限要素網の生成 時に，その節点がこれらの共通点に配置されるようにすれ ば，より計算精度が向上すると考えられる． なお，本計算結果は,Bettessら(1184)による指数減衰特性 をもつ無限要素を用いた半無限防波堤周辺の波高分布に対 する数値シミュレーション結果より優っている． 参考文献 磯部雅彦(１９９４〕：非線形綴勾配方程式の提案，海岸工学論文集， ＶＯＬ41,ＪＳＣＥ,ppI5・ 喜岡渉・柏原謙爾(1995):高次Boussimesq方程式とそのステップ地 形への適用性，海岸工学論文染，ＶＯＬ42,JSCE,pp､166-170． 筒井茂明・大木洋典(1998):スロープおよびステップ型リーフ上で の波の非線形挙動，海岸工学論文集，VOL45,JSCE,pp4卜45． 筒井茂明(l919a)：沿岸開領域における波動場解析のための新しい 無限要素，海岸工学論文集，Vol46,JSCE,pp､81-85． 筒井茂明(1999b):沿岸開領域における非線形波動解析のための新し い無限要素，琉球大学工学部紀要，ＶＯＬ58,ppl7-27・ 筒井茂明(2000):沿岸開領域における非線形波動解析のための新し い無限要素（第２報）－高次無限要素と誤差評価－，琉球大学工 学部紀要，VOL59,pp39-5L 灘岡和夫・中川康之(1993):新しい非線形・分散性波動方程式によ る非線形波動解析の試み,海岸工学論文集,ＶＯＬ40,JSCE,pP6-10、 三井宏・村上仁士(1967):海岸構造物不連続部の波高分布につい て（第２報），第14回海岸工学講演会講演集，JSCEopp53-59、 BerkhofEJ・ＣＷ.（1972):Computationofcombinedrefractionand diffraction,Proc・j3rhCoが、〃ＣＯ“､【jEi1g.,pp471-490 Bettess,Ｐ.,ＣＥｍｓｏｎａｎｄＴ､ＣＣｈｉａｍ(1984):Amewmappedinflnite elementfbrexteriorwavepmbIcms.Ｍu恥2ricalMahDZfFmCmpled S)IFlF”(Eds.Ｒ､Ｗ､LewisemL),JohnWiley＆SonsLtd.,pp489-504・ Be[tess,Ｐ.,ＳＣＬｉａｎｇａｎｄＪ・Bettess（1984):Diffractionofwavesby semi-infinitebrcakwaterusingfiniteandinfiniteeIements,仇Ｌ"lur・ Ｍｍｚ.〃巴娩.illFhUids.,Vol､4,pp813-832・ JCC､9,Ｗ.Ｍ､,Ｋ､Ｓ､LceandW-S､Ｐａｒｋ(1998〕:Lomg-peliodwavc【Csponscs inaharborwithnarrowmouth,ＱｗｌａｌＥｎｇｍ“ri"ｇ`ga26rhﾉＣＣＥ ＤｅｍＰｍ戒,ｐｐ､1182-1195． Panchang,Ｖ・ＣＷＤＢ､Ｘｕ,Ｋ・Schlenker,ＺＤｃｍｉｒｂＵｅｋｍｄＭ・Okihiro （2000):ExteriorbathymctnceflbctsinelliptichaJborwavemodels,"“ ｑｆＷｍごnwZ)lpmlCbmmllaP1dOc“"EitgiPteemng,Vol｣26.,pp､7178． Chen,ＨＳａｎｄＣ・ＣＭｅｉ(1975):Hybrid-elememtmethodfbrwaOeTwaves， Ｐｍｃ・ﾉＭＤ企"ｍｇ庇chni9皿ｅＪＣｂＰＷＭｏ“ﾉiPUgJ9万),Vol､1,ｐｐ､63-8Ｌ Liu,PhiUpL.-F.,SungBYoonandJ.Ｔ､KiIby(1985):Nonlinear泥fmction‐ difTractionofwavesinshallowwater,""r､Flzdid1Mごch.，ＶｏＬｌ５３， ｐｐ,185-201 s[oker,』.』.(1957):Ｗ上Jr2rWmﾉ23,Ｐｕ応andAppLMath・ﾛImeTscicmcePub、 Inc.,NewYolk,ｐ､567． Tsay,Ｔ－ＫａｎｄＰ.Ｌ・-F､Ｌｉｕ(1982)NumericalsoIu[ionofwaterwavc refiactionanddiffmctionproblemsintheparabo】icappIoximationJmR Ce叩/，y・他8.,Ｖ01.87,ｐｐ､7932-7940． TSU[Sui,ＳａｎｄＤ・Ｐ・Lcwis(1992):Waveheightpredictioninunboundcd coastaldomainswithba[hymetricdiscontinuity,α“他ﾉ動８．j〃ＪｔＷ"， ＪＳＣＥ,ＶＯＬ34,ｐｐ・'45-158． Tsutsui,ＳａｎｄＫ・Ｚａｍａｍｉ(1993):Jumpconditionofenergyfluxatthe Iincofbathymetricdiscontinuityandwavebreakingonthereefflat， ＣｔＩ“ｍｌＥ『i８.ｉＰｚＪ上Upan,ＪＳＣＥ,Vol36,ｐｐ､155-175． Tsutsui,ＳｏＫ・SuzuyamaandHOhki(1998):ModeIequationsofnonIincar dispersivewavesinshallowwatcramanapplicationofitssimplest versiontowaveevolutiononthcs[ep-typerCefCD“JUJEjzg."ｗＫ， ＪＳＣＥ,Vol､40,Ｎ0.1,ｐｐ､41-60． Tsutsui,Ｓ､(2001):CATWAVES-P“ictionoflinearandnonlincarwave motioninunboundedcoaStaIdomains,ＢｉＪｌｌ・FtJc.Ｅ)z8.,Ｕ"ん.ｑ/MlE RylMGyIus,No.６１，pp9-35・ Zienkiewicz,０．Ｃ,KBando,ＰＢｅ【tess,CEmsonandT・CChian(1985)： MappedinfinitcelemcntsfOrexteHorwaveproblems,ｍｒ.〃Ⅸ｢､ｊｂｒ ノVどmご｢･jl化娩DdSm町9.,Vol2Lpp｣229-125L (2)凸型海岸地形 図－９と同様に，ｖ＝Ⅳ3,兀/2,および2,3の凸型海岸地形 に対して，波の入射角がα＝45.,90゜の場合の波高分布の比 較をそれぞれ図-10,11,および１２に示す．いずれの場合 においても，数値計算結果と解析解との差異はごくわずか であり，波高分布の全体的な特性は汎用モデルによる数値 シミュレーションにより十分な精度で再現されている． (3)凹型海岸地形 図-13,14,および１５は，それぞれｖ＝47F/3,3河2,および 5河3なる凹型海岸地形周辺の波高分布の比較を示す．汎用 モデルによる数値シミュレーション結果は,図－９～12に示 した計算例と同様に,凹型海岸地形周辺の波高分布も十分に 再現している． 隅角部の奥近くでの波高比はそれぞれＫ＝３，４，６に達す る．高波高で短周期の彼が入射する場合には，隅角部の奥 付近で重複波の砕波が生じる可能性がある長周期の波が入 射する場合には，波高が小さいときには波は砕波しないか もしれない．しかし，津波に対するGreenの法則に見られる ように，凹型海岸での波高推算の場合には，特に，Ｖ字型の 周辺海岸地形の及ぼす影響が大きいことが判る． 5．結 壷胆 本研究においては，沿岸域での波の変形解析に用いら れる従来の港湾モデルにおける前提，すなわち，遠方場で の２海岸線は同一直線上にあるとの仮定の緩和が試みられ， 現実の海岸地形に適用可能な波浪変形予知のための汎用モ デルが提案された．同時に,遠方場での直線海岸において任 意の波の反射率を採り得るように改善が行われた．得られ た主要な結果は，以下のように要約される． (1)沿岸での波の変形予測は数理的には境界値問題である． その解析のために要するシステムへの外部境界での外力決 定のため，各種の凸型および凹型の海岸地形に対する遠方 場での幾何光学的な波動場が定められた． (2)代表的な海岸地形での波の散乱問題に対して，本提案 モデルを用いた数値シミュレーション結果と解析解との比 較の結果，モデルの有用性および妥当性が確認された． (3)このモデルによると，半無限防波堤から従来の港湾モ デルを含む各種の凸型および凹型の海岸地形となる多様な 現地海域における波浪変形予知が可能である．