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三相突極同期電動機の特殊解析

杉浦修 （昭和47年8月31日受理）

Special Analisis of Three Phase Synchronous

Machines with Salient Pole

OsamuSUGIURA

      Synopsis  Characteristics of salient pole synchronous machine without starting winding was analyzed by Poly Axis Matrix Method based on tensor analysis about asynchronous and synchronous speed． The calculated value of the performances in asynchronous and synchronous speed were obtained from analyzed equations by substituting the machine constants． Calculated value was agreed with measured value．  Generally， field winding in startiDg period is closed through resistance R。 in order to suppress high voltage that is induced its termina1． Infiuence of this resistance Rs was studied about torque， armature current and field current．  Next， consideration was done for eddy current flowed in asynchronous speed． And it was known that better result was obtained by consideri1ユg eddy current．  In synchronous speed， it was confirmed that characteristics of the machine were almost the same， even if armature resistance was neglected． 1． まえがき  同期電動機に対する研究は，今までいろいろ行なわ れてきたが，ここでは突極1生を考慮した始動巻線を持 たない場合の非同期および同期時の電流やトルク等に ついて解析する。テンソル解析の手法に基づく多軸行 列法を用い，非同期および同期速度の特性を一貫した 理論によって解く。そしてそれらの理論式に同期機の 各定数を代入し，計算を行ない，実測値との比較検討 を行なう。このようにして，非同期時のうず電流の影 響がどの程度か，同期時の電機子抵抗を無視するとい う近似が，どの程度の誤差を生じるかなどについて考 察する。 2，電圧方程式 始動巻線のない同期電動機の等価回路は図一1のよ うに表わされる。各部の抵抗，インダクタンスなどが 図一1に示されているが，これらの記号については，す でに解説ずみであるので省く5）。回転子がθ ＝＝ turtで 回転していると，それぞれの巻線についての電圧方程 式群はつぎのようになる。 C α IR’＝「f ＋ ’・ 図一1突極同期電動機の略図

一52一

三相突極同期電動機の特殊解析

［iH麓蜷撫灘E］

       （2．1） ただし          cos 2θ

［iiiト［ト：￡i；

      COSθ

［議拓：：：1念｝

［竃曙L冊晒

，

ii；｛籔

またp＝d／dt， Rは抵抗， Lは自己インダクタソス， Mは相互インダクタソスを表わしている。  （2、1）式におけるa，b， c相の各巻線の電圧，電流 を対称座標法を用いて対称分に置換する。この場合 に，その相互関係は（2．2）式のように示される。式中 の添字0，1，2はそれぞれ零相，正相および逆相の各 成分をあらわす。

［iト認i］匡同iJ

［i：同ii］  （2・・2）

ただし

A3−⊥

m1：｝：1，］・a・・ eig ”

      1，a，a

したがって固定子側の電圧方程式は

［iiト罵欝鶯ii］為［il］

一［篶ト

  R，＋P（L＋2M）・÷ヵ（L・−M・）…e・， 一丁ヵ（L・一一M・）ε一・・e・ R・＋カ（L−M）・   †’・（L・−M・）・・…†P（L・＋2M・）・ヴ

il：二：：：［ilド吻［三ト

  Rl十力（L−M）        （2．3） 回転子側の方程式は E・ ＝＝PM・［・・・・・…（θ÷）・…（θ＋9・）］A・    ・［i：］＋（R・・＋PL・）・if

一乎弍：ア］＋（一②4）

零相分は流れないので除き，（2．3），（2．4）式をまとめ て， ［i・；］一 R，＋P（L−M）・†（L・＋2M・）…㌧ 丁ヵ（L・＋2M・）ε一ヅRl＋P（L−M）・

乎M，・ヅ乎M，ε…

量：∴［il］  

Rf十L／ク  （2．5）式中の時間関数θを回転子角速度に置きかえ るために，（2．6）式で表わされる整流行列Kを（2．5） 式の両辺に左乗すると（2．7）式を得る。すなわち K−・・一

m：÷；ilκ崔シ；1］⑳

であるから，

［i7Hζi；1：｛

R1十力（L−M）， 去ヵ（L・＋2M・）・・i… カ（争，）・−」e・   一P（L・＋2M・）・らカ（亭妬）e・・e   R・＋カ（L−M）・P（乎⇒・綱   力（㎡丁 ルlf2）・」・・ Rf＋カL・

霞il闇

よって

一53一

匡ダト

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［闇

一（L。＋2M。）（P＋元ω。），一一Mゾ（ヵ＋ノω。） R，＋（L−M）（ヵ一∫ω，），−M∫（P−∫ω。） 一ルfアあ R、＋（L−M）『（P＋ノω。）， 丁（L・＋2M・）（カー元叫）・

乎㌦

        夢         乎       ，1∼ゾ十Lア♪       （2．7）  （2．7）式を解くことによって電流を求めることがで きる。この場合，電動機は平衡三相の一定電圧が印加 され，一定回転数で運転されるものとする。          3．電 流 解  3．1 電流の一般解  （2．7）式を電流について解くと

［謝iiii iiii iiili7］ 

ただし   Bll＝R1（Rf十LfP） ＋｛（迦（R・＋L・P）一（乎M・）2P｝（カーノの B，・一 o、／丁（2   Mア）2カー（ム禦゜）（R・＋L・♪）｝   ×（P＋∫ω，）   B・3−［（L。＋2M。｛2）一（L−M）｝（P一元助）三R］   ・（㎡百 Mア2）（P＋ノ勒）  ’ B・・一iv冨 Mf2）｛（L°禦゜）一（L−M）｝   ・P（P一ノt・r）−R・（乎M・）う，   B33＝R12十4R，（L−M）カ ＋｛（L−M）・一（r妬＞2｝（P・＋・・，2）   B22−B1＊，，B21＝＝B12＊   B23＝B、3＊， B32−B31＊     （＊’は共役値を意味している。）  O   d−［R・2＋2R，（L一畔     ＋｛（L−M）・一（L6禦）2｝悟砺・）］ ㍍・×（Rf＋L2P）＋2（乎M・）2P l・［（Lo＋2M。｛．2）一（L−M）｝（P2＋t・，2）一司 固定子巻線にはつぎのような平衝三相電圧が印加され ていると仮定する。         COS tot

Iiト卯：：：欝

［i：声認i

    −〆菩γ閻

［ダ已闇

曙］｝

ただし   iii＝＝（Blld）＿一］   ノ12−（÷）。。、玲γ      一（2s−1）       ｛sx．f2＋元x。        」      ×（Rf十ノsxア）｝v言v   ノ・一（B31丁）。．、、．vgv  I       ＝＝    一   ∠   7・3−（B13丁），．。v’2’E・ （3．2） したがって，印加電圧の対称座標成分は，       iiii：：馴；］       （3．3） （3．3）式を（3．1）式に代入することによって，つぎの ように（3．1）式は置き変えられる。

      一闇一

（3．4） ∼／3V＝i−［｛1∼1十」（2s−1）X，｝ ×（Rf＋ノsXア）＋s（2s・−1）Xmf2コ∪9V 一ノミx・・｛R，＋∫（2、−1）（XrXo）｝㎡9v 一」（1−s）Xmf｛R一元（1−s）（X一叉o）｝V’2’Eア    rt｛R12＋（1−・）2（Xlj−X・2）｝Rf ／f・一（B33d）P．。v’2’E・＝−VT“E・ ∠一｛1∼12＋元2s1∼1Xr（2s−1）（．X、2−X。2）｝ 9×（R，＋元・Xf）＋2・編・ 一54−一

三相突極同期電動機の特殊解析     ×｛sR十ノ（2s−1）（XrXo）｝ また   X1一ω（L−M），X…L°禦゜・ x，一・L，，x。，一ω乎M・・s−（ω一c・r）／ω である。  （3．4）式を用いて非同期および同期時の電流を求め ることができる。  3．2 非同期速度時の電流  （3．4）式においてEf−0と置くと非同期速度時の電 流が求まる。この条件を代入すると（3．4）式は（3．5） 式のようになる。

［ト［欝鷲i訂

したがって，a相の電機子電流i。は ia一g（ii十i2）    1  1      ・    ・    V3 ㎡2    ＋1、2＊ε一ゴ（ωZ−2の｝ 一〆誓｛・ll C・・（ω’＋β11）＋Jl2    ×COS（Σ百ωτ十β12）｝ （3．5） 一一一・・一一｛i、、ε〆＋111＊ε一μ＋∫12εゴ（ωt−2の

匡同［欝翼司

    撰鷲］｝

（3．9）       （3．6） となる。ここでβ1、＝∠iil，β12＝∠112を意味してい る。（3．6）式から電機子電流は非同期の場合，電源周 波数の成分と，（2s−1）ω の成分からなっていること がわかる。  また，界磁電流は   ‘・一吉｛∫・ε一＋if＊・づ一｝    一V’2’lf cos（sωτ＋β∫）      （3．7） である。ここでβ∫一∠i∫で，（3．7）式より界磁電流 は，すべり周波数の成分のみからなっている。  3．3 同期速度時の電流  （3．4）式において，s−0，θ＝碗＋αと置いて解け ぽ同期運転中の電流が求まり，（3．4）式はつぎのよう になる。

［i；当

却諮詔㌫」｝、

      （3．8） よって ただし，同期速度時の場合には，（3．9）式の各項はつ ぎのようになる。

  」・一鵠麦饗訂・VGrv・

  五・一苛漂一x。・・㎡百γ   i・一・・i・3一二∫鵠響気鵠狛）｝・㎡：タ∫  （3．9）式から同期時の線電流i、が求まる。すなわ ち，   仁一去｛i・＋i・｝    ヨ・吉｛i・ε」ut＋i・2＊・・一・÷i・3・・1・・t＋・）     ＋iii＊ε一〆＋112ε一ゴ（・t＋2・）＋i13＊ε一」（・t＋α）｝    一一〆gt ｛・，，…（t・t＋B・・）＋・，・c・・（ω’＋2α一β12）     ＋1、3cos（ωZ＋α＋β1，）｝      （3．10） ここで   βn−一・・n−1（x，R，）・B，・−9・   B・・ ・ −9−・・n−1（㌦∋である・ 同期機の電力角をδとすると，α＝一（π／2＋δ） とい う関係があるから，   らイ…伍1c・・（（・・＋B，，）＋・12…（ω・＋9−2δ）    ＋・・…§（・弓一δ＋B，・）｝ （3・11） a相の印加電圧を基準ベクトルにとると，（3．11）式は つぎのようなベクトル表示がなされ，そのベクトル図 が図一2のように示される。

L一缶剃告畑＋器・婚δ一β’s）

      （3．12） （3．12）式から電機子電流はii、の定ベクトルと，2δで 回転する五2のベクトルと，δで回転するム3のベク トルの合成となっている。ム3は界磁直流電流によっ て，比例的にその大きさが変化する。  また，（3．9）式からわかるように界磁に流れる電流 は交流分がなく・直流のみでその値はゴ・寺であ る。 “−55一

     ’∫       12．π／2 3／4π       π／4

   1u

一π／2    π／2 図一2電機子電流のベクトル図 4． ト ル ク  4．1非同期時のトルク  突極同期電動機の瞬時トルクの一般解はつぎのよう に与えられる。   ・−T・＋Tf−」一芸｛（i・ε・・）・一（i・ε・り・｝      ＋ブ莞ゾ｛‘・ε・Lゴ1ε噺  （4・・1） 第1項は突極性によるトルクτ。，第2項は界磁巻線が 閉路されるときに生じるトルクτfを意味している。 （4．1）式に（3．5）式の関係を代入すると，突極性トル   クτrについては，

  r÷［丁｛ill＊s−＋五・ε一｝2

    一丁｛ノ11ε一＋ノ12＊ε一・｝2］    一元一誓・丁｛τli＊・ε胸開1・ε・・一     ＋27、21、1＊一ム12εゴ2｛t・t一θL／12＊2ε’」2（・醐     一2111112＊｝    ＝ノ亙（ii、＊i1，一ノ、1ム2＊）      ω    ＋亙D、si。2（ωτ一θ＋γ1）  （4．2）     ω ただし   1）1＝li1，2−i1221，    2γi＝∠（i112−i122） 同様に界磁性トルクτ了は η一ノ￥’・†［｛7・・＊ε一＋∫12ε一｝     一｛111εル‘一θ，＋五2＊ε一元（・t一θ）｝コ     ×｛iゾεゴ（ω‘一θ）＋iゾ＊ε一」（ωt”e）｝    一‘莞・・丁｛（了12−111）了，＊一（・12＊一・11＊）」，     ＋（i12−ii1）ノ∫εプ2（・t“”）     一（i12＊−iii＊）i，＊ε一ゴ2（・t−e）｝    一ブス：・｛（i・2一ノ・）i，・一（i・2＊一・1・＊）i，｝     ＋芸・D・si・2（ω・一θ＋・・） （4．3） ただし，   D・−1（iii−i、2）i∫1， 2γ、一∠（i、一ノ12）i／ （4．2），（4．3）式ともに第1項は平均トルクであり，第 2項は振動トルクで2Sωの角速度を持っている。  4．2 同期時トルク  （4．1）式に（3．8）式の関係を代入することによって， 同期時のトルクは求まる。突極性によるトルクτrは   r÷・丁［｛ノ12ε一」a＋ノ1・＊・fo＋・13＊｝・     一｛i、1ε一」・＋i、2＊εゴ・＋i13｝2］    一ノ㌃｛7122〔2・12711＊＋ili＊・ε惣     ＋2i，3＊i、2ε一ゴ・＋2i、3＊iii＊ゴ・＋i13＊2−il12ε一プ2・     −2111112＊−112＊2εd2a−21、31、1ε“」u     −21i31t2＊εゴα一1132｝    一ノ㌃｛2（ノ11＊i12−illi12＊）＋（i13＊−i・3）     ＋（ii1＊2−i12＊2）εゴ2・一（ノ1、2一ノ122）ε一ゴ2・     ＋2（i、3＊ノ、、＊−i、3i、2＊）εブ・     −2（i13iii−ii3＊ノ12）ε一∫α｝    ＝＿壬L｛21ii li2 sin（β11＿β12）＿1＿1132sin2β3      ω     ＋lin2−ii221sin（2α一β2α）     ＋12（ii3iii−ii3＊ii2）1sin（α一β1α）｝ （4．4） ただし，   β2α一∠（ノ、12−i122）， β1α一∠2（ii3ii1−i13＊ノ12） つぎに界磁性トルクτゾを求める。 ・・一ブ莞・［吉｛∫12ε市＋iii＊ε」u＋右3＊｝     一｛Aiε一」u＋五糾司・‘・    『L吉｛（iii＊−i・2＊）・」u−（i・i−i・2）・−」a     −（ii3−113＊）｝if    ＝Xmア．V2「｛1ii2＿i11｜sin（α＿β3α）      ω     ＋∫13sinβ、3｝if      （4．5） （4．4）式と（4．5）式を加えたものが合成トルクであっ て，その中に振動トルクはなく平均分だけとなってい る。ev・＝一（π／2＋δ）という条件を入れ，簡単化のた 一一

T6一

三相突極同期電動機の特殊解析 めに，Ri−0（Ω）とすると，βii・＝一π／2，β，3・＝一π となって合成トルクは   。一玉｛（1，、2−1122），i。2δ一21、3（1、、＋112），i。δ｝     ω ＋V’2’X・f（・，、＋・12）‘，si。δ    ω 上式に

  五1−x畜7・㎡孤・12−x書x♂・vTv・

  ・，・−x砦譜）・㎡1デプ を代入し ・−

X・X讐♂・i・2δ＋i・X畿・i・δ

       （4．6） となる。（4，6）式中の㎡百E、は直流励磁による起電力 の実効値であって∼／百E。一（toMf）ifになる。 ここで，Xi＋Xo−Xd（直軸同期リアクタソス）， X，−X。・・Xa（横軸同期リアクタンス）とおくと（4．6） ？ 《 三 ↑ 4．0 3．0 _③ 0       0  0       X o 2．0 ②     。工    × 翼 ①       ④ 1．0 ▲44・▲・心 ｣  ⑤ ▲ ⑥    1δoδ・ 0 500      150 x 一1．0 w 翼  x 一2．0       一一一〉回転数n（rpm） 図一3 うず電流を考慮しない場合の平均トルク 事 宅 〉 二 ↑ 元誉400吻

ξ墓

美…i探。⑰ 500 1000 1500     一一一一・〉回転数n（rpm） 図一5 うず電流を考慮しない場合の振動トルク 式は   。−9．（x・−Xq）V2．，i。2δ＋！．旦、i。δ     ω  2XdXq      ω  Xd        （4．7） となる。（4．7）式は突極同期電動機における周知のト ルクの式である。 5． 数値計算と実測値  今まで求めた各理論式を用いて，電機子電流，界磁 電流，トルクを計算し実測と比較を行なう。供試同期 機の定格は200（V），3（kW），4P，50（Hz）である。 計算上の電動機の定数は，R、−0．60（Ω）， X，＝・6．51 （Ω），Xoコ1．65（Ω）， Xmf＝110（Ω）， Xf ＝・ 3870（Ω） である5）。また供試同期機は始動巻線の取りはずしが できる構造のもので，実測は始動巻線をはずして行な った。  5．1非同期特性  同期機の非同期運転時は実際上，始動巻線をはずし

一57一

？ 《 芸 ↑ 40 ao ③

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潤@ o _x 2．0 ② 貰w o ⑥ _゜  ④ 1．0 4 4 ▲ ’ 4 ▲ ・  ⑤ ▲ 0 ₅₀₀ 1000    1503く         》ご 一1．0 〆  x 一20          〉回転数n（rpm） 図一4 うず電流を考慮した場合の平均トルク

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ろこ4000⑰ γ』ニoo 1500     一一→回転数n《rpm） 図一6 うず電流を考慮した場合の振動トルク

§ ↑ 160 ①×       x  × × 。 ② ．oo      x ．       メ 12．0 ③  。。  ・  o ④      ．  矢 ⑤        ・ 8．0 ▲  ▲      o ▲  ▲  4 ⑥ 4．0 0 500       、1000       150 一→回転数n（rpm） 図一7 うず電流を考慮しない場合の電機子電流 三 ／ 0．2 ② ③ 白＼ 一一一演 転数n（rpm） 図一9 うず電流を考慮しない場合の界磁電流 ても，磁極鉄心にうず電流が流れる。これは仮想的な 始動巻線に置き換えることができる。そこで，その影 響がどの程度かを知るために，うず電流を無視した場 合と，それを仮想的に始動巻線があるものとした場合 の両方について計算する。この時の仮想始動巻線の定 数は R，／X∂＝0．53，Rq／Xq＝2．50， X．d2／X，＝2．09 （Ω），X2mq／Xσ一〇．44（Ω）である。  供給電圧を70（V）とした場合の結果を図一3から図一 10までに示した。図中の曲線は計算値を，プPットは 実測値を表わし，×××はグ、−0（Ω），○○○は〆、− 400（Ω），口口口はrs ＝ 2000（Ω），△△△はrs＝o。， となっている。また，曲線①はrs＝＝O（Ω），②はrs、・＝ 200（Ω），③はrs−400（Ω），④はグ、＝1000（Ω），⑤ 16．0  12．0

3

．ぷ 腰 ＆0 ↑4’° 一一一r回転数n（rpm） 図一8 うず電流を考慮した場合の電機子電流

3

．ご ’腰 α4

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一一ｨ回転数n（rpm） 図一10 うず電流を考慮した場合の界磁電流 はrs−2000（Ω），⑥はrs−。。である。これから，う ず電流による影響は界磁を閉路する時に挿入する抵抗 グ、が低い時はあまりないが，r、が高くなるほど大き くなる。特に，界磁回路が開放された時に顕著に表わ れる。そしてうず電流を考慮することによって実測値 に近い値が得られることがわかる。計算値と実測値は よく近似した値となっていて，ほぼ良好な結果を示し ている。振動トルクの実測は現在研究中で計算値のみ 示されている。

 5．2同期特性

 同期速度においては，始動巻線の有無は定常の安定 運転の時に特性上に何ら影響を及ぼさない。界磁電流 も印加励磁電圧による直流しか流れない。この励磁電

一58一

三相突極同期電動機の特殊解析 一180 10 8 盲 ₆ 宅 b へ ミ 4 浪 一 ↑ 2 0  −120  −60 0 タ，！∂蛉 o  叉 _{60  1⑳   1} ￨2・ @一一ラ電力角δ（°） ゼ 一4 ：を 幅 ’6、 一6

ごゴ巳

_rぼ乞己 一8 一10 図11 Rl＝0（Ω）の場合のトルク 180 一180 10 8 盲 邑 6 」 へ ミ 4 ▲ み ↑ 2 一120   −60 0 タ 60   120    1

・漣

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● ● 一電力角δ（°） ㌔  ’ア

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一4 v 忽 r 乞 一6 三’ 〔ど、ら乞 一8 乞 一10 図一12 R1を考慮した場合のトルク 180 ’侭α8④

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一180・   −120    −60       ・    60     120    180          ・←一→・電力角δ（9）   図一13 R、＝0（Ω）の場合の電機子電流 i’r＝O．8（A） プo劉囚

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一一P80       −60      60     120     180          d・a5”一一〉電力角δ（°）   図一14 Rlを考慮した場合の電機子電流 一・T9’一・

流をパラメータとして，電力角に対する電磯子電流 i、およびトルクτについて計算値と実測値を求めた。 一般的に電機子抵抗R1−O（Ω）と簡単化したモデル で特性を説明しているが，ここでR1＝0（Ω）とR，が 実際に存在している場合の両者について計算上の比較 を行なう。なお振動トルクは理論上同期時には表われ ない。電源電圧Y＝70（V）を加えた場合の各特性を 図一11から図一14に示した。図中の曲線、は計算値を表 わし，プロットは実測値で×××はif＝0（A），○○ ○はif−0．4（A），△△△はif・・O．8（A）である。 各図からわかるように，品を考慮するかしないかに かかわらず計算値と実測値間の関係は良好である。計 算上におけるRiの有無は，電機子電流ゴ。ではほとん ど差はないが，トルクについては界磁電流ifが大き くなるといくぶんずれてくる。このことから実用的に はR1−0（Ω）の近似で十分であることが確認された。 実測が電力角δの小さい範囲しか行なわなかったの は，δが大きくなると運転が不安定となり，脱調を生 じるからである。if ・＝ O（A）は界磁を短絡したことで 反作用電動機の運転状態である。 6． ま と め  今まで述べたことから，理論上の解析の正当性が実 測から裏づけられると共に，非同期時のうず電流の影 響および同期時の電機子抵抗を無視した場合の近似度 についての考察がなされた。  終りに，この論文を書くにあたって有効適切な御指 導くだされた東京電機大学の磯部教授，多くの御便宜 を与えてくだされた山梨大学の中村教授および金丸講 師，有効な助言をくだされた山梨大学の数野助教授に 深く感謝の意を表わします。 参考文献 1）竹内寿太郎：Matrix Theory of Electric Machina−   ry，オーム社（1962年）． 2）磯部直吉：多相反作用電動機の特性，電大研究報告   No．8（1960年）， 3）磯部，杉浦：昭44東支，227． 4）磯部，杉浦：昭45連大，470． 5）磯部，杉浦：三相同期電動機の非同期速度における特   性，電大研究報告No．17（1969年〉．

一60一