<紹介>経営のための確率過程(上)

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(1)く紹. 介ノ. 経営のための確率過程 ( 上 ) 井. -Eg' ん片. 0. き士，朝倉書店，日召和 36 年」，「D.Duffie:SecuriIyMar. kets, Academic Press, 1988 」，「J. Cox and C. Huane:. はじめに. ・. ょ匂. 経済・経営現象は常に，不確実に変動する環境要因に依存した動的過程の実現値として観察される．. この. Oplion Pricing Theory and Its Applicalions,Theory of Valuation, Frontiers of Modern. 過程における動的変化のメカニズムを解明し到達す. Volume. る状態とその確率を. である．. 望ましい方向に変化させるための. 方策を分析することは，う. l, Rowman. & Litllefield Publishers, 1989. きわめて重要な課題といえよ. 1.. ．例えば確率的に変動する資産市場でのボートフォ. リオを取り扱う投資決定に関する問題，不確実性下に. Financial Theory, 」. 確率. 実験や測定を行う場合・. その結果というものは，事. おけるマーケティンバ戦略を動的枠組みの中で議論す. 前に知ることはできないものであ. るマーケティンバ意思決定の問題などがある．. 偶然性に支配される．この結果の意味するところを数. 今日企業を取り巻く環境の複雑さとダイナミクスの重要性が認識されるに伴い。その変化に適応しより. 学的に取り扱うために，結果の起る確からしさという. 効果的な意思決定を可能ならしめる精敏な理論が要求. 験や測定に. されつつある．すなわち，時間と不確実性を意思決定. る集合のある 1 点と考えることができよう．抽象的に. 0 本質的要素として把握した上で将来の予測に基づい. 結果の要素. 確率の概俳を導入することにする．実. ものに着目しよ. り，何らかの意味で. り得られる結果は，起り得る範囲内に入. @. ，明，. ・…‥. ，. t からなる空間鰭を考え. て現在を科学的に分析し時々刻々と得られる情報を. (標本空間 ) 。. 基に政策的指針が確立されなければならない．. ょ. 合を事象と呼ぶ．我々は，事象の上に確率を与えよう. な視点から，変化を生起させるメカニズムを深く理. としているわけであるが，対象とする事象をどの程度. う. 解し. この. それを操作する能力を拡大していくためには，. 確率過程論の知識が是非とも必要になってくる．本稿は，このょうな趣旨にのっとり，経営学部大学院生のための入門的解説を試みたものである．. 確率過程を理解するには，確率・統計学が基礎となることはいうまでもない．. 我々はまず公理的確率の導. 入から始めるが，現象に関する客観状勢，大量観察などを織りこむことにより，統計学でイメージする具体的確率の値が求まるということを注意しておきたい．本稿で主として参考にしたものは， Stochastic Processes. Systems, McGraw-H. in Information. 「. E. wone:. and Dyna ㎡ cal. Ⅲ，1971 」，「河田竜夫 : 確率と統. のものにするか，明確にしておかねばならない．例えば，豆二 R であれば，全ての区間. 昨. ( ね，. 助，. ね，. 功，. ね，胡，し，胡の形のもの ) の集まり，および，それらの有限田，あるいは，無限回の和 (U), 共通 ( の ),. 補集合. (ゎ. を作るという操作を. また事象と考えたい．. 素とする集合。，. ・. 血モモ. 一般的に，釜の部分集合を要. (集合族 ) を. F. と. 表わし. F について，. アならば甘 eF. Ⅲ，) A,,E F,,. ，. "二. 1 , 2,. 成立するとき，集合族F. にする．. 行ったものも. F. が。 ", A. l) F がのに属する。 - 集目ム体なら，の " A" 一一 Zz mA" 7@ zA" は F " ガ. このつの要素より構成される任意の集. 3 …ならばを. UA,,e. (7集合体 1,. と. ダか、つ. @ナ.

(2) 110 (110). 横浜経営研究. 定義できる．. ところで， [7-集合体に関して， F を任意の集合族と. 空間鰭，ひ集合体 E, 測度げをひとまとめにして. すると F を含む最小の集合体が，ただ 1 つ存在するこ. とが知られている・. したがって，㍗において，すべ. ての開区間，あるいは半開区間，閉区間. 合と同様に区間を定める. (つ二 R の場. からできている集合族を含. ). 葉 1 号 (1992). 第㎜巻. (Q, バめと書き測度空間という．測度が確率 P. に. よって与えられる場合には，確率空間辞， F. P) と呼ばれる．. これを. 以上で事象の上に確率を与えるという作業が完了し. 特にボレル (Borel) 集合体と呼び， B(R") で表わす．. たことになる．ところが，しばしば，事象を構成する. ボレル集合体の要素をボレル集合という．勿論ボレル. 個々の要素を識別する必要はなく，その要素から2 才応. 集合体は，すべての開区間，半開区間，閉区間を含むし縮退した区間レ，Ⅰ，すなわち ¥ 点も含むこと. づけられる性質，すなわち，その関数にのみ興味をも. は明らかであろう．. 関数. む最小のナ集合体が存在することになるが，. ・. つという場合がおこる．. 我々は考察の対象とする空間と事象を空間佗とそ. のモ亜ョ. X(. ロの点を実数に対応させる. (1). の). の部分集合より構成される 1 つの n- 集合体 F という. を考えよう．任意の実数 X に対して，. ふうに規定し F を可測集合，. 二. (我，のを可測空間と. @の. X( の) く囲. 伸 : X( の) E トの，力 t が F に属するとき. 別 co). 名付けることにする．つぎに，可測空間の上に測度の. が可測関数であるという．確率空間である場合には. 概念を導入しょう． (1) 任意の A モ F に対し，ハ4) 三 0 となる実数が対. 減，乗，除，極限という演算によりえられる関数はす. 応する A"EE. Ⅱ. X(@y) を確率変数と呼ぶ刃．可測関数の可算個の加，べて可測関数となる．. " 二. キガのときⅡ. 1,. 2,. A,nA,. 3 …に対し. 二列. i. (UA,,) ㏄二三円㏄ (A,). R のボトル集合に確率 P が定義されていると. (A), A モアを事象 A の測度と特に，パ佗) 二 1 が成立するとき事象 A. 区間. を満足する集合関数が. ( 一の，力め確率を珂一の，カ三八ガと置くことに. 定義しょう・. より， lim パカ - ㏄ Ⅰ. 一. 二0，. lim 八カ @"""""+. 二. 1 となる非減少友達. ㏄. の確率 ( 測度 ) 円 ④という．公理的に確率というも. 続関数が定義できる．この性質をもっ八力を分布関. のを定義したわけである．ところで，ある集合体上で. 数という．逆に，分布関数目力が与えられれば，区. 確率が定義されていると. 間ね，めの確率を P ね，功二F( 功一八めと定義す. ，その集合体を含む最小の. ひ集合体上にこの確率を一意的に拡張できる. (拡張. 定理 ) ことが知られている・したがって，ボレル集合体上に確率を定義するためには，すべての開区間 (あるぃは半開区間，閉区間) および，その有限個の和集合，補集合からなる集合体上で確率を定めれば十分でま. ， 0- 集合体ダ上に測度がが与えられているも. のとする．測度が 0 である F の部分集合 N は F の元ではないかもしれない．このとき， F にすべての測度が 0 になる集合を加えてできる最小の n- 集合体を完. ひ集合体 2)という．また，Ⅱ(AUM. 備. A. モ. F によって完備ひ集合体上に測度. ょ. リボンル集合上に確率が定まる．. い. ま確率. 空間 (ぬ，バ D. と確率変数 x( の) が与えられている. ものとしよう，. (一の，の. (一の，同. と. という区間の確率 (P. 書く ) として，睡 : X( の) く d. モ. 二げ (A), (完備測度 ) を. F の. 確率 (P(X(o)) くカと書く ) を対応、させることができる．すなわち，グトの，カ二HX(co) く力であ. あるということになる．い. ることに. る・. すると，上に述べたことから，八 x) 三 p, トの，めと. いう分布関数を作ることができる．この分布関数を確率変数 x の分布関数 4)という．もし分布関数が，パカ二 @2@Ⅰ㏄，ア t)抜 (2) と可積分関数を用いて -㏄表わすことができる. 場合パ目. を X の確率密度関数という．確率的現象を記述する. R 上の任意の区間レ，胡の測度を b 一 a と定義する，尺のボレル集合体の完備 (7-集合体の要素をルベーグ可別集合，その上の完備測度をルベーバ測度と呼ぶ．. Ⅹ 極 ) がりモ %+ 列 C0)e ㍗であっても，同様に可測関数を定義できるこの定義は， " すべてのボレル集合 A に対して，ゆ : X( 初色川モドということと同値である．何故ならば，ボレル集合体は，すべての開区 4). 間からできている集合族を含む最小の 0- 集合体であり， F もまたひ集合体であるからである．確率変数 (X,, あ，， x,,) 0 分布関数は，結合分布といい，Ⅲ 自，ェ ?., ，ヱリ三円 Xl(o))く自， Ⅹ?,(,c@) くヱ 2, ， ⅩⅡの) くヱ") によって定義するひ.

(3) 経営のための確率過程 (上 ) (笹井際に，よく使われる分布に 2 項分布・ポマソン分布，正規分布， d 様分布，ガンマ分布などがある ". さて，確率変数の積分の意味を明確にしよう・で A, の A, 二九 7%1, = 1, 2, 3 仮定し A,6F. (Ill) 111. という・ここで，後で使う必要があるため確率変数列. lX"t の収束の定義について触れておくことにする．確率変数 X,, が 0 の確率 0 の集合を除いて，Ⅹ ". A" と. ノ. 均). (回 + Ⅹ @),. すなわち，円の '.x,,(回づ Ⅹ (の)) 二 1. となるとき，Ⅹ" はⅩにはほとんど到る所 x 束するとり. かい. 4(. Ⅰ. の) 二. 1 , のモ A,. 0,. の吏. 0(3). A,. た笏x"(. ム，は集合A, のインディケーターと呼ば. と定義する・. X(. (確率変数 ) であ. の) 三三丁，Ⅰ 4,(の),. ，. よこ. このとき，. る・. 4 (つ，. F, P). において上の単純関数の駝上の積分は Ⅰり. 7. 書く・また，任意のどノ 0 に対しれ + ののとき，. P( の : lX"( の) 一 X (の)l三の + 0. 成立する場合，Ⅹ" は X に確率収束すると. R. なる確率変数のことを単純関数という. a.5. がと. れる可測関数. の) 二 Ⅹ (の). X( の) ゴ抄 (の) 三三Ⅰ，戸 (カリ. (5. (8) い. う. も. ちろん，ほとんど到る所収束するならば確率収束する確率変数の積分が定義されたので確率変数の関数に. ついての積分も定義できることになる・正確には，ボトル関数と呼ばれる関数についての積分を定義する． A を R のボレル集合とする・そして，. で定義される・非負の値をとる任意の確率変数は，す. lCrl, 洩，・…‥ あ ) : パ自，卸，・…‥ あ )e 川が，つねに㍗のボレル集合となるとき，関数ト㍗. べてののモ㊥に対し. づR。. 非負の単純関数の単調増加例. の極限として記述できることが知られている．したが. ところが， X,( 回，Ⅹ 2. "(回が確率変数の場合， f がボレル関数であば，パ X,( 叫，Ⅹ ?2(の，・…。 Ⅹ" ㎏ )) もまた確率変数となることが知られている・ (6) 確率空間 @ ， F, P) における確率変数 X( の) の積. って，非負の確率変数Ⅹ (の) の積分を Ⅰ釜. をボレル関数と呼ぶ・. X (の) み，*( の)= お仰 / ニ Ⅹ"(の) メ戸 (の). (ゆ ……Ⅹ. によって定義することが可能である．一方，任意の確分については，すでに説明したわけであるが，とくに，率変数 X( 二. の). は非負の確率変数Ⅹ 十， X-. Ⅹ + 一Ⅹ一のように分解できるため，. を用いてⅩ. Ⅹ ぬ ) が可積分のとき，. X (0) の積分を. EX 三んⅩ (の) ゆり ) (9l Ⅹ㎏ )0 期待値という・Ⅹが有限個の値しかとらな. 単調な単純関数の極限の和として。6@ のように定義す. を. る・積分の値が有限のとき， X は駝で可積分である. い離散的確率変数の時，すなわち，. ）. 2 項分布 X( のは 0,. 5. 1,. 2,. ・れの値をとり，. 0 く戸く l で F( ガ二 0 ，. エ三 0. 二三 (9 戸Ⅲ1 一刈 Ⅲ. ポアソン分布. 冊. 正規分布 N は，が). Ⅴ. x(のの値域が @. の. の値をとり，スノ O で F(x) 二三。、乃々．・. X(の) は 0, 1, 2,. く. ，のト円 ) であり， 2cIつ. ゴと. ・。) 一様分布 Ⅹ ゆ ) の値域がね， b] であり， F は ) 二 0ま一二㏄くヱ三口ク三ヱ五ら. 1み，あ @ a三丁 ,. 00. 拮くェ. メ Ⅰ. せ㏄ノ. 二し. (V@ ガンマ分布. せむ. 一. 「Ⅰ. れ. -V. 一. ヱノ 0.

(4) 112 (112) A,. 三. 横浜経営研究 %. : X( の) 二ヱ ,l,. ヱ，キ毛，. i=. 1,. 2,. 第㎜巻れ，. 考える．任意の R 上のボレル集合. に対して X, 目 (4,). 片J. であれ風 9)式は. EX. と. 二コ r. ，抄 (A カ. ま. R+ 対力 eR. 三ゆ. み， A2,. ， A,@. : X,( の) eAJ. A2,. 表わそう．任意のみ・. .…‥. A"6F. に対して，. P( 俘 X ブ (A;))二 nP(X こ l(A;)). となることは明らかであろう. 9:. (1992). 第 1号. が成立するとき. をボレル関数とする. メ X( の))が可積分のとき (10 Ee(X) 三んg(X( の))ゆ (の) を尻 X( の))0 期待値と呼ぶ・いま， X{(0) の分布関数を H カ二 F, トの，力三 PX. 変数となる. (幼くカとする．すると前に説明した 2 6 に R 上のボ. ( 問 ) X,. ン集合 AeB(. 乃に確率 P は ) が定義でき， Ⅹによって生成される新しい確率空間 (R, B( 寓， F,) が求まり，その上の確率変数 9( 力め積分が定義できる・. という． xI,. Ⅹ2,. X2,. -. ， X" が独立であるとき，ボレ. y が独立なら， EXY. 二. EX.. EY. となるこ. とを示せ．. 2. 条件付期待値 (匂，月月の事象A, R に対し. 確率空間. (11). と書くこともある．通常右辺の形は，ルベーバ・ステイルチエス (Lebesgue-Stieltjes) 積分と呼ばれてい. ， Xn は独立 6)である. Xl,. ル関数月 (ェ), 力 (ヱ), .…‥，尤 (の) に対して，力 (X, 臣 )), 力 (Ⅹ2(回 ), .…‥ ん (x"( 回 ) もまた独立な確率. ㌣は，ェ十ぬ) 二 Ⅰけ十七) 一パ力であるからん9( ェ)dダ (x)三丁三の9( ェ )dF( め. ，. (1 の. rCADB) 廿 B) 定義し (ただし円 E) キ 0 とする ), B が与えられ. P{A¥B}=. と. Ⅱ③. たときの A の条件付確率という．. る．このとき，ん 9( Ⅹ (の)) 曄 (の) 二 / 三一9( ヱ) メ F( ヱ ). (I%. 左辺は， g(X(o@)) の. が成立することを証明できる・. F を BⅡ. 鹿，. あ，・…‥ 6F,. し B,=o,. B, の B, 二位， i. キ J, によって生成される F の部分のひ集合体とする・. P(AlfF)(の) 三. 確率 P に関する我上の積分であり，右辺は確率空間 CR, B( 田，乃上の確率変数 9(,r)の確率 P に関す. P( 刈 B,) for. る R 上の積分であることに注意しょう．㈲式が成立す. 任意の値. の eB,,,. for. の eR,. P(B,) ノ 0 P(B,.) 二 0. 定めると P(AlF,)は確率変数となる． F 上での確率. ることを直観的に理解するには， X(CD) が離散的確率. と. 変数の場合， A, 二. 尹を F に制限した確率を PFF とする・いま各々有限個. n,. 二 1, 2, ，Ⅰ9(X( れり ) 臣 (れり. ゆ : Ⅹ 臣 ) 二対， i. を考えるとよい・すると. はンe( @)P(A,)であり， f00の9( カみ F{x) は瀋9 し， ) ㍗し， ) となるが，円 A). 二. P,(ヱ ) であるから両者が一致. の値 @ ，椛，，ノ"t, @ヱ ], ヱ2, . ，ェ Ⅱ をとる確率変数 y, X を考える・ Bi 三悔 : y(QQ@ e 回， ‥・. i 二 1 ,. F. する，この離散的確率変数の極限力斗 1ヵ式であると思え. を上の. ばよい．また， Ex 。， k. 部分集合 D に対し. 二. 1,. 2,. .…. -. は爪の ) の. 女. 次. のモーメント呼ばれるということもつけ加えておく．. つぎに，確率的現象を説明するための重要な独立という概念について説明しょう．. AEF. によって生成される. n. 2.. レ1,. と考えよう・. 凹，. P{AC}B)=P(A)P{B). (1% が成立することと定義する，確率空間 (ぬ， F. P) における確率変数 X 。 (卸，あ (が), . x"(C0) を. ，ノ，の任意の. B 三悔 : y( 初三日. 」. と置くと. に対して，㈹式よりの B) うれ DP( 八し巧 )PGBけ. P(A. 二んP(Al の (の) み PP.(の). 事象 A, B<=F が独立であるとは. (J- 集合体. (16). が成立する． A 。三ゆ :. 刈功二工，}. の X( 回の条件付期待. ィ直. と. 置き，ダが与えられたとき. 7)を. ボレル集合体に属する任意のボレル集合 A に対し X, 円 (A) の形の全体からなる集合族円は F の部分の 0集合体となる．したがって，℡ 式は任意の A,E 何に対して円の E,)二 n 円 E,)と書くことができる・ X( の二ね (回とすると， BBEE, P( 践キ 0 ，に対して， RF ね (<U)二 P(@BB), の ef となり，条件4才確率は特め. 殊な確率変数に対する条件付期待値である.

(5) 経営のための確率過程 Q上 ) (笹井 E ゲX (の) 三 % 侮 PUA,l 円 (の). 責め Beo(. で定義されるⅡ 可測な確率変数とすれば. 亡. 二ん，ぼ丁々 P(A た. = んEFx(. 。lf り (の)@. PFF(① ) 117@. の) み P ド (の). ば，. EFX. したがって，一般に，任意の BEP. なら Ef -FFX ヰ. 二. 二 EFX,. YEy ド Ⅹ ，. aパ. &づ. これは，明らかに通常の. 意味での条件付期待値の拡張になっている．いいかえ. ， 1S武. ることによって得られる杵可測な確率変数というこ y( の) を (③， F, 月で定義された確率変. より， E7.EFY Ⅹ 二 E1 。 7"X=E,/. "X が成立するため，. こ. @<。に対して. 。 -" Ⅹである. 一方， E7.,yE ゲ Ⅹ 二 EJ 。㌔尹-X 二 El,r. お. E,ド Ⅹ =El.. y が単純関数のとき. -.. Ⅱ. ，。".が成立-. する・あとは y を単純関数の極限。と考えればよい．. F の各要素の上でⅢ。 )) を平均化す. れば， E ダ X は，. Be F., y 二八とすると任意の A. よう，. Ⅰ. EyFX をあらためて F に関する X の条件. 付期待値と呼ぶことにする・. とになる・. aゴ. ・，の証明は (間 ) として置く．・ " の証明の概略を与えに. " 旧つぎのように証明される・. A. モ. F--可測であると同時に肝可測であ・. き. つ Ⅰ F. についてほとん. /HEFX (のⅠ メP( のⅠ = /RX( の) コ P( の ) 18, を満足する F.-町測関数 EFX が一意向り (Ⅲりに存在と. 二 EX,. X が独立-.ということ ) なら. と. y が F--可測なら， EFYX. ど到る所で. る. Ⅵに対して @18拭が成立する. 独立 /F 二 n( Ⅵなら y. が成立する. す. Ⅰ. F の任意事象が川 X( l)く㎡の形の事象と. 廿. メ. 1 3) 113. てよいが．よく使われるものをつぎにあげておく. げぉダ(A 々のF) (の) ; PF( のⅠ. 三々. て. E ド Ⅹは，大体は通常の期待値の性質をもつと考え. んx 掩 ) メP( の) 三 % 叩 P(AA の B) 二 Zxア. 均). 18,式より， E/. 、 E ド EFX=R. Ⅰ。 FFX=E. F 。とすると. 4。は. したがって，. る・. Ⅰ。 x. 二. R 円。 Eyド Ⅹ. 数， 0( 招を N@u) を可測にする最 Ⅱ 、の [7-集合体 (Y. が成立するため， F に関してほとんど到る所でⅢが. によって生成されるの - 集合体という ). 成り立つ. かに a( め (ZF である． E 田. Ⅱ. る．明ら. とす・. X を y が与えられたと. ( 問 ) 、 ;,を証明せ. きの x の条件付期待値といい E [刃 Ⅱと書くことに. よ. する・㎡ yN は y から得られるすべての情報の集りと解釈することができるので. ，. E [囲. Ⅱは. y に関する. すべての情報が得られているという前提のもとでの Ⅰ. きィ. 期. (我， E の eB. 一一V y 2,. X(c引二 1, 二0，. モ. F. we・のモ. A. の eA". 簡単のため， P(B),. Ⅹ， @ (u引 =. 二l. Ⅰし Ⅱれバ二ご，，，. 三 %,. と. と. モ. F. エバ. 呼ぶ・. .…‥. ツ. x" に関する y の条件. P( 功二 0 の場合も条件付期待値. の概念を用いて拡張することが可能であるが，ここで. P(B っキ 0 とし. . P( 川卸 +0. エ 2,. 定義して， F を Xl, X2,. 何分布関数と. F. こ. ⅩⅠの) 二丁り. T2, 2. 三ハ )@ 自．. 山千ノ 2. F. E. [刃 Ⅱ. は省略する. @f タ帖りに E D刃 Y-二㎝ ] と書くと (の), の <=Z?を， E [月 Ⅵ. Ⅹ", y を考えよう． B=-. X,(cy). P(y く Ⅰ 封三 p(y く Ⅱ あ (の)= 自，. 月におけるつぎのような 2. つの値しかとらない離散的確率変数とする Ⅵの ) 三 %,. X,,. 二白，. し，円 B) ノ 0 とする. 直ということになろう. (例 ) y. Ⅹを. 確率変数 X 。，ゆ : Ⅹ l(W). ・. 月 A けっ. [刃 Y 二㎝ 1 = 八州劫. ・. B. E. E [囲 y 二班 ] = ⅢⅠ ぢ ), の EB となる・明らかに E [刃 Ⅱは 0( Ⅵ 可測であ。), 任. さて，確率プロセスを取り扱う際に重要な役割を演ずるラドン・ニコデイム (Radon-N 汰odym @ の微分」ほついて触れておくことにしよう・. 可測空間. @. ，月. における 2 つの異なった確率 P, Q を考える．もし P. と. Q が同じ確率 0 の事象をもつなら， P と Q は等. 8) 行在と一意性はラドン・ニコデイム (Radon-川 kodym) の定理によって保証される・ラドン・ニコデイの定理 : fQ を (③，. 何の測度とする．すべての月 eF について. Q( 川二，．押 (@0)沖 @(u)となる J,-町測な非負の関数が一意的. " 月 A)=0. にふ ). ム. Ⅰ 引山王 < 0" が成立するとき，. に存在する・ 0g(cu)を P に関する Q のう. ドン・ニコデイムの微分肋ぴイP というⅡ．いま，刈のを (つ， E 月における非負の確率変数とし旧，冊の測度 Q を Q( 川二 E ム Ⅹ二人。X( 回 dpl(co) によって定義すると・パ 4)=n ，ならば Q(A4) 二 0 が成立する・よって・ラドン・ニコデイムの定理から， Q(A) 二．・t(p@)dP@) となる F,-町測関数甲 (回が存在するから。 Ff,。ェ三列 (0@ とすればよい．一般のⅩに対しては X=X, 一 X の分解を考えればよ.

(6) 114 (114). 第㎜巻. 横浜経営研究. 価であるという．いま，任意の BeF. 第 1 号 (1992). について， P. 記，意が完全であるなら，時間の経過とともに確率変数. (B) = 0 なら Q(B) 二 0 としよう．このとき，ラドン・ニコデイムの定理 (脚注 8)) は， Q はついて可. の観測によって，真ののについての新たな情報が追加されることになる．この情報構造の変化の流れにつ. 積分な確率変数 X について，. いて数学的記号を導入する．. Ⅰ. 辞X (の) メQ (の) 二ね X (儂) 石. となる確率変数自が一意白g. )dP( 回 20 (P に関して a.,.)に存在ての. の P に関するラドン・ニコデ. イ. 4 の微分という． Ⅹ二. ln と置くと E 笘二 1 が成立する．. F1% 二. (の) を. 1. である正の確率変数. (非負の値をと. る確率変数 ) とする．そのときに，明らかにラドン. ニコデ. イムの微分が弓筈二 % となるような. ，. ， F). (甜. Q(B) 二ん若 (の) オH の), B. モ. ，. ン. (s2, 月 @ 。戎と書いて，フイルター確率空間 (Ⅲ teredprobab Ⅲ tyspace) という. が与えられたとき，. さらに，各 Ⅰに対して，の+ Ⅹ (t, 回が月 - 可測となるとき， Ⅹ，は月 -adapted という・したがって， X, が月-adapted ということは， X, が押，俺上の確にのみ依存するということにほかならない．. Ⅰ. によって定義できる. 3-. (filtration) と呼. をフィルトレーション. 率変数であるということであり，時刻とにおける情報. 上の新しい確率 Q を. 3.. 体の族 @. ぶ．確率空間に情報構造すなわちフィルトレーシ. することを示している. き. s 三 Ⅰのとき， F 。 C,F, となるような F の部分 (7-集合. 践x をこまでのすべての s に他意してⅩ。を可測にするような最小のひ集合体とする・. 確率プロセス. って生成されるという. ，三 ⅠなるⅩ，によ. 意味を強調して. 0(@. 。 :. ,. 三f. くことにしよう． (我， F, F) における確率プロセス. l) と書くこともある．これは，確率変数 X, によって得られる時刻Ⅰまでのすべての履歴 (情報 ) を表わすものである・当扶 ExCF ヂであり， X, は月 adapted. (stochasticPr(ocess)g)X{t, 回は時間だ T によっ. となる，. 確率プロセス. Ⅰ. 時々刻々変化する確率変数の振舞について考えてい. て表示される確率変数の系列である．数学的にいうと. ・. Ⅱ回を T の中の値をとる確率変数とする．各だ T. 確率プロセスは， "B( 刀 XF づ Bd 碕と考えたときに. に対して. TX 駝+R への関数Ⅹ (t, 回 " である．ここで， B( 乃はアCR 上のボレル集合体を意味する．. 時間 (stopping t㎞ e) と呼ばれる，もし. 可測となるような. T= 肱，. 「. ゎ. 0, の ) の区間の場合は連続プロセス，. ，・…‥. T二. t の場合は離散プロセスという・固定し. たの。幻に対して， tづ X(t, 回をサンプル・パス. (Sample Path) という・通常 X(t, 回を簡略に X,. なら，わ (<y)三 i"ダ tf三 O : x,( 城旺四. h,stexilt@e. BEB(. 碕. を B からの. という・また B が開集合で X, が連続な. ら， F, の完備 n- 集合体 (月と確率 0 であるすべての F の部分集合の和集合によって作られるひ集合体 ) に関して㌔は停止時間となることが知られている．さて，確率プロセスが特定されていて，それから生. と書くこともある・サンプル，パスⅩ，がのモクのほ. 成される (7-集合体を考えるというより. とんど到る所，時間について連続となるとき，. からひ集合体が与えられている状況を考えよう． (つ，. プロセ. スは連続， 01であるという，. Ⅹ，は確率プロセスである以上，サンプル・パスのある時占 t での値を観測することによって，真の状態がどの状態のであったかを確定的に知ることは，. 一. 般的には不可能である．知り得るのはどの事象に属するのかということだけであろう．しかしながら過去の 9). Ⅰ. @ り (の) 三川。円であるとき，Ⅱぬ) は停止. ，むしろ最初. F, {%, P) において，月-adapted プロセスがマルチンゲール (ma,tingale)であるとは， E@ 」くの， v だア E ¥X,l 几二 Ⅹ" a づ。廷 (21) Ⅰ. が成立することである．したがって，プロセスがマルチンゲールであるなら，現在までの情報をもとにした. 格，め， t,,@ e T に対し X, 。， X" 。 Ⅹ，の結合分布をプロセス t沌の有限次元分布という．現実には，確率空間が最初から与えられることはまれであり，通常観測の結果によって有限次元分布が最初に得られることが多い．ところが，ある種の整合性を満足すれば，与えられた有限次元分布をもつ. 任意の. 確率プロセス @x,} および確率空間を見い出すことができる・ 0) 回 Ⅹ什ト一Ⅹ， l。づ 0 の場合に， X, は v 乗平均の意味でⅩ ，は Ⅰにおいて連続であ. るという.

(7) 経営のための確率過程 (上 ) (笹井. @ ，. 将来のプロセスの値の条件付期待値は現時点でのプロ. 定田. セスの値となる．。 2¥吠が等号ではなく。. 動 Ⅱ，という. を. lⅢ， P) における標準ブラウン運. 且. DⅩ， l円玉Ⅹ ，. となるとき， X, は優マルチンゲール. (supermartin. ル",,=0. gaIe Ⅰであると呼ばれる. 。. に重要な性質をもつプロセスを説明. @，よ. う. ．. ・. E. (115) 115. 均). aづ. Ⅳ，は F,-adaPted であり， ⅣⅠ 朕．. F 、と独立-. プ. ロセスⅩ ，がつぎの式を満足するときⅩ ，はマルコフ. ⅣⅠⅥ、. (Marko のプロセスであるという．すなわち，任意の. つ. 巧くめく……. z ノ s,. は平均値 0 。分散レ Ⅱの正規分布を持. (lg成の条件付分布関数に関. く t,,に対し. このことよりⅢ ，の密度関数は. して． Ⅰ(X,n 三丁，， lX,. 二白，. Ⅹ， "- .ニェ" 一パ. ，. 22, 二 P(X," 三ご"lX, Ⅱ・二ょけが成立する・前にも説明したが条件付分布関数を取り ". 荻. 。 "y 晒は独立増分を有する．すなわち，・。 < 仁「く. 扱うよりは，条件付期待値を取り扱う方がはるかに見通しがよく，記号も簡潔であるので，㈹式の意味を条件付期待値で定義することにしょう・. 牌，. P) をフィルター確率空間としよう・. F,. @. W,ⅠⅣてと ⅡⅠ一 Wr は独立であ. に対して・. 巧，，は月 =0(@,. ，，. 月 -adapted プロ. (25). 八% Ⅰ二 V となる，・ " のかわりにつぎの条件を用いてもよい. Ⅱ三. は. この. る・. ) における標準ブラウ. Ⅱ. ン運動になる. セスがマルコフプロセスとは，すべての有界な㎡ lXs 臼. Ⅲ. ) 石 f Ⅱとなる確率変数「. は. E 珂 Z 二日功Ⅹ ， ]. ぱ. ( 問 ) ブラウン運動がマルコフプロセスであ. Z について. チンゲールとなることを証明せよ. J. ・. り．マル. が成立することであると定義する，言葉で、. プ. ロセスの現在値が与えられると他の既知の事象はその. ブラウン運動 12。のサンプル・パスは. 有界区間で確. 将来の振舞いについて何ら新しい情報を提供しないと. 率 1 で - 様連続であるが．きわめて特異な性質をもつ. いうことになる・いま，巧くたく……. 簡単にいうと X, い一Ⅹ ，は ()(V 切のオーダーをもつ. が。二列 x,,) 可測で・かつ. Z( の) 二 l, A 二0，. とすると， E. =. く f肝。く㍍. Z を. ことが知られている. ・. @ : X (%) く田. その他. W, を (我， F. Ⅹ"--ll二 E [ア X ⅠⅡ. [功田，Ⅹ 2,. 準ブラウン運動， Ⅰ. X. = 自，. Ⅱ. 一. l 三ヰ，. ・. だ [0 ，. /T 月刊. リ. したがっ. 26l ワ. に対して，. 功一㍗け，ゆ@ づ 0. (27). リセ. ヴけ， wu)を近似するⅠに関する段階関. (t,. の)= 甲l(の. Ⅰ. f,三ナく. ㍉. +@. ソ二. 0，. ワつ. 一 1. が存在する. @W,. このとき，任意の分. 数. ⅠⅠ. ぎの条件を満たす連続な確率プロセス. f.. という意味で．. - 般的な拡張となっていることが分かる，げブラウン運動と確率積分. 刀における標. 甲け・叫を. 割 0= めく乙くゎく ‥…・く㌦ =T. ). て㈹式の定義は 2% 式のマルコフプロセスの定義のより. つ. 礼=. 月，. である adapted プロセスとする・. 八 Ⅰ X 仁 lニエ，ま丈に他ならない・が成立する・このことは。2,1,. 3-2. l%,. E ⅠⅠ甲、 l2% くの. (@4. ということであるから。 =. どこ. る. ては. と. したがって，. 丁. 吃刮テ. P(A4l. (E.Wong).. でも微分木 11 能であり，任意の区間で非有界変動とな. ぼ W,0 ，，9)). ただし・. ある・階段関数㍗け，. 而 ) は耳．ⅡⅡ で. p,. 貝Ⅱ. 可についてのⅥに. f. 関する積. l1) ここでは尺に値域をもっフラウン運動を考えるが， R" に値域をもっ標準フラウン運動はⅡ rl, Ⅱザ， W グを互いに独立な標準ブラウン運動とし， Ⅳソ二 ( ℡ザ， ℡ゲ， Ⅳ，りによって定義する 12) 連続なプロセス tⅥ， . t ノ 0@ がブラウン運動であるための必要十分条件は， E[e ヱ戸皿 ( Ⅱ，Ⅰ W t 丁二㏄戸ト (f一ヵⅢ 72], 仁5.がすべてのた R に対して成立することである・. Ⅰ. 口.

(8) 116. く. 116%. 横浜経営研究. 分る. 表現される・. と. / ハアパt, の) みwt,. の). パ X". (2%. め. : RXT+. 人が. て. につ. め. んⅠ. Ⅹ，街. /. a C. 十. Ⅹ". /. で定義するとブラウン，-U 運動の，l土質を使って E げ。)lT@nt, 『"U, の ,.、 )Y メrr,Ti, w わ，の ,.、 Ylz 二 /1 回㍗ (t, の)l2. さらにア Ⅹ". 2 回， z はつき 1 回連続微分可能とする．このとき，. き. 三，，Z-1孔 (の) im ㏄什 1, の) 一 w(t,, の)t. 第 1 号 (1992). 第㎜巻. 之9. しム. が得られる・このことより，分割を小さくした(28式のリム. 払二. パあメ a. み刀 X,) 三パ托十地 ) 一パ X カ. (31). w"(t),. w"(. の. 登. a2まぽJ ( Ⅹ，)2千一 a/(X a Ⅲ X,)" メ叱十 a 甲，あ+ 9%. ) 力 ',. 一旦. ㍗に値域をもつ標準ブラウン運動であり，㍗に値域をもっプロセス. 甲. w( め二 (w¥(f),. O 2S. EKt)z 二万回㍗，l2ゐ. である． [注意 ]. よ. の場合のティラー展開を考えると. 続なマルチンゲール " となり，. 乃 (め二 0. 1 一 2. 十. 極限は 2 乗平均の意味で収束する．この極限を己．S l34 パフつ三ⅠⅠ甲 (f, の) み W(z, の) (30) と表現しブラウン運動に関する確率積分，3)と呼ぶ．が成立する田． (30式を簡略のため / アヴ bdW-, と書くこともある，後で十分に活用することになる，性質であるが，叩 6@ が成細かい証明は除いて，微分ルールの成立する意味に立するとき，パめ三万 <p,oWWS は [0 ，司における連ついて直観的説明を与えることにする・パェ，め二ア㈹. (戒，戒，・…‥，憶 ) について. ぎと接汁吉. ピ. ズ力. E Ⅰ 訓側 2 ふくのが成立するとき. ( ただし. Ⅱはユークリッド・. 12 a2%x 8 t(，みz)2 千 2( 申，，あ W,)+. /. Ⅵ. ユギ刀. ルムである ), 確率積分は. 甲. ・. メ. 坤メれり 2t 千. 1(め二 /1% 沼 Ⅲ，二Ⅹ / コ條，ぱ呵で定義され， 7(めはやはり連続なマルチンゲールに. な. ところが，前に述べたように，. 性質はⅥt)2キ稜をもつから. る. ブラウン運動は特異な. ，. つぎに，ここでは結果のみを述べるか，よく知られ. 8/(X,) 甲，メWfz 十 l 丁甲2， ar. た lto の微分ルールを示しておく．これは，確率積分. ・. Ⅸ メ Ⅰ. ト ⅠⅡ. 0. メ. ダ. によって記述されるものとする・. O. X(t ， co) 二 Ⅰ " 千ガ甲れ，の) ゐ千だヴは，の ) メヰⅥ(5). /a. の定義から求まるものである・いま，プロセスが. (3 旬. (3% となる．凌より高次の項を無視すると (35式は (30式を. ここで，ぁはスカ. ラ Ⅰ甲は (26式 '4,を満たし中は朋Ⅵ， @ くのほう・とな. 形式的に微分記号を用いて表現したものに他ならない. る adapted プロセスである．㈲式は，便法的に微分記. 通常のティラー展開と異なるのは，上の式右辺の第 3. 号を用いて. 項である，. とⅩ ， = Ⅵ，ど十ヤメⅥ " ち. x 。二丁。. 最も簡単なケースとして， X, 二 Ⅲ" ア X. (3%. カ. 二子ア，2. 1 4. ). l. 3. @. 1. 5. l. 丁が 0 主色 t a.s. となるような停止時間であり，ム㈹二 1, sく T, Z。㈹二 0 ， otherMse, であるなら，その時 Z ㈲二 L:fr,(s)臥み胚が成立する確率積分が定義されるためには乃㎏， l'dsくの d.$.であればよい・したがって 110 の微分ルールはこの条件・. のもとで成立する．もし. ん二 (x,l,. X,,. X,"). アモ R",. Ⅴ，eR",. R"XTョ尺のときは，㈹式において，妾をv. で置きかえればよい. ヴ，. eR. 才. ア二. 円 6 ，. パ m,. Ⅸ，二. 才るヱ. 2,. (W,,,. 叱m )7r 。 i?m,. Ⅸ， 2, み'Ⅰ. 1. Ⅰ.

(9) 経営のための確率過程 (上 ) を考えると。M4 拭よ. メf(Ⅹ， ) コザ ( はり =. ・. 巧ヰメ. (笹井. 均). (117) 117. ℡，，十手あ博パ 0 三斉田が. が得られる. 丑 l0/l2オく㏄. 38). dつ. を満たす adapted プロセスとする. 与叫，がマルチンゲールでないことを示せ. 間]. し. [. たがってこのことは，た W; メW 。がマルチンゲールで. ， (0)三 e. 乱， 6,み肪公一手ⅠⅢけ，l2 メ回. ご戸. (39). Ito の微分ルールと定理から， 9,(のは. と定義する・. ℡，となることを意味し. あることより，た軒り朕キキ. ポ，二目月メ凡㌦克二 1. (40. の @,-adapted な解となることが分かる・㎝式におい. ている. [間 ] ア二. 自. ノ. Ⅹ，。二 Ⅴ，・め + 甲，・ガ Ⅱ?,. ノ. Ⅹ，， = Ⅴ，，荻十甲ヂメれ㌦. Ⅹ，の時，屯年 Ⅹ，2み X, 。十 Ⅹ，り X2 千中，㎏; ぬ. X,,. り. て説明したように，もし月 d&sa,l2ゐく㏄なら，に (0) 0 三信田はマルチンゲールになる [6,. この条件を成立させるための十分条件を結果のみ示しておく i, S はタ le,(研 l,ニべの◆黍はマルチンゲールであ. となることを脚注 la@ 用いてみちびけ. E. と菩. 0). Ⅱ. l. なる. と. 使，パの二 1 。 " ◆ ん已 (切はマルチンゲールとなる. 。 "). さて，つぎの形をした方程式を確率微分方程式という. 軒. 微分記号を用いるとメX, 押川 X,,. ける．. (4反生 ). げ，. り. ぬ +<7@. 。バゴ Ⅳ， x". Ⅱ ムわ， a@. め，一㏄く % くの・ 0 三. l+ l @ エ，ヵ一0 け，. lⅡ (ず，め一リりん囲. このとき，. め. @. つ. ゐ. (l+ lェ l). Ⅰ. Ⅰ. く㏄は，. 力. @三円エ一団，旧. 4-. 定理 (@to) 上に述べた仮定が成り立っものとするプロセスあ， 0 玉とくのが存在する・さらになマルコフプロセスであ. 尺 -adapted. X, は連続. り．ガ 0( Ⅹ。. ， F) 上の確率となる l円@, Q) に. る・. ファイナンスへの応用. て弍オプションオプションの価格がいかに決定されるべきかという. Ⅰ. J. トラ干. 課題は，かなり古くから行われていたものの本格的理論構築は，剖 ack-ShoIes (1973) と Merton (1973),01 によって先鞭がつけられ・. 以後の研究に大きな影響を. ここでは，今まで述べてきた確率プロセ. 与えてきた・. ルとなる. ンゲー. 4.. (エ，. ぎの定理が成立するに二 ) な. @. おける標準ブラウン運動であ. り. ，ソヒR を満足ずる. そのとき，。 36@ を満たす一意的. によって与えられる Q は. さらに。 W,,f 二町: 一 Ⅱ，8.ds は (甜，且. につぎの仮定を貫 {. 0. は，りほついてのボレル関数であ川 + lの (エ。. ㎝. 二毛，. スの理論が，オプションを含めた派生証券の価格形成. にいかに適用されるかみてみることにする. 3-3. いま，市場に 1 つの配当のない危険証券㎡ sky. G irsanov の定理. 確率プロセスを制御しようというモデル. (確率制御. 過程 ) を考えるとき， Ito の存在定理が成立しない不都合が発生する・. このため弱い意味での解概念を設定. する必要があ. 色 rsanov. る・. securily). と. 1 つの無危険証券㎡ skless secu 面がの. みが存在するものとする・. 危険証券と無危険証券の価. 格プロセスが各々， z6 T 三 [0.. の定理は，もどもとこの. ゴ B, 二 rB, メt,. B". 二1. シスへの応用を考えるとき，きめわて強力であるため. によって与えられるとしよう．. その結果を紹介することにするブラウン連動が tW, : 0 玉斉田， T く叫. する・。41武は. するフィルター確率空間を田， F, iFⅡ， P) とし. (4l). メ S, 二 HSt 荻 + oS, メ Ⅶ㌦ぢ" 二 1,. ための方策として与えられたものであるが，ファイナ. が伝播. 1] に対して. (甜，. 月. ここで，. げ，. 0. ノ 0. と. tF,t, P) における確率プロ. セスである・、 41 武を S, で割ると，げは瞬時的期待収益率，. 0. は瞬時的標準偏差を意味することが分かるで. 16) 条件 38武のみが成立するときは， 9,田 ) は優マルチンゲールとなる． 17) 桟 "(㈹二 1 二皮メ 0) であり， E,㈹が優マルチンゲールから，この結果は明らかである． 18)@ B. Ⅰ. ck@ and@ ShoeS@. 637-54. The@ PriCng@ of@ OpTons@. and@ Corporate@ Li bilii s ， Journ3@ of@ POi@. 3@. Economy@. ， 1973.. Merton:@Theory@of@Rational@option@Pricing. ， Bell@Journal@of@Economics@and@Management@Science. ， 4 ， 1973. 81 ，.

(10) 118 (118). 横浜経営研究. 第皿巻. あろう． Ito の微分ルールからは 1X44 ヵ式の解は，. 第. 1. 号 (1992). のポートフォリオによって達成される期末の資産は有. S,二そⅠ戸 {(げ一手が ) f+oW,¥t. @4% 界な分散をもつものと仮定する．このような確率変数. B, 二 eⅠ 戸 @. (4め. 「囲. である. 投資家は，. 2 つの証券を売買することにより期末の. 資産 (確率変数 ) の最適化を企る．以下では，時変 lJ0. の空間をビ (月で表わすと，このことは㏄lBl 十曲あ毎 L2(D ということになろう・. (46). 今まで述べたことをまとめて，. を考える．市場が均衡であるなら，当然価格プロセス. (t,"dine を自己充足的で (46式を満たす p,edictable なぺア (ぱ，， 8,) であると定義する・もし取引が時刻 0=t" く z.く z,く …… く㌦. は，後で定義するが，裁定 (arbitrage) 機会を許すも. 二 1 においてのみ行われ，その大きさが有界であるょ. のであってはならないであろう．このとき，オプショ. うな取引戦略は単純取引戦略とは45@ は. における初期資産以外金銭の流人の生じない完全市場. ンに対する合理的価格はどのように定まるべきか，こ. のことを議論し. 我々は取引戦略. ァ二. まず，投資家のもっ情報構造について考えよう．無. 0. ，. 1. ,. 初一. となることに注意しょうここで，つぎの記号を導入する. 将来の値は確定的に与えられる．したがって，時刻. Ⅴ(め三㏄，B, 十 8,S,. 亡. れる情報が S, によって生成されるフィルトレーショ. {% te [0, 1]} であ. S, と W,. は. (4%式から分かるように， 1 対 1 に対応しているため t乃は，また. Ⅵ，によって生成されるフィルトレーションでもある・. る. ところが，常識. 的に考えて，. f 時点における取引は， S, の実現値を観. る. ， f よの前の情報をもと. 測して行われるものではなく. にして決定されるべきものであろう．このように，あ. プロセスⅩ，がⅠより前の情報構造に依存する. Ⅹ，はpredictable. と呼ばれる・. 感覚的には， Ⅹ，が. l. ば，， 6, を各々，無危険証券と危険証券の時刻Ⅰにお. ない非負の確率変数とするような取引戦略を意味するすなわち， Ⅶ 0 片 0 であって P. げ (1片 0) 二 l, P(V (1片 0 ト 0 を同時に満足する取引戦略 (ヰ，乞) であ. る. 単純取引戦略に限定すれば，『裁定機会が発生しないための必要十分条件は. ，. 醗をマルチンゲールとす. るような P に等価な確率 Q が存在することである』というよく矢口られた定理が Harrrison.K化ナダ0'によって証明されている，. で外生日りに所与とする．期間 (0,. 1] において金銭. 界においては，この定理は成立しない・. の流人はないと仮定しているため，. ポートフォリオは. このこ. しかしながら，連続的な取引の世. さて，実際に我々の価格プロセスについてマルチンゲール測度を作ることにする． (39@ において，軋三一げ一 Ⅰ. とを数式によって表わすと. ・. と. 置くと，. t 引 0,. 1] において，. 化， B,十 e ぶ，二㏄。 B". 十 e ぶ。千万後メB, 十ょ， e,机二. (45). となる． @49式右辺の前半は初期資産額であり，後半は，キャピタル・ゲインである．この意味刊 45@ 式は自己充. 足的 (self,f6nancing) lU 帝ネり. 式と呼ばれる. さ. 8. １. す. トが非正であるにも拘らず，期末における資産を 0 で. ける保有量 (確率変数 ) とする・㌦，㌦は初期保有量. 内部的資金の調達によりなされねばならない．. 価値を， S. は B, によって割引かれた価格プロセスを意味する・裁定機会 (arbitrageopportunity)とは，初期のコス. とき. U だ，可測ということに近いく. (4 助. S す三音 V ㈲は・ f 時刻におけるポートフォリオの. る・. 当然， S,, W, は月， adapted であ. 48. 時刻 0 から止ま. での危険証券の実現値である．この実現値により得ら. ン. (W の. 1. 危険証券は確定的プロセスに従うので，時刻。でその，. この場合に. ㏄，B,,十 8,,S,,二㏄，， + 。 B,,十 8,,+lS,,,. 確率プロセスの理論の有用，性を示す. のが，ここでの主旨である．. において投資家の保有し得る情報は. 呼ばれる・. 仁㈹ = 仁二神 @一ノテ㍉. W,一丁 (0 1. が一㌃. (50). となる．軌は対数正規分布であるから，睦， = 1 である・したがって色. rsanov の定理より穿 = 9,に 2. 19) 正確には (45@ の積分が意味をもっように，側目2d,くのクょ・，川 0 ぶ，l'おくの 20) J.Harrison and D.Kreps,J.ofEconomicTheory 20(1979),381 円 08.. " てを仮定する. 必要がある.

(11) 率で. Ⅱ 5 り. 3. のとき， Q に関して有界な 2 次モーメントをもつマ. と表現できる・ここで，. ぼと。lぬは 2 次モーメントをもつマルチンゲールでしたがって定理から predictable な孔によって. ある・. と. とになる. B。. E*¥X ダ目l%. と. 十ん， 06.。 S: ビ巧/;. E*¥X ピコ] 千みり，メ Ⅱで. 二. E*[X6 目 ] 十よ，0,S 雙S 丁ゴ付巧. (56). 表現できる. 6，一り一 crST @，. (53. 等価である 21,. ところが，前に説明したように・. E*[X. ぱ，=. ビ. ⅡⅡ --6 ガ ?. ー. @. と置くと， 8, は 54@ を満たし. (5 卸. 十先5 すがマルチン. ゲール @. っても，，. たとえ S Ⅰがマルチンゲールであのもとでマルチンゲールになるためには. 街. 月E*6 。S 引 2% く㏄. (54). 月丹がマルチン. が成立しなければならない・もし. fE [0， 1] (551 帥 Ⅱは p,edictable であり，. E* ん㎞， l2ゐくのを満たす． Ⅹ 6L,@ 月ロビ (Q) とすると，明らかに， E*. 待ン醗待朋チ吾朗. のと. らすなまこわに在ぅ表ル硯ぃ. t/(0). 生成されるものとする．そ. 笏，受用" 十方り，メ Ⅱぺ，. やい Ⅱ. Ⅰる力. る. あ得でがと. ラウン運動Ⅳ丁によって. 二. B,. (119) 119. ルチンゲール牲は. 一方，微分ルールを用いると・ 45@ は. Ⅴ(の. 均). @. あ. 何. 年輩て標. 経営のための確率過程 (上 ) (笹井. ば. 十 01 名二ジル「. ，十 0 ， S@ す. 「. け明二 E*¥X. ビ. 一口十. ゲールにならなければ，必ず裁定機会を発生させる取. た oQ, ぢ亡メM/ で二び" 十軋， S 。十ム， 8 メS 丁となって，任意の XeL,( 月の L,(Q) に到達できる自. 引戦略を作ることが可能である，21.. 己充足的取引戦略が存在することになる．. :54@ は HarhhSon-Kreps. 「. の提起した doubling;戦略とい. うものを排除する条件式となっている．単純取引戦略においては生掛 54吠が成立することは明白であろう．. ば，十 6 ヵど Ⅰ. 以下では，取引戦略を・54武が成立するクラスに限定し市場に裁定機会が発生しないものとする．したがって，はマルチンゲールとなるさて，投資家は・. ば. ・. 十 aSTlF. 口. が成立する．結局，時刻 1 における資産 x に対する時亥 lりにおける価値は，. 取引戦略によって達成される期末. ⅤⅢ. における資産に関心をもつわけであるが，それがどの. 二 E*[Xe. い. ま. 一. " lF,,]. (58. 「. ，何として行使価格が. もつ資産，すなわち L'(P のビ @) は 2 つの証券の取. る危険証券の. 引戦略によって達成できることを示そ. げよ，つ. ．. Ⅱ. によって与えられることになる．. 程度のクラスのものであるかが問題となる．我々は・確率 Q および P に関して有界な 2 次のモーメントを. う. =E*[. そのために. ・. ョ一ロ. すると，. K ノ 0 ，満期日 1 であ. ，パ形コ一ルオプションをとりあ. ゑ、のォ」 l侍冊 @ま Ⅹ二ガ一 ma ご. 0t. ド一尺. は，つぎのマルチンゲール表現定理を利用しなければ. となる・あは， P および Q に関して，対数正規分布. ならない．. であるので， Ⅹ モあ. フ. る. す関. Q. カ. 率崔アⅡ 小. Ⅰ. )@のあ (0 である．よって，いョ一口. ，パ形オプションの時刻. v,(t) は58式となる確率. によって与えられるので，は3@. と. Q は穿二 E 。. (44@ を使っ刊 5⑧式は. 結果. み. l. a. F,. S 丁 = ㏄すメ Ⅳ す。. e0[ b. w. 吐迎. な. -｜. Ⅰ. Ⅲ. 定(K理 u構情報 21. までの議論により，. ま. Ⅰにおける価値. て. S, 二ゐ，ぬ士俺メ W 芋の関係を用いた．、つ. 月一. ルになることである」.

(12) 120 (120). 横浜経営研究. 計算可能であり，その結果はっぎの B@ack-Sho@es の. メ. ︶. 十. パ. ⑥，み， ( 5S ヵヨ2 Ⅴ み. ま. 乙. Ⅴ. * 玉 S. 叱. V. る. ム. 0. 十. ㏄. 一. が 1１｜一 2. Ⅴ る. E*te. S,. 十. ，. lB. 十. @(Ⅰ十が )+coWT 卸三，z であり， Ⅰ十が. ，川 6L3: @S, 一 K,. ，. が) と 0l]. を. (60). にす藪. が得られる. ゲールである．したがって，右辺第 3 項も Q に関してマルチンゲールにならなければならない．. みるヱr ，、V(. ヱ，. ⅠⅤ. (0，㏄),. Ⅰモ. る. と. 山， 1]. ︶. Ⅴヱ e. 十. 二0. エ /( @ヰ . ︵ Ⅰ ク. ゲールを使った方法は，裁定機会と取引戦略の関係，. ㏄ゼ Ⅴる. 果として (59式を求めている．しかしながら，マルチン. Ⅴ る. ，無裁定条件より，偏微分方程式を導. 出し適当な境界条件を設定することにより，その結. がェ2 十 2 8 l 一. らカ. 別 ack-Sholesは，もともと，マルチンゲールを用い. このこと. は右辺第 3 項の被積分部分が 0 であることを意味する. S, は対数正規分布をするため必ず正の値を. 計算する．. た方法ではなく. 一- ⅠⅠぺ S 力 s}@. 右辺第 1 項，左辺第 2 項は Q のもとでマルチン. 0 とした値に一致することを確かめよ．. z) Q(Z㈹く z)一 M. C. ) 1 Ⅰ 一). ︶ぜ. 一 + ( ﹁ 2o Ⅰ 一Vl. Ⅰ "一. 勾し Ⅰナ / (5 ソ Ⅰ一 2 g 一 lo. ゆ. V27T. けるヨーロッパ形コールオプション価格刑59式で戸. Z の分布関数八二なることを利用して. Ⅴ. (Ⅰ十三ピ )(1 一り. を計算して，期首 (t 二 0) にお. ヒント : あ二㏄戸. K は所与の定数であるから， Ⅶ め三 v(S,,. ら. Ⅴ. 杓十. 0 Ⅴ 一と 1. l. 一一一. とロ. ， 0,. め凡， B,. レイ. Ⅰ 一ア1 (. ゼ K一佗. ( 問 ) E*¥X. Ⅰ㎎(v. が. めと書いて，これに微分ルールを適用すると. 公式と同じ結果を与える． Ⅴ(t)二 S,ゆ (. 第 1 号 (1992). 第㎜巻. と. 篤 1). 特定なオプションのみならず，到達可能な期末資産の. という偏微分方程式が得られる． (61 拭は，通常，よく. クラスおよびそれを達成するための具体的な取引戦略. 知られているオフ、ン，ン価格の評価式である． (60式と. などを明示的に与え得るという点ですぐれているとい. ㈹式を比較すると，コールオアンンを複製する取引戦略が宅二るV ペうちりとの式から得られる㏄によって与えられることが分かるであろう．. えよう．ここで，マルチンゲールによる方法から，細. かい数学的条件の検討は省略し Black-Sholes の導出. コ. S,, (5. ，. (未完 ). した偏微分方程式を求めてみよう. ( ささい. ひとし. 横浜国立大学経営学部教授 ).

(13)