生 産 双対 性 とフ レキ シブル 関数 形
に つ い て
若 林 信 夫
1.序
1.1本 稿 の 目 的
本 稿 は,最 近 の 生 産 経 済 学 に お け る主 要 な トピ ッ クス で あ る と こ ろ の生 産 双 対 性 と フ レキ シ ブル 関 数 形 に つ い て,総 合報 告 を 行 うこ とを 目的 とす る。
も と よ り,生 産 の経 済 学 と消 費 の経 済 学 は マ イ ク ロ経 済 学 の 姉 妹 関 係 に あ り 主 要 な命 題 は 両 方 の 経 済 学 に 相 通 じる 。 又,両 者 は 経 済 の一 般 均 衡 を 説 明 す る 基 本 的 構 成 物 で あ るの で,理 論 面 に 関 す る 限 り,最 も豊 富 に 研 究 が蓄 積 され て き た 。 しか し,理 論 的 整 合 性 を もつ 実 証 研 究 とな る と非 常 に 貧 しい状 態 に お か れ て い た 。 近 年,経 済 に お け る 双 対 律 の発 見 と認 識 を 通 じて,主 変 数 で あ る生 産 の 技 術 状 態 を 直 接,観 察 す る よ りは む し ろ,双 対 変 数 で あ る価 格 状 態 を 観 察 す る こ とに よ っ て,・潜 在 的 に主 変 数 を 解 明す る こ とが 可 能 に な っ た 。生 産 理 論 は,経 済 の 生 産 が 投 入 物 を,ブ ラ ッ クボ ッ クス で あ る生 産 機 構 を 媒 介 と して 産 出 物 に 変 換 す る機 能 分 析 で あ る こ とか ら,生 産 関 数 が 出 発 点 とな る こ とが 常 で あ り,観 察 変 数 は 投 入 量 とか 産 出量 の 技術 的 関係 で あ っ た 。 あ る 正則 性 の 条 件 例 え ば,競 争 市 場 の存 在 を 仮 定 すれ ば,投 入 物 価 格 とか 産 出 物 価 格 とい った 比 較 的 安 定 した 双 対 変 数 を 軸 に 元 の技 術 的 関 係 を 推 論 で き,ま た要 素 の 分 配 関係 ま で 言 及 で き る とい うの が,生 塵 双 対 性 の特 徴 で あ る 。
昭 和55年11月15日 受 領
[299]
300 商 学 討 究 第31巻 第3・4号
一 方 ,消 費 ま た は,需 要 の 理 論 は,選 好状 態 あ る い は 効 用 表 現 を 出発 点 とし 消 費 量 とそ こか ら得 られ る効 用 の 間 の関 数 関 係 を 問 題 に す るが,双 対 理 論 に よ れ ば,あ る正 則 条 件 の も とで は,間 接 的 な 効 用 関 数 す なわ ち,価 格 ・所 得 比 と 効 用 の 関係 と し て捉 え,直 接 的 な 効 用 関 係 を 推 論 す る こ とが で き る 。
学 説 史 的 に 跡 づ け れ ば,H.ホ テ リ ソ グ(1932[14])の 「エ ッジ ワ ース課 税 逆 理 と需 要 供 給 関 数 の 本 質 」昌を 噛 矢 とす る。P.サ ミュ エ ル ソ ソの 理 論 的研 究[18]に 受 継 が れ,集 大 成 とい え る の は,1970年 代 のD.L.マ ック フ ァデ ソ LJ.ラ オ,J.E,デ ィー ワ ー トらの計 量 経 済 学 との 融 合 を 図 っ た精 力 的 な研 究 ([8],[10])で あ ろ う。そ して,主 要 な 核 心 は,'マ イ ク ロ経 済 学 に お け る現 代 的 な教 科 書 に 居心 地 よ く納 め られ て きた(例 え ぽ,ヴ ァ リア ソ[24])。
本 稿 は 前 述 の よ うに 生 産 の 双 対 性 や フ レキ シ ブル な 関 数 形 を 巡 っ て,標 準 的 な教 科 書 に は ま だ カ バ ー さ れ て い な い 新 しい 部分 を,厳 密 な証 明 ぬ きに 紹 介 検
(1) 討
す る こ とを 意 図 す る。
1.2研 究 動 機
そ れ で は 何 故 に,生 産 の 経 済 学 が 新 た な 装 い で 精 力 的 に研 究 され て い るの か 考 え よ う。
最 も重 要 と考 え られ る の は,経 済 学 老 が 理 論 的 整 合 性 を もっ た 実 証 分 析 の 充 実 を 求 め て き た 点 に あ る 。 従 来,標 準 的 な マ イ ク ロ経 済 学 の教 科 書 で は,消 費 者(家 計),生 産 者(企 業),そ れ か ら市 場 の コ ソ シ ス テ ソ トな モ デ ルを 記 述 した 後,一 般 均 衡 理 論,厚 生 経 済 学 へ と直 進 して い った 。 個 別 モ デ ル の 妥 当 性
・ は 一 切,計 量 経 済 学 に 求 め・ られ,そ の 実 証 性 は 範 囲 外 で あ った 。そ こに は モデ
・ ル の た め の モ デ ル が あ り ,理 論 な き実 証 で あ り,実 証 な き理 論 が あ った 。均 衡 理 論 や 厚 生 経 済 学 に 進 む 前 に 経 済 理 論 に 整 合 的 な モ デ ルを,計 量 経 済 モ デ ル が もち うる こ とに 言 及 す る のば 重 要 で あ る。 な ぜ な ら,人 は 経 済 政 策 の 具 体 的 応 用 とい うと マ ク βの 財 政,金 融 あ るい は 貿 易 政 策 や モ デ ル が 議 論 さ れ,も っ と
'(1)本 稿の予備的考察は早川泰正教授還暦記 念論文集 〔28〕 で展開 した 。
生産 双対 性 と フ レキ シ ブル 関 数 形 につ いて 30ヱ
本 源 的 な マ イ ク ロな 経 済 政 策(価 格 政 策)を 看過 し て き た こ とに よ る 。 後 者 は 物 理 的 な 技術 の状 態 や 費 用 構 造,選 好 構 造 に 関 係 した 経 済 主 体 の行 動 を 記 述 す る特 定 の パ タ ー ソを 知 る こ とを 意 味 す る。 例 え ば,ガ ソ リ ソ需要 の価 格 ・所 得 弾 力 性 は い く らか,自 動 車 製 造 業,あ る いは ロボ ッ ト産 業 は 規 模 に 関 して 収 穫 度 は ど うで あ るか,農 産 品 の 選 好 構 造(例 え ば,温 室 も の と直 もの の問 で)は ど うで あ るか 等 々 も,経 済 政 策 の立 案 の 重 要 な 資 料 に な るは ず で あ る。 この よ う.
に,経 済 政 策 の 基 礎 に あ る マ イ ク ロ経 済 学 を 根底 か ら洗 い直 す 必 要 が あ る。
次 に 生 産 の経 済 学 は,・ 一般 均 衡 理 論 の基 盤 を形 成 渉 る と同 時 に,い わ ゆ る生 産 の 合 理 化 を 追 求 す る生 産 計 画 や 経 営 計 画 と結 び つ い た の で,線 形 計 画 法 や 活 動 分 析 を 駆 使 す る 計 画 理 論 ヘ ス トレ ー トに 進 ん で い っ た 。 そ の 実 績 や 効 果 が 何 で あ れ,数 理 計 画 法 の発 展 は 大 き な もの が あ っ た 。 理 論 面 では 凸 解 析(双 対 理 論), 線 形 相 補 計 画,そ して 均 衡 計 算 の不 動 点 算 法 が 特 筆 に 値 し,計 算 面 で も各 種 め 新 算 法 が 考 案 さ れ た(最 近 の もの に は カチ ア ソの線 形 計 画 の 多項 式 時 間 算 法 が あ る)。 数 理 計 画論 と生 産 理 論 の関 係 は,一 見 無 関係 に み え て も,「 効 率 性 」 を 軸 に 一 層 密 接 に な る可 能 性 が あ る。
生 産 の 経 済 学 は,実 証 に お い て検 証 され ね ば な ら な い ゆ え に,計 量 経 済 学
・数 量 経 済 学 と深 い 関 連 を もっ て きた 。 生 産 理 論 は コ ブ ・ダ グ ラス やACMS の 業 績 に み る よ うに,計 量 分 析 を 常 に や っ て きた し,逆 に.計量 経 済 学 も関 数 形 の 想 定 や 推 定,検 定 を 通 じて大 き な進 歩 を み て きた 。 計量 経 済 学 の方 法 に お け る珪 論 的,技 術 的 改 善 に は 計 算 機 の 高 速 処 理,大 容 量 の デ ー タ蓄 積,多 次 元 の利 用 技術 等 の 急 速 な 進 歩 が あ った こ とを 銘 記 しな け れ ば な らな い 。 また,統 計 資 料 の 整 備 や研 究 ・開発 要 因 の拡 大 も大 き な貢 献 で あ る 。 した が っ て,今 日 の生 産 理 論 は,マ イ ク ロ経 済 学,計 量経 済 学,数 理 計 画 の 合 流 点 に位 置 づ け る こ と
が で き る。 本稿 は,こ の 合 流点 に立 っ て,生 産 の 双 対 理 論,生 産 関 数 の新 しい
定 式 化 に つ い て 展 望 を 与 え よ う。
302 商 学 討 究 第31巻 第3・4号
2.双 対 理 論
2.1双 対 性 の 数 学
数 学 に お け る 双 対 性 は,解 析 学,有 限 群 論,射 影 幾 何 学 そ の 他 で 登 場 し,本 質 的 に は 同 一 の 対 象 を 表 裏 一 体 と し て と ら え る 場 合 に 使 っ て い る が,こ こ で は 現 在 の と こ ろ,経 済 理 論 に 適 用 さ れ る 唯 一 の,凸 集 合 論 に お け る 双 対 性 の 数 学 を 論 じ る 。 す な わ ち,R"の 全 ゆ る 閉 凸 集 合 は そ の 支 持 半 空 間 の 共 通 部 分 に よ っ て 特 徴 づ け ら れ る 定 理 に 関 連 し て い る 。 そ の 現 代 的 表 現 法 に は,共 役 双 対 に よ る も の,ゲ ー ジ 関 数,距 離 関 数 あ る い は 凸 集 合 の 極 錐 ゐ 間 の 対 称 双 対 性 に よ る も の,そ し て 集 合 とそ の 支 持 関 数 の 間 の 双 対 性 に 注 目す る も の の3種 類 が あ る 。 これ ら の うち で は 第 一 の 方 法 が 直 観 的 で お か り や す い の で,以 下,概 念 と
(2) 応 用 例 を 簡 単 に 紹 介 し よ う。
0⊂1〜"で 定 義 さ れ た 関 数 ノ:0→ π に 対 し て,
の 汀={(κ,μ)1μ ≧ ノω,μ ∈1〜,κ ∈c}
を ノ の エ ピ グ ラ フ(epigraph)と い う。 ノ:.酬 →[一 。。,o。]は,6ρ ゴ〆 が R"+1の 凸 集 合 で あ る と き,拡 張 凸 関 数 とい う 。 拡 張 凸 関 数 〆 は そ の エ ピ グ ラ フ が 閉 凸 集 合 で あ る と き,閉 凸 関 数 で あ る とい う 。 ∫ が 本 質 的 で あ る と は,あ る κ に 対 し て 有 限 値 を と り,ど こ で も 一 ・。を と らな い こ と で あ る 。
任 意 の 本 質 的 閉 凸 閥 数 ∫(κ)に 対 し て F(ρ)…5砂{餌 一〆(κ)}
κ∈X
を 定 義 す れ ば,F(ρ)は ノ(κ)の 共 役 関 数 と い わ れ,や は り,本 質 的,閉 凸 関 数 で あ る 。 そ れ ゆ え,・F(ρ)は!(の に 対 し 共 役 双 対(conjugatedua1)で
あ る と い わ れ る 。
(2)生 産 双 対 性 を め ぐる数学 的 準 備 は,FussandMcFadden〔10〕1の 補 論 が優 れ
て い る。 また,Blackorby〔4〕 も参 照 の こ と。
生産 双対 性 と フ レキ シ ブル 関 数 形 につ い て 303
さ ら に,双 対 の 双 対 と し て F*α)≡ ε妙{ゆrF(ρ)}
ρ
が 定 義 さ れ る が,こ れ は も と の 〆(κ)に 等 し い,す な わ ち, F*(κ)=!(κ)
で あ る 。 し た が っ て,ブ(幻 とF(ρ)の 間 に は,1対1対 応 が あ る 。 経 済 学 的 な 意 味 づ け を 与 え れ ば,生 産 関 数 と 正 規 利 潤 関 数(費 用 関 数)の 問 に は,正 則 条 件(本 質 的,閉,凸)の も と で1対1の 対 応 が つ く と い う こ と で あ る 。
一 般 に
,す べ て の 関 数 ∫(κ)と そ の 共 役 変 換F(ρ)に は,不 等 式 〆(κ)+F(カ)≧ ゆ
が 成 立 す る 。 こ の 共 役 不 等 式 が 等 号 で 成 立 す る 必 要 十 分 条 件 は ρ∈ ∂!(κ)で (3)
あ
り,∫ が 本 質,閉,凸 な ら,κ ∈ ∂F(ρ)で あ る 。
共 役 関 数 の 具 体 例 を 与 え よ う 。c>0に 対 し て,ノ(κ)=%oκ2と す る と, F(ρ)=ρ2/2cが 得 ら れ る 。そ し て,共 役 線C={(κ,ヵ)iρ=cκ}が 存 在 す る(図1)。
PA
C
‑
F(P)
/@)
Q
.コσ
図1.共 役 関 数
③ 共 役 変 換 の 幾 何的 直 観 は 「亜勾 配 」 集 合 を 考 え るこ とに よ り得 られ る。∫の κ に に お け る亜 勾配 集 合 とは,
∂ ア(κ)≡{ρ げ(κ)十 ♪(κ'一 κ)≦∫(κ'),forκ'∈X}
と定 義 され る。 通 常 の 勾配 が 関数 の グ ラ フに 対す る 「接 超 平面 」で あ るの に対 し,
亜 勾 配 は そ れ に対 す る 「支持 超平 面 」 で あ る。
304 商 学 討 究'第31巻 第3・4号
共 役 双 対 の 企 業 理 論 へ の 応 用 を 与 え よ う 。 技 術 が 生 産 関 数y=∫(κ1,κ2)に よ り与 え ら れ 瓶 競 争 的 な 市 場 価 格 と し て,産 出 物 価 格 あ 投 入 物 価 格 ω 、z〃2 が 成 立 し て い る と す る 。 企 業 が 利 潤 最 大 化 を 目 的 とす る と,利 潤 は ρy一 ω 、 κ1
‑"2κ2=一 ρ[@エ/ヵ)κ 1十@2/ρ)κ2‑〆(κ1,∬2)]で 与 え られ る か ら, F⑫ 、,"、)霜初 〆[彷 κ1+θ2κ、一∫(κ、,κ2)]
と お け る 。 こ れ は 共 役 生 産 関 数 す な わ ち 利 潤 関 数 を 軸 に 企 業 分 析 が 可 能 な こ と を 意 味 す る 。 ま た,!に は,微 分 可 能 性 の よ うな 強 い 仮 定 は 必 要 な く任 意 の 凹 生 産 関 数(し た が っ て,任 意 の 凸 な 利 潤 関 数)だ け を 仮 定 す れ ば よ い 。
2.2'生 産 双 対 性(そ の1学 説 史 的 展 望)
生 産 関 数 に 双 対 な 関 数 は 何 が あ るか 。 学 説 史 的 に は,費 用 関 数 よ りも利 潤 関 数 で あ っ た 。H。 ホ テ リソ グは,[14]に お い て,生 産 関 数(彼 の 利 潤 関 数)
と正 規 化 利 潤 関 数(彼 の 価 格 ポ テ ソ シ ャル 関 数)の 双 対 性 を 明 白に 示 して い る。
彼 は,限 界 生 産 力 関 数(需 要 関 数)を 生 産 関 数 の勾 配 と して,ま た 供 給 関 数 を
!
.正 規 化 利 潤 関 数 の 勾 配 と同 一 視 した 。そ して,こ れ らの 関 数 の 問 で の双 対 性 を 指 摘 し,各 々を 他 の もの で特 徴 づ け た の で あ る 。
R・ ロ ワは1942年 の 小 冊 子 と1946年 の 学 会 誌[17]上 で 病 テ リソ グの考 えを 一 層 押 し進 め ,.ロ ワの 恒 等 式 と呼 ば れ る命 題(「 各 財 の 需 要 量 は,各 財 の価 格 9と予 算 の 限 界(間 接)効 用 の 比 に 等 しい 」)即 ち
,記 号 的 に は,
・・(P,M)一 一1識 一 一1・z・ ・ …
を 導 い た 。 こ こで,"は 間 接 効 用 関 数,Mは 予 算 で あ る。
P,サ ミュ エ ル ソ ソ[18]は,1次 同次 の 生 産 関 数 と対 応 す る要 素 価 格 フ μ ソ テ ィア の 閥 の 双 対 性 を 展 開 し 国際 貿 易 に 適 用 した 。 要 素 価 格 フ ロ ソテ ィアは そ の有 効 な定 義 域 の い た る所 で0に 等 しい 正 規 化 利 潤 関 数 の 特 別 な 場 合 で あ
るo
生 産 関 数 と正規 化 利 潤 関 数 の 間 の 双 対 性 を 微 分 可 能 な 場 合 に 関 し厳 密 に解 析
生 産 双対 性 とフ レキ シ ブル 関 数 形 につ いて 305
し た%ま ・ ジ ョル ゲ ン ソ・ソ ・ ラ オ 汐 ク フ ア か で あ る ・ 彼 ら は,ル ジ ャ ソ ド ル 変 換 や 共 役 変 換 を 自 由に 駆 使 して い る 。
生 産 関 数 と費 用 関 数 の間 の双 対 性 を 厳 密 に研 究 した の が,R.シ ェ パ ー ド [20ゴ で あ る 。 シ ェパ ー ドは1953年 凸集 合 論 に 現 れ る 距離 関数 に 基 づ き双 対 性 を 展 開 し1970年,よ り詳 細 に 公 刊 した が,経 済 的 解 釈 は 僅 少 で あ る。 宇 沢[23]
は シ ェ パ ー ドの理 論 を 微 分 可 能 性 を 仮 定 せ ず,エ レガ ソ トに 証 明 を 与 えた 。 な お,シ ェパ ー ドの補 題 と して 名 高 い も のは,「 企 業 の 第6要 素 の 最 適 な 需 要 量 は,第 ゴ要 素 の増 加 が 費用 関 数 を どれ だ け 変 化 さ せ る・ か だ け で 決 まる 」,即ち
κゴ(w,ッ)=∂c(w,y)/∂ 勧,ゼ=1,…,π' とい う もの で あ る。'、
費 用 関 数 を一 般 化 した 制 限 利 潤 関 数 の概 念 をW.ゴ ーマ ソ[11]や マ ク フ ァ デ ソ[10]は 追 求 して い る。 ゴ ーマ ソは 極 錐 間 の 双対 性,マ ッ ク フ ァデ ソは
ゲ ー ジ 関 数 を 数 学 的 用 具 と して い る。 これ は い ず れ も,単 純 な生 産 関数 を 与 え れ ぽ,極 値 条 件 に よ って 得 られ るが,生 産 関 数 が 少 しで も複 雑 に な る と双対 関 係 が 陽 的(expliqit)な 関 係 式 と表 わ され な い こ とか らきて い る 。
双 対 性 の 発 見 の 意 義 は 何 よ りも生 産 理 論 の 出 発 点 を 任 意 に とる こ とが で き る こ とで あ る。 即 ち,双 対 理 論 に よれ ば,あ る 正則 な 条 件 を お け ば,費 用 構 造 の す べ て の型 の 想 定(spec且cation)は 生 産 構 造 の あ る想 定 に 対 応 す る 。 した が っ て 技 術 の構 造 を 表 わ す た め に どち らか の関 数(生 産 関数 か 費 用 関 数 か 利 潤 関 数)を 想 定 す る こ とが で き る。 費 用 関数 を 使 う こ とに よ り,技 術 の構 造 につ い て政 策 的 に 重 要 で,検 証 可 能 な 仮 説 を 想 定 す る こ とが よ り簡 単 に で き る。 ま た 計 量 経 済 学的 に は,生 産 構 造 の想 定 は,独 立 変 数 か らの撹 乱 項 の独 立 性 の 仮 定 を 棄 却 しが ち で あ るた め に,一 般 に は 費 用 関 数 を 推 定 した り費 用 関 数 に 結 び つ い た 利 潤 関数 や 要 素 需 要 関 数 を 推 定 す る方 が よ り賢 明で あ る。
しか し,伝 統 的 な 費 用 関 数 の 推 定 に は 次 の 点 で 困難 に さ らさ れ て い る。 第 一 に,産 出 物 の 同 質 性 を 仮 定 して い るた め に 産 出 量 と費 用 の 真 の関 係 が と らえ ら
(4)〃 ジャン ドル(Legendre)変 換は,共 役変換の特 殊な場 合で,最 大変換 ともい う。・
、
306 商 学 討 究 第31巻 第3・4号
れ て い な い こ と,第 二 に.,技 術 を 単 な る相 似 拡大 な 生 産 関 数 に 反 映 され る と し て 費 用 関 数 を 導 出 し よ う とす る とか な り偏 りを も った 推 定 値 に な る可 能 性 が あ る こ とに よ るo
2.3生 産 双 対 性(そ の2:シ ェ パ ー ド ・マ ク フ ァ デ ン 命 題) 本 節 は 生 産 双 対 性 の 命 題 を や や 数 学 的 に 説 明 す る 。
x=(κ 、,κ2,∵・ κ。)は 財 貨 か の 数 量 で あ る 。 ゼ=1,2,…,%。 ツ・は 産 出 量, W=(砺,ω2,…,ω の は 財 貨 ∫に 対 応 す る価 格(投 入 物 価 格)と し,ッ とWは 正 値 を 仮 定 す る 。 そ の と き,費 用 関 数 を 次 で 定 義 す る 。
C(W∫ ツ)=ル 勧W・ κS%∂ ブ6C"oF(X)≧y
そ の と き,費 用 関 数 の い くつ か の 性 質 は 次 の 諸 命 題 に 要 約 さ れ る 。 (5)
命 題1.生 産 関 数 ・Fが 連 続,厳 密 に 準 凹,局 所 的 に 有 限 で あ れ ば,費 用 関 数oは,(1)'w>0に 関 し1次 同 次,凹,連 続 微 分 可 能 で あ る,(2)夕 に 関 し厳 密 に 増 加,(3)wは ッ の 両 方 に 連 続 で あ る 。
さ ら に,cの 吻 に 関 す る 偏 微 分 は 第 づ 財 の 補 償 要 素 需 要 関 数 に 等 し い 。
奴 嚇)「 鉱(シ ・パ ー ・の補 題)
命 題 γ.生 産 関 数Fが1次 同 次 な ら 0(W,夕)=W・X=え(W,ツ)y.
し た が っ て,
σ(w,ッ)/ッ ニ ∂c(w,y)/∂ ッ[平 均 費 用=限 界 費 用]
∂λ(w,y)/∂y=0
よ っ て,o(w,y)=λ(w)夕.[分 離 可 能 性]
命 題1の シ ェ パ ー ドの 補 題 は 次 の2つ の 計 量 経 済 学 的 推 定 法 を 示 唆 し て い (5)関 数F(κ)が 厳 密 に準 凹 で あ る とは,そ の定 義域 か ら任 意 の2点 κエ,炉 を選 ん
だ と きにF(κ1)<F(κ2)な らば,0<λ<1な る λに 対 してF(κ1)<F((1一 λ)が
+λκ2)が 成 立 つ こ とで あ る。F(κ)が 厳 密に 準 凹 で あ るこ と は,無 差 別 曲線 が原 点
に 厳 密 に 凸,即 ち限 界 代 替 率 の厳 密 な逓減 が あ る こ と と同値 で あ る。
生産双対性 とフレキシ ブル関数形につ いて 『307
る。 第 一 の方 法 は,生 産 関 数Fの 関 数 形 を 想 定 してそ れ か ら ラ グ ラ ソ ジ ュ形 式 か 計 画 法 を 使 っ て派 生 需 要 関 数 κぎ(w∫ッ)を 得 る こ とで あ る。 第 二 の 方法 は 費 用 関 数oの 関 数 形 を 想 定 して派 生 需 要 関数 を 単 に 費 用 関 数cを 勧 で 偏 微 分 す る こ とで 得 る も の で あ る。 一 旦,派 生 需要 方 程 式 系 の関 数 形 を得 た ら,計 量 経 済 学 の技 法 を 用 い て,未 知 パ ラ メ ー タの 推 定 値 を 得 る こ とが で き るσ 第 二 の方 法 が よ り好 ま しい 。具 体 的 な 関 数 形 につ い て は 後 節 で 詳 論 す る。
命 題2.も し関 数cが 上 の(1)ん(3)を み た す な らば,連 続,厳 密 に 準 凹,有 限 な 関 数Fが あ っ て,CはFか ら導 か れ た 費 用 関 数 に 等 しい 。 また,生 産 関 数Fは
F(x)=M砿{ツic(w'∫ ツ)≦w'x∫07w'>OJ で あ る(シ ェ パ ー ド ・宇 沢 の双 対 定 理)。
上 の命 題 は,(1)〜(3)を み た す 任 意 の 関 数cが あ る生 産 関数Fか ら必 ず,導 か れ ね ば な らな い こと を 意 味 す る。 した が っ て,実 証研 究 者 は 基 本 とす る生 産 関 数 の型 を 明 白 に想 定 しな く と も,こ の 「費 用 」 関数 で 作 業 を 進 め る こ
とが で き る こ とを 意 味す る。
命 題3.も しFが 連 続,厳 密 に 準 凹,か つ 有 限 で あ れ ば,cの ヘ ッセ 行 列
[∂20∂zσ ♂ ∂ωノ]・・存 在 し 証 の 価 格 べ … レに 対 し 対 称 で 負 半 定 形 で あ ・ ・ さ ら に も し」F力 蓮 続 微 分 可 能 な らば,6は2〃,に 関 し厳 密 に 準 凹 で あ る。 さ らに,Fが
二回連続微分可能で正則な縁つき一・セ行列[、β、 嘉 甥 翻 を もてぽ
oは 二 回 連 続 微 分 可 能 で,cの ヘ ッ セ 行 列 は,す べ て の 勧 に 関 し%‑1の 階 数 (ラ ソ ク)を もつ 。
費 用 関 数E=6(w,y)は,あ る ッ=F(x)を 与 え る と,逆 変 換 で き て,間 接 生 産 関 数
ツ=〇‑1(W,E)=ぬ(W/E)
.≡1/〃2ακ{F(x):(w/E)x≦1,x≧0}
,
308 商 学 討 究 第31巻 第3・4号
を 定 義 す る こ と が で き る 。 こ れ か ら 恒 等 式E…C(W,雇W/E))と 費 用 関 数 の 微 係 数 の 性 質 を 用 い て,市 場 の 要 素 需 要 関 数 を 間 接 生 産 関 数 の 偏 微 分 比 で 表 わ
さ れ る と い う,い わ ゆ る ロ ワ の 恒 等 式 を 導 く こ とが で き る 。 す な わ ち, 物(w,E)=《 ∂〃 ∂吻)/(∂ 海/∂E)
で あ る 。 奴w/E)を 用 い,ロ ワ の 恒 等 式 を 適 用 す れ ば,双 対 な 投 入 物 費 用 分 け 前 方 程 式 を 双 対 関 係 と し て 導 く こ と が で き る 。 こ こ で,投 入 物 費 用 分 け 前 方 程 式 と は,第 づ投 入 物 の 費 用 分 け 前 で あ り 、s弄 吻 物/Σ}ω ゼ 拘 で 与 え られ る 。
した が っ て
s歪=κ ゴ(∂F/∂ 陶)/Σ κ茗(∂F/∂κゴ)客==1,2,…,%
し
で あ る 。 こ れ は 双 対 的 に .
sづ=物 ὼ/E≡"酋=η ゴ ∂ぬ(v)/∂"ゴ侶 ηピ ∂〃 ∂吻 に 等 しい 。 経 済 学 的 に は,要 素 の 分 配 面 を 規 定 し て い る 。
次 の 節 で は,コ ブ ダ グ ラ ス,CES,レ オ ン チ ェ フ 関 数 を 特 殊 な 場 合 と して 含 む 点 で 一 般 的 な2つ の 新 し い 関 数,す な わ ち,CRESH'関 数 と トラ ン ス ロ グ 関 数 を 検 討 し よ う 。
3.2つ の 新 し い生 産 関 数
3.1CRESH生 産 関 数
CRESH生 産 関 数 は,1971年,G.ハ ノ チ(Hanoch)[13]に よ り提 案 さ れ た 新 しい 生 産 関 数 で あ る δ そ れ は,ConstantRatiosofElasticityofSub・
stitution,homothet童c6rhomogeneousの 略 で,文 字 通 り,代 替 め 弾 力 性 に 関 し て 拡 張 した 関 数 で あ る が,双 対 性 の 観 点 か ら 開 発 さ れ た 興 味 あ る 関 数 で あ る 。
代 替 の 弾 力 性 が 一 定 の 生 産 関 数 は,ACMS以 来,各 種 の 拡 張 が な さ れ て き
た が,宇 沢[22]に よ り,%生 産 要 素 に 一 般 化 され,こ れ 以 上,ア レ ン ・宇
沢 の 代 替 弾 力 性 を 一 定 に す る よ う一 般 化 で き な い と い う悲 観 的 な 見 解 が 示 さ れ
生産 双対 性 と フ レキ シ ブル 関 数形 につ い て 309
た(た だ し,佐 藤[19]の 二 段 階 のCES生 産 関 数 は,財 貨 間 の グル ー プ化 に よ っ て や や 一 般 化 し て い る)。 ム カ ー ジ[15]は 可 変 の 代 替 弾 力 性 を もつ が, 代 替 弾 力 憐 の 比 率 は 一 定 に な るCRES(ConstantRatiosofElasticityof
Substitution)関 数 又 は,ム カ ー9ジ関 数, 夕=[Σ1)殉 の]1'4
を 提 案 した が,一 般 に 同 次 で も な け れ ば 相 似 拡 大 で も な か っ た 。 ハ ノ チ は,陰
ゴ
関 数 形 式 で は あ るが,同 次,相 似 拡 大 のCRES関 数,す なわ ち,CRESH関 数 を 提 案 し,そ の一 般 性 を 示 した(明 らか にCES関 数 を 含 む)。
CRESH生 産 関 数 は,生 産 関 数y=ア(x)が 陰 関 数 式 一 F(y,x)=Σ1)ゴ 瞬/ぬ(の]曜 一1≡O
z
に よ っ て イ ン プ リ シ ッ トに 定 義 さ れ る 。 こ こ で,x=(κ 三,κ2,層 ・ ●,κf)>0,ッ ≧0, 奴 ッ)は 雇0)=0,連 続 微 分 可 能 で,〃(ッ)>0で あ る 。 戻 ッ)が 同 次,し た が っ て 相 似 拡 大 で あ れ ぽ,ッ=メ(x)も 同 次,相 似 拡 大 に な る 。
奴 ッ)=y11μ とお け ば,ッ=!(X)は μ 次 同 次 で あ る 。 な ぜ な ら,(λ 拘/(λ μッ) 互'μ)砺=(κ
̀/ッ1'μ)砺 で あ る か ら 。 した が っ て,
〃(ッ)=yと お け ぽ,ッ=グ(x)は1次 同 次 で あ る 。 デ ィ ク ソ ン ら[9]は,1 次 同 次 のCRESH生 産 関 数 と し て,
Σ(筆燈)一 ・ ㌦'
(6)
を 与 え,y=∫(x)の 諸 性 質 を 問 答 形 式 で 詳 細 に 展 開 し て い る(κ ニ1,亀/の.
=Dξ と し て も何 ら 一 般 性 を 失 わ な い)。
奴 ッ)=1な ら ば,上 記 の ム カ ー ジ 関 数 に 対 応 す る が,0次 同 次 を 意 味 し な い こ と は 明 らか で あ る 。
CRESH関 数 が 相 似 拡 大 で あ る こ と か ら,そ の 費 用 関 数 は, c(w,ツ)=9(x)1(ツ)
(6)1次 同 次,限 界 生 産物 は 正,限 界代 替 率 は 塀 陶 の増 加 と と もに減 少,一 意 の
正 のyの 値 の 存 在,必=4の と きCES形,ア レ ン ・宇 沢 の 代替 弾 力性 計 算 な ど。
[
3ヱ0'商 学 討 究 第31巻 第3・4号,
の よ うに 分 離 形 に な る 。 こ こで,9(W)は 単 位 費 用 関 数 と解 釈 で き,wの0次 同 次 で あ る 。1(y)は,wか ら 独 立 で κ の1次 同 次 で あ る08(w)は ッ に CRESH関 数 を 与 え る と,具 体 的 な 関 数 形,CRESH費 用 関 数,を 導 出 す る
こ とが で き,
・(w)一 Σ酬 讃
に よって定 まる・た だ ・,・ は測 羨)αト・一 ・轍 さな脳 煽 な
いo
以 上,CRESHの 生 産 関 数 と費 用 関 数 を 概 観 した が,こ れ ら の 誕 生 の 背 後 に は 生 産 の 双 対 理 論 が あ るo
生 産 関 係 が,準 凹 な 生 産 関 数y=ノ(x)又 は そ の 費 用 関 数c(y,w)に よ っ て 与 え られ る な ら 「極 変 換(polartransformation)」 の 概 念 を 用 い て,新 し い 極 関 係 が 得 ら れ る 。 す な わ ち,陰 関 数 の 生 産 関 数 と,陰 関 数 の 費 用 関 数 〆 は,そ れ ぞ れ,
c(1/y,x)=1 1/ツ=!(w/cり
に よ っ て 定 義 さ れ る σ こ こ か らCRESH生 産 関 数 が 生 ま れ,費 用 関 数 が 生 ま れ た の で あ る 。
最 後 に,CRESH関 数 の 計 量 経 済 学 的 推 定 と検 定 法 に つ い て 触 れ よ う。
要 素 市 場 が 競 争 的 で あ り,費 用 最 小 化 目 標 の も と で 運 行 し て い る とす れ ば, CRESH関 数 は,次 の 対 数 線 形 式 系 を もた ら す 。
109拘=う ゴ、109κ1+妬109乃 ω+ゐ ゼ109@づ/"、)+ゐ ゴ。
又 は,
1・9豊 一 。ぜ1・9」竺+α ・一 砺1・9塑+α ゴ。.
Z"ゴ σ1 κ1
κ1
戻 ッ)に 適 当 な 仮 定 を お い て2段 階 最 小 二 乗 法 や 最 尤 法 に よ って 推 定 し,仮
説 の 統 計 的 検 定 を 行 な うこ とが で き る。
生産 双対 性 と フ レキ シ ブル 関 数 形に つ い て 311
3.2ト ラ ン ス ロ グ(超 越 対 数)生 産 関 数
ト ラ ン ス ロ グ 関 数 は,transcendentallogarithmicfunctionを 短 くい っ た 呼 び 方 で あ り,邦 語 で は 超 越 対 数 関 数 の 意 味 で あ る 。 超 越 関 数 は,ラ イ プ ニ ッ ツ 以 来,代 数 関 数 で な い 関 数,例 え ぽ,指 数 関 数 や 対 数 関 数 や 三 角 関 数 を 指 す の で,超 越 対 数 関 数 は 文 字 通 りに 解 釈 す る と,奇 妙 な 命 名 法 で あ る。
学 説 史 的 に は,1957年 に 農 業 経 済 学 の 雑 誌(∫0%7%〃10/Fσ 筋E60%0〃2ゴOS) に,A.N,ホ ル タ ー,H.0.カ ー タ ー お よ び 」.G.ホ ッキ ン グ が
γ=γ θα1κ+露2L盈一うLδ(α 、,α2>0)
な る 生 産 関 数 を 論 文 の 標 題 に も っ て 発 表 した こ とに 始 ま る。1964年 に は 、Y.
マ ン ド ラ ッ ク[16]が 多 数 生 産 物 の 超 越 生 産 関 数 と し て,
F(瓦 の 一X1α1為 α26β1×1+β2×2一α。7・αΨ 、 α48 .β3V3+β4V4=0(7) を 考 察 し,1968年 に は ド ー ベ ル が バ ー ・ミー ドの 学 部 学 生 の 考 案 レ た 超 越 コ ブ ダ
グ ラ ス 関 数,
、y一 孟KαLρ ・xp9(K/L)・
を 紹 介 して い る 頃 か ら,超 越 型 と い う称 呼 の 生 産 関 数 が 定 着 し て き た と い え る 。 ト ラ ン ス ロ グ 関 数 又 はCJL関 数 は,1973年C,す な わ ち ク リス テ ン セ ン, J,す な わ ち,ジ ョル ゲ ン ソ ン,Lす な わ ち,ラ オ の 共 同 論 文[7]セ 発 表 さ
(8) れ た 。
トラ ン ス ロ グ関 数 は,任 意 の 関 数 形 に 対 し て2次 近 似 形 と な っ て い て,CES や コ ブ ダ グ ラ ス 関 数 を 特 殊 形 と し て 含 む 。 した が っ て,先 験 的 に 特 殊 な 関 数 形 に つ い て 正 し い 情 報 を もた な い と き 使 え る 。 実 際,生 産 関 数 の 計 測 は,未 知 の 真 の 関 数 を 特 定 の 近 似 式 で あ て は め よ う と す る 試 み で あ る か ら,で き る だ け 仮 定 さ れ る 制 約 が 少 な い 形 の 関 数 形 が 望 ま し い 。 対 数 変 数 の 生 産 関 数 を
(7)R漉6ωoアEco初 物03碗4S≠ α'6s'̀631968年2月 号 のCES生 産 関 数 特 集 号 (p.443)を 参 照 の こ と。
(8)「 トラ ンス ロ グ」 関 数 は,1970年9月 の第2回 世 界 計量 経 済 学 会 議(英 国 ケ ン ブ リ ッジ)で 報 告 され,1971年7月 号 のÈoπo〃36'ノ吻 に ア ブス トラ ク トの 形 で 掲 載 され た 。 また,グ リ リカス らの著 書(1971〔12〕)で も一 早 く紹介 され た 。 わ が
国で の 計 量 分 析は い くつ か あ るが,阿 部 〔26〕,太 田 〔27〕を挙 げ て お く。
312 商'学 討 究 第31巻 第3・4号
勿=ノ(z%κ 、,z鱗2,̲,1鱗 π)
とす れ ば,真 の 関 数 の テ ー ラr展 開 に よ る'近似 は, 切 空/(幅 ・・ ・ … 脇)1
。糞番 ・謝 縣 一1・1) '
・%習 ・伽 鎌1瑚)19野 ・‑1・・)(1燭 一1・1)
=α 。+Σ α〆魑+%Σ Σ う4ゴ1%κ μ 闘
とな り,π 個 の 投 入 要 素 に 対 す る ト ラ ン ス ロ グ生 産 関 数 は, 1"夕=α ・+Σ α抑 物+%Σ Σ 勿1鱗 ど1鱗 ノ と与 え ら れ る 。 こ こ で,
δ疹 ブ=6ガ が 成 立 して い る とす る 。
、
(1) 2次 導 関 数 の 連 続 性 に 関す る ヤ ン グの 定 理 力・ら,
トラ ン ス ロ グ 関 数(1)が1次 同 次 で あ る た あ に は,Σ 殉=1,Σ1∂ 万=0と な る
・ . .δ
こ とが 必 要 か つ 十 分 で あ る
。
ト ラ ン ス ロ グ 関 数 は,・1生 産 物 の い わ ゆ る 生 産 関 数 よ り も,結 合 生 産 物 を 含 む 多 数 生 産 物 を 扱 う トラ ン ス ロ グ変 換 関 数 と し て 提 示 さ れ た 。 例 え ば,∫=投 資 量,C=消 費 量,κ 一 資 本 量,五=労 働 量,!1一 生 産 性 指 数 とす れ ば,ト ラ
ン ス ロ グ 変 換 関 数 は,次 に よ っ て 与 え ら れ る0
1%F=鐸 ・+α ・ 齪+・ 抑c+βK1曜+β ・1舵+α ・1耐 +〉 ≦Σ Σ δ歪 〆%伽 ゴ=0
こ こ で,プ,ゴ=ろC,瓦 ゐ,24で あ るo
トラ ン ス ロ グ費 用 関 数 は,ト ラ ン ス ロ グ 生 産 関 数 の 類 推 か ら, 1ηc(w,y)一 α。+Σ α〆%@づ/ツ)+Σ6ゴ ゴ」 ゆ づ/ツ)1卿 ブ/y) と 書 け る が,生 産 関 数 の 同 次 性 を お け ば,双 対 理 論(補 題1ノ)に ょ う,
」ηc(w,ッ)=[α 。+Σ αゴ 伽 ゴ+Σ66∫ 伽 ゴ伽 ゴ]ツ と な る 。 こ の'と き,要 素 費 用 の 相 対 分 け 前 は,
・ ・(w,y)一 讐 鵠 ヂ)一 ・・+Σ ・・ ゴ伽 ブ
に よ っ て 与 え ら れ るo
f
生産双対性 とフレキシブル関数形にっいて313
トラ ン ス ロ グ関 数 の 計 量 経 済 分 析 は 試 論 的 な もの か ら脱 皮 しつ つ あ る 。 最 大 の 困難 は,確 率 的 撹 乱 項ùに 正 規 性 を 仮 定 で き るか に あ る。 この 正規 性 に 対 す る近 似 は,従 属 変 数 の値 が 排 除 さ れ た領 域 に お ち る確 率 が 極 め て 小 さい とき
妥 当す る もの と され る。 、
トラ ン ス ロ グ関 数 を さ らに 一 般 化 した,い わ ゆ る トラ ン ス ロ グ的 フ レキ シ ブ ・ ル 関 数 が あ る。 第4節 は,ボ ッ クス変 換を 用 い た よ りフ レキ ブ ル な 関数,す な わ ち ・ トラン ス ロ グ的 フ レキ シ ブル 関 数 やGBC関 数 につ い て 検 討 し よ%
4.フ レ キ シ ブ ル 関 数
4.1フ レ キ シ ブ ル 関 数 の 背 景
生 産 理 論 の 実 証研 究 のた め に,各 種 の 新 しい 関数 形 が 導 入 され て き た 。 一 方 に,関 数 跨 ノ(κ1,κ2,…,κπ)か 吻 一∫(雁 ・,伽 ・,…,」晦)の 基 準 点 の近 傍 で の2次 近 似 を 利 用 した 関 数 が あ る。 前 節 の トラ ン ス ロ グ関数,一 般 化 され た レオ ンチ ェ フ関 数,2次 関 数 は そ の 例 で あ る。 他 方 に,必 ず し も2次 近 似 で は な く,先 験 的 な 制約(例 え ば,代 替 の弾 力 性 や 限 界 代 替 率)を 取 除 く形 で 作 られ た もの が あ る。CRESH関 数 や 一 般 化 コ ブ ダ グ ラス 関数 は そ の顕 著 な 例 で あ る。
実 証研 究 は 理 論 的 整 合 性 を もつ こ とが不 可 欠 で あ るの で,当 初 か ら,関 数 形 を 先 験 的 に 固 定 して 想 定 して し ま う と,パ ラ メ ー タの 推 定 や 検 定 しか 可 能 で な く 構 造 を 把 握 す る こ とが 困難 で あ る。 そ こで,で き るだ け,一 般 化 し した 関 数 形 を 想 定 して,ど れ か の特 殊 形 に 帰 着 で き る こ とが 示 さ れ る とよ い。 この よ うに 先 験 的 に モ デ ル を 固 定 せ ず に,い ろ い ろ な パ ター ンを特 殊 形 と して もつ よ うな で き る だ け取 扱 い や す い 形 を 見 出す 試 み が,最 近 の,フ レキ 叱 ブル 関 数 形 の研 究 で あ る。
本 節 で は,最 初,定 式化 に お け る線 形 と対 数 形 の 問 題 を 述 べ,次 に,フ レキ シ ブ ル関 数 と一 般 化 され た ボ ック ス コ ッ ク ス(GBC)形 に つ い て 考 察 し よ う。
、
314・ 商 学 討 究 第31巻 第3・4号
4.2'線 形 と 対 数 形 の 定 式 化
大 抵 の計 量 経 済 モ デ ル は,従 属 変 数 で あ れ,独 立 変 数 で あれ,変 数 のす べ て に 関 し,線 形 式 か 対 数 線 形 式 で あ る。 対 数 変 換 が で き るた め に は,測 定 され る変 量 が 正 値 で な け れ ば な らな い が,経 済 モ デ ル で は,ま ず 問 題 が な い 。 対 数 線 形 の場 合,∂1π ッ/∂ 伽 κ=(∂ ッ/∂ κ)/◎/κ)よ り弾 力 性 一 定 を もた らす が 線 形 式 の 場 合,弾 力 性 は 可 変 で あ る。 どち らの 形 を 選 択 す るか は 経 済 理 論 に 照 して答 え られ ね ば な らな い が,経 済 の関 係 式 は,最 適 化 過 程 の 一 次 近 似 とみ な せ るか ら 何 を 目的 とす るか とい った 便 宜 上 か ら選 ぼ れ る こ とが 多 い 。 しか し,ボ ッ クス と コ ッ ク ス[5]の 方 法 は,パ ラ メ トリ ックな 一 般 化 され た 関 数 形 の存 在 を 仮 定 して,線 形 お よび 対 数 線 形 が特 別 な 場 合 とな る こ とを 示 す こ とが で き る ので
よ り一 般 性 が あ る。 、
ボ ッ クス と コ ッ クス の 前 に は,従 属 変 数 施 のべ キ 変 換
ツ 歪 ω 一伽,1ぎ8
を 導 入 した も の が あ った が,周 知 の よ うに,α>0に 対 し て, αλ一11勿z =如 α(ロ ピ タ ル 法 則)
λ→oλ
で あ り,λ=0で は 不 連 続 に な る こ と か ら,彼 らは,
躍 一{捻1糊
の よ うな 連 続 的 な 変 換(い わ ゆ る,Box‑qox変 換)を 提 案 した 。
ザ レ ン ブ カ[25]は,計 量 モ デ ル に こ の ボ ッ ク ス コ ッ ク ス 変 換 を 用 い た 最 初 の 学 者 で あ ろ う。 これ は,次 第 に 需 要 分 析,流 動 性 ト ラ ッ プ 推 定,生 産 分 析 に 用 い られ る よ う に な っ た 。
ザ レ ン ブ カ は,
y,2=β 。+β1κ2、,+β 、κ2,,
と 定 式 化 した 。 λ→0の と き,両 辺 か ら1を 引 き,λ で 割 っ て 極 限 を と る と,
1勘=1%β 毛+β11%κ 、,+β21%κ,,
生 産 双対 性 と フ レキ シ ブル 関 数 形 に つ い て 315
が 導 か れ,'そ の フ レキ シ ビ リテ ィを み る こ と が で き る 。 な お,最 尤 推 定 法 に よ る 推 定,検 定 に は か な り の 注 意 が 払 わ れ る べ き こ とが 指 摘 さ れ て い る 。
さ ら に 一 般 的 な ボ ッ ク ス コ ッ ク ス(GBC)形 は,
y'λ デ1一 岬 μ ㌘1・ 磨 祭1
あ る い は,
ツ,え屠 β、+Σ βんκゐ轟 か2
で あ る 。 前 者 の 場 合,λ;μ=θ=1の と き,線 形,λ=μ=θ=0の と き 対 数 線 形 λ=1,μ=θ=0の と き は 半 対 数 形,λ=0,μ=1,θ=‑1の と き は,ラ ム ゼ ー 一 指 数 形 を 含 む,パ ラ メ ト リ ッ クな モ デ ル で あ る 。 同 一 の デ ー タ 値 を 用 い て,関 数 形 を 試 行 錯 誤 的 に 組 合 せ を 変 え て や る 手 間 を 省 く こ とが で き る の で,GBC 形 は 魅 力 カミあ る 。 しか し統 計 的 な 厳 密 な 議 論 もそ れ だ け 増 す 。
4.3ト ラ ン ス ロ グ 的 フ レ キ シ ブ ル 関 数 形
ボ ッ ク ス コ ッ ク ス 変 換 を 利 用 し,2次 関 数 形 の フ レ キ シ ブ ル 関 数 が 作 ら れ, (9)
トラ ン ス ロ グ 的 フ レ キ シ ブ ル 関 数 形 とい う。 そ れ は, ツ(δ)=Σ 咄(δ ・)+%努 ∂・ ノκ・(λ1)κ ブ(λ プ) 砺 ノ=∂方
κゴ(λ6)=(物 えゴー1)/λ ゴ ツ(δ)=(ツ2δ 一1)∠(2δ)
で あ る 。 ト ラ ン ス 官 グ 的 で あ る こ とは,ろ →0,δ →0と す れ ば わ か る 。 そ の 他,い くつ か の 関 数 形 を 含 ん で い るっ 以 下,々=λ ブ=δ ゴ=λ とす る 。 ッ がX に 関 し7次 同 次 で あ る 必 要 十 分 条 件 は,(i)2α ゴ=Σ 画 ノ(す べ て の ゴ に つ い て),(ii)Σ αFγ,(iii)γ=λ/δ(δ キo)又 は λ=o(δ=o)で あ る 。
す べ て の2,ブ に つ い て δづ ブ=0の と き,
(9)よ り詳 しい 分 析 は 〔21〕,〔1〕,〔2〕,〔6〕 を 参 照 の こ と。
316商 学 討 究 第31巻 第3・4号 エ
・一[Σ 響 ・酬q一 Σ 孕 ・・)]2δ
で あ る か ら,パ ラ メ ー タ の 選 択 に よ っ てCES生 産 関 数,コ ブ ダ グ ラ ス 関 数, レオ ン チ ェ フ 関 数 等 が 導 か れ るo
ブ と異 な る あ る ゴ に 対 し て δゴ ノキbと す る 。 λ=δ=0の と き,』 トラ ン ス ロ グ 関 数
吻=Σ αぽ1%κゴ+%Σ Σ 物1%κ 〆πκあ λ=δ=1の と き,2次 関 数
y胃[(習 卿 ノ)+2苧(α 硯 二Σ δδ ブ)κ'+
、 (2苧(弓 ∂1ゴ ー・・)・・)]%・
そ し て,λ=δ=%の と き,一 般 化 さ れ た レ オ ン チ ェ フ 関 数
‑
呪〒 ・ Σ 力 魑 攣 ・写(α ゴ ー2Σ うげ ノ)廊 〜≦+2ΣP(ΣPわ ぎ プー αピzノ)・ ・ が,そ れ ぞ れ,導 か れ る 。',
4.4一 般 化 ボ ッ ク ス コ ッ ク ズ(GBC)関 数 、 塵
一 般 化 さ れ た ボ ッ ク ス 浮 ッ ク の 費 用 関 数 形 がM .S,カ ー レ ッ ド[3]に よ り提 案 さ れ た 。 こ の 関 数 は,ト ラ シ ス ロ グ的 フ レキ ヅ ブ ル 関 数 を 内 部 に 含 ん だ よ りデ 般 的 な フ レ キ シ ブ ル 関 数 で あ る 。 費 用 関 数 は 次 の 形 を と る 。
,(2,w)一[1+λG(w)]1ノ λ夕β(ツ!w) こ こ で,
o(w)=α 。+Σ α幽(λ)+%Σ Σ うぎ ノ娠 λ)娠 λ)
え'2
ω・(λ)一ωセλ/秀1
β(y,w)一 β・号1御+Σ φ画
∂ゴ ノニ ∂ガ
生産 双対 姓 と フ レキ シ ブル 関 数形 に つ い て317
で あ る 。'
奪
以 下,GBC関 数 の 諸 性 質 を 列 挙 す る 。
(1)β は ッ,wの 関 数 ゆ え,C(ッ,w)は 分 離 的 費 用 関 数 で は な いoし た が っ て,生 産 関 数 に は 相 似 拡 大 の 仮 定 は お か れ な い 。 β(ッ,w)=ッ μ な ら 生 産 関 数 は μ 次 同 次 で あ る 。
(2)0(w)はwの2次 関 数 で あ る が,wが λ の ボ ッ ク ス コ ッ ク ス 変 換 の 関 数 に な っ て い る の で,σ(w)は そ の 特 殊 な 場 合 と し て,一 般 化 レ オ ン チ ェ フ,
トラ ン ス ロ グ,一 般 化 コ ブ ダ グ ラ ス,一 般 化 平 方 根2次 関 数 等 を 含 む 。 (3)費 用 関 数 が,投 入 物 価 格z〃 ゴに 関 し1次 同 次 で あ る 必 要 か つ 十 牙 条 件 は,
Σ ・ド ・+… Σ ・・ 場 ・・(す べ て の ・に つ い て)・
か つ,Σ 吻=0
で あ る。 こ の と き,1次 同 次 の 費 用 関 数 は
轡)一{簿 ∂ ・ ゴ 〃〜▽ 型 轡 助
で あ ・・ ここで・陥w)一 β・号聯 Σ φ幽 であ る・
(4)GBC費 用 関 数 は,燭 G(w)一(oか β σ'ぞ')λ 一1
と変 形 で き る か ら,λ →0と す れ ば,ト ラ ン ス ロ グ 費 用 関 数 1πo=α ・+Σ α6伽 疹+%Σ Σ うε ノ伽 ゴ 伽 ノ
・β切+号 伽 ・)2+Σ φ卿 ・ 切
が 得 ら れ る 。 ・ ・
(5)λ=1と お く と,相 似 拡 大 で な い 一 般 化 レ オ ン チ ェ フ 関 数,
・‑2Σ Σ う粥1∫ ・ 吻1'2ツ β・y・Wl
が 得 られ る 。 一 般 化 レ オ ン チ ェ フ 関 数 は 最 初 デ ィ ワ ー トに よ り提 案 さ れ た 。
づ キ ブ の と き,∂ ガ=0と す れ ば,レ オ ン チ 干 フ 関 数 に な る 。
318 商 学 討 究 第31巻 第3・4号
(6)1次 同次 の 費 用 関数 に は,ピ ッ ク ス中 立 的 な技 術 進 歩 り項 を 容 易 に 含 め る ご とが で き,計 量 経 済 分 析 を 行 な う こ とが で き る。 す なわ ち,
・一妾{Σ Σ 卿1矧1・}… β…w… 酬 蜘
で あ る 。 こ こ で,'は 時 間 を 示 し,す べ て の ゴに つ い て τゴ=0な ら,一 定 の 指 数 率 τ で 技 術 進 歩 が あ る こ とを 示 す 。
(7)総 費 用 の 産 出 量 に 関 す る 弾 力 性 は,
'
霧 一霊/÷一β・書塀 Σ醐
で 与 え られ る。
5.結 語
わ れ わ れ は,マ イ ク ロ経 済 学 と計 量 経 済 学,そ して数 理 計 画 法 の接 点 に あ る 生 産 理 論 の双 対 理 論 と,関 数 の フ レキ シ ビ リテ ィに つ い て 検 討 して きた 。 生産 理 論 の理 論 的 基 礎 に は 生 産 者(企 業)の 最 適 な 行 動 は 常 に 前 提 され て い る。 こ の 仮 定 の も とで は,双 対 理 論 に よ って,フ レキ シ ブ ル な 関数 形 を 算 出す る こ と が で き る 。 そ して理 論 に 整 合 的 な実 証 分 析 も可 能 に な る。 しか し,数 理 計 画法 に お け る 「双 対 性 ギ ャ プ(dualitygap)」 の 存 在 は,生 産 理 論 で もあ り うる 。 た とえ ば,分 業 化 が進 む と収 穫 逓 増 の可 能 性 が 生 じる が,そ の とき,ど の程 度 偏 った 双 対 関数 形 を 理 論 化 で き るか は未 解 決 の 問題 で あ る。 た え ず,信 頼 のお け るデ ー タ と理 論 モ デ ルを つ き あ わ せ る こ とに よ って,信 頼 の お け る モ デ ル構 築 を 行 な う こ とが 第 一 に 必要 で あ ろ う。
♂
生 産 双対 性 と フ レキ シ ブル関 数 形 につ いて 319
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