まず，絡み目の Q 多項式を定義する．

On shifted Q polynomials

杉野 裕子 ( 広島大学大学院教育学研究科 )

結び目のQ多項式に対して，変数変換を行ったずらしQ^{多項式を定義する．}

もとのQ多項式の最高次の係数が正のとき，ずらしQ多項式の係数はすべて 正になると予想する．この予想を種数1の交代結び目に対して証明する．ま た，11交差点までのすべての結び目について予想を確認した．

1. 定義

まず，絡み目の Q 多項式を定義する．

定義

1.1. 絡み目 L に対する Q 多項式 Q

を以下の (i)，(ii) で定義する．

(i) O : 自明結び目 ⇒ Q

= 1 (ii) Q

+ Q

= x(Q

+ Q

)

ここで， L

， L

， L

， L

は以下のように定義している．

L ₊ L _- ^L 0 _L

∞

図 1: 絡み目 L

， L

， L

， L

1.2. • 三葉結び目の Q 多項式

Q

(x) = 2x

+ 2x − 3

• 8 の字結び目の Q 多項式

Q

(x) = 2x

+ 4x

− 2x − 3

Q 多項式は，結び目に対しては負冪の項はなく，通常の多項式である．µ 成分の絡み 目に対しては， 1 − µ が最小次数となる．

∗〒739-8524広島県東広島市鏡山1-1-1 広島大学大学院教育学研究科 教科教育学専修 数学教育学専攻

e-mail:[email protected]

ここで，結び目の Q 多項式の変数変換を考える．

命題

1.3. 結び目の Q 多項式 Q(x) の最高次の係数が正のとき， Q(x + N ) の全係数が正 になるような N ∈ N がとれる．

証明

. 結び目の Q 多項式を， a > 0 ， b

∈ Z (b

≥ 0) を用いて Q(x) = ax

± b

x

± b

x

± · · · ± b

と表す．よって， x を x + N に変数変換した多項式は以下のようになる．

Q(x + N ) = a(x + N )

± b

(x + N )

± b

(x + N )

± · · · ± b

よって，

Q(x + N ) = a(x

+

C

N x

+

C

N

x

+ · · · + N

)

± b

(x

+

C

N x

+

C

N

x

+ · · · + N

)

± b

(x

+

C

N x

+

C

N

x

+ · · · + N

)

± · · · ± b

= ax

+ (

C

aN ± b

)x

+ (

C

aN

±

C

b

N ± b

)x

+ · · · + (aN

± b

N

± b

N

± · · · ± b

)

いま， N = max

{⌈ b

n

C

a

⌉ ,

⌈

n−1

C

b

+ b

n

C

aN

⌉ , · · ·

}

とすると，題意を満たす．

では，結び目の Q 多項式 Q(x) を変数変換して得られる Q(x + N ) は， N としてどれ くらいユニバーサルに最小の値がとれるのか考える．

• N = 1 のとき すぐに反例が挙げられる．

例

1.4. プレッツェル結び目 P (3, 3, 3) に対して

Q(x) = 2x

+ 8x

+ 2x

− 28x

− 24x

+ 34x

+ 28x

− 18x − 3 Q(x + 1) = 2x

+ 24x

+ 114x

+ 264x

+ 286x

+ 90x

− 40x

− 12x + 1 Q(x + 2) = 2x

+ 40x

+ 338x

+ 1564x

+ 4296x

+ 7106x

+ 6856x

+ 3510x + 729

• N = 2 のとき  Mathematica で 11 交差まで計算し確認した．

以上より，結び目の Q 多項式を変数変換して得られる多項式について以下のような 性質が予想できる．

予想

1.5. 結び目に対して， Q 多項式の最高次の係数が正ならば， x を x + 2 に変数 変換して得られる多項式の全係数はすべて正である．

予想において Q 多項式の「最高次の係数が正」であることを仮定しているが， Q 多

項式の最高次の係数が負になる場合もある．

例

1.6. • 12

Q(x) = − 2x

+ 20x

+ 16x

− 28x

− 20x

+ 10x + 5

• 12

Q(x) = − 2x

− 2x

+ 16x

+ 22x

− 20x

− 30x

+ 8x + 9

しかし，交代的ならば最高次の係数が正であることは Kidwell がすでに証明している．

ここで，変数変換して得られる多項式を「ずらし Q 多項式」と，新たに定義する．

定義

1.7. 絡み目 L の Q 多項式 Q

(x) について， x を x + 2 に変数変換して得られ る多項式 Q

(x) を L のずらし Q

例 1.2 で挙げた 2 つの結び目のずらし Q 多項式を，例として以下で紹介する．

例

1.8. • 三葉結び目

Q

(x) = 2x

+ 2x − 3 Q

(x) = 2x

+ 10x + 9

• ８の字結び目

Q

(x) = 2x

+ 4x

− 2x − 3 Q

(x) = 2x

+ 16x

+ 38x + 25

2. 現時点までの成果

現時点までの成果は，

• (2,n) 型トーラス結び目

• 種数 1 の交代結び目

種数 1 の 2 橋結び目と種数 1 の交代プレッツェル結び目

• 11 交差までの結び目すべて (801 個 )

である．(2, n) 型トーラス結び目，種数 1 の交代結び目に関しては，予想が成り立つこ とを証明した． 11 交差までの結び目については， Mathematica で 801 個すべて計算し，

予想が成り立つことを確認した．種数 1 の交代結び目の内訳として，種数 1 の 2 橋結び 目と種数 1 の交代プレッツェル結び目の 2 つを挙げているが，実際は，種数 1 の交代結 び目はこの 2 つがすべてである．したがって，種数 1 の交代結び目すべてに関して，予 想が成り立つことを証明できた．

本稿では， (2, n) 型トーラス結び目に対する議論のみ紹介する．種数 1 の交代結び目に 関しては，スケイン関係式を用いて交差点の数を減らしていくのだが，その際に (2, n) 型トーラス結び目に対する結果を必要とする．

3. (2, n) ^{型トーラス結び目の例}

ここで，実際に， (2, n) 型トーラス結び目のずらし Q 多項式について，予想が正しいこ とを証明していく．いま，T

を (2, n) 型トーラス結び目，Q(T

) を T

の Q 多項式，T

を T

のずらし Q 多項式とする． (2, n) 型トーラス結び目の Q 多項式に対して，以下の 関係式が成り立つ．

Q(T

) + Q(T

) = x(Q(T

) + Q(T

))

Q(T

) = x(Q(T

) + 1) − Q(T

)

T

T

T- T- T ⁼

T

T

⁼ 1

T

T

=

図 2: トーラス結び目 T

したがって， (2, n) 型トーラス結び目のずらし Q 多項式は，以下の漸化式を満たす．

T

= (x + 2)(T

+ 1) − T

T

の x

の係数を C

とする (i ≥ 0) ． i ≥ n のとき C

= 0 である (T

は n − 1 次 ) ．

命題

3.1.

n ≥ 1 : 奇数， C

≥ 0 (0 ≤ i ≤ n − 1) が成り立つ．

ここで，n を 1 以上の奇数として考えるのは，結び目について考察するからである．

証明

. n に関する帰納法を用いる．

n = 1 のとき， T

= 1 ゆえ C

= 1 ． n = 2 のとき， T

= 2x + 5 − 2

x + 2 ゆえ C

= 2 ， C

= 5 ．よって， n = 1 ， n = 2 のとき，命題は成り立つ．ここで， n = 2 について考察し ているのは， (2, n) 型トーラス結び目のずらし Q 多項式が隣接 3 項間漸化式を満たしてい るので，偶数の場合についても考察せざるをえないからである．C

  (1 ≤ k ≤ n − 1，

0 ≤ t ≤ k − 1) について， C

≥ 0 が成り立つと仮定する．このとき， C

, · · · , C

≥ 0 を示せばよい．

(i) C

(n ≥ 3)

漸化式より， C

= C

が成り立つ．

C

= · · · = C

= 2 ≥ 0 (ii) C

(n ≥ 3)

n = 3 のとき，T

= 2x

+ 10x + 9 ゆえ C

= 10．n ≥ 4 のとき，漸化式より，

C

= C

+ 2C

が成り立つ．よって，

C

= C

+ 2C

= C

+ 4

= (C

+ 4) + 4

= · · ·

= (C

+ 4) + 4 + · · · + 4

= 10 + 4(n − 3)

= 4n − 2 ≥ 0 (iii) C

(2 ≤ i ≤ n − 3)

漸化式より， C

= C

+ 2C

− C

が成り立つ．よって，

C

= C

+ 2C

− C

= C

+ 2(C

+ 2C

− C

) − C

= C

+ 2C

+ 3C

− 2C

= C

+ 2C

+ 3(C

+ 2C

− C

) − 2C

= C

+ 2C

+ 3C

+ 4C

− 3C

= · · ·

= C

+ · · · + (n − (i + 2))C

+ (n − (i + 1))C

− (n − (i + 2))C

=

n

∑

jC

+ (n − i − 1)(4(i + 2) − 2) − 2(n − i − 2)

=

n

∑

jC

+ 4(n − i − 1)(n + 1) + 2 ≥ 0

(iv) C

漸化式より， C

= C

+ 2C

+ 1 − C

が成り立つ．よって，

C

= C

+ 2C

+ 1 − C

= C

+ 1 + 2(C

+ 2C

+ 1 − C

) − C

= (C

+ 1) + 2(C

+ 1) + 3C

− 2C

= (C

+ 1) + 2(C

+ 1) + 3(C

+ 2C

+ 1 − C

) − 2C

= (C

+ 1) + 2(C

+ 1) + 3(C

+ 1) + 4C

− 3C

= · · ·

= ((C

+ 1) + · · · + (n − 3)(C

+ 1)) + (n − 2)C

− (n − 3)C

=

n−3

∑

j=1

j(C

+ 1) + 10(n − 2) − 2(n − 3)

=

n−3

∑

j=1

j(C

+ 1) + 8n − 14 ≥ 0

(v) C

ここで，負冪について考える．漸化式より， T

において - n が奇数のとき， T

は負冪なし

- n が偶数のとき， ±

そこで，C

を以下のように定義する．

C

=

 

 

 



0 (n : 奇数 )

− 2 (n ≡ 2 mod 4) 2 (n ≡ 0 mod 4) これを用いて以下を示す．

C

> C

(i ≥ 2)

n に関する帰納法を用いる．C

= 1，C

= 5 で，C

> C

が成立．C

> C

が i ≤ n − 1 で成立すると仮定する．漸化式より，

C

= 2C

+ 2 + C

− C

≥ 2C

− C

= C

+ (C

− C

)

> C

ゆえに， C

> C

> · · · > C

> 0 となり示せた．

4. おわりに

今回，結び目のずらし Q 多項式についてのみ考察した．負冪をもつ絡み目の Q 多項式 についてはまだ考察できていないが，以下を予想している．

予想

4.1. Q 多項式の最高次の係数が正ならば，ずらし Q 多項式は次のような形に かける．

Q(x + 2) = g(x) f (x) ここで， f (x) ， g(x) は正係数多項式．

実際， f(x) = (x + 2)

となる．

例

4.2. ホップ絡み目に対して

Q(x) = 2x + 1 − 2 x Q(x + 2) = 2x

+ 7x + 4

x + 2