神学部経済学部

(1)

数

2 0 1 2 (平成24) 年度

学試験

(70分，総点 100)

神学部経済学部

問

試験開始の合図があるまで聞かないこと

区三百

題

1. 問題用紙は，表紙を含めて8ページで，問題は 1. 11.皿の3間ある。

2. 解答用紙は1枚で，氏名記入欄のある表側(その1)に，問題1. 11 の解答欄がある。 1. 11はマーク選択式である。また，裏側(その2) に問題IIIの解答欄がある。 IIIは記述式である。

3. 解答用紙の表側には事前に座席番号とカタカナ氏名が印字されているので，自分の解答用紙であることを確認すること。

4. 解答用紙への氏名記入は監督者の指示によること。

5. 試験時間内の退場はできない。

6. 試験終了後は，監督者の指示があるまで，各自の席で待機すること。

7. 問題用紙は，各自で持ち帰ること。

￨解答上の注意￨

1 問題 1. 11の己(ア，イ，ウ，エ. ...)に対する解答は，すべて解答用紙の表側の所定箇所の数字もしくは記号をOで囲むこと。後ろに挙げた例のようにはっきり確認できるように，ていねいに丸く囲むこと。訂正・修正するときは，消しゴムで完全に消し，跡が残らないようにすること。 2カ所以上にOがついていたり，消し方が不十分で，

どれが選ばれているかはっきりしない場合その解答は無効となるので，注意すること。

2. 問題 IIIの解答は，裏側のその 2 (記述式)の所定箇所(枠内)に記入すること。記入の際，解答欄からはみ出さないように気をつけること。

解答欄からはみ出した部分は，採点の際に消されるので，注意すること。

(裏表紙8ページに続く)

‑ 1 ‑

(2)

I

1 半径Rの円に，四角形ABCDが内接している.

AB = BC =ゾ百， AD = 2， CD = 3のとき，

r ‑ ウエ￨

AC=J回 R=ユ肩ニ ^BD= 因である .

"'J~一一 1;;す|

2 実数αに対して，集合A，B， Cおよび全体集合Uが次のように定義されている.

A = {2， ‑α+ 5，α2‑2α+ 1，α2+α‑6}

B = {4，α2‑6α+8，α2‑6α+9 }

C={^α2α‑2^，^{α3‑8α2 +}¹⁹^α^ー¹^2}

u= AuBuC

いまAn B n C = {O}のとき，以下の問に答えよ.

(1) α=困である

(2) A n B = { 0，因)である

(3) 互(u"B) n (A u C) = {因，回)であるただし，困<目とする

2

(35点)

(3)

計算用紙

3

(4)

E

1 αは実数とする.

LXf(t)dt = 3x³‑5x²‑4x+4のとき，以下の聞に答えよ (1) f(x) =困^x²一回 ^x一因で、あ抗る

ω ^α^{の値は刷山山}⁴^村^山^さ^釣^し^い^川^川^、^サ^I^巾^}^順肱^l^唄^贋^畑

ω b

仁川

⁺^c^x⁼^x^f^'⁽^x⁾^‑²^{を満山} ^c^は^，

b =囚 c=目である

2 等比数列川こついて， α10=4o，rZ^{であるとき，}

以下の問に答えよ.ただし，九はすべて実数である.

ω 公比は骨である

マ...，ノハヒl

(2) ) α η L戸二ずである.

主15 巴こゴ

(3)αn < 10‑³を満たす最小の nは n 困であるただし， IOg10 2 = 0.301として計算せよ.

4

(35点)

(5)

計算用紙

‑5一

(6)

E

1 原点を0とする空間に四面体OPQRがある.

P， Q， Rの位置ベクトルをそれぞ、れ，戸，q， rとするとき，

.aPQRの重心Gの位置ベクトノレ3は，

d=÷(戸+司+子)となることを示せ

2 原点をOとする空間に2点A，8があり，

δ五=a，百百=b^とする.

aとEのなす角が O。より大きく 90⁰ 未満のとき，

以下の問に答えよ.

(1) Aから直線08に下ろした垂線の足を H1とするとき，

δ百:を aおよびEを用いて表せ.

(2)さらに Bから直線OAに下ろした垂線の足をH₂とする.

a = (1， 1， 1)， b = (2， 2， 1)であるとき，

線分H1H2の長さを求めよ.

6

(30点)

(7)

計算用紙

‑7一

(8)

￨解答用紙その1(マーク選択式)についての注意￨

1 設問中の口の中の文字(ア，イ，ウ，エ，...)のひとつひとつは，それぞれひとつの数字 (O~9) ，または:t一*のいずれかに対応する。

2. 分数形で解答を求められているときは，既約分数で答える。また±や一の符号は分母には付けないものとする。さらに，分数形で解答を求められている問題に対して，整数または整式で答えたいときは，分母は lと

して答える。

3. 根号の中の自然数は，可能な限り小さい整数の形にして答える。

4. 解答欄の各ブロックでマークは上から順に行う。もし欄が余る場合は，

後ろの残りの欄の*をOで囲む。また欄が不足するときは，最後の欄の

*をO^{で囲む。さらに} 適合するものがないときは，その欄の*をO^で

囲む。

￨解答の記入例￨

￨イー「

(例1)y=と言デx+トエ￨に y= ‑2x と答えたいとき (ア)

(イ) (ウ) (エ)

いフ￨一一

±

。

^。^l

士。_l

± o CD

‑ @ l

2 3 4 5

② ³ ^{4 5}

2 3 4 5 2 3 4 5 (例2)p =￨オカキ￨に P ^:^t 5 と答えたいとき

(オ) @ 。1 2 3 4 5 6 6 6 6

6 (カ) ^± 。l 2 3 4 ⑤ 6 (キ) ^± 。l 2 3 4 5 6 (例 3)p = I^クケ￨に ^p⁼^{2.5と答えたいとき}

。₁ _② ₃ 4 5 6 (ケ) I :t 。 2 3 4 5 6 (例4) 回心孟回に 3壬 xと答えたいとき

。 2 ③ 4 5 6 (サ) I :t 。 2 3 4 5 6

‑8一

7 7 7 7

7 7 7

7 7

8 9 *

8 9 @

8 9

る

l

8 9

る￨

8 9

(9)

2 0 1 2 (平成24)年度

数学試験問題

(70分，総点 100)

文法

尚子

尚子部部

区

E

1. 問題用紙は，表紙を含めて8ページで，問題は 1， II，皿の 3問ある。

2. 解答用紙はl枚で，氏名記入欄のある表側(その 1)に，問題 1，II の解答欄がある。 1，IIはマーク選択式である。また，裏側(その 2) に問題皿の解答欄がある。 IIIは記述式である。

4. 解答用紙への氏名記入は，監督者の指示によること。

1 問題 1，IIの口(ア，イ，ウ，エ， ...)に対する解答は，すべて解答用紙の表側の所定箇所の数字もしくは記号をOで囲むこと。後ろに挙げた例のようにはっきり確認できるように，ていねいに丸く囲むこと。訂正・修正するときは，消しゴムで完全に消し，跡が残らないようにすること。 2カ所以上にOがついていたり，消し方が不十分で，

2. 問題IIIの解答は，裏側のその 2 (記述式)の所定箇所(枠内)に記入すること。記入の際解答欄からはみ出さないように気をつけること。

‑1一

(10)

1 sin e +∞sθ=去のとき

ω

…

^θ=^{一号である}

(2) sin3 e + cos3θ=一匹目^‑A^{「ーである.}

附

(σめω)3 si加仰n

仲剛￨

2 点Pは放物線C1:Y = x²上を動く.

I 1 7、一

いま点R/‑一一一lに対し線分RPのPの側の延長上に

¥ 2' 8/....'..

RQ = ^{2RPとなる点}^Qをとる.

点Q^の軌跡を ^C2とするとき，以下の問に答えよ.

因 2 田町七 ^T

(1) C2^・Y=ーーが一一:::::::x+同である

~ ^• ^J 因困山一 ^U

(2) C1とC2の2つの交点A，Bは，

A(^{回図 ) ，} B (因，因)であるただし，図>困とする

ω い ^C2で固まれる部分の面積は昌で、ある

けつ

(35点)

‑2

(11)

計算用紙

3

(12)

E

1 Y = log2 X + log2( 8 ‑x) + log2(x ‑3)のとき，

(1) xのとり得る値の範囲は，囚<x<因で、ある (2) Yは x=目のとき，最大値因(lOg2困+1)をとる

2 原点を 0とする平面上に，

百 =(1， 3)と碕 =(5， 0)がある.

OP = α(， b)が師一司 =3を満たしながら動くとき，

線分PQを2:1に内分する点R，

および2:1に外分する点Sの軌跡を求めたい.

いまδR=(x，y)とすると，

α=巴^x一日 ^b=図yより，

Rの軌跡の方程式は

(x‑

害 r

⁺⁽^Y^一^回⁾²⁼¹

である.また，同様にSの軌跡の方程式を求めると

(x ‑囚)z+(y+因)2⁼⁹

となる.

4

(35点)

(13)

計算用紙

‑5一

(14)

皿

1実数を係数とするxの2次方程式 αx²+ bx + c = 0 の解の公式を導け.

2 d.ABCについて 2つの命題P，Qを考える.

P: AC > AB ならば ζB>ζC Q:ζB>ζC ならば AC >AB

以下の問に答えよ.ただし，二等辺三角形の2つの底角が等しいことは前提としてよい.

(1) 命題Pを証明せよ.

ヒント:辺AC上にAB=ADとなる点Dをとって考えよ.

(2) 命題Qを，背理法を用いて証明せよ.ただし，証明に際して，

(1)で証明した命題Pを用いてよい.

(30点)

‑ 6一

(15)

計算用紙

‑7一

(16)

1 設問中の口の中の文字(ア，イ，ウ，エ....)のひとつひとつは，それ

ぞれひとつの数字 (O~9). または:!::一*のいずれかに対応する。

2. 分数形で解答を求められているときは，既約分数で答える。また±や一の符号は分母には付けないものとする。さらに，分数形で解答を求められている問題に対して整数または整式で答えたいときは，分母は1と

して答える。

4. 解答欄の各ブロックで，マークは上から順に行う。もし欄が余る場合は，

*をOで囲む。さらに，適合するものがないときは，その欄の*をOで囲む。

￨アイ l 一一

(例1)y=τ^x+^{川一 ‑}^2x ^{と似いいたかか}^U^い^E

(ア) (イ) (ウ) (エ)

士

+

±

土

。

^。_。¹

l

‑@ o ① l

2 3 4 5

② ³ ^{4 5}

2 3 4 5 2 3 4 5

(例2)ρ=!オカキ￨に p= :!:: 5と答えたいとき (オ) e 。l 2 3 4 5

6 6 6 6

6 (カ) ^± 。1 2 3 4 ⑤ 6 (キ) 士。l 2 3 4 5 6 (例3)p = I :7 7 I にp= 2.5と答えたいとき

7 8 7 8 7 8 7 8

7 8 7 8 7 8

jZH ^o^o¹ ^② 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 ( 倒的目豆一回に 3孟 xと答えたいとき

9 *

9 ₉ *

9 @ *

国

(コ) (サ)

± o

:!:: 0

1 1

2 ③ 4 5 6 7 8 9 * 5 6 7 8 9 @I

8

(17)

2 0 1 2 (平成24)年度

数学試験問題

(70分，総点 100)

人間科学部

区ヨ

1. 問題用紙は，表紙を含めて8ページで，問題は 1， II，皿の 3問ある。

2. 解答用紙は 1枚で，氏名記入欄のある表側(その1)に，問題 1，II の解答欄がある。 1，IIはマーク選択式である。また，裏側(その 2) に問題皿の解答欄がある。 IIIは記述式である。

1 問題 1， IIの口(ア，イ，ウ，エ， ...)に対する解答は，すべて解答用紙の表側の所定箇所の数字もしくは記号をO^{で囲むこと。後ろに}

挙げた例のようにはっきり確認できるように，ていねいに丸く囲むこと。訂正・修正するときは，消しゴムで完全に消し，跡が残らないようにすること。 2カ所以上にOがついていたり，消し方が不十分で，

どれが選ばれているかはっきりしない場合，その解答は無効となるので，注意すること。

2. 問題皿の解答は，裏側のその2 (記述式)の所定箇所(枠内)に記入すること。記入の際解答欄からはみ出さないように気をつけること。

‑1

(18)

I

1 2次関数のグラフC_{1 :}y = 2x²+ 2x について，

以下の聞に答えよ.

(1) ら:y = 2x^2 ‑10x + 17のグラフはC1をx軸の正の方向に因，

y軸の正の方向に回だけ平行移動したものである

(2) C₃のグラフはC₁を平行移動したものである .C₃の頂点Aは，単位円の上にある.ι^の頂点と ^Aの距離が最小になるとき，

[ 口因ー阿

ら :y =回ジ + エ困x+ d] ^である

2 以下の問に答えよ.

ω ^π壬θく仇 ω =^子のとき

2((}=一一一一一} = E図 'ヨ c^os2os 2(} 園、 …=一一回一る一::; C 9)~

j図

(2) cos 15⁰cos 45⁰cos 75⁰=一半マーである.

げー￨

(3) sin 20⁰+ sin 400 ‑ cos 10⁰=囚である.

‑2一

(35点)

(19)

計算用紙

3

(20)

E

1 x³= 1の解のうち，虚数であるものの 1つをωとするとき，

1 1 1 2

(1) 一+一τ+一戸，ーてである.

む u } トト j

(2) ωに共役な複素数を白とするとき，

(が+3ω+1)(ω4+函+³⁾=目ωである

(3) ω+1および白 +1を解とする xの2次方程式の 1つは x²+困 x+囚⁼⁰^である.

2 青いボールが2個，黄色いボールが2個，赤いボールが 3個ある.これら 7個のボールから4個を取り出すとき，

ただし，ボールは，色の違いの他には区別がないものとする.

(1) 4個を取り出す組合せは全部で臼通りである (2) 取り出した 4個のボールを2個ずつに分けるとき，

分け方は全部で、巨通りである

(3) AとBという箱がある.取り出した4個のボールをこれらの箱に2個ずつ入れるとき，

入れ方は全部で図通りである

‑4‑

(35点)

(21)

計算用紙

‑5一

(22)

E

同一直線上にない3点0，A， Bがある.0を原点として，

(1)線分ABをm ηに内分する点Pの位置ベクトルは

で表されることを示せ.

(2)α， s^{を実数として，点}^Q^を

碕 =α百五+sOB

で表されるベクトルの終点とする.

α， sが次のそれぞれの関係式を満たすとき，

点Qの存在範囲を図示せよ.

ただし，結果に至るプロセスも示すこと.

① α主0，s主0，α+s=1

② α~ 0， s _~0，α+s壬1

③ _α~0， s^主0，1壬α+戸壬 2

6

(30点)

(23)

計算用紙

‑7一

(24)

‑

1 設問中の口の中の文字(ア，イ，ウ，エ....)のひとつひとつは，それ

ぞれひとつの数字 (O~9). または::t *のいずれかに対応する。

2. 分数形で解答を求められているときは，既約分数で答える。また±やの符号は分母には付けないものとする。さらに，分数形で解答を求められている問題に対して，整数または整式で答えたいときは，分母は1と

して答える。

4. 解答欄の各ブロックで，マークは上から順に行う。もし欄が余る場合は，

*をOで囲む。さらに，適合するものがないときは，その欄の*をOで囲む。

￨アイ￨一一

(例1)y= L‑戸三デx+トエ￨に y = ‑2x と答えたいとき (ア)

(イ) (ウ) (エ)

いラ￨一-~

±

。 ^。

+

。

1

±

。。

士

。

¹^②²²² ^{3 4}^{3 4}^{3 4}^{3 4} ⁵⁵⁵⁵

(例2)p =￨オカキ￨に p= 士 5 と答えたいとき (オ) θ

。

1 2 3 4 5 (カ) ⁺

。

1 2 3 4 ⑤

(キ) ⁺

。

2 3 4 5 (例3)p = [クケ￨に ρ =2.5と答えたいとき

。

1

。

^{3 4} ⁵

( ケ ) 士 O l 2 3 4 5 6 6 6 6

6 6 6

6 6 (例4)白む豆困に 3 五;; x と答えたいとき

。

1 2:G) ⁴ ⁵ 6 (サ) I ::t

。

2 3 4 5 6

‑ 8 ‑

7 7 7 7

7 7 7

7 7

8 9 *

8 9 @

8 9

ら !

8 9

ら￨

8 9

(25)

2 0 1 2 (平成24) 年度

数学試験問題

(70分，総点 100)

全学

部

区

E

1. 問題用紙は，表紙を含めて8ページで，問題は 1. 11.田の3問ある。

2. 解答用紙は1枚で.氏名記入欄のある表側(その1)に，問題1. 11 の解答欄がある。 1. 11はマーク選択式である。また，裏側(その2) に問題皿の解答欄がある。皿は記述式である。

1 問題1. 11の口(ア，イ，ウ.:r... ...)に対する解答は，すべて解答用紙の表側の所定箇所の数字もしくは記号をOで囲むこと。後ろに挙げた例のようにはっきり確認できるようにていねいに丸く囲むこと。訂正・修正するときは，消しゴムで完全に消し，跡が残らないようにすること。 2カ所以上にOがついていたり，消し方が不十分で，

2. 問題皿の解答は，裏側のその2 (記述式)の所定箇所(枠内)に記入すること。記入の際解答欄からはみ出さないように気をつけること。

‑ 1 ‑

(26)

1

(1) 2次関数 y= 2x2 ‑4x + 1は xの定義域が

‑1壬x壬2のとき，最大値困，最小値E^をとる

(2) 不等式 (x2 ‑ 3x ‑4)(1 x ‑2ト1)> 0の解は

x<目，因<x<因，x>図である

2 5人みんなで1回だけジャンケンをするとき，

ω ¹人だけ勝つ確率は具「である

にコ寸ナ￨

￨シス￨

(2) 2人の勝者が決まる確率は+=号である.

￨セソ￨

￨タチ￨

(3) 引き分けになる確率は→ーキである.

。

^r^テ￨

‑2一

(35点)

(27)

計算用紙

3

(28)

E

1 αは実数とする.

定点P(α，0)と円Q上を動く点Qがある.ただし，

C1 : ^X2+ y2 = 16

である.また，線分PQ上の点Rの軌跡をC₂とする.

このとき以下の問に答えよ.

(1) RがPQの中点であるとき，らの方程式は

ら :(x‑

骨ト

^y2⁼^目

である.さらにらの中心と原点との距離が 4であるとき，

a=困である .

(2) らの面積が9πのとき， RはPQを囚 :1に内分する点である.

(3) 点S(2， 0)があり， MP: MS = 2: 1である点Mの軌跡が円qになるとき， α=臼である.

2 50以上200以下の整数のうち，

4で害IJると 1余る整数を小さい順に並べて数列を作る.

このとき以下の問に答えよ.

(1) 第20項は11::7"]で、ある.

(2) この数列の和は匡王ヨである

(3) この数列から 3で割り切れる整数を取り出して新たな数列を作るとき，この新しい数列の和は巨日である.

(35点)

‑4一

(29)

計算用紙

5‑

(30)

E

放物線L:y=此京R(0， !)を中心とする円 Cが異なる 2点で接している.ただし， LとCが点Pで接しているとは，

LとCが点Pを共有し，さらにLとCが点Pにおいて共通の接線をもつことを意味する.このとき以下の聞に答えよ.

(1) 2つの接点の座標を求めよ.

(2) 円Cの方程式を求めよ.

(3) 2つの接点を両端とする円Cの短い方の弧と Lとで固まれる図形の面積を求めよ.

(30点)

‑6

(31)

計算用紙

7

(32)

1 設問中の口の中の文字(ア，イ，ウ，エ，・)のひとつひとつは，それ

ぞれひとつの数字 (O~9). または::!:一*のいずれかに対応する。

2. 分数形で解答を求められているときは，既約分数で答える。また±やーの符号は分母には付けないものとする。さらに，分数形で解答を求められている問題に対して，整数または整式で答えたいときは，分母は 1と

して答える。

4. 解答欄の各ブロックでマークは上から順に行う。もし欄が余る場合は，

*をOで囲む。さらに適合するものがないときは，その欄の*をOで囲む。

げイ￨ーー

(例1)y = = 百三x+川日 ←2x 山一

(ア) (イ) (ウ) (エ)

+

± +

±

。

^。_。¹

l

o①

。

^l 2 3 4 5

② ^{3 4 5}

2 3 4 5 2 3 4 5 (例2)p ==￨オカキ￨に p== ::!: 5 と答えたいとき

(オ) ① 。l 2 3 4 5 6 6 6 6

6 (カ) ^± 。1 2 3 4 ⑤ 6 (キ) ^± 。l 2 3 4 5 6 (例3) ド￨クケ￨に p== 2.5と答えたいとき

O 1 ② ^{3 4 5} 6 (ケ) I ::!: 。1 2 3 4 5 6 (例4) 回壬 x 孟回に 3 孟 x と答えたいとき

。1 2 ③ 4 5 6 (サ) I ::!: 。1 2 3 4 5 6

‑8‑

7 7 7 7

7 7 7

7 7

8 9 *

8 9 @

8 9

る￨

8 9

ら￨

8 9 8 9

(33)

数

2 0 1 2 (平成24)年度

学試験

(70分，総点 100)

商学部国際文化学部

問

区E

題

1. 問題用紙は，表紙を含めて8ページで，問題は 1， 11， m^の3問ある。

2. 解答用紙はl枚で，氏名記入欄のある表側(その1)に，問題 1，11 の解答欄がある。 1，11はマーク選択式である。また，裏側(その 2) に問題目の解答欄がある。田は記述式である。

1 問題 1， 11の口(ア，イ，ウ，エ， ...)に対する解答は，すべて解答用紙の表側の所定箇所の数字もしくは記号をOで囲むこと。後ろに挙げた例のようにはっきり確認できるように，ていねいに丸く囲むこと。訂正・修正するときは，消しゴムで完全に消し，跡が残らないようにすること。 2カ所以上にOがついていたり，消し方が不十分で，

2. 問題皿の解答は，裏側のその2 (記述式)の所定箇所(枠内)に記入すること。記入の際，解答欄からはみ出さないように気をつけること。

解答欄からはみ出した部分は;採点の際に消されるので，注意すること。

‑ 1 ‑

(34)

I

1 0壬x<2πのとき，以下の聞に答えよ.

(1) 2 cos 2x = 1 ‑4 cos x

の解は x=一一国回π 一一πである.

回'目

ただし一一<ーーとする.困固

' 回目

ω(sin ; + cos ;)ωsf=1+cosx の解は， x=」ーπ 」ーπで、ある.

困 ' 因ただし，困<因とする

2 袋の中に 4枚のカードが入っており，それぞれのカードには 1

，

2， 3， 4の数字が書かれている.いま袋から 1枚カードを取り出しては，そのつど袋に戻すという試行を何回か繰り返す.

このとき，最後に取り出したカードに書かれた数が，得点になるものとする.以下の問に答えよ.

ω 試行が一度だけのは得点の期待値は且であるげ￨

(2) 試行を二度行う権利を有するとき(試行を一度でやめても，

二度目を行ってもよいとき)，得点の期待値を最大にするには， (1)の結果より，一度目の数字xが因以下のときは二度目を行い xが回以上のときは一度で、やめればよい.

したがって，得点の期待値の最大値は固となる

(35点)

2

(35)

計算用紙

3

(36)

H

1 原点をOとし，

右図のように

3つの円C₁，C2， C3

が互いに接している.

C2の中心をO2， C1とらの接点をP， C2とらの接点を Q， C3とC1の接点をRとする.

C1とC2の方程式が

/、13‑1¥ ~_2 1'¥/3+1¥

C1 : x²+ y2 = Iニγ )^{，んが +}(y ‑v'3)" =戸子)

であるとき，以下の問に答えよ.

/肉‑阿L

(1) C^{3 :}(x‑ぽ叶1^{「である}

(2) 弧RPは円Gの短い方の弧を指すものとし，他の弧につい x

ても同様とする.また扇形RPOとは弧RPを含む扇形とする.

このとき，

因+J因

扇形PQ02の面積は「」¹ π であることより，

げテ￨

3つの弧PQ，QR， RPで固まれる図形(図の斜線部)の面積は卓 ‑ 日一則自

問回目

4

神 学 部 経 済 学 部

区 三 百

仁川

。

る

る ￨

E

…

害 r

。

国

区ヨ

。 。

。

。 。

。

。

。

。

。

。

。

。

ら !

ら ￨

E

。

骨 ト

。

。

る ￨

ら ￨

神学部経済学部

区三百

る￨

。 ^。

。。

ら￨

骨ト

る￨

ら￨