Aspray and P. Kitcher (eds.), History and Philosophy of Modern Mathematics,

マ イ ケ ル ・ク ロ ウ と 数 学 に お け る 革 命

塚 本 高 也

1序 論

「数 学 の歴 史 的発 展 の 過 程 は 直線 的 で 調 和 的 に進 ん で い く」 わ れ わ れ は この 見 解 を伝 統 的 な数学 史 観Dと 呼 ぶ こ とが で き る.さ らに,数 学 的 知 識 を演 繹 構 造 と確 実 性 で特 徴 づ け る こ とで,数 学 的 知 識 の 発 展 は よ り合 理 的 な もの とな る.ラ デ ィ カル な科 学 哲 学者 で さ え も,こ の よ う な伝 統 的 な数 学 史 観 に攻 撃 の 矢 を 向 け る こ とに は躊 躇 して きた.例 え ば,ク ワ イ ン や ポ パ ー は 経 験 と理 論 との 矛 盾 を契 機 と した 知 識 の変 化 の モ デ ル を与 えた が,数 学 に こ の 議 論 を拡 張 す る こ とは なか った.本 稿 で 取 り上 げ る 「数 学 にお け る 革 命 」 に 関す る議 論 は,そ の 一 線 を越 え て,ク ー ンのパ ラ ダ イ ム 論 を数学 史 理 解 に応 用 す る可 能性 を論 じる試 み で あ る.

一 連 の 議 論 の 発 端 は ,数 学 史 家 マ イ ケ ル ・ク ロ ウが1975年 に 発 表 した論 文 「数 学 史 に お け る変 化 パ ター ン に関 す る10の 『法 則 』」(以 下,「10法 則 」 論 文 と省 略)に あ る.こ の論 文 は,ク ー ン流 の 新 しい歴 史記 述 の 方 法 を数 学 に応 用 す る初 期 の試 み に 位 置 づ け られ る.彼 の 論 文 が 注 目 され た の は, 単 にパ ラ ダ イ ム論 を数 学 的 に焼 き直 す こ とが 目新 しか っ た とい うだ け で は

な い.「 数 学 で は 革命 は 決 して起 こ らない 」 とい う法則10を 主 張 して,彼 は

1)伝 統 的 な 数 学 史 観 を ど の よ う に 理 解 す る か に つ い て は 論 者 に よ っ て 差 が あ る が,こ こ で は ク ロ ウ や キ ッ チ ャ ー の 見 解 に 依 拠 して,私 は 伝 統 的 な 数 学 史 観 を 考 え て い る.ク ロ ウ は, 数 学 の 累 積 的 な 発 展 の 提 唱 者 と し て ジ ョ ゼ フ ・フ ー リ エ,ヘ ル マ ン ・ハ ン ケ ル,ク リ フ ォ ー ド ・ ト ゥ ル ズ デ ル と い っ た 数 学 者 の 名 前 を 挙 げ て い る(Crowe【1975,p・19).キ ッチ ャ ー も ク ロ ウ と 同 様 に 伝 統 的 な 数 学 史 観 を 取 り 上 げ て い る が,現 代 の 提 唱 者 の 名 前 を 挙 げ て い な い (Kitcher[1984],pp.155ff.),

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マ イ ケ ル ・ク ロ ウ と 数 学 に お け る 革 命 51

パ ラ ダ イ ム論 を数 学 に応 用 す る場 合 の 制 限 を示 した の で あ る.そ の結 果, 数学 に お け る革 命 に対 す る彼 の 懐 疑 的 態 度 が 注 目され る こ とに な っ た.

だが,そ の後 の 議 論 は革 命 不在 テ ー ゼ に対 す る批 判 を 中心 に 発 展 して い き,ク ロ ウの動 向 とは 無 関係 に進 め られ て い っ た と い う経 緯 が あ る.ク ロ ウは1988年 の論 文 「数 学 とそ の歴 史 に 関 す る誤 解 」(以 下,「 誤 解 」 論 文 と 省 略)で 革 命 不 在 テ ー ゼ の 難 点 を指 摘 した が,彼 の この 態 度変 更 は 多 くの 論 者 た ちか ら取 り上 げ られ な い ま ま に な っ て い る.こ う した状 況 を招 い た 要 因 は ク ロ ウの側 に もあ るが,決 して見 逃 され るべ きで は ない.

本 稿 で は出 発 点 に立 ち戻 り,ク ロ ウの 見 解 を検 討 す る こ とで,数 学 にお け る革 命 に関 す る議 論 に 一 つ の見 通 しを与 え る こ と を 目的 とす る.革 命 不 在 テ ー ゼ の 主 張 か らそ の疑 問視 に至 る幾 分 錯 綜 した彼 の叙 述 を整 理 す る こ とで,彼 の 直面 した 問 題 状 況 が 明 らか に され る こ と に な る だ ろ う.分 析 は 次 の 順 序 で進 め られ る こ とに な る.第 一 に,革 命 不在 テ ー ゼ を提 唱 す る前 提 とな った 「数 学 の 実 質 的部 分 」 に 関す る ク ロ ウの 見 解 を再 構 成 す る.第 二 に,彼 の見 解 の時 代 的 な推 移 を三 つ の段 階 に再 構 成 して か ら,1988年 以

降,彼 が 革 命 不 在 テ ー ゼ を放 棄 した 理 由 を明 らか に す る.最 後 に,彼 の主 張 を批 判 的 に検 討 して,私 な りの 一 つ の結 論 を与 え る.

2革 命 不 在 テ ー ゼ と数 学 の 実 質 的 部 分

パ ラ ダ イ ム 論 の 影 響 か ら,ク ロ ウ は 数 学 の 歴 史 記 述 の 方 法 に 再 検 討 を加 え て,そ の 成 果 を 「10法 則 」 論 文 と し て 発 表 した.彼 は 基 本 的 に 新 しい 歴 史 記 述 法 を積 極 的 に 受 け 入 れ,法 則 の 中 に パ ラ ダ イ ム 論 を か な りの 部 分 ま で 反 映 させ て い る.だ が,革 命 の 存 在 を認 め る か 否 か,と い う 点 に 科 学 的 変 化 と数 学 的 変 化 と の 相 違 が あ る,と 彼 は 考 え た の で,一 つ の 重 要 な 点 で パ ラ ダ イ ム 論 か ら一 線 を 画 す る こ と に な っ た.以 下,彼 の10法 則 の 要 約 を 挙 げ る こ と に し よ う(Crowej1975],pp・16‑19).

1.数 学 者 の 意 図 とは 異 な る新 しい 概 念 が 生 じ る.

2.数 学 共 同 体 は新 しい 概 念 を長 い 間 抵 抗 して か ら受 容 す る よ う に な る.

3.新 しい 概 念 は有 用 性 が 示 され る に つ れ て 受 容 さ れ て い く.

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4.教 科 書 で の厳 密 な記 述 は,概 念 の発 見 よ り遅 れ て 行 わ れ る.

5.数 学 の形而上学 は存在 してお り,歴 史研 究や論争 に よって明 らか に なる.

6.新 しい概 念 の受 容 は著 名 な数学 者 に よ って促 され る.

7.発 見 者 の 文脈 と数 学 共 同体 の 文脈 の ズ レに よって 創 造 が妨 げ られ る.

8.数 学 的概 念 は そ れ ぞ れ独 立 した研 究 で 同時 に発 見 され る こ とが あ る.

9.数 学 的 知 識 に内在 す る矛盾 を解 消 して,危 機 を回避 す る方 法が あ る.

10.数 学 で は 革 命 は 決 して起 こ らない.

パ ラ ダ イ ム 論 の 基 本 構 造 は 次 の よ う に1‑9法 則 の 中 に 焼 き直 さ れ て い る.

数 学 者 は 研 究 過 程 で 意 図 しな い 発 見 を して 新 し い 概 念 を 形 成 す る(法 則1).

だ が,数 学 共 同 体 は 新 し い概 念 を既 成 の 体 系 と の 矛 盾 と考 え,危 機 を 防 止 す る 方 策 を と る(法 則9).だ が,新 し い概 念 の 使 用 の 結 果,有 用 性 が 示 さ れ る よ う に な る と(法 則3),数 学 共 同 体 も い よ い よ 新 し い 概 念 を受 容 し始 め る(法 則2).新 しい 概 念 を含 む 教 科 書 で の 記 述 が 与 え られ,厳 密 化 が 進 行 す る(法 則4).こ う した 進 行 過 程 は 自然 科 学 を モ デ ル に した パ ラ ダ イ ム 論 の 議 論 と平 行 す る.だ が,ク ー ンの パ ラ ダ イ ム 論 と の 根 本 的 相 違 点 は ク ロ ウ が 法 則10で 革 命 を 否 定 して い る こ と に あ る.パ ラ ダ イ ム 論 で は 「通 常 科 学1→ 危 機 → 科 学 革 命 → 新 パ ラ ダ イ ム → 通 常 科 学2」 と い う サ イ ク ル を描 き,パ ラ ダ イ ム ・シ フ トを通 過 す る 度 に 知 識 は 不 連 続 に な る.こ れ に対 し て,ク ロ ウ の 議 論 で は,革 命 不 在 テ ー ゼ か らパ ラ ダ イ ム 論 の 根 幹 と もい え る 不 連 続 性 が 解 消 さ れ,数 学 は 連 続 的 な 進 歩 の 歴 史 を辿 る.こ れ は,革 命 不 在 テ ー ゼ と パ ラ ダ イ ム 論 の 他 の 諸 要 素 を 調 停 す る 試 み で あ る,と 言 え る

だ ろ う.

結 論 と して 革 命 不 在 テ ー ゼ へ と ク ロ ウ が 導 か れ た 理 由 は,彼 の 革 命 概 念 の 規 定 か ら理 解 す る こ と が で き る.「 … … こ の 法 則 は少 な く と も,以 前 に 存 在 す る 実 体(国 王,憲 法,理 論)が 克 服 され(overthrown)取 返 しの つ か な い よ う に 破 棄 さ れ る(irrevocablydiscarded)べ きで あ る と い う の が 革 命 の 必 然 的 性 格 で あ る,と い う最 低 限 の 規 定 に 依 拠 し て い る 」(Crowe【1975Lp・

19).非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 の 誕 生 は,革 命 の 典 型 的 事 例 と して しば しば 言 及 さ れ る.だ が,ク ロ ウ の 革 命 概 念 の 規 定 に 従 え ば,非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 の 誕 生 は 革 命 と は 言 え な い.そ の 発 見 で,ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 の 絶 対 的

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地 位 が 失 わ れ た こ と は 事 実 で あ る が,ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 は 破 棄 さ れ な か っ た2).む し ろ,ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 の 温 存 は 数 学 的 知 識 の 発 展 が 連 続 的 で あ る証 と な る.

留 意 す べ き こ と だ が,ク ー ン主 義 的 革 命 が 「数 学 」 で 生 起 す る こ と を否 定 して も,ク ロ ウ は 革 命 を全 面 的 に排 除 して し ま っ た わ け で は な い.彼 は 次 の よ うに 述 べ る.「 数 学 の 術 語,記 号 法,メ タ数 学(例 え ば,数 学 の 形 而 上 学)3),方 法 論(例 え ば,厳 密 性 の 基 準 〉 で は 革 命 は 起 こ る.お そ ら く数 学 の 歴 史 記 述 で も革 命 は起 こ る」(Crowe[1975】,p・19).数 学 の 歴 史 構 造 に 関 す る 彼 の 見 解 の 要 点 は,数 学 的 知 識 を大 き く二 つ の 部 分 に 区 別 す る こ と に あ る.彼 は 革 命 不 在 の テ ー ゼ で 数 学 的 知 識 の 連 続 性 を 示 唆 し た が,そ の 他 に不 連 続 な 箇 所 が あ る こ と を 認 め て い る.

で は,連 続 的 に継 承 さ れ る 数 学 的 知 識 と は,ど の よ う な も の な の だ ろ う か?だ が,ク ロ ウ の1975年 の 説 明 は 不 十 分 な もの で,わ れ わ れ の 疑 問 を 解 消 し て くれ る も の で は な い.彼 は 「数 学 で は 革 命 は 決 し て 起 こ ら な い (Revolutionsneveroccurinmathematics)」 と い う法 則10で 「数 学 の 中(in mathematics)」 と い う表 現 を示 唆 的 に 使 っ て い る が,そ れ で 何 を 意 味 さ せ

る の か に つ い て 積 極 的 な 説 明 を 与 え て い な い の で あ る.せ い ぜ い 彼 が 明 ら か に し た の は,(革 命 の 起 こ る 可 能 性 の あ る)「 術 語,記 号 法,メ タ 数 学, 方 法 論,歴 史 記 述 」 が 「数 学 の 中 」 に は 入 ら な い,と い う こ とだ.言 い 換 え る と,「 術 語,記 号 法,メ タ数 学,方 法 論,歴 史 記 述 」 を 除 い て 後 に 残 さ

2)非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 の 誕 生 は 革 命 の 事 例 で は な い,と い う ク ロ ウ の 見 解 は1975年 と 1988年 で ほ と ん ど 差 が な い.1975年 の 「10法 則 」 論 文 で は,「 ユ ー ク リ ッ ドは 非 ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 学 に よ っ て 追 放 さ れ ずfさ ま ざ ま な 非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 とW̲に 支 配 す る 」(Crowe

【1975】,p・19)と 彼 は 主 張 す る.革 命 を 容 認 し た1988年 の 「誤 解 」 論 文 で も,彼 は 「数 学 の 累 積 性 に つ い て 最 も 頻 繁 に 引 用 さ れ る 事 例 は 非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 で あ る 」(Crowe【...】,P・263)

と 主 張 し て い る.ク ロ ウ の 見 解 は 必 ず し も 一 般 的 な も の で は な い.(ダ ン モ ア が 伝 統 的 な 数 学 史 家 と 考 え る)カ ー ル ・ポ イ ヤ ー は 『数 学 の 歴 史 』(1968)の 中 で,ガ ウ ス,ロ バ チ ェ フ ス キ ー ボ ヤ イ に よ り て 「幾 何 学 の 革 命 」(Boyer【1968】,P.605)が 起 こ り た と 述 べ て い る(cf.Dunmore [1992],p.213),

3)こ こ で の 「メ タ 数 学 」 は 証 明 論 や モ デ ル 論 で は な く,文 字 通 り 「数 学 の 形 而 上 学 」 を 意 味 し て い る.新 し い 数 学 概 念 が 導 入 さ れ る と き に 背 後 に あ る 仮 定 が こ の 形 而 上 学 で あ る が,

し ば し ば 捉 え が た い も の と な っ て い る.例 え ば,虚 数 は そ の 実 用 性 か ら 普 及 し て い っ た が,多 く の 数 学 者 か ら 疑 惑 の 対 象 と 考 え ら れ て い た.そ の 結 果 と し て,虚 数 の 導 入 に 関 す る 論 争 が 起 こ り,そ の 背 後 に あ る 形 而 上 学 が 暴 露 さ れ る こ と に な っ た.「10法 則 」 論 文 の 法 則5の 説 明 を 参 照(Crowe【1975],P・17)・

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れ た もの が(革 命 の 生 じな い)「 数 学 の 中 」 に 入 っ て い る.お そ ら く,こ こ まで が 「10法 則 」 論 文 か ら引 き出 さ れ る も の で あ る.

1976年 に ハ ー バ ー ト ・メ ル テ ンス は 「不 運 に も 彼 は 数 学 の 中(inmathe‑

matics)と い う こ と で 何 を 意 味 して い る の か 説 明 して い な い.お そ ら く ク ロ ウ は 数 学 の 『内 容 』 や 『実 質(substance)』 を考 え て い る(こ れ は 何 だ ろ う か?)」(Mehrtens【1976LP.25)と 不 満 を述 べ た.彼 は ク ロ ウ の 論 文 の 曖 昧 さ に 困 惑 しな が ら も,「 内 容 」 や 「実 質 」 とい う表 現 で ク ロ ウ の 考 え を補 足 す る.ま た,ル チ ア ー ノ ・ボ イ は 「10法 則 」 論 文 の 主 張 か ら 「数 学 の 『本 当 の 内 容 』 を構 成 す る 定 義,定 理,定 理 の 論 証 か ら な る 核(core)の 存 在 を, ク ロ ウ は 信 じて い る よ うだ 」(Boi[1992],p.186)と 推 測 した.ボ イ は 核 とい う 表 現 を使 う こ と で,確 実 な 数 学 的 知 識 の 存 在 を ク ロ ウ が 想 定 して い た と 見 て い る.以 上 を 踏 ま え て,ボ イが 「核 」 と呼 び,ク ロ ウ が 術 語,記 号 法, メ タ数 学,方 法 論 か ら 区 別 して 「数 学 」 と呼 び,メ ル テ ン ス が 「内 容 」 や

「実 質 」 と 看 倣 した も の を,私 は 便 宜 上 「数 学 の 実 質 的 部 分 」 と呼 び,残 り の 「術 語,記 号 法,メ タ数 学,方 法 論,歴 史 記 述 」 を 「数 学 の 付 随 的 部 分 」

と呼 ぶ こ と に し よ う.

ク ロ ウの 描 く数 学 的 知 識 の 歴 史 構 造 の モ デ ル で は,数 学 の 実 質 的 部 分 と 付 随 的 部 分 と い う 二 つ の 領 域 の 間 の 緊 張 関 係 か ら知 識 の 発 展 が 説 明 さ れ る.

第 一 に,「 数 学 の 実 質 的 部 分 」 で は,数 学 の 進 歩 は 原 理 的 に は す で に 受 容 し た 諸 定 理 か ら演 繹 に よ っ て 新 し い 帰 結 を 導 出 す る こ と に あ る.さ らに,論 文 「あ と が き(1992):数 学 の 歴 史 記 述 に お け る 革 命?」(以 下,「 あ とが き」

論 文 と省 略)の 中 で の ク ロ ウ の 回 顧 的 な所 見 を 参 考 に す る と,数 学 の 実 質 的 部 分 で 想 定 して い た も の は さ ら に具 体 的 に 表 現 さ れ る.「 定 理 は 一 度 証 明 さ れ て し ま え ば,い つ ま で も真 の ま まで あ る」(Crowe[1992】,p.308)の で,数 学 者 の 活 動 に よ っ て 定 理 は 次 々 に 蓄 積 さ れ る.こ れ が 数 学 的 知 識 の 発 展 し

て い く基 本 路 線 で あ り,正 当 化 の 文 脈 に 関 連 し て い る.「 数 学 の 純 粋 な 合 理 性 か ら,新 しい 数 学 的 実 体 を 判 断 す る 唯 一 の 基 準 は こ の 数 学 的 実 体 が 前 提 か ら 演 繹 的 に 導 出 さ れ る か 否 か で あ る 」(ibid.).つ ま りs新 し い 数 学 的 知 識 は,既 存 の 「数 学 的 実 体 」 を 前 提 と して 演 繹 的 に 導 出 さ れ る こ とで,数 学 の 実 質 的 部 分 とい う確 実 で 反 駁 不 可 能 な も の と考 え られ る よ う に な る.

第 二 に,「 数 学 の 付 随 的 部 分 」 で は,数 学 的 進 歩 は演 繹 的 導 出 を 逸 脱 す る

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マ イ ケ ル ・ク ロ ウ と 数 学 に お け る 革 命 ^{ρへ1 5}

も う一 つ の経 路 で実 現 され る.そ こで 独 創 的 な数 学 者 は 「数学 の 形 而上 学 」 や 「直 観 的 知 識 」 とい う発 見 の 文 脈 を形 成 して,そ こか ら仮 説 的 な方 法 で 数 学 的 発 見 をす る.こ の領 域 は,他 者 と共 有 で きな い 数 学 者 の 個 人 的 な探 求 の 場 と して 与 え られ る.あ る 言 明 を真 と認 識 して い る わ け で は な い が, そ れ を真 と認 識 す る こ と を可 能 に す る発 見 の 文 脈 が あ る と きに は,数 学 者 は そ の 言 明 が真 で あ るか も しれ な い こ と を容 認 して,数 学 共 同体 に よ る確 認 を要 求 しな けれ ば な らない.「 新 しい数 学 的創 造 は この 創 造 の 保存 内容 よ

りもず っ と大 きな文 脈 の 中 で 頻 繁 に生 じて い る … …」(Crowe【1975】,P.18)・

ク ロ ウは発 見 の文 脈 の 幅 広 さを認 め なが ら も,あ く まで もプ ラ イベ ー トな もの で,そ の 有効 性 は創 造段 階 だ けの 一 過性 の もの で あ る と考 えた.

クー ンのパ ラ ダ イ ム論 で は,創 造 的科 学 者 の 先 導 に よ っ て新 しい科 学 共 同 体 が 形 成 され,新 しい権 威 が 生 まれ る.ク ロ ウの考 えで は,数 学 で は こ う した 新 しい 共 同体 の形 成 は 行 われ な い.数 学 の 実 質 的 部 分 を共 同体 が 基 盤 とす る ため,共 同体 の権 威 は 革 命 前 後 で も変 化 せ ず に 存 続 す る.創 造 的 数 学 者 は社 会 的 地 位 が あ ろ う と なか ろ う と,そ れ ぞ れ の 発 見 の 文 脈 でバ ラ バ ラ な活 動 が 強 い られ る.創 造 的 数 学 者 の 見 出 した 発 見 の 文脈 は 既 存 の 枠 組 み を0時 的 に超 えて 新 しい発 見 を促 す こ とに な るが,そ の発 見 は 実 質 的 部 分 全 体 の改 訂 を引 き起 こす こ とは ない.ま た,発 見 の 文脈 が 制 度 化 され る可 能 性 は 閉 ざ され て お り,新 た な権威 を形 成 す る こ とは な い.結 果 的 に は,新 しい発 見 は 実 質 的 部 分 に更 な る定 理 と して組 み 込 まれ る が,創 造 的 数学 者 の発 見 の 文脈 は時 間 と共 に忘 却 され破 棄 され る.

3革 命 不 在 テ ー ゼ に対 す る 自 己批 判 一 両義的立場 の崩壊 一

本 節 で は,ク ロ ウ の 自 己 批 判 を考 察 す る た め に,「 誤 解 」 論 文 を 中 心 に 検 討 を 加 え る.そ の 際 に 注 意 す べ き こ と は 「誤 解 」 論 文 の 位 置 づ け で あ る.

ギ リー ス 編 集 の 論 文 集RevolutionsinハMathematics(1992)に は ク ロ ウの 革 命 不 在 テ ー ゼ を 発 端 に して 始 ま っ た 数 学 に お け る 革 命 に 関 す る 諸 論 文 が 収 録 さ れ,「10法 則 」 論 文 と 「あ とが き」 論 文,他 の 執 筆 者 の 過 去 の 論 文 と新 た な 寄 稿 論 文 が 含 ま れ る.だ が,ク ロ ウ の 態 度 変 更 が 行 わ れ た 「誤 解 」 論 文

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だ け は 再 録 さ れ な か っ た た め,こ の 態 度 変 更 は 他 の ほ と ん ど の 論 者 た ち に 無 視 さ れ た.な ぜ そ の よ う な 結 果 に な っ た の か.「 誤 解 」 論 文 を読 ん で み る

と,い くつ か の 理 由 ら し き も の が 見 え て くる.

第 一 に,革 命 不 在 テ ー ゼ の 扱 い の 問 題 が あ る.こ の 論 文 で ク ロ ウ は 確 か に 革 命 不 在 テ ー ゼ を疑 問 視 して い る が,テ ー ゼ の 前 提 と な る他 の 主 張 を誤 解 と し て 批 判 的 に検 討 す る こ と の 方 に 議 論 が 集 中 し て い る.革 命 不 在 テ ー ゼ に 対 す る 疑 念 は 彼 の 思 想 的 展 開 と し て は 重 要 で あ る が,こ の 論 文 の 主 題 に と っ て は 二 次 的 な 問 題 に過 ぎ な い.第 二 に,ク ロ ウ の 立 場 の 曖 昧 さ が あ る.数 学 と そ の 歴 史 に 関 す る10の 誤 解 を 明 ら か に す る だ け で,彼 は そ こ か ら何 の 積 極 的 な 主 張 も展 開 せ ず,自 分 の 立 場 を示 さ な か っ た.さ ら に,誤 解 の 放 棄 を 訴 え な が ら も,「 私 は 大 抵 の 場 合 に そ の 逆 を 主 張 し な い 」 (Crowe[1988】,p.260)と 微 妙 な 言 い 回 し を使 う.(あ る 主 張 が 誤 解 で あ る と

は 言 っ て も,そ の 主 張 が あ ら ゆ る事 例 に 適 用 で き る と い う独 断 的 な 考 え を 否 定 し て い る の で あ っ て,全 面 的 に撤 回 を 求 め て は い な い.彼 は あ る種 の

ドグ マ テ ィズ ム を 排 除 し よ う と して い る の だ.)第 三 に,論 文 の 中 に は,ク ロ ウ の 思 想 的 発 展 段 階 が 不 親 切 な 形 で 暗 黙 に 示 さ れ て い る.彼 は 自 分 の 思 想 の 発 展 過 程 を論 文 の 中 で は 明 示 的 に 与 え て い な い し,そ の 一 部 に は 誤 解 を 孕 む 要 素 が あ る た め,そ の 読 者 は 十 分 に 注 意 しな い と,理 解 が 錯 綜 して し ま う.

こ う し た 問 題 を 念 頭 に 置 き な が ら,わ れ わ れ は ク ロ ウ の 見 解 を整 理 して 見 て い く必 要 が あ る.次 の10の 主 張 は 「誤 解 」 論 文(Crowe[1988],pp.260。

277)で 取 り上 げ られ た10の 誤 解 で あ る(以 下,「 誤 解1」 な ど に省 略).

1.数 学 の 方 法 論 は 演 繹 で あ る.

2.数 学 は 確 実 な 知 識 を与 え る.

3.数 学 は 累 積 的 で あ る.

4.数 学 的 言 明 は 不 変 的 に 正 しい.

5.数 学 の 構 造 は そ の 歴 史 を 正 確 に 反 映 す る.

6.数 学 的 証 明 に は 問 題 が な い.

7.厳 密 性 の 基 準 は 変 化 しな い.

8.数 学 の 方 法 論 は根 本 的 に 科 学 の 方 法 論 と は 異 な っ て い る.

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9.数 学 的 主 張 は 決 定 的 反 証 を 認 め る.

10.数 学 で 使 わ れ る 方 法 論 を特 定 す る 場 合,選 択 肢 は 経 験 主 義,形 式 主 義,直 観 主 義,プ ラ トニ ズ ム で あ る.

こ の10の 主 張 は,1975年 以 前 の 最 初 期 に 肯 定 され て い た ら しい(cLCrowe [1988】,p.260).だ が,1975年 に 部 分 的 に 誤 解 と され,最 終 的 に1988年 に は す べ て が 誤 解 と 考 え られ る よ う に な っ た.10の 主 張 の 中 に は,1975年 の

「10法 則 」 論 文 に まで 継 承 され る も の とそ れ ま で に 破 棄 さ れ た もの が 混 在 し て い る.こ の 点 に 注 意 して,10の 主 張 との 対 応 関係 を 比 較 し な が ら,最 初 期,1975年,1988年 以 降 の 三 つ の ク ロ ウ の 立 場 を 区 別 して い く こ と に し よ

う.

第 一 に,最 初 期 の 立 場 は 以 上 の10の 主 張 を 肯 定 す る こ と で 構 成 さ れ る.

こ れ は 「全 面 的 な 革 命 不 在 」 と い う立 場 で あ る.こ こ で は,実 質 的 部 分 で の 革 命 だ け で は な く,付 随 的 な 部 分 に 当 た る 部 分 で の 革 命 の 存 在 も 否 定 さ れ て い た.こ の 時 期 に 固 有 で1975年 に 破 棄 さ れ た 主 張 は,誤 解1,誤 解5, 誤 解6,誤 解7で あ る.方 法 論 が 演 繹 に 制 限 さ れ(誤 解1),歴 史 と 演 繹 構 造 が 対 応 し合 っ て い る(誤 解5)の で,前 節 で 論 じ ら れ た 創 造 的 数 学 者 の 逸 脱 行 動 の 余 地 は 残 さ れ な い.ま た,厳 密 性 の 基 準 が 変 化 せ ず(誤 解7),数 学 的 証 明 に 問 題 が な い(誤 解6)の は,演 繹 的 方 法 が 支 配 的 で あ る(誤 解1) た め だ と言 え る だ ろ う.こ の 四 つ の 主 張 か ら,歴 史 記 述,方 法 論,(新 しい 概 念 の 発 見 の 文 脈 に 活 路 を与 え る)メ タ数 学 や 形 而 上 学 で の 革 命 的 変 化 の 可 能 性 が 否 定 さ れ て い る.

第 二 に,前 節 で 論 じた1975年 の 「10法 則 」 論 文 の 立 場 が あ る.ク ロ ウ は 革 命 不 在 テ ー ゼ の 補 足 説 明 の 中 で,付 随 的 部 分 で の 革 命 的 変 化 を容 認 した.

だ が,最 初 期 の 立 場 と比 較 対 照 す る 場 合,そ れ は 単 な る 補 足 説 明 以 上 の も の で,極 め て 重 要 な 論 点 を 与 え て い る.最 初 期 の ク ロ ウ の 立 場 で は,実 質 的 部 分 と付 随 的 部 分 の 全 体 に わ た る 「全 面 的 な 革 命 不 在 テ ー ゼ 」 が 提 唱 さ れ た が,こ の 時 期 に な る と,ま ず 付 随 的 部 分 で の 革 命 的 変 化 が 容 認 さ れ る.

こ れ に 対 し て,実 質 的 部 分 に 関 す る 誤 解2,誤 解3,誤 解4は,最 初 期 の 立 場 か ら継 承 され た.こ の 三 つ の 主 張 は,数 学 的 知 識 の 連 続 性 を 維 持 す る 役 割 を果 た して い る.1975年 の 立 場 で は,数 学 の 発 展 は 既 存 の 数 学 的 知 識

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か ら の 演 繹 的 導 出 に よ っ て 新 しい 定 理 を 獲 得 す る と い う経 過 を辿 る.付 随 的 部 分 で の 逸 脱 行 動 が あ っ て も,す べ て の 数 学 的 成 果 は 実 質 的 部 分 で の 成 長 に 集 約 され,不 変 的 に 正 し く(誤 解4),確 実 な 知 識(誤 解2)が 累 積 的 に 増 大 して い く(誤 解3).

第 三 に,1988年 以 降 の 立 場 が あ る.誤 解2,誤 解3,誤 解4に 批 判 の 矢 が 向 け ら れ,数 学 の 実 質 的 部 分 に 関 す る 自分 の 見 解 が 修 正 さ れ る.そ の 結 果,彼 は 革 命 不 在 テ ー ゼ を 疑 問 視 す る よ う に な る.最 終 的 に ク ロ ウが 到 達 し た 立 場 で はs実 質 的 部 分 と付 随 的 部 分 の 双 方 で 革 命 存 在 の 可 能 性 が 容 認 さ れ る.す な わ ち,数 学 で も 革 命 が 起 こ る こ と も あ る し,術 語,記 号 法, メ タ数 学,方 法 論,歴 史 記 述 で も,革 命 が 起 こ る こ と も あ る,と い う革 命 の 存 在 を全 面 的 に 容 認 す る立 場 に 至 っ た こ と に な る.

以 上 の 三 つ の 立 場 の 変 遷 は,演 繹 主 義 か ら革 命 的 変 化 を容 認 す る 立 場 へ の 段 階 的 移 行 と して 特 徴 づ け られ る.第 一 期 の1975年 以 前 の 立 場 で は,極 端 な 演 繹 主 義 が 採 用 さ れ て い た.1975年 の 「10法 則 」 論 文 に代 表 さ れ る 第

二 期 に な る と,ク ロ ウ は 二 元 論 的 立 場 を 取 っ て,一 方 で は,数 学 的 知 識 の 実 質 的 部 分 を 初 期 の 演 繹 主 義 で 維 持 して,革 命 不 在 テ ー ゼ を 提 唱 して い る が,他 方 で は,ク ー ンの 社 会 心 理 学 的 分 析 を 受 け 入 れ て 数 学 者 の 自 由 な 活 動 が 果 た す 役 割 を積 極 的 に 評 価 す る よ う に な る.最 後 の 第 三 期 に は,数 学 的 知 識 の 実 質 的 部 分 につ い て も大 幅 な 見 直 しが 迫 ら れ て,革 命 不 在 テ ー ゼ が 揺 ら ぐこ とに な っ た.

で は,こ の 時 間 的 推 移 を念 頭 に 置 い て,「 誤 解 」 論 文 で の ク ロ ウの 自 己 批 判 が ど の よ う に して 革 命 不 在 テ ー ゼ を疑 問 視 す る こ と に な っ た の か を 見 て い くこ と に し よ う.先 に 述 べ た よ う に,第 二 期 か ら 第 三 期 へ の 移 行 が ク ロ ウ の 自 己 批 判 に 対 応 す る.革 命 の 問 題 は,特 に 誤 解3と 誤 解4が 深 く関 連 して い る.と い う の も,彼 自 身 が 誤 解4の 冒 頭 で,「 数 学 の 累 積 性 の 問 題 で の 最 も興 味 深 い 側 面 は,数 学 的 主 張 が こ れ まで 反 駁 さ れ た こ と が あ る の か,

とい う 問 題 に 関 わ って い る」(Crowe【1988】,P.264)と 述 べ て い る た め で あ る.

そ の た め,誤 解3と 誤 解4を 分 析 し て い く こ と に し よ う.

最 初 に,「 数 学 は 累 積 的 で あ る」 と い う誤 解3が あ る.だ が,ク ロ ウ は 非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 の 発 見 を挙 げ て,「 こ の 事 例 は 驚 くほ ど に 数 学 が 累 積 的 で あ る こ と を 例 証 す る 」(Crowe【1988】,p.263)と 述 べ て い る.こ の 見 解 に 関

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マ イ ケ ル ・ク ロ ウ と 数 学 に お け る 革 命 59

す る 限 りで は,累 積 性 に 対 す る 彼 の 肯 定 的 な 態 度 に は 依 然 と し て 最 初 期 の 立 場 が 払 拭 され て は い な い.こ こ で 行 わ れ る 彼 の 累 積 性 批 判 は,直 接 的 な も の で は な い が,数 学 共 同 体 の 実 践 的 側 面 に 注 目す る こ と か ら生 じて くる.

「数 学 の 堅 固 な領 域 は,あ ら ゆ る実 践 的 目的 の た め に 放 棄 され て きた 」(ibid.).

数 学 者 た ち は 実 践 的 目 的 に よ っ て研 究 対 象 を 変 更 す る た め に,数 学 の 多 く の 研 究 は 時 間 が 経 過 す る に つ れ て 省 み ら れ る こ と な く置 き去 り に され て し ま う こ と に な る.だ と す る と,過 去 の 数 学 的 知 識 が 反 駁 され な い ま ま新 し い 数 学 的 知 識 が 加 え ら れ て も,「 累 積 」 と い う 表 現 は 妥 当 で は な い.過 去 の 業 績 は 実 践 的 目的 の 変 化 に よ っ て 忘 却 さ れ る た め,革 命 的 な 変 化 を 伴 わ な い で も廃 れ て い くこ と に な る.こ こ で も ク ロ ウ は 実 質 的 部 分 で の 累 積 性 が 完 全 に 撤 回 して い る わ け で は な く,数 学 者 の 実 践 的 目 的 の 変 化 に 伴 う忘 却 作 用 に よ っ て 累 積 性 が 損 な わ れ る と考 え て い る4).

革 命 不 在 テ ー ゼ が 直 接 言 及 され る の は,「 数 学 的 言 明 は 不 変 的 に 正 しい 」 と い う誤 解4に お い て で あ る.先 に 触 れ た よ う に,冒 頭 に は 「数 学 の 累 積 性 の 問 題 で の 最 も興 味 深 い 側 面 は,数 学 的 主 張 が こ れ ま で 反 駁 さ れ た こ と が あ る の か,と い う 問 題 に 関 わ っ て い る」(Crowe[1988】,P.264)と い う一 文 が あ る.そ して,彼 は 「ジ ョゼ フ ・フ ー リエ は1822年 に,数 学 は 『ゆ っ く

り と形 成 さ れ る が,0度 獲 得 した す べ て の 原 理 を 保 存 す る 』 と表 明 した 」 (ibid.)と い う伝 統 的 な 数 学 史 観 を取 り上 げ て,そ の 前 提 に 誤 解4が あ る こ と

を 指 摘 す る.1975年 の 時 点 を振 り返 り,「 革 命 に 関 して そ う し た 主 張 〔革 命 不 在 テ ー ゼ 〕 を 行 っ た と き,数 学 的 言 明 と証 明 が 不 変 的 に正 しい,と い う 一 般 的 な 考 え に 私 は影 響 を受 け た 」(ibid .)と彼 は 述 べ て い る.ク ロ ウ は 数 学 的 言 明 の 不 可 謬 性 を 反 駁 す る論 証 を 行 っ て い る わ け で は な い.彼 の 著 作 一 般 に 言 え る こ とだ が,彼 の 叙 述 に は しば しば 他 の 研 究 者 か ら の 引 用 に 終 始 す る 傾 向 が あ る 。 彼 は 決 して 独 創 的 な 思 想 家 で は な く,優 れ た ア ン ソ ロ ジ ス トな の で あ る.こ こ で は,イ ム レ ・ラ カ トシ ュ,フ ィ リ ッ プ ・キ ッチ ャ

4)ク ロ ウ に と っ て 数 学 者 の 実 践 的 関 心 の 変 化 は,そ れ ぞ れ の 時 代 に あ る 特 定 の 数 学 の 分 野 が 流 行 した り,廃 れ て し ま っ た りす る も の と し て 捉 え ら れ て い る.こ れ に 対 し て,キ ッ チ ャ ー は ク ー ン の 科 学 革 命 に お け る 科 学 者 の 実 践 に 注 目 し て,実 践 的 関 心 の 変 化 か ら 数 学 共 同 体 の 信 念 群 の 歴 史 的 変 遷 を 再 構 成 す る新 た な 歴 史 記 述 の 方 法 を 提 案 し て い る.彼 は こ の よ う な 歴 史 的 変 化 を 「相 互 実 践 的 移 行(interpracticetransition)」 と 呼 ん で い る.こ の 試 み に つ い て は, Witcher[1984]の 特 にCh.9を 参 照 。

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一,モ ー リ ス ・ク ラ イ ン の 著 作 を挙 げ て,彼 は 数 学 の 歴 史 の 中 に さ ま ざ ま な 誤 謬 が 存 在 して き た 事 実 を 確 認 し て い る.例 え ば,多 面 体 に 関 す る オ イ ラ ー の 推 測 に は さ ま ざ ま な 証 明 が 与 え ら れ た が,繰 り返 し反 証 さ れ て き た.

ま た,平 行 線 公 理 の 問 題 は 古 代 か ら19世 紀 ま で ず っ と解 決 さ れ な い ま ま だ っ た.こ の よ う に歴 史 に 内 在 す る 数 多 くの 誤 謬 を 認 め た こ と か ら,「 数 学 的 言 明 は 普 遍 的 に 正 しい 」 と い う 主 張 は 誤 解 で あ る,と 彼 は 結 論 づ け る こ と

に な る.

誤 解4の 冒 頭 で は,誤 解3と の 関 連 が 指 摘 され て い る が,そ れ 以 上 の 言 及 は 行 わ れ て い な い.こ こ で は,そ の 関 連 性 に つ い て も う 少 し触 れ て お く こ と に し よ う.そ の 際 に 参 考 に な る の は,1988年 の 態 度 変 更 に 至 る 経 緯 を 要 約 し た 「あ と が き」 論 文 の0節 で あ る.そ こ で 彼 は 次 の よ う に 述 べ る.

「… … 私 は 数 学 の 中 の 数 多 くの 言 明 や 証 明 が 誤 りで あ る こ と に 気 づ く よ う に な っ た.こ の こ と を確 信 して か ら,… … 数 学 の 累 積 性 を提 唱 す る 主 張 を 疑 問 視 す る よ う に な り,数 学 の 累 積 性 を 過 大 評 価 して い る と い う … … 主 張 に 共 感 す る よ う に な っ た.… … こ の こ と か ら,数 学 で は 革 命 は 不 可 能 で あ る, と い う1975年 の 私 の 主 張 は 危 機 に 陥 る」(Crowe【1992】,p.313).数 学 の 不 可 謬 性 と い う誤 解 が 指 摘 さ れ た こ と か ら,累 積 性 を 過 度 に 強 調 す る こ とが 疑 問 視 さ れ,最 終 的 に,革 命 不 在 テ ー ゼ が 揺 ら ぐ,と い う 議 論 の 流 れ に な っ て い る.誤 解3で は,実 践 的 目的 の 変 化 を理 由 に 累 積 性 を批 判 して い る が, 誤 解3の 冒 頭 の 言 葉 と 「あ と が き」 論 文 の 一 節 か ら す る と,ク ロ ウ は 数 学 的 言 明 の 可 謬 性 か ら も累 積 性 を批 判 して お り,こ れ が 直 接,革 命 不 在 テ ー

ゼ に 対 す る 批 判 へ と繋 が っ て い る の で あ る.

ク ロ ウ の 考 え で は,誤 解4か ら 数 学 的 知 識 の 可 謬 性 を 認 め る こ と か ら,

「10法 則 」 論 文 の 革 命 不 在 テ ー ゼ の 前 提 に 難 点 が あ る こ と が 明 ら か に な る.

こ う し た 態 度 変 更 の 結 果,彼 が 新 た に ど の よ う な 立 場 を展 開 す る こ と に な る の か,と い う こ と に わ れ わ れ が 関 心 を 持 つ の は 当 然 の こ とで あ る.だ が, 先 に 述 べ た よ う に,彼 は10の 主 張 を 誤 解 と 考 え て 独 断 的 に 固 執 す る こ と を 批 判 し た が,「 そ の 逆 を 主 張 す る こ と は し な い 」(Crowel1988】,p.260)と 留 保 を 与 え る.そ の た め に,彼 は 自分 の 立 場 を 積 極 的 に 展 開 し な か っ た.ま

た,ク ロ ウ は 「あ とが き」 論 文 の 末 尾 で 「数 学 で 革 命 は 起 こ っ た の か,と い う 問 題 は 実 質 的 に 定 義 次 第 で あ る 」(Crowe[1992】,p.316)と い う 曖 昧 な 言

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マ イ ケ ル ・ク ロ ウ と 数 学 に お け る 革 命 61

葉 を残 して い る.否 定 的 な帰 結 を期 待 す る な ら ば,定 義 の 仕 方 に よ っ て は, 依 然 と して 革 命 不 在 の 選 択 肢 も残 さ れ て い る,と い う こ と に な る.だ が, そ れ が ク ロ ウ の 立 場 で あ る と は 限 ら な い.「 定 義 次 第 」 と は 言 っ て い る が, や は り,ク ロ ウ 自 身 は も は や 革 命 不 在 と い う 強 い テ ー ゼ を も は や 積 極 的 に 繰 り返 す こ と は な い,と 考 え る の が 妥 当 な と こ ろ で あ ろ う.要 す る に,彼

は わ れ わ れ の 疑 問 や 期 待 に は 応 え て くれ ず,自 己 批 判 と い う否 定 的 な 結 論 か ら ど こへ 向 か う こ と に な る の か を示 して は い な い.

4ク ロ ウの 革 命 概 念 の批 判 的検 討

最 終 的 に,ク ロ ウ は 革 命 の 存 在 を 容 認 す る 立 場 を取 る よ う に な っ た が, そ こ に 至 る彼 の 議 論 に は,疑 問 を 差 し挟 む 余 地 が 各 所 に 残 さ れ て い る.彼 は 数 学 の 可 謬 性 の 認 識 か ら数 学 の 累 積 性 の 困 難 を 指 摘 し て,革 命 不 在 テ ー ゼ に 対 す る疑 念 を 導 い て い っ た.こ の プ ロ セ ス は 妥 当 な も の と 言 え る の だ ろ う か?わ れ わ れ は 可 謬 性,累 積 性,革 命 的 変 化 の 可 能 性 に つ い て,更 に, そ の 間 に どの よ う な 連 関 が あ る の か に つ い て 詮 索 す る こ とが で き る.だ が, こ れ ま で に 見 て き た よ う に,ク ロ ウの 叙 述 か ら読 み 取 れ る も の は 限 定 的 な も の で あ る た め,そ れ 以 上 の 考 察 は 推 測 の 域 に 留 ま ら ざ る を得 な い.こ こ で は,ク ロ ウ の 発 言 に 即 し た 範 囲 で,彼 の 革 命 概 念 が 本 当 に 適 用 され て い

る の か,に つ い て 検 討 す る こ と に し よ う.

私 が 注 目す る の は,ク ロ ウ の 考 え る 革 命 が 「術 語f記 号 法,メ タ数 学, 方 法 論,歴 史 記 述 」 で 本 当 に 起 こ っ た と 言 え る の か,と い う 問 題 で あ る.

話 を進 め る前 に,「 革 命 」概 念 の 規 定 を も う 少 し踏 み 込 ん で 考 察 す る た め に, ク ロ ウ に 対 立 す る ドー ベ ン の 革 命 概 念 の 規 定 を 見 る こ と に し よ う.ド ー ベ ン は ク ロ ウ の 革 命 概 念 が あ ま りに 狭 義 で あ る こ と を批 判 し,多 くの 革 命 的 変 化 が 見 過 ご さ れ る 危 険 性 を指 摘 した.ド ー ベ ンの 革 命 で は,「 過 去 の 数 学 の 多 くの 定 理 や 発 見 は,ま っ た く新 しい 理 論 や 数 学 原 理 を以 前 の も の に 与 え る 概 念 革 命 の 結 果 と し て,そ れ ほ ど 重 要 で は な い 立 場 に 退 け ら れ る 」 (Dauben【1984」,p.52)5}.こ こ で ドー ベ ンは,革 命 的 変 化 の 新 た な 特 徴 づ け

5}ク ロ ウ は ドー ベ ンの 革 命 概 念 が 示 す 変 化 の パ タ ー ンを 見 落 と した わ け で は な い.「10 法 則 」 論 文 の 中 で,ク ロ ウ は 過 去 の 学 説 を転 覆 せ ず に新 しい 領 域 を 形 成 す る 変 化 を 「「形 成 的

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62 哲 学 誌44号

を与 え る こ と で,ク ロ ウ と は 別 の仕 方 で 革 命 不 在 テ ー ゼ を批 判 して い る.

そ れ で は,数 学 の 実 質 的 部 分 に 入 ら な い 付 随 的 部 分 で の 革 命 に つ い て , ク ロ ウ の 叙 述 を 見 る こ と に し よ う.第 一 に取 り上 げ る の は,方 法 論 に お け る 革 命 で あ る.先 に 引 用 し た よ う に,彼 は1975年 の 「10法 則 」 論 文 で 「方 法 論(例 え ばs厳 密 性 の 基 準)」(Crowe【1975】p.19)で の 革 命 的 変 化 を示 唆 し た.具 体 的 な 説 明 は 「誤 解 」 論 文 の 誤 解7「 厳 密 性 の 基 準 は 変 化 し な い 」 で 行 わ れ て い る.「 厳 密 性 の 基 準 は 強 化 さ れ る だ け で は な く,性 質 も変 化 す

る.1700年 に 幾 何 学 は そ の よ う な 〔厳 密 性 の 〕 基 準 に と っ て の パ ラ ダ イ ム を与 え る もの と考 え ら れ た が,19世 紀 後 半 ま で に,集 合 論 に よ っ て 定 式 化 さ れ た 基 準 に 結 局 の と こ ろ 道 を譲 る こ と で,算 術 的e代 数 的 考 察 が...,目 の もの と考 え られ る よ う に な っ た 」(Crowe【1988】 .P.270).こ れ で は,そ の 変 化 は厳 密 性 の 基 準 の 順 位 を入 れ 替 え る こ と で,「 取 返 しの つ か な い よ う に 破 棄 さ れ る 」 と い う ク ロ ウ の 狭 義 の 革 命 概 念 に 当 て 嵌 ま ら な い.む し ろ,

そ れ は ドー ベ ンの い う 「そ れ ほ ど重 要 で な い 立 場 に 退 け られ る 」 とい う革 命 概 念 に 合 致 して い る.

歴 史 記 述 に お け る 革 命 で も,同 様 の 問 題 が あ る.彼 が 考 え る既 成 の 体 系 は 「数 学 の 歴 史 的 発 展 の 過 程 は 直 線 的 で 調 和 的 に進 ん で い く」 と い う伝 統 的 な 数 学 史 観 に従 っ て お り,そ の 制 約 か ら の 脱 却 が 革 命 を構 成 す る.伝 統 的 な 歴 史 記 述 は,誤 解1「 数 学 の 方 法 論 は 演 繹 で あ る 」 と誤 解5「 数 学 の 構 造 は そ の 歴 史 を 正 確 に 反 映 す る 」 の 二 つ に 基 づ い て 行 わ れ る.そ の 結 果,

「数 学 的 発 展 の 中 で 達 成 さ れ た 演 繹 的 連 鎖 を再 構 成 す る こ と に 数 学 史 家 の 役 割 を還 元 す る」(Crowel1988】,p.261)こ と に な る.こ こ で は,「 そ の 逆 を 主 張 す る こ と は な い 」 と い う 「誤 解 」 論 文 の 基 本 姿 勢 に従 っ て い る.「 … … 数 学 史 家 は,過 去 の 数 学 か ら の 演 繹 連 鎖 を再 構 成 す る こ と だ け に 留 め る べ き で は な い.こ の こ と は,演 繹 が 数 学 的 方 法 論 の 中 で 主 要 な 役 割 を 果 た す こ と を否 定 す る こ とで は な い」(ibid.).演 繹 連 鎖 の 再 構 成 は 否 定 され た わ け で は な く,そ こ か ら 逸 脱 す る 余 地 が 与 え られ た .こ の よ う に,歴 史 記 述 で の 革 命 に 関 す る ク ロ ウ の 説 明 で も,実 際 に は ドー ベ ン流 の 革 命 概 念 が 使 わ れ

(formational)』 発 見 」(Crowe【1975Lp.19)と 呼 び,数 学 史 で は こ の 種 の 変 化 が 生 じ て い る と 主 張 し た.だ が,彼 の 考 え で は,こ の 変 化 は 革 命 で は な い.

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マ イ ケ ル ・ク ロ ウ と 数 学 に お け る 革 命 ⁶³

て い る.伝 統 的見 解 の 絶 対 視 をや め て,新 しい歴 史記 述 の可 能 性 を認 め る こ とで,歴 史 記 述 に お け る 「革 命 」 が 起 こ る.

以 上 の こ とか らク ロ ウが 抱 えて い る 一 つ の 難 点 が 明 らか に な る.方 法 論 (厳 密 性 の 基 準)と 歴 史記 述 で の 例証 に 見 られ る よ うに,彼 は数 学 の 付 随 的 部 分 の 中 で,既 存 の もの の 絶 対 的 地 位 を剥 奪 して比 較 的 重 要 で な い立 場 に 後 退 させ る,と い う こ と を 「革 命 」 と考 え た.奇 妙 な こ と に,ク ロ ウ は

「取 返 しの つ か ない よ うに棄 却 す る」とい う 自分 の 厳 密 な革 命 概 念 を忘 れ て, ドーベ ンの 革 命概 念 と変 わ りが な い規 定 を使 っ て い る.ク ロ ウは 二 つ の 基 準 を作 りだ して,狭 義 の厳 密 な革 命 概 念(「 取 返 しの つ か な い よ うに棄 却 す る」)を 「数学 の 中」 に適 用 し,よ り穏 健 な革 命 概 念(「 絶 対 的 地 位 を奪 い, 重 要 で ない 立 場 に後 退 させ る」)を 数 学 の 外 部 の 方 法 論 と歴 史記 述 に適 用 し

て い るの で あ る.前 節 で は,彼 が 数学 の 付 随 的 部 分 だ け で は な く実 質 的 部 分 で の 革 命 の 存 在 を容 認 した こ と を見 て きた.だ が,ク ロ ウの狭 義 の 革 命 概 念 を付 随 的 部 分 に適 用 す る こ とが 困 難 だ と した ら,わ れ わ れ は 実 質 的 部 分 で の 革 命 の存 在 に つ い て も疑 念 を感 じざる を得 な い.こ の 問 題 はか な り 深 刻 で あ る.ド ー ベ ンの 穏 健 な 革 命 概 念 を考 慮 しない で,ク ロ ウ は革 命 不 在 テ ー ゼか ら ラデ ィカ ル な革 命 概 念 の 容 認 へ と大 幅 な態 度 変 更 を行 っ たが,

この 革 命 概 念 に は 具 体 的 な例 証 が 与 え られ て い な い ま まに な って い る.ま た,単 純 に革 命 の可 能性 が 与 え られれ ばい い と も思 え ない.素 朴 な誤 謬 の修 正 とい う変 化 を除 くと,「 取 返 しのつ か ない よ うに 棄却 す る」 こ とに な る よ

う な ラ デ ィ カル な革 命 の存 在 を ク ロ ウが 本 当 に肯 定 で きる か は依 然 と して 不 明 の ま まで あ り,私 には そ の見 通 しは困 難 で あ る よ うに思 え る ので あ る.

5結 論

前 節 で は,ク ロ ウ の 見 解 の 抱 え て い る 困 難 を 検 討 し て き た.最 終 的 に, 彼 は 革 命 不 在 テ ー ゼ を疑 問 視 す る だ け で 曖 昧 な 主 張 しか 与 え て い な い こ と が 明 ら か に な っ て き た.そ の た め,私 は,彼 の 立 場 に 明 確 な 評 価 を 与 え る こ と が で き な い,と 言 わ ざ る を得 な い.だ が,ク ロ ウ が 模 索 して き た 一 連 の 考 察 の 意 義 を否 定 す る こ と は で き な い だ ろ う.こ こ で は,ク ロ ウ の 提 起 し た 問 題 か ら幾 つ か の 点 を 取 り上 げ て,結 論 的 な 所 見 を 与 え る こ と に し よ

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う.

ま ず,ク ロ ウ の 積 極 的 な 提 案 の0つ は,数 学 の 実 質 的 部 分 と付 随 的 部 分 の 区 別 を認 め た こ と に あ る.「10法 則 」 論 文 で は,演 繹 的 導 出 だ け で 実 質 的 部 分 を説 明 し よ う と し た が,「 誤 解 」 論 文 に な る と,演 繹 の役 割 を 強 調 す る こ と に 慎 重 に な っ た.そ の と き,こ の 区 別 は 破 棄 さ れ る こ と に な る の か, 修 正 す る こ と で 維 持 で き る か,と い う 疑 問 が 生 じ る 。 だ が,残 念 な が ら, ク ロ ウ 自 身 は こ の 問 題 に 積 極 的 な 貢 献 を行 っ て い な い.そ の 代 わ りに,ダ

ン モ ア は 一 つ の 修 正 の 仕 方 を提 案 し て い る.彼 女 の 新 た な 区 別 で は,実 質 的 部 分 は 「対 象 レベ ル の 数 学 領 域 」 と呼 ば れ る こ と に な り,ク ロ ウ の 規 定 を 拡 張 し て 「概 念,用 語,表 記 法,お よ び,定 義,公 理,定 理,そ し て 証 明 法 と 問 題 解 決 法,問 題 と予 想 」 が 含 ま れ る.他 方 で,付 随 的 部 分 に 対 応 す る も の は 「共 同 体 の メ タ数 学 的 価 値 」 と 呼 ば れ,数 学 共 同 体 の 研 究 方 針 に 限 定 さ れ る こ と に な る(Dunmore【1992】,P.211).私 が 注 目す る の は,実 質 的 部 分 に 「証 明 法 と問 題 解 決 法,問 題 と予 想 」 を 加 え た 点 で あ る.特 に,

「問 題 と予 想 」 か ら数 学 の 歴 史 を 読 み 直 す こ と で,わ れ わ れ は 様 々 な解 決 の 試 み を系 列 と して 捉 え る こ と が で き る.そ こ に は,1975年 の ク ロ ウ が プ ラ イ ベ ー トな も の と考 え た 創 造 的 数 学 者 の 発 見 の 文 脈 を 見 出 す 手 掛 か りが 与 え ら れ る.演 繹 的 導 出 に 組 み 込 む こ と は で き な くて も,こ の 系 列 は 数 学 史 を 合 理 的 に 再 構 成 す る た め の 新 た な 見 取 り図 と し て 有 益 な もの と な る だ ろ

う1

次 に,数 学 に お け る通 約 不 可 能 性 の 問 題 を 取 り上 げ て お く こ と に し よ う.

こ の 問 題 は 特 に触 れ て こ な か っ た が,ク ロ ウ の 革 命 不 在 テ ー ゼ や 革 命 概 念 の 規 定 は 通 約 不 可 能 性 の 概 念 に 深 く 関 連 して い る.特 に,彼 の 革 命 不 在 テ ー ゼ は 数 学 に お け る 通 約 不 可 能 性 を 否 定 す る 強 い 意 味 を持 っ て い る .こ れ に 対 し て,ド ー ベ ン の 見 解 で は 通 約 不 可 能 性 は 別 の 仕 方 で 否 定 さ れ る こ と に な る.ド ー ベ ン は 「革 命 」 と い う表 現 を残 し て い る が,過 去 の 体 系 が 新 た な 体 系 と共 存 す る よ う な タ イ プ の 変 化 を 革 命 と規 定 す る た め,通 約 不 可 能 な 断 絶 を認 め る こ と は な い.こ の 見 解 は,非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 の 誕 生 が ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 と非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 と の 共 存 で 終 わ っ た と い う 事 実 を そ の 例 証 とす る こ とが で き る た め,新 た な 選 択 肢 と して 注 目す べ き も の と な る.通 約 不 可 能 性 に 対 す る 否 定 的 な 方 向 性 か ら す る と,ク ー ン の

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マ イ ケ ル ・ク 回 ウ と 数 学 に お け る 革 命

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科 学 革 命 の概 念 を形骸 化 して しま う危 険 性 を孕 んで い る と言 え る か も しれ な い.そ れ で も好 意 的 に解 釈 す る な らば,経 験 科 学 の 革 命 に お い て もそ の 数 学 的 部 分 で の通 約 不 可 能 性 につ い て慎 重 に検 討 す る必 要 が あ る,と い う 重 要 な示 唆 を与 えて くれ る.

ク ロ ウの最 大 の功 績 は,「 数 学 にお け る革 命 」 に関 す るそ の後 の活 発 な議 論 を生 み 出す 重 要 な 契機 を与 え た こ とに あ る.特 に革 命 不 在 テ ーゼ が 注 目

され,数 学 にお け る革 命 の 存 在 を認 め るの か,と い う問 題 は独 立 した論 議 の対 象 とな っ た.こ れ まで考 察 して きた よ うに,彼 自身 の 議 論 は単 な る踏 み石 とい うわ けで は な く,そ れ 自体 で 依然 と して検 討 に値 す る問 題 を含 ん で い る.多 くの 論 者 た ち が ク ロ ウの 革 命 不 在 テ ーゼ に注 目 した の は,数 学 に お け る革命 的変 化 の 規 定 の 仕 方 につ い て,彼 らが そ れ まで に実 際 の と こ ろ ク ロウ ほ どに十 分 な考 察 を行 って い なか っ た ため で あ る と言 え るだ ろ う.

ク ロ ウは 態 度 変 更 の 後 に最 終 的 に明 確 な答 え を与 え て くれ なか った が,彼 の見 解 の辿 っ た変 遷 の 中 で,わ れ わ れ の考 察 す べ き課 題 は よ り幅 広 い 観点 か ら与 え られ て い る.10の 法 則 は革 命 の 問題 だ け で は な くパ ラ ダ イム論 の 他 の要 素 を数 学 に適 用 す る場 合 の問 題 も提 起 して い る.10の 誤 解 は 数学 に 対 す る一 般 的 偏 見 を明示 した もの で あ り,そ の偏 見 との 関連 の 中 に革 命 の 問 題 も見 出 され る.そ れ らの 法 則 も誤解 もそ れ ぞ れ 容 易 に結 論 づ け られ る もので は な い.こ れ らの 法 則 と誤 解 との 関 連 の 中 で ク ロ ウは革 命 の 問題 を 論 じた,と い うこ とに わ れ わ れ は留 意 すべ きで あ る.ク ロ ウの見 解 の 中 に 革 命 的 変 化 を考 察 す る た め の 導 きの 糸 が示 され て い るの は,そ の 背 後 に あ る他 の諸 問 題 との 結 びつ きが念 頭 に置 か れ て い たた め なの で あ る.

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