小野一良森下光政伊藤義男

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曲線軌道が蒸気機関車より受ける横圧力について

（第１１報）

小野一良森下光政伊藤義男

LateraIForcesAppIiedtoCurvedTracks byaSteamLocomotive

hyKazuyosiONo,MitumasaMoRIsITAandYosiolToo

lnapreviouspaperoneoftheauthorsanalysedthelateraldisplacementoftherailway trackandthebendingstressesintherailsunderthelateralforcesappliedtotherailheadsby

alocomotiveinmotion，usingthedifferentialequationoftheeighthorder、Therailswere assumedtobesupportedlaterallybysleeperscontinuouslyalongtheirwholelengths，asif theyhadbeenfastenedonlongitudinalsleeperslnthepresentpapertheauuhorssolvedthe sameproblembyusingfinitedifferenceequations，assumingthattherailsweresupported laterallybysleeperslaiduniformdistancesapart，ａｎｄｔｈａｔｔｈｅｆｏｒｃｅｓａｎｄｔｈｅｍｏｍｅｎｔｓａｃting betweentherailsandthesleeperswereproportionaltotheirrelativedisplacementsandthe anglesoftiltingoftherailsrespectively・Ｓｏｍｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓａｒｅｓｈｏｗｎａndcompared

withtheresultsgivenintbepreviouspaper、

Thetorsionalrigidityoftherailentersintotheabove-citedcalculationsbut，ithad neverbeenmeasured，theauthorsestimateditbytorsionａｌｔｅｓｔｓｏｆｔｈｅｒａｉｌａｎｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅａnalogybetweentorsionofarailandderformationofathinfilmstretchｅｄｏｖｅｒａｈｏｌｅｉｎａ

Ｈａｔｐｌａｔｅ．

１．緒菅

著者は前報告、において軌道が車輪より横圧力を受けた場合に軌道に生ずる横移動，レールに生ずる振りおよび曲げ応力の計算方法を述べ，これを実験結果に比較した．しかしこの解法においてはレールが枕木から受ける反力を枕木間に分散させてレールがその全長にわたって弾性的に支持されていると仮定した。レールの横移動および小返りの大体の形を知るためにはこの解法で差支えないが，レールに生ずる曲げ応力または枕木がレールより受ける力を計算するにはレールが等間隔に配置された

枕木の各々より集中的に反力を受けるとして解く要がある。

レールが枕木より受ける横方向の反力およびモーメントはそれぞれレール底部の横移動および小返りに比例すると仮定することは実験によっても確かめられ，問題はない。しかるにこの比例の常数は横圧力と同時に加えた垂直荷重の大きさによって変化することが実験によって見出され2)，問題が複雑になる｡比例の常数が垂直荷重の大きさによって変化することを考慮に入れた解法も発表されているが3)，蒸気機関車のように多数の車輪が近接して軌道上に載る場合にはこの下にある数挺の枕木において枕木がレールから受ける垂直圧力はほぼ一定であると見徹される。また実験によれば垂直荷重が相当大きくなれば比例の常数は大して変化しない。よって比例の常数を垂直荷重に無関係と仮定し

た解法が実際の条件に近くなる場合が多い。

1６

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小野・森下・伊藤：曲線軌道が蒸気機関車より受ける横圧力について ^１７

従来発表された多くの論文`〕は[/－ルの横移動と小返りとを分離して論じているが，こjriらはたが

?Y

いに関連を持つので分離することは適当でない。よって本論文においてはこれらを同時に考慮に入れた解法を示した。以上を要約して本文で述べた解法の特徴を示せば次のごとくなる。

（ａ）レールの横移動と小返りとを同時に考慮した。

（ｂ）レールが横圧力を受けた場合にレールは等間隔に配置された枕木より集中的に反力を受け，

枕木間においては反力を受けないとして解いた。

（Ｃ）レールが枕木より受ける横方向の反力およびモーメントをそれぞれレール底部の横移動および小返りに比例すると仮定し，その比例の常数は垂直荷重の大きさに拘わらず一定とした。

（ｄ）片側のレールだけが横圧力を受ける場合でも枕木の移動によってこの影響が反対側のレールに及ぼされることを考慮に入れた。

２．一般解の誘導

レールの横移動および振れを論ずるに当ってはレールを頭部，腹部，底部の３部分に分けて論ずることとし，これらの横移動，振れおよびレールの頭部，腹部，底部の切断部に作用する力およびモーメントについては前報告と同様な記号を用いてあらわす。すなわち左側レールについては

ここに§,，ａ，Ｅ３はそれぞれ左罰外⑩

側レール頭部，腹部，底部の振り中心の横移動であり，畠は左側レール底面の横移動である。またＰ４は左側レールの振り角である。これらの数値は軌間外方に向うときを正とする。またん,，〃２，〃3はそれぞれレール頭部，腹部，底部の振り中心のレール底面からの高さである。

任意の枕木より前方に向って順次仁０，１，２，……と番号をつける。ある地点より前方においてレールは外から横圧力またはモーメントを受けることがないと仮定し，その区間について考察を進める。番号〃の枕木を原点として番号〃＋１の枕木に向ってレールに沿うてｊＵ軸の正の方向を採る。

レールの頭部，腹部，底部の垂直断面に水平方向に作用する剪断力をそれぞれＳ１，ｓ２，ｓ３とし，これらの剪断力の作用点をそれぞれ

浩皇』

Bz+等』

Ｘ

ｒ」

第１図レールの各部分に作用する力

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金沢大学工学部紀要３巻１号1963年

：:鑿二二W■二:－１ ^{肌鶚-s什胸=Ｏ}

Ｇﾊ等+zi-川(ルル,`)=０

－Ｗ》蛎伽…｜⑫ル

Ｇﾊ鶚+〃Ｍ蕊一胸鬮)=0

ここにル,２はレール頭部と腹部の境界のレール底面からの高さであり，ル２３は腹部と底部の境界のレール底面からの高さである。（2.2）および（2.3）式における３式をそれぞれ合計すれば

ＥＩ鵲+EH鶚_い÷÷=０（２４Ｇ'幾一EB芸豐-EK鶚+Ｍ,鰄讓÷=ｏ（25）

ただしここに

Ｉ＝凸十四＋１３（２．６）

ノーノ,＋Ｌ＋入（２．７）

Ｈ＝Ｍ]＋Ｍ２＋Ｍ３（２８）

Ｋ＝Ml2＋Ｌ",,2＋囚〃３２（２．９）

Ｑ4,”+÷＝S,＋S2＋S‘ ^（2.10）

Ｍ,鋼+÷＝Zi＋Z圏＋星＋〃,S,＋ﾊﾖS2＋ｈＳ＄ ^（2.11）

い,灘十会はレール断面に作用する剪断力の合計であり，Ｍ３,"+÷はＱ4,"+÷の作用点をレール底面に移した場合にレール断面に作用するモーメントの合計である。今後は取扱いの便宜上Ｑ…+÷

の作用点をレール底面とする。さきに述べた仮定によって番号〃と〃＋１の枕木の中間においてレールは外力またはモーメントを受けることがなく，また枕木に接触することもないので前報告第４図

に示したＡおよび肉はｏと見徹される。よってい,"十÷および脇,総+÷は番号〃Ｍ＋’の

枕木の中間において一定値を採る。いまここに

刑=畠十÷例（212）

と置けば（2.4）および（2.5）式は次のように変形される。

Ｅ'幾一Ⅲ+÷=0（213）

Ｇﾉ鶚-Ｍ鶚一半祭十川緤÷=ｏ（214）

ただしここに

1８－

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小野・森下・伊藤：曲線軌道が蒸気機関車より受ける横圧力について ^１９

Ｌ＝ＩＩｒ－Ｈ２

（2.15）

右側レールに関してはⅦ９４のかわりにそれぞれ〃２，９２と置き，Ｑ４，”+-1,Ｍ，〃+上のかわり

_２２

にそれぞれＱ２,鰄十上,Ｍ２,獅十÷と置けばこれまでと同様な計算方法によって次式が得られる。

Ｅ'幾一Q…÷-0（216）

ＧＪ鶚一EH鶚一半鶚+ＭＭ÷=０（川）

ただしここに〃２，９ｚは軌間内方に向うときを正とし，Ｍ，〃+_ＬはＱ２，〃+_Ｌの作用点をレール底面に移した場合における右側レール断面に作用するモーメントである６次に

、=÷(加一州ワ鰯=÷(加+卯）（2,8）

作÷(作物)，㈹=合い+化）（川）

Ｑ…告二会(Q…÷-Q…÷）｜ ^（2.20）

Ｑ…÷=-＝(Q…÷+Q…÷）Ｉ

ＭＭ÷=÷(川緋÷-MM÷）｜ ^（2.21）

ＭＭ告=会(MM辮告+…÷）｜

と置けば（2.13）および（2.14）式よりそれぞれ（2.16）および（2.17）式を差し引き，または加えることによって次式が得られる。’

Ｅ'幾一q…÷=ｏ ^（2.22）

Ｃﾉ鶚一EH幾一￥に鶚+ルー０（223）

ただしここにノー１，３

（2.22）および（2.23）式はｊ＝４または２とした場合にも当然満足され，これより後に導く諸式は特に注意しない限りすべてｊ＝１，２，３，４に適用される。

枕木間隔を．乢番号"の枕木上におけるｗ,鶚,鶚jハ鶚,鶚の値をそれぞれ(諏川(鶚)（鶚)ＷｉＭ(幕川(鶚昨置けば(222)式すなわち番号

〃と〃＋１の枕木の間に外力が作用しないという条件より次の２式が導かれる。

６((蜥仙繩)+6`(鶚ルー`圏{(鶚L+2(鶚川}=Ｏ（M』）

６(い-い÷Ⅲ)＋6・(際)艫+画欝{2(祭肪(祭川)=０（225）

上式は番号〃と〃＋１の枕木の間について導いたのであるが，番号〃－１と〃の枕木の間にも

同様な式が導かれる｡また枕木上において,恥鶚,鶚の値は連続であると考えられる｡岬

て（224）式の〃のかわりに〃－１と置けば

６{ﾙﾘｰい}+6厘僻肪α,{(鶚ル+2(祭)｣=ｏ（M6）

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2０

金沢大学工学部紀要３巻１号1963年

(226)式より(〃)式を差し引けば連続した3箇の枕木上におけＭと静この間の関係式

が得られる。

６{(柳,-2(ﾜﾙ+("加十,卜`,((一癖比+4(~:ｆｌ１ｌＬ)鵬十(二芸ＩＩＬ)峠,}=ｏ（227）

番号〃の枕木上で左Ⅲルールが枕木より受ける水平方向の反力をＲ4,〃とし，右側レールが枕木より受ける反力をＲ2,〃とする。番号〃の枕木の前後で左右のレールに作用する剪断力はそれぞれＲ4,〃およびＲ2,〃だけ異なるはずであるから次の関係が成立する。

い,滋_÷-9,鰯十÷＝Ｒ…，Ｑ２,"_÷－Ｑ…+÷二尺…（228）

いまこ『こに

Ⅶルー会(R…-恥)，ルー÷(R…+R…）（229）

と置けば（2.28）および（2.20）式を考慮して次式が得られる。

Ｒみ〃＝9,”_÷－Ｑ心"+÷（2.30）

（2.22）式を番号〃の枕木と〃＋１の枕木の間で積分すれば

Ｅ`((鶚)"-(幾川)+αQ…÷=０（231）

上式の〃のかわりに〃－１と置けば

ＥＺ((鶚ルー(鶚)拙`い-告=0（232）

（2.32）式から（2.31）式を差し引き，（2.30）式を考慮すれば

Ｅｒ((鵲ルー2(鶚)艫+(鶚川}+`ルー０．（283）

次に（222）および（2.23）式よりりｉを含む項を消去すれば次式が得られる。

Ｇ"鶚-EL鶚一Ｈｗ辮舎＋ＩＭＭ÷-０（284）

いまここに

，=`(-甥)÷ ^（235）

１－両{:Ｔ=6,-両蓋7-1=‘（236）

と置けば（2.34）式より次の２式が得られる。

い-い"+`(鶚)蝋+一言li÷(`(鵲),,＋`(鶚ﾙi}=。（237）

い-(卿刀…(鶚ﾙ』一帯{b(鶚)順+・(鶚川)=。。(238）

（2.38）式において〃のかわりに〃－１と置けば

（低ﾙ`-川+ﾊﾟ等ル可島戸(,(祭川+･(鰯L汁、（239）

（2.39）式より（2.37）式を差し引けばい)"－，－２伽)〃＋(P山+’

一三ｊＨ６(鵲Ｌ+2`(謬竺)鑓+`(網州)=｡（240）

番号〃の枕木と〃＋１の枕木の間でレール方向を軸として左側レール断面に作用するモーメント

をＭ,"+÷とし，右側レール断面に作用するモーメントをIMh,"+÷とする。また番号〃の枕木

－２０－

(6)

小野・森下・伊藤：曲線軌道が蒸気機関車より受ける幟圧力について２１上で右側レールの小返りに抵抗して発生するモーメントを肌,〃とし，右側レールの小返りに抵抗して発生するモーメントをＭ,〃とする。番号〃の枕木の前後において左右のレール断面に作用するモ

ーメントはそれぞれ肌,'1および肌,〃だけ異るはずであるから次の関係が成立する。

Ｍ,"-÷－Ｍ,''十;－肌,,，，Ｍ２,"-÷－Ｍ2,,,+÷＝Ｍ〃（2.41）

いまここに

ルー÷UWF恥），Ⅳ…=÷(恥+恥）（242）

と置けば（2.41）および（2.21）式を考慮して次式が得られる。

（2.43）

Ｍ"＝１MＭ-÷－ＭＭ+÷

次に（223）式を番号〃の枕木と番号〃＋１の枕木の間で積分すれば

Ｇ'(伽壯("ﾙ+,)-EH{(祭炸(幾加）

一半{(繋汁(静i川)-Ｍ小半÷=Ｉ（M4）

上式の〃のかわりに〃－１と置けば

Ｇ'{(，ｶﾞﾙ]-(，,”}-EH{(祭ルー(祭),,｝

一半{(鵲ルー(磯)汁＠MM-÷=０（Ｍ）

（2.45）式より（244）式を差し引き，かつ（243）式を考慮すれば

Ｇ/{伽ﾙｰ,-2(仰刀＋(,Ｗ)-EH((鶚ルー2(祭)Ⅷ＋(祭川）

＿半((鵲ルー2(鶚)洲鵲ﾙ】)－`WｍＦＯ（M6）

レール底部の横移動は枕木上におけるレールの滑りと道床上における枕木の滑りとよりなるのでレールの枕木上における滑りに対する抵抗力はこの間の相対的移動量に比例するとなし，その比例の常数をル’とし，枕木の道床中の移動に対する抵抗力もこの間の相対的移動量に比例するとなし，その比例の常数をｈ２とすれば左側レール底部の横移動とこの横移動に対する抵抗力との間に次の関係が成

立する。

（ﾋﾞﾙｰﾆ;す些十血ぅ圭血（Ｍ〕

上式の畠を（212）式によって〃４および？４をもってあらわせば

仇ﾙｰ÷(仏炸半十叫声恥｜

右側レールについても同様にして（2.48）

（､ルギ(艫作￥+上旱些｜

上式に含まれる２式の差または和を作り，（2.18）および（2.19）式を考慮すれば次式が導かれる。

ルール(い-÷(･鋤），ｊ－Ｌ３（249）

ただしここに

－－Ｌ＝＿Ｌ＋上 _{Ａ３ｂ，ルロ} ^（2.50）

レールの枕木上における小返りに関しても小返り角に比例して枕木より抵抗モーメントを受けると

－２１－

(7)

2２

金沢大学工学部紀要３巻１号1963年

仇ルームニュＬ，仇ﾙｰ-し

上式に含まれる２式の差または和を作れば肌,〃＝ｓ(9ｊ)〃，ｊ＝１，３

（2.49）および（2.52）式をそれぞれ（2.33）および（246）式に代入すればこれらは（ワノ)〃，

(俄川(鶚Ｍ鶚),,川を含む式とな'にれに(227)および(MO)式を併せて4箇の

関係式が得られた。ただしここで注意すべきことは（2.49）式がｉ＝１，３の場合に限られるので，今後導く諸式はノー１，３に限って適用され，ノー４，２については適用されないことである。上記の４式を階差方程式によって解くために次のように置く。

（和ﾙｰ芋α,ﾊバ（w,ルーＭⅧ

『鶚ﾄ芳川，，劉薑器脈ｌ

しかるときには（2.49）および（2.52）式によって

Ｒ…÷偽,(αガルルバｊｖＭ=ｗ‘

これらの式を（2.27)，（2.33)，（2.40）および（2.46）式に代入すれば次の４式が得られる。

６ａｉｙｉ－７ｉ（ｙｉ＋３）＝Ｏ

比に’,=÷伽2+川,-1）揮縢１１

“一船峠蒜１

（2.55）式はαｉ，β“γ'’６ノに関する連立１次方程式であるが，これらの未知数が同時にＯとなら ”=器舂

ない根を持つための条件からｙｉの値が決定される。

４（１－６）ｙｊ`＋（〃ﾉ（１－６）－４（６＋Ｃ）＋４６Ｕ＋６６"jzu）ｙｊ３

＋（３〃ﾉ（１－６）＋（－〃ｉ＋4Ｕ＋６〃izU）（６＋ｃ）＋〃ｊひ)y′２

＋〃i(（－３＋Ｕ）（６＋ｃ）＋３６Ｕ）ｙｉ＋３〃i〃（６＋ｃ）＝０

上式はｙｊの４次式であり，これよりｙノの値が４筒求められ，これをyil，ｊﾉﾉ２，yi3，ｙｉ４とする。

この冬に対して（2.56）式よりαｉ，βｊ，γi，Ｄｉが決定され，これらを（Zj1，α/２，αｉ３，α川βｉ１，……

……とする。しかしこれらのαi，βハハ，６ｊの中の任意の１箇を自由に選ぶことができる。たとえば αｊ１＝cZi2＝αｉ３＝αｉ４＝１と置いてもよい。冬のｙｊに対して（2.56）式より２箇ずつのスノが得られ，

その一方をスノノとすれば他はス5'によってあらわされる。よって

｜ﾊｶﾞ,|〉１，ノー'’2,ａ‘

となし，〃→｡･となるときに（ワノルい)〃等はｏになるという条件より

（，,)鰍=芋蛋A`ＭｉⅧ，

削一芳…川鶚ﾙ器…ｗ２⑪ （9ルー。A"βﾉﾉｽ5〃

2２

(8)

小野・森下・伊藤：曲線軌道が蒸気機関車より受ける横圧力について ^２３

上式におけるユはノー１，２，３，４の合計を示す。Ａ'１，Ａｊ２，Ａi３，Ａ'４は境界条件によって定まる常数である。このようにして（〃i)〃，い)〃等が決定されれば他の数量も容易に導くことができる。

すなわち(鶚沖(M5)または(226)式よ'求…,(鶚脆(287)霞たは(239〕式

より求められる。その結果は

（砦)蝋=芳図A洲ハデ，（鶚)鰯=÷Ｍ"`"I｡（261）

ただしここに

二三二lihijiiF1i三と｣(薔就)瓜｜⑫6⑳

また（2.54）式より

Ｒｗ=÷ﾙｶﾞＭｉ,(吻一βｉｊｗ'=一旦二三2Ｍ,ｊｒｗＩ,，（263）

ルー`M`’１Ｗ=梺岬がjｗ（264）

（2.65）

ここに０iノーβノノーz(）γノノー６〃

次にQjo鋤十÷は(230）または(231)式より求められ，ＭＭ+÷は(2.43）または(244)式

より求められ，その結果は

い+÷=÷脳AillW=-\川棚(l-l5W（266）

ＭＭ÷÷=Ｍ酬鰄=￥里A"，ｶﾞﾉ(l-I5w（M7）

…二二鷺二:jiiW1川

番号"の枕木Ｍ+'の枕木の中央における鶚および鶚をそれぞれ(鶚几÷お

よび(鶚川÷とすればに…枕木上における鶚ﾀﾞ鶚その他を用いて計算する＆

とができ，境界条件を論ずる場合に必要となる。

（鶚ﾙ÷=芳型Aｉｊｗ（269）

座に川一二二:鯏可’‘川）

（鶚Ｌ÷=岩川"ｗ,（271）

二こに川=Wcosh÷-ＭＭm÷+(βがⅦ)(ﾕｰｽ５１)(･･富h÷-1）

＝`…h÷+,恥inh÷+(β"-Ｍ(,_巧')(c､.h÷-,）（川）

2３－

(9)

2４金沢大学工学部紀要３巻１号1963年

次に番号"の枕木と番号"+'の枕木の中央における幾多および窯をそれぞれ

E祭Ｌ÷および(鶚Ｌ÷とすれば

（鶚ﾙ÷=芳醐棚ﾊデ（273）

・こにｗ=÷Ｍ１+厨!)＝－"'(1-ｽ5Ⅲ）（274）

（鶚ﾙ÷=器Ｍ'(ｗ（275）

二こに昨_÷Wsmh÷＋Wcosh÷一十(卜,`,)(1-スハmh÷

＝÷帆nh÷+，…h÷＋ナル`が)(l-i5』)sinh÷（276）

番号〃の枕木Ｍ＋１の枕木の中央における〃'および9Ｍ値をそれぞれ(〃j)''十÷，（9J)獅十÷

とすればこれらは次式によって計算される。

（功)粁告=芋川棚ﾊデ（277）

比に肋=αﾎﾞﾙﾁ好+子巧L÷〃｜（2.78）

＝．,,+子十子十器肪

仙ﾙ+÷＝川棚ｽ5〃 ^（2.79）

山口WLiiliiIiLIiiiIiLlrい⑩

以上に導いた多数の計算式の中で‘"，ごノノ等には２種の計算方法が示されているが，この中で係数

１５１を多数含む式は式の形が複雑のようであるが，実際の計算においては小さい数の和の形になる場

合が多いので計算の精度が比較的に高い。これに反し，巧’を含むことの少ない式は見掛上式の形が簡単のようであるが，実際の計算においては大きな数の差があらわれる場合が多いので計算の精度が低くなる。いずれにしても一方の式で計算を行なった後に他方の式で検算することが望ましい。

これまでに導いたα"，βｉｊ，……等の諸係数はすべて/，〃/，Ｕ，ＺＵの関数となる。軌道が垂直荷重を受ける場合には軌道係数と称する唯１箇の係数ですんだことに較べてはるかに複雑となる。よって#，〃i，Ｕ，２０の種々の値に対してあらかじめ数値表を作っておくことは実際上不可能であり，/，

肌Ｕ，ｚ(ノの値が与えられた後必要に応じて計算しなければならない。

以上の諸式は横圧力またはモーメントの作用点を含まない半無限の区間について導いたのであるが，

次節以下において軌道の１箇所に横圧力またはモーメントが作用した場合について境界条件を考察し, 積分常数を決定する。軌道に多数の横圧力またはモーメントが各所に散在して作用する場合には１箇

ずつの横圧力またはモーメントによる影響を求め，これを合計すればよい。

2４

(10)

小野．森下．伊藤：曲線軌道が蒸気機関車より受ける横圧力について２５

積分常数が決定され，レールの各位置における７，Ｐ等が計算されたときにはレールに生ずる曲げ応力，レール各部の横移動等は次の計算方法によって求めることができる。

レール頭部中心の高さをノb，とし，幅を６，とし，レール底部中心の高さを〃３とし，幅を６ｓとすれば，左側レール頭部外側に生ずる曲げ応力ｏ４１，底部外側に生ずる曲げ応力｡４３，右側レール頭部内側に生ずる曲げ応力ｄ21,底部内側に生ずる曲げ応力o蝦は次式によって求められる。

。が=-牛{鵲+(ル÷)鶚）（281）

ここにノー４，２，ノー１，３

同様にして左側レール頭部中心の軌間外方に向う横移動畠１，底部中心の横移動Ｅ43,右側レール頭部中心の軌間内方に向う横移動EzIおよび底部中心の横移動畠３は次式によって求められる。

身,=沈十(卜÷)w，‘（282）

ここにノー４，２，ノー１，３

左右のﾚｰﾙに作用する垂直軸のまわりの曲げﾓｰﾒﾝﾄはそれぞれ－EⅡ鶚および-E鴇に卯て与えられ,また枕木の移動量は弩;:二に〃て計算される。

３．横圧力が枕木の直上においてレールに作用する場合

横圧力およびモーメントが番号Ｏの枕木の直上においてレールに作用する場合を考察する。このときにはこの枕木を中心としてレールに生ずる変形は対称となり，番号Ｏの枕木上においてレールの切線方向は変形前のレール方向に平行となるはずである。従って

（鶚),三川（鶚),=。（３１）

（鶚)Ｆｏ，（鶚)｡=0（32）

番号Ｏの枕木の直上において左側レール頭部の受ける横圧力をＰ４とし，右側レール頭部の受ける横圧力をＰ２とすればこれらの力は番号０の枕木に生ずる反力およびこの両側でレールに生ずる剪断力によって平衡状態にあると考えられるので，番号Ｏの枕木の両側におけるレール中の剪断力が等し

くなることを考慮すれば次式が導かれる。

Ｒ4.0＋2Q,,÷＝Ｂ，Ｒ2.0＋2Q2,÷＝且 ^（3.3）

同様にして番号Ｏの枕木の直上において左側レールの受けるモーメントをＴｌとし，右側レールの

篁蓬ij霊lIj寧第２図枕木よりレールに作用するカ

ー２５－

(11)

２e 金沢大学工学部紀要３巻１号1963年

受けるモーメントをＴ２とし，Ｐ４，Ｐ２の作用点の高さをレール底面上〃ｏとすれば，これらのモーメントは番号０の枕木よりレールが受ける抵抗モーメントおよびこの枕木の両側においてレール中に生ずるモーメントによって平衡を保つと考えられるので，レール底面を通りレールの長さ方向に平行な軸のまわりのモーメントの平衡条件を考慮すればi欠式が得られる。

Ｍ,o＋2Ｍ÷＝ｎ＋Ｐ』ん0，，Ｍ,o＋2Ｍ÷＝Ｔ２十P2h， ^（3.4）

以上に導いた諸式を（2.18)，（2.19)，（2.20)，（2.21)，（2.29）および（2.42）式を用いて書き直

せば

｜鑿仁:’㈹

（鶚)ＦＬ

（鶚)｡=０，

凪｡+2q÷=÷(〃P圏），尺却+2Q圏÷=÷(P汁P圏）（M）

αw+2M÷=÷(T汁PルルＭ)｜（3.7）

岨｡+Ｍ÷=会(T`+B",+T圏+Ｍ)「

ここに得られた８箇の式に前節で導かれた諸式を代入すれば８箇の積分常数Ａ'１，Ａ'２，Ａ１３，Ａ'４，

Ａ3,,Ａ32,Ａ33,Ａ３４が決定される。計算の便宜上（3.6）および（3.7）式の左辺を

Ｒ公｡＋2⑭｡÷＝Ⅲ÷＋Q`÷，′＝１，３１ _（3.8）

Ｍｏ＋2ML÷＝Ⅲ÷＋Ｍ,÷，ｉ＝Ｌ３１

と置いてもよい。ここでＱ,｡_÷および脇._÷は実際上の意義を持つものでなく，（2.66)式また

は（2.67）式における〃に－１を代入して得られる数量である。このようにしてＡ〃が決定されればワノ，９，/等は（2.53）式その他によって計算され，さらに〃４，〃２，ハＰ２等は（218)，（2.19）式等を考慮して求められる。

４．横圧力が枕木間の中央においてレールに作用する場合

次に横圧力およびモーメントが番号０の枕木と番号１の枕木の間の中央においてレールに作用する場合に関して境界条件を考察して積分常数を決定する。レールに生ずる変形は荷重の作用点を中心として対称になると考えられるので次の境界条件が得られる。

（鶚)÷=０，（鶚)÷=ｏ ^（4.1）

（鶚)÷=０，（鶚)÷=ｏ ^（4.2）

レールに作用する横圧力およびモーメントを前節と同様の記号を用いてあらわせば，横圧力およびモーメントの作用点の両側においてレールに生ずる剪断力およびモーメントは互に等しく，これらの和はそれぞれレールに外から作用した横圧力およびモーメントに等しいと考えられるので

２“,告＝Ｐ‘，２Q2｡÷＝Ｐ，（43）

（4.4）

２Ｍ．÷＝、＋Ｐ４ｈ。，２Ｍ．÷＝Ｔ圏十Ｐ２ﾉｔｏ

以上の８式を（2.18)，（2.19)，（220）および（2.21）式を用いて書き換えれば

（鶚)÷=０，（器)÷=｡ ^（4.5）

－２６－

(12)

小野・森下・伊藤：曲線軌道が蒸気機関車より受ける横圧力について

2７

（鶚)÷=０，（鶚)÷=0（46）

い÷=÷(〃P雪），仏÷=÷(P釧十P恩） ^（4.7）

ＭＬ÷=÷(､+Ｍ-冊Ｍ)｜ ^（4.8）

脇÷=÷(､+Ｍ,+T,+Ｍ)｜

ここに得られた８箇の式に第２節で導かれた諸式を代入すれば８箇の積分常数が決定される。このようにして積分常数が決定されれば（ワノ)"，（仰恥等は第２節で導かれた諸式によって計算されるのであるが，ここで注意すべきことは番号Ｏの枕木と番号１の枕木との間に外力が作用するのであるから

（2.60)，（2.61)，（2.63）および（2.64）式に〃＝Ｏを代入して番号０の枕木上における諸数値を求めることは許されない。

５．ばね常数が無限大となる場合

レールが枕木上で横移動することが許されない場合または枕木が道床中で横移動することが許されない場合にはばね常数が無限大になると考えられる。たとえばＦ型タイプレートが使用されている場合にばねクリップを充分仁締め付けたときにはｈ,が無限大に近いと考えられ，またコンクリート道床中に枕木が固定された場合にはん図が無限大になると考えられる。このような場合にはさきに導いた諸式の中のいくつかを変更する要があり，この点について考察をする。

いまここにＡＦｉを無限大と仮定すれば（2.49）式によって

（v,肺芋(｡`ﾙｰｏ ^（5.1）

従って（2.53）式において

αｊ＝βノ（5.2）

（2.57）式における〃ノは無限大となり，（2.55）式中の第２式は意義を失う。従って（2.58）式は;次のように変更される。

（１－６＋６６z(ﾉ)ｙｊ:I＋(３（１－６)＋（－１＋６zu）（６＋ｃ)＋６Ｕ）yj2

＋（（－３＋Ｕ）（６＋c)＋３６ｕｊｙｊ＋３ｕ(６＋c）＝Ｏ（5.3）

上式はｙｊの３次式であり，これよりｙｊの値が３箇求められる．従ってαj＝β/，方，６Ｊの値も１３箇ずつ求められ，（2.60）式ならびにこれより導かれた諸式は３箇の積分常数を含む式となる。さぎに境界条件を考察した所によれば‘＝１および３に対して４箇ずつの境界条件が要求されるので，積分常数が３箇では’箇不足する。この点に関して考察した所によれば横圧力の作用する枕木間におけiる剪断力ならびにこの両隣りの枕木よりレールが受ける横方向の抵抗力は（2.66）および（2.63）式によってあらわすことはできず，ここに新たな積分常数があらわれることが判明した。次にさきに述べた２種の荷重状態について積分常数の決定方法を述べる。

先ず横圧力が番号Ｏの枕木の直上においてレールに作用する場合について考察する。このときには

_‘j11

Rj.ｏは（2.63）式によってあらわすことができず，従って（3.6）式はＡ〃を決定するための式とは

、｡↓

ならない｡残りの３式よりＡｊｊが決定される。このＡﾎﾞﾉを(266)式に代入してＱ`｡÷を求め，こ

の値を（3.6）式に代入してＲｉ,ｏが決定される。

次に横圧力が番号Ｏの枕木と番号１の枕木の中央においてレールに作用する場合について考察する。

さきに述べたごとく（266)式によってＱ`.÷をあらわすことはできず,従ってこの式を用いて誘導

－２７－

(13)

２８

金沢大学工学部紀要３巻１号1963年

した（2.69）式および（2.73）式も〃＝０の場合には適用することができない。さきにＡノノを決定

するための境界条件として挙げた(45)，(46)，(47)，(48)式の中で(4.7)式はＱ心÷を決定

するための式として利用される｡震た(45)式における(醗)÷には(269)式を代入せず,次

式を用いる要がある。

偶;L)÷=為Ｑ４÷-号(鶚)!+僻)！（M）

上式の右辺に（4.7)，（2.60）および（2.61）式を代入し，この式を０と置けばＡ〃を決定するための一つの条件式になる｡横圧力の作用点における曲げモーメントを求めるには（2.73）式が適用できないので次式を用いる必要がある。

(鶚)÷=-念仏÷+(鶚)！ ^(5.5）

８．計算例

前報告の計算例と同様な軌道構造において横圧力が枕木間の中央に作用した場合について計算を行なう。すなわち，３０ｋｇレール，枕木間隔７２ｃｍ，Ｉ＝156ｃｍ４，Ｈ＝543ｃｍ５，Ｋ＝4560ｃｍ６，Ｌ＝

416,000ｃｍ'０，ノー３２．４ｃｍ‘Ｅ＝２．１×106kg/ｃｍ２，Ｇ＝0.81×106kg/cm2，ル】＝14,400ｋｇ/cｍ' ん2＝7,200kg/cｍ，Ｓ＝720,000k9ｃｍと仮定する。しかるときには（2.50）式によりル3＝2880ｋｇ

/Cm,(235)式によりｵｰ49291,cosh÷=59243,smh÷=5839a(236)式によ”=O928Z

C＝3.9296となる。（2.57）式により〃j＝5.4688,〃3＝1.0938,Ｕ＝0.9877,ｚｕ＝0.02917を得る。

(2.58）式よりｙｊを求め，（2.56）式よりスノを求め，αi＝１とおいて（2.55）式よりβj，γi，Ｏｊを求め，（2.62）式以降の諸式によってＧノその他を計算した結果を下表に示した。この表にはノー４の場合を省略したが，これはノー３の場合の虚数部の符号を変えればよい。

第１表計算基礎数値

Ｚ３

２３１

ｊ万勿塚吻恥巧勿弥句町吻跡物弥灼吻附

_２ _３

１．３３５

4.446 ０．２２４９

１

１．３０１ 1.848 ０．２８４９

－１．４６０

－２．１８７

－０．０８７３１ 0.3775

-0.7154

-0.8808 １．１３２ qO2947 ０．４７１０

0.6517

５０．５９

１０３．１７ 0.009693

１

３５．９３

５．６６４３５．０６

－２．８８７

－１７３．７

－０．３４１９０．３５１７

－０．７５６６

－１５．５３

２．８６０２．９９１

0.1474 ８．４２９

-0.573＋1.938ｊ 0.808＋４．１１Ｉｊ

0.0460-0.2342ｊ

1

0.04274＋0.09502ノ 1.471＋３．６１７ノー0.03879＋0.02270'

－１．５９７－１．４１０ｊ 0.1306-0.1993ノー0.0339-0.2313ノ 0.02258-0.01145ｊ -0.9308-0.0761' -0.04296-0.09841ｊ

1.193＋１．７１９ｊ

-0.00297＋0.00277ｉ 0.3739-0.3320ｊ

0.04813＋0.03106ノ

１．２９１４．３５２

0.2298

１

２．４２０１．８０５０．５１５８

－１．４４１

－４．００１

－０．４２３７０．７２２０

－０．７１２３

－１．６８５

１．１１０

０．０５３６０．４７６２１２２５

５３．３２

１０８．６３ 0.009205

１

１８５．６

５．６８０

１８２．０１

－２．８９３

－９００．７

－１．７１５

１．７２４

－０．７５６３

－７９．７７２．８６６

１５．５２

0.1463 １７．３４

-0.1225＋0.8871ｊ 1.527＋２．０８６ｊ 0.2284-0.3122ノ

1

0.02686＋0.02405ｉ 0.2876＋1.7610ｊ

－０．００４３０＋0.00505ｊ -0.9700-0.9513ノ

0.00351-0.04897ｊ

0.0999-0.4414ｊ

0.01384-0.00914ノ

ー0.7852-0.25ｊ８ｊ

-0.01566-0.02532ｊ 0.4515＋1.0368ノー0.000313＋0.000638ノ

0.5578-0.2857′

0.02148＋0.00752ノ -２８－

(14)

小野・森下．伊藤：曲線軌道が蒸気機関車より受ける横圧力について

横圧力が枕木間の中央において軌道に作用するとなし，Ｐ４＝4000kg，Ｐ２＝０，Ｔｌ＝Ｔ２＝０，

〃o＝１０．５ｃｍとすれば（4.5)，（4.6)，（4.7)，（４８）式に示すごとく，Ａ`ブを求める連立方程式とし

て次式が得られる。

,量i型|瀞遮

｜鮒二：

^４０００

これらの連立方程式を解いてＡ〃を求めた結果は

Ａ１,＝０．０３８４０，Ａ１２＝-0.001547,ＡＩ3＝-0.01022＋0.04773‘，

Ａ14＝－０．０１０２２－０.O4773j

A瓢＝001688,Ａ32＝－０．０００２８５０，Ａ33＝0.02903＋011396ノ，

ＡＢＩ＝0.02903-0.11396ノ

横圧力の作用点においてレールに生ずる曲げ応力を求めるためにこれらのＡノノを用いて次の順序で計算を進める。

（鶚)÷=蒜則り叩=-0」4,5蒜

（鶚)÷=芳皿洲=-019227

^Ｈ

（鵲)÷=(識)÷+(言夢-)÷=-Ｍ417鳥 (網÷=(鶚)÷-(鶚)÷=-0Ｍ7急脚一〃血〃１’２１’２

’一一一

〃｜Ⅲ皿Ⅲ ＭＭ

^１妙一’’’ ’一 ^００ ^００ ^０００“師３０５

〃｜皿〃｜皿

（劉告=(鶚)÷+(鶚)÷=-000Ｍ号

（鶚)÷=(鶚)÷_(鶚)÷＝q000054面 ^～Ｃ〃

いまここに〃]＝９．５ｃｍ，６，＝６．０ｃｍ，ｈ３＝０．６ｃｍ，６３＝０．６ｃｍ，６３＝１０．８ｃｍとして（2.81)式により左側レールの頭部および底部に生ずる曲げ応力を計算した結果。4,＝2751ｋｇ'cｍ'’043＝１４７９ kg/ｃｍ２が得られた。これらの値を前報告の計算例に比較すれば，頭部における曲げ応力において18％

増しとなり，底部における曲げ応力において２８％増しとなっている。右側レールの頭部内側および底部内側に生ずる曲げ応力はそれぞれｄ２，＝171ｋｇ/ｃｍ２およびo23＝333ｋｇ'ｃｍ２となった。

次に横圧力の作用点におけるレール頭部および底部の横移動を求める。

（功)÷=芋Ｍ１川=OM9÷

（胸)÷=÷Ｍ`川＝01055÷

（"』)÷=(術)÷+(耐)÷-0Ｗ4￥

－２９

(15)

３O 金沢大学工学部紀要３巻１号1963年

（耐)÷=(術)÷_(",)÷=00636÷

（p,)÷＝Ｍ１伽＝0.01577 帆)÷＝雪A3伽ノー0.01526

帆)÷＝い)÷＋い)÷＝0.03103 仇)÷＝い)÷－(p,)÷＝-0.00051

これらの数値を（2.82）式に代入して左側レール頭部および底部の横移動を計算した結果は畠,＝0.700ｃｍ,ど梱＝0.424ｃｍとなり，これらの値を前報告の計算例に比較すれば，頭部の横移動において１５％増しとなり，底部における横移動において１９％増しとなっている。右側レールの頭部および底部の横移動はそれぞれｆ2,＝0.218ｃｍ，‘23＝0.223ｃｍとなった。

左側レールの小返りは上式に示すごとく3.10％となるが，これは前報告の計算例に比較して９％増

しとなっている。右側レールの小返りは-0.05％となった。

以上の計算例に示すごとくレールに生ずる曲げ応力，レールの横移動および小返りが前報告の計算例に較べて大きい理由は前報告においてはレールがその全長にわたって枕木により横方向に支えられていると仮定したのに対し，今回はレールが等間隔に配置された枕木によって支えられ，枕木間の中央に横圧力が作用すると仮定したためである。もし枕木の直上においてレールに横圧力が作用した場合についてレールに生ずる曲げ応力，レールの横移動および小返りを計算すれば前報告の計算値より

小さい値が得られると想像される。

左側レールにおいて荷重の作用点に生ずる垂直軸のまわりの曲げモーメントは

-m(祭)÷=MOkgcm

となり，これは支間75.15ｃｍの単純梁の中央に4000ｋｇの荷重が作用した場合に荷重の作用点に生

ずる曲げ応力に一致する。この支間は枕木間隔にほぼ一致する。

７．レールの振り係数の測定レールの断面２次モーメントまたはこれに密

接な関連を持つＨ,ＫおよびＬの値は図式解法によって容易に求めることができる。しかるにレールのように複雑な形状を持つ断面について振り係数を計算または図式解法によって解くことは不可能であり，実験によって求める要がある。よってレールの摂り係数を直接に振り試験による方法と薄膜の類似現象による方法との

２方法で測定した。

（ｉ）レールの振り試験

長さ100ｃｍの新品に近いレールの両端に第３図に示すような腕を熔接し，この腕によってレールの両端を反対方向に振ってその振りモーメントと振り角とを測定した。腕に加えた力の大きさをループ式検力計によって測定し，これ

､へ

第３図レールの振り試験

－３０

(16)

小野・森下・伊藤：曲線軌道が蒸気機関車より受ける横圧力について３１に腕の長さを乗じて振りモーメントを求めた。またレールの両端近くに鏡を貼り付けてこの鏡で反射

された物指の目盛りをトランシットで読んで振り角を求めた。いまレールに加えた振りモーメントの大きさをＭとし，レールの両端近くに貼り付けた鏡の間の距離をノとし，これらの鏡の廻転角の差をｏとし，鋼の剪断弾Ｉ性係数をＧとすればレールの振り係数Ｊは次式によって求められる。

ノー鶚（71）

３７ｋｇレールについて行なった実験の１例を示せばノー６４．９ｃｍ，Ｍ＝50,300k9ｃｍのとぎにｅ＝0.0502となり，Ｇ＝0.81×106kg/cm2とすれば（7.1）式によって./＝80.2ｃｍ４が得られた。

５０，３７，３０ｋｇレールについて５または６回ずつ振り試験を行ない，各の試験において最大の振りモーメントのとぎおよびこれに近い握りモーメントのとぎ２回，併せて３回の測定値より振り係数を求めたが，その結果を第２表に示した。この表には標準偏差も併せて記入した。

（ii）薄膜の類似現象によるレールの振り係数の測定

軸の振りを理論的に解く場合にあらわれる微分方程式の形および境界条件と薄膜のたわゑを解く場合にあらわれる微分方程式の形および境界条件とは相似であり，薄膜のたわゑを測定してこれより軸の振り係数または剪断応力を求める方法が従来多く採用されている。この方法を用いてレールの振り

係数を求めたが，次にその概略を述べる。

軸の長さ方向をご軸に採り，これに直角に〃，ｙ軸を採る。軸方向の振りによって軸内に生ずる剪

断力は苑，ｙの函数Ｐを用いてあらわすことができる。

卯=-鶚，恥一筋（72〕

いまここに０を軸の単位長さ当りの振れ角とすればＰは次の微分方程式を満足する要がある。

鶚+祭=-2G，（７８〕

軸の周辺上では『ﾙ息と『z,灘の合応力は境界線に沿うて作用しなければならない。この条件を満足するためにはＰは境界線上で常数となることを要し，この値をｈとする。軸に作用する振りモーメン

トを〃とすれば次の関係式が導かれる。

昨Ｉ艸灘-…ⅧM，=-1ル鶚+’器)`Mjル

ー21ルー肋艸（M）

上式の積分は軸の全断面について行なうものとする。軸の振り係数Ｊは

ノー器（75）

によって与えられるので上記の微分方程式および境界条件を満足するＰが求められれば上式によって‘

軸の振り係数が計算される。しかし複雑な形状についてＰを求めることは一般に困難である。

次にこの軸の断面形と等しい形状の孔を平面板に穿ち，この孔に薄膜を張る。この膜がその両面における圧力差′によって変形を生じたとぎ薄膜の移動量を”とする。薄膜の単位長さ当りの張力をＴとすれば〃は次の微分方程式を満足しなければならない。

鶚+鶚=－$＝（76）

また〃は孔の周辺でｏとなるのでｚＵは？－んと相似の関係にある。よって軸の断面上の任意の点に対する９－ｈの値と薄膜上の対蕾応する点のたわゑｚＵとの比は'常に一定となる。

Ｑ－ｈ－２ＧＯ（7.7）

￣ｍ－－７７Ｔ－

－３１－

(17)

躯金沢大学工学部紀要３巻１号1963年薄膜の移動前の平面と移動後の曲面との間に挾まれた体積は

ｖ=小山`， ^（7.8）

によって与えられる。Ｐ－ｈおよび〃を全断面について積分したものについても（7.7）式は成立す

るから

〃/２－２ＣＯ

（7.9）

￣v￣￣７７丁一

上式に（7.5）式を代入すれば

－７－７－ ’－４Ｔ ^（7.10）

いま２種類の断面形状を持つ軸の振り係数を八，Ｌとし，これらの断面に等しい形状の孔をあけた平板に張られた薄膜によって求めたｖの値をそれぞれｖ,，Pbとする。ただしｖｉ，ｖｈは同一の圧力差力のもとに同一の張力Ｔを持つ薄膜によって測定された値である。しかるときは次の関係が成

立つことが（7.10）式によって証明される。

Ｔ７－Ｔ訂ハーハ ^（7.11）

よってＬの値を理論的計算によって算出することが困難なとぎには./iを理論的計算によって求め，リノ１，Ｖｈを実験によって求めれば（7.11）式によって容易にノロが求められる。

以上の原理によって実験を行なうに当って第４図に示すような装置を用いた。先ず円筒の一端（仮

に左側とする）を閉じ，他端（仮に右側とする）

に直径５ｃｍの円形の孔を穿った円板を取付けた。この円形の孔に石鹸膜を張り，石鹸膜の膨らゑが一定の指示点に達するまで円筒内に空気を送った。このためには図の右に示したビーカーを持ち上げればよく，このときの空気量Ｖｉはガラス管内の水位の上昇によって測定することができた．次に円筒の左側にレール断面形状と同一の孔を穿った板を取付け円筒の両面の孔に石鹸膜を張った。この装置に空気を送れば両面の石鹸膜が同時に膨らむが，円形の孑Lに鴨った病齢障が弍当ン

|」

時に膨らむが，円形の孔に張った石鹸膜がささと第４図石鹸膜による振り係数の測定同一の指示点に達したときの空気量Ｖｉ＋Ｖｈを

測定した。この値よりさきに測定した空気量Ｊ/ｉを差引けば脇が得られる。ＶｉおよびＶｉ＋Ｖｂの測定におけるＰおよびＴは一定であると考えられるのでＶｉとＶｈとの比によって直径５ｃｍの円形棒の振り係数ノiとレールの振り係数ノカとの比が得られる。半径γの円形断面持つ軸の振り係数は

ハーチァ, （7.12）

によって与えられるのでレールの振り係数ノカは次式によって求められる。

作÷'`帯（川）

実際の測定においては内径４．５ｍｍのガラス棒内の水位の変化によって石鹸膜の膨脹を測定したが，１例を挙げれば直径５ｃｍの円孔に張った石鹸膜がその中心において５．５ｍｍ凸出するまでの水位の変化は33.13ｃｍであり，この裏側に３７ｋｇレールと同一の形状を持つ孔をあけた円板を取付けたときには円孔の石鹸膜がきぎと同一の膨脹をするまでの水位の変化は82.25ｃｍであった。従って

37ｋｇレールの孔型に張った石鹸膜の膨脹は水位の変化49.12ｃｍに相当する。直径５ｃｍの円棒の損

－３２－

(18)

小野・森下・伊藤：曲線軌道が蒸気機関車より受ける横圧力について

3３

り係数は（7.12）式により61.36ｃｍ４となる。従って３７ｋｇレールの握り係数は（7.13）式により

作6L36×一芸÷+号=9LOOcm‘

となる。各種断面のレールについて各１０回以上の測定をなしたが，その平均値および標準偏差を第２表に示した。

（iii）測定結果

第２表レールの振り係数

５０ｋｇレール３７ｋｇレール３０ｋｇレール

基墨;鯏襲||::鰯:!::！ 79.84士０．９８ｃｍ４９１．００±１．９７ｃｍ４

50.72±１．５４ｃｍ４５４．１８±０．８６ｃｍ４

上表によれば一般に薄膜の類似現象を用いて測定したレールの振り係数はレールの振り試験より得られた振り係数の約10％増しとなったが，この理由として考えられることは（7.6)式は薄膜の平板に，

対する傾斜角が充分に小さい場合に限って成立するが，実際上ではレール腹部の両側面近くにおいてこの傾斜角が相当大ぎかつたためと考えられる。またさぎの計算例において３０ｋｇレールの振り係数を 32.4ｃｍ4と仮定したことは今回の測定値に較べてはなはだ小さいが，これは第１０報の計算例で使った数値をそのまま今回も使ったためであり，このときにはＩビームと同様にレールを頭部，腹部，底部の３部分に分ち，冬の振り振数を計算によって求め，これを加え併せたのである。しかしこのようにして求めた振り係数がレールの全断面を同時に考慮して求めた振り係数より相当小さくなるであろうことはレールの頭部，腹部，底部の形状を持つ孔に石鹸膜を張り冬の振り係数を求めた場合とレール全断面の形状を持つ孔に石鹸膜を張って振り係数を求めた場合とを比較することによっても容易に想像することができる。

参考文献

小野一良：曲線軌道が蒸気機関車より受ける横圧力，第１０報,金沢大学工学部紀要第２巻第５号神谷修作：車輪に依り軌条に与えられる側圧応力に関する一試験，土木学会論文集第２号佐藤裕：横圧に対する軌道強度（１），鉄道業務研究資料第７巻第１２号昭和25年８月高橋憲雄：相武台実験における軌道の横引並びに乗上り脱線，運輸研究所報告，第２巻第５号，昭

和27年５月

小野一良：曲線軌道が蒸気機関車より受ける横圧力について，第３報，３２ページより，金沢大学工学部紀要第１巻γ第３号昭和２９年１２月

小野一良：曲線軌道が蒸気機関車より受ける横圧力’30ページより，鉄道業務研究資料第１３巻第１４，１５号，昭和３１年８月

佐藤裕：横圧に対する軌道強さ（Ⅱ)，鉄道技術研究資料第14巻第３号，昭和32年３月小野一良：分岐器が蒸気機関車より受る横圧力（第２報）１９ページより，鉄道技術研究資料第１４巻

第１３号，昭和３３年１月

佐藤裕：横圧に対する軌道強度の研究，４６ページより，鉄道技術研究報告，第１１０号，昭和35年小野一良，抓場重正，成瀬忠明冠曲線軌道が蒸気機関車より受ける横圧力について，第９報，金沢大

２月

学工学部紀要第２巻第４号，昭和35年１２月

佐藤裕：軌道の横強度理論:（１），土木学会論文集第５号昭和25年１１月佐藤裕：軌道の横強度理論（Ⅱ)，土木学会論文集第６号昭和26年８月

佐藤裕：横圧に対する軌道強度（１），鉄道業務研究資料，第弘巻第１２号昭和25年８月佐藤裕鷺横圧に対する軌道強さ（Ⅱ)，鉄道技術研究資料第１４巻第３号昭和32年３月佐藤裕：横圧に対する軌道強度の研究，鉄道技術研究報告第１１０号昭和85年２月上記の論文の外

千秋邦夫：軌条二作用スル横圧力i，業務研究資料第２１巻第９号昭和８年５月千秋邦夫：軌条に作用する横圧力）土木学会誌第27巻第８号一昭和１６年８月

八十島義之介：レールのねじれの理論について，土木学会誌第35巻第１１号昭和25年１１月 1）

2）

3）

4）

－３３－

小野一良森下光政伊藤義男

曲線軌道が蒸気機関車より受ける横圧力について

（第１１報）

小野一良森下光政伊藤義男

LateraIForcesAppIiedtoCurvedTracks byaSteamLocomotive

hyKazuyosiONo,MitumasaMoRIsITAandYosiolToo

lnapreviouspaperoneoftheauthorsanalysedthelateraldisplacementoftherailway trackandthebendingstressesintherailsunderthelateralforcesappliedtotherailheadsby

withtheresultsgivenintbepreviouspaper、

Ｈａｔｐｌａｔｅ．

１．緒菅

枕木の各々より集中的に反力を受けるとして解く要がある。

た解法が実際の条件に近くなる場合が多い。

小野・森下・伊藤：曲線軌道が蒸気機関車より受ける横圧力について １７

従来発表された多くの論文`〕は[/－ルの横移動と小返りとを分離して論じているが，こjriらはたが

いに関連を持つので分離することは適当でない。よって本論文においてはこれらを同時に考慮に入れ た解法を示した。以上を要約して本文で述べた解法の特徴を示せば次のごとくなる。

（ａ）レールの横移動と小返りとを同時に考慮した。

（ｂ）レールが横圧力を受けた場合にレールは等間隔に配置された枕木より集中的に反力を受け，

枕木間においては反力を受けないとして解いた。

（Ｃ）レールが枕木より受ける横方向の反力およびモーメントをそれぞれレール底部の横移動およ び小返りに比例すると仮定し，その比例の常数は垂直荷重の大きさに拘わらず一定とした。

（ｄ）片側のレールだけが横圧力を受ける場合でも枕木の移動によってこの影響が反対側のレール に及ぼされることを考慮に入れた。

２．一般解の誘導

ここに§,，ａ，Ｅ３はそれぞれ左 罰外⑩

レールの頭部，腹部，底部の垂直 断面に水平方向に作用する剪断力 をそれぞれＳ１，ｓ２，ｓ３とし，こ れらの剪断力の作用点をそれぞれ

浩皇』

Bz+等』

第１図レールの各部分に作用する力

金沢大学工学部紀要３巻１号1963年

：:鑿二二W■二:－１ 肌鶚-s什胸=Ｏ

Ｇﾊ等+zi-川(ルル,`)=０

－Ｗ》蛎伽…｜⑫ル

Ｇﾊ鶚+〃Ｍ蕊一胸鬮)=0

ここにル,２はレール頭部と腹部の境界のレール底面からの高さであり，ル２３は腹部と底部の境界の レール底面からの高さである。（2.2）および（2.3）式における３式をそれぞれ合計すれば

ＥＩ鵲+EH鶚_い÷÷=０（２４ Ｇ'幾一EB芸豐-EK鶚+Ｍ,鰄讓÷=ｏ（25）

Ｉ＝凸十四＋１３ （２．６）

ノーノ,＋Ｌ＋入 （２．７）

Ｈ＝Ｍ]＋Ｍ２＋Ｍ３ （２８）

Ｋ＝Ml2＋Ｌ",,2＋囚〃３２ （２．９）

Ｑ4,”+÷＝S,＋S2＋S‘ （2.10）

Ｍ,鋼+÷＝Zi＋Z圏＋星＋〃,S,＋ﾊﾖS2＋ｈＳ＄ （2.11）

い,灘十会はレール断面に作用する剪断力の合計であり，Ｍ３,"+÷はＱ4,"+÷の作用点をレール 底面に移した場合にレール断面に作用するモーメントの合計である。今後は取扱いの便宜上Ｑ…+÷

の作用点をレール底面とする。さきに述べた仮定によって番号〃と〃＋１の枕木の中間においてレ ールは外力またはモーメントを受けることがなく，また枕木に接触することもないので前報告第４図

に示したＡおよび肉はｏと見徹される。よってい,"十÷および脇,総+÷は番号〃Ｍ＋’の

枕木の中間において一定値を採る。いまここに

刑=畠十÷例（212）

と置けば（2.4）および（2.5）式は次のように変形される。

Ｅ'幾一Ⅲ+÷=0（213）

Ｇﾉ鶚-Ｍ鶚一半祭十川緤÷=ｏ（214）

小野・森下・伊藤：曲線軌道が蒸気機関車より受ける横圧力について １９

（2.15）

右側レールに関してはⅦ９４のかわりにそれぞれ〃２，９２と置き，Ｑ４，”+-1,Ｍ，〃+上のかわり

にそれぞれＱ２,鰄十上,Ｍ２,獅十÷と置けばこれまでと同様な計算方法によって次式が得られる。

Ｅ'幾一Q…÷-0（216）

ＧＪ鶚一EH鶚一半鶚+ＭＭ÷=０（川）

ただしここに〃２，９ｚは軌間内方に向うときを正とし，Ｍ，〃+_ＬはＱ２，〃+_Ｌの作用点をレール底 面に移した場合における右側レール断面に作用するモーメントである６次に

、=÷(加一州ワ鰯=÷(加+卯）（2,8）

作÷(作物)，㈹=合い+化）（川）

Ｑ…告二会(Q…÷-Q…÷）｜ （2.20）

Ｑ…÷=-＝(Q…÷+Q…÷）Ｉ

ＭＭ÷=÷(川緋÷-MM÷）｜ （2.21）

ＭＭ告=会(MM辮告+…÷）｜

と置けば（2.13）および（2.14）式よりそれぞれ（2.16）および（2.17）式を差し引き，または加え ることによって次式が得られる。’

Ｅ'幾一q…÷=ｏ （2.22）

Ｃﾉ鶚一EH幾一￥に鶚+ルー０（223）

ただしここにノー１，３

（2.22）および（2.23）式はｊ＝４または２とした場合にも当然満足され，これより後に導く諸式 は特に注意しない限りすべてｊ＝１，２，３，４に適用される。

枕木間隔を．乢番号"の枕木上におけるｗ,鶚,鶚jハ鶚,鶚の値をそれ ぞれ(諏川(鶚)（鶚)ＷｉＭ(幕川(鶚昨置けば(222)式すなわち番号

〃と〃＋１の枕木の間に外力が作用しないという条件より次の２式が導かれる。

６((蜥仙繩)+6`(鶚ルー`圏{(鶚L+2(鶚川}=Ｏ（M』）

６(い-い÷Ⅲ)＋6・(際)艫+画欝{2(祭肪(祭川)=０（225）

上式は番号〃と〃＋１の枕木の間について導いたのであるが，番号〃－１と〃の枕木の間にも

同様な式が導かれる｡また枕木上において,恥鶚,鶚の値は連続であると考えられる｡岬

て（224）式の〃のかわりに〃－１と置けば

６{ﾙﾘｰい}+6厘僻肪α,{(鶚ル+2(祭)｣=ｏ（M6）

金沢大学工学部紀要３巻１号1963年

(226)式より(〃)式を差し引けば連続した3箇の枕木上におけＭと静この間の関係式

が得られる。

６{(柳,-2(ﾜﾙ+("加十,卜`,((一癖比+4(~:ｆｌ１ｌＬ)鵬十(二芸ＩＩＬ)峠,}=ｏ（227）

い,滋_÷-9,鰯十÷＝Ｒ…，Ｑ２,"_÷－Ｑ…+÷二尺…（228）

いまこ『こに

Ⅶルー会(R…-恥)，ルー÷(R…+R…）（229）

小野・森下・伊藤：曲線軌道が蒸気機関車より受ける横圧力について ^１７

いに関連を持つので分離することは適当でない。よって本論文においてはこれらを同時に考慮に入れた解法を示した。以上を要約して本文で述べた解法の特徴を示せば次のごとくなる。

（Ｃ）レールが枕木より受ける横方向の反力およびモーメントをそれぞれレール底部の横移動および小返りに比例すると仮定し，その比例の常数は垂直荷重の大きさに拘わらず一定とした。

（ｄ）片側のレールだけが横圧力を受ける場合でも枕木の移動によってこの影響が反対側のレールに及ぼされることを考慮に入れた。

ここに§,，ａ，Ｅ３はそれぞれ左罰外⑩

レールの頭部，腹部，底部の垂直断面に水平方向に作用する剪断力をそれぞれＳ１，ｓ２，ｓ３とし，これらの剪断力の作用点をそれぞれ

：:鑿二二W■二:－１ ^{肌鶚-s什胸=Ｏ}

ここにル,２はレール頭部と腹部の境界のレール底面からの高さであり，ル２３は腹部と底部の境界のレール底面からの高さである。（2.2）および（2.3）式における３式をそれぞれ合計すれば

ＥＩ鵲+EH鶚_い÷÷=０（２４Ｇ'幾一EB芸豐-EK鶚+Ｍ,鰄讓÷=ｏ（25）

Ｉ＝凸十四＋１３（２．６）

ノーノ,＋Ｌ＋入（２．７）

Ｈ＝Ｍ]＋Ｍ２＋Ｍ３（２８）

Ｋ＝Ml2＋Ｌ",,2＋囚〃３２（２．９）

Ｑ4,”+÷＝S,＋S2＋S‘ ^（2.10）

Ｍ,鋼+÷＝Zi＋Z圏＋星＋〃,S,＋ﾊﾖS2＋ｈＳ＄ ^（2.11）

い,灘十会はレール断面に作用する剪断力の合計であり，Ｍ３,"+÷はＱ4,"+÷の作用点をレール底面に移した場合にレール断面に作用するモーメントの合計である。今後は取扱いの便宜上Ｑ…+÷

の作用点をレール底面とする。さきに述べた仮定によって番号〃と〃＋１の枕木の中間においてレールは外力またはモーメントを受けることがなく，また枕木に接触することもないので前報告第４図

小野・森下・伊藤：曲線軌道が蒸気機関車より受ける横圧力について ^１９

ただしここに〃２，９ｚは軌間内方に向うときを正とし，Ｍ，〃+_ＬはＱ２，〃+_Ｌの作用点をレール底面に移した場合における右側レール断面に作用するモーメントである６次に

Ｑ…告二会(Q…÷-Q…÷）｜ ^（2.20）

ＭＭ÷=÷(川緋÷-MM÷）｜ ^（2.21）

と置けば（2.13）および（2.14）式よりそれぞれ（2.16）および（2.17）式を差し引き，または加えることによって次式が得られる。’

Ｅ'幾一q…÷=ｏ ^（2.22）

（2.22）および（2.23）式はｊ＝４または２とした場合にも当然満足され，これより後に導く諸式は特に注意しない限りすべてｊ＝１，２，３，４に適用される。

枕木間隔を．乢番号"の枕木上におけるｗ,鶚,鶚jハ鶚,鶚の値をそれぞれ(諏川(鶚)（鶚)ＷｉＭ(幕川(鶚昨置けば(222)式すなわち番号

，=`(-甥)÷ ^（235）

（2.39）式より（2.37）式を差し引けばい)"－，－２伽)〃＋(P山+’

右側レールについても同様にして（2.48）

－－Ｌ＝＿Ｌ＋上 _{Ａ３ｂ，ルロ} ^（2.50）

上式に含まれる２式の差または和を作れば肌,〃＝ｓ(9ｊ)〃，ｊ＝１，３

比に’,=÷伽2+川,-1）揮縢１１