曲線と曲面の幾何学

曲線と曲面の幾何学

第

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曲線と曲面の幾何学第

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金魚すくいの輪っかを枠だけ二つ用意して

石鹸液につけます

重ねた状態で持ち上げそっと離してゆくと石鹸膜を張りますが

これは円柱にはなりません

×

石鹸膜は表面張力によってなるべく分厚い膜であろうとしつまりなるべく面積を小さくしようとするので少し内側に反ります

cosh � = �

+ �

2

�

�

0

金魚すくいの輪っかを平行に保っているとこれは回転面で基になる曲線は実は懸垂線双曲線余弦関数のグラフです

� =� cosh �

�

�

√ ^�

^{+ �}

^{= � cosh �} _�

�

�

�

0

これが懸垂面（カテノイド）と呼ばれる古典的な極小曲面です

�

√ ^�

^{+ �}

^{=� cosh} _� ^�

�

�

�

0

√ ^�

^{+ �}

^{= � cosh �} _�

ただし輪っかを離し過ぎると面積は最小ではなくなり本当の最小はもう少し外側に

�

  �  

�

�

�

0

そして実際の石鹸膜は壊れなければ二つに分離したりします

�

�

�

0

もちろん平面もれっきとした極小曲面です

�

�

0

一方ここで懸垂線に沿って糸を張り

� =� cosh �

�

�

�

�

0

頂点からぴんと張った状態ではがして行くと

� =� cosh �

�

�

�

�

0

縦軸に漸近する曲線が得られますこれがトラクトリックスです

� =� cosh �

�

�

�

�

これを縦軸を軸として回転させてできるのが擬球面と呼ばれるガウス曲率が負で一定の曲面です

� 0  

�

�

（直）円柱はガウス曲率が０で一定の曲面で

� 0  

�

�

トイレットペーパーのように何重にも巻き付いているとすると伸び縮みさせることなく開いて平面に伸ばすことができますが

� 0  

�

�

擬球面はユークリッド空間の中では開くことはできません

� 0  

×  

�

�

�

0

しかし相対論に出て来るローレンツ・ミンコフスキー時空（ただし３次元）の中でなら二葉双曲面（双曲平面）の一部として実現できます

� ² = � ² + � ²

    �

= �

+ �

+ �

( c > 0 )

ちなみに球面はガウス曲率が正で一定の曲面ですが平均曲率も一定です石鹸膜でも中に空気が入っていると「極小」にはなりません

しゃぼん玉のつもり・

・・

ただしどちらが表と見るかで平均曲率が正は負かは変わります普通に考えて外側が表なら負ですが

地球の表面

内側に住んでいる者にとっては正です

地球空洞説とか、

スペースコロニーとか

・・・

要は法ベクトル（Ｚ軸正方向）をどちらにとるかと言う違いです

常識的地球人

内側ならこうです実はこのようにとることも結構多いようです

研究者は地底人か、

宇宙人か・・・？