Na v i e r･ St o ke s

円形断面 曲管内主流部の

2

2

鬼頭勇 植木良昇

1. ま え が き

充分発達 した円形断面曲管内の非圧縮性流体の流れについて,曲管の内半径が曲管軸の曲 率半径に比べて小さ くない場合の

Na v i e r･ St o ke s

1

2 .

r:

P

￠ :OP が曲管の曲率中心 と0,とを結ぶ直線 となす角.

? :断面位置をあ らわす角.

R :

α

vr:

Ⅴ￠:

vv:

P. ･

〟 :流体の密度.

〟:流体の粘性係数.

リ:

C: 一 号

1

3 .

前報で,定常状態の場合の円環座標

( r

,p)

Na vi e r ･ St o ke sの運動方程式 と連続

,2

V

V少

2

V

2

* 昭和

49

1 0

** 機枕工学科教授 書棚 践械工学科講師 原稿受付 昭和5

0

9

1 0

6

にす る.

認

: ･ , ‑ ‑

1

0

1

R

% + ‑‑ p

,

v普 ･

# +V 仰 げO

S ￠ V ￠ s i ･ n j9‑

驚 十

+V ^{票 = B s i nQ･}

^{等 ‑o}

(1)と(2)式よりクを消去すれば

‡ 驚 c o s Q十等

0

V

p ‑ 珍 ( r c o s 少)

1 ∂ p

+r c o

･‑ ‑ ‑･‑‑(1)

･ ･ ･ ‑･ ‑‑･ ･ ( 2 )

･‑･･･‑ ‑‑(3)

‑ ‑ ･･‑‑

･ ( 4 )

‑ ‑ ･‑‑‑(5) ただ し

,

r c

古^{書 ‑鵠}

･

ここで,図

1

,

, r c o s ￠‑

,r S i n ￠‑y

与

慧 ‑ 慧

吉富 ‑

ゆえに,Pはエのみの函数 とな り i‑Jo

x

誓 d x+G( p)

Gは Pの任意函数であるが, p方向に流れが変化 しない場合を考えているので, P方向の圧 力 こう配は一定で, この値を

‑C

p‑0

書‑I;驚

弊

‑cp

次に

,( 5 ) ,( 6 )

( 3 )

V 畑′ c os p‑V 舶 n 什

V〆G

4

‑ % n

) ' 0

+ r

1 C

‑ ‑ ‑ ‑‑(6)

････‑‑･‑･(7) ここで,￠Iは￠の^J

r C

7 )

4)

管 ^‑ . ^{誓 ‑} + ‡ ^等

=C〔2

￠′ +( R+

o s ￠)

̲

〔￠

+( R

s や)

)

1 C

円形断面 曲管 内主流 部の 2 次流れ について( 第 2

この式の右辺は rcos少 のみの関数なので,これを

F(

%t a n Q ･

a n Q ･ fa #‑ F ( r c o s ￠ )

いま,fを

r c

, g

8 )

V

￠ ‑r ･

(

･ g(

〔 f･ g+r ･ fl c o s ￠･ g〕 t a n￠+f･ gt a n

l ･ r s i 叫･ g+f･ gl ‑F

･･ 〔寄 +

2 gt a n Q ] f( r c o s Q ) ‑F(

この関係が成 り立つためには, kを任意の定数 として

寄 ^{+2 gt a}

^Q‑k

( r c

g

' 4' ‑e ‑

2

n 仙

2

n

4

‑k〔 s i nQc

Kc o

2

ただ し

,K

V ￠ ‑r･ F( r c o s 9 り〔 s i nQc

￠+Kc o s

これを(7)式に代入すれば

V, ‑r･ F( r c o s

: s

n

￠+Ks i nQ

s Q]I 1 C

‑‑‑‑‑(8)

i f l

しかるに,流れの対称性か ら, ￠‑土中Oにおいて

V

, Ⅴ

,K‑

V

￠rcos￠

V ￠ ‑r･ F(

c

s

s i nゅc

s

v

p ‑Q( r c o s

F(

c

s Q )

l R (

37 0)

‑‑‑･‑‑(9)

･‑･･‑‑‑

‑( 1 0)

‑‑‑･‑

‑( ll ) C ｢ 1

1

よって

V

,

,2

( 9) ,( 1 0)

4 .

任意函数 ￠については

,V

2 ) 3)

r c o s

1 2

6号

v

p ‑ ￠( r c o s ￠) ‑vm+Ar c

Br 2 c o

2

しか し,測定値か ら

V

Vp ‑Vm+Ar c o s 少

とすれば

F(

2 CA C

(

vm+AR+2 Ar c

vm+AR+2 Ar c o s Q) r

Q

これを(

9 ) ,( 1

)

1 ′ ￠=‑ Cs i n￠

･･‑ ･‑ ‑

‑( 1 2 )

( R

r

C

Vm‑AR) ･ r

o s 2 ￠

R+2 A T ' C

C

Vm‑AR) ･ r

2

Vm

AR+2 Ar c o s Q) 2( R+r

C( Vm‑AR) ･ r s i n2 ￠

‑‑‑‑‑･･(13

)

‑ ‑ ‑ ‑

‑( 1 4 )

また,(6)式 より

音‑(

V

‑A R ) 2 l

AR)A

c o s g･ ‡A2 r 2

‑‑^‑‑

‑‑( 1 5 )

( 1 2 ) 〜( 1 5 )

ここで

,AR> ･ Vm,a <R

1 2 ) 〜( 1 4)

V,

孟 叫 , V ￠‑ 一 志 s i n

･V p ‑V‑'Ar c

3

次に,(

1 3 ) ,( 1 4 )

,ym/C

cos￠

㌻ =1

a 雲+2

a

c o s ￠+

V

J Vr

Ⅴ" 一

̲ C

s i nゅ

(&

a

‡s i 哩

( 1 + 農 芸 .2 莞

Q) 2 ( 書+‡

o s Q)

(叢 書 ‑1)

is i nQc o s t

〜 Vma Vma ‑/＼a a I /

Aa /Vm‑0 . 3 8,R/a‑2 0

等 ･ vs e c ‑ ^{警 ノ}

を求め,管軸における速 さを

1

2

円形断面 曲管 内主流部の 2 次流れ につい､ て( 第 2

1 3

2

5 .

,R/

V

‑0,V￠ ‑

ル ーvm , ‡一一C' 叶 穿 ( Z:

( 1 2 ) 〜( 1 4 )

Aa ‑0,AR‑Aa･

(

,( 1 5 )

1

( V‑‑AR) 2×l o ge( 1

r

)

V‑‑AR) 2

i(

票 ) 2 +

) 3 一 ･ ･ ･ ‑〕

‑

堕

竺

‑2Vm

a嘉

4'A2 Ra言c

･

A2 Ra‑( A a ) 追 L Z

さて

,( 1 2 )

,A‑dvp / dx

.A

V

,

,a, R,Vm

A ‑ 3･ ( i ) ^{n･ f( Re ) ( Re}

とあ らわす ことができる.ただ し

,

j l a〜( A ) n

とな り, これを(16),(17)の関係に適用すれば

‑‑･ ‑‑‑( 1 8 )

Aa ‑0 : n>O

Aa･ 書〜

%) 1 ‑ n ‑∞ : ･ 1 ‑n>0 ( Aa)

･ 吾〜( 慧 ^ト

･ 1‑2 n

, n

･ >n> i

この関係を確かめるために, 図

3

,V

Squi r e s )

1 5 0 0 ‑1 8 0 0

1 8

0

0 . 8 mm

ッチ

3 2 mmのワイヤ入 りビニールホ‑ス

1 4 長野工業高等専門学校 紀要 ･第 6 号

2 46 mmと3 21 mmの 2

種煩 とし,vt/イノルズ数は可能なかぎ り近ずけ て測定 した結果が図

4

5

(速度分布の回帰直線のこう配)を求めると

A

‑0 . 7 41 5 m/ S / mm , A8 2 1 ‑0 . 8 6 60 m/ S / mm

とな り

,( 1 8 )

n

n ‑0 . 5 8 3 0

ト の く>

●･.■ t

≡ ト

> t ■ ⊂ D √ > 〉 ^{･ §} ‑ 害J=. ‑.̲ ‑ Vs e c o. 4 0. 8 ̲r ′ a

が得 られる･ このことか ら

,

,1 / 2

妾

㍗

R‑2

6

, a‑1 6 ‑,Re‑2 9 0 4 0

≠

氏‑3 2 1 桝･ ,a‑1 6

Re‑2 9 5 4 0

図 4

円形 断面 曲管 内主流 部の 2 次流れ につい て( 第 2

E I

1 5

図

5

6 .

曲管の内半径が管軸の曲率半径に比較 して無視できない場合について,管中央部の速度分 布と圧力分布を与える式が得 られ,管軸方向速度成分が直線分布をはずれる場合についても

2

また,管軸方向速度成分が,曲管の内側か ら外側に向か って直線的に増大す る場合につい て,その速度分布のこう配を検討 し,管内半径の管軸曲率半径に対す る比の約号乗に比例 し てこう配が変化す るものと推定できた.

終 りに,本報告における実験に尽力 された昭和48年度卒業生太田利之,倉沢文雄,山岸健 一の諸君に感謝の意を表す る次第である.

参 考 文 献

1

5

48 .1 9

2 ) M.Adl e r,Z. A. M. M‥ Bd.1 4(1 9 3 4 ),S.2 5 7 .

3)

31

筋2

0

0 ‑

,1 5 21

4 )

(1 95 9 )

3 7

37

5 ) Squi r e

H.

. ,Ae r o.Re s .Co ur ) C .Re p.no.1 6 6 01(1 9 5 4 ).