解答例 ２次数学セレクション

［98 東京大］





f(x) ( x ) x a a

 3 2 4   1 ,





 

         

f (x) x x a ( )

a x x a a x

6 1 3 2 4 9 2 6 1 4

  

f ( )0 4＜0 , f(x)0 2 実数解を ち, こ をx    , ( ＜ )

く ,

 

 

  a a aa   a a aa 

1 1 ₄

3

1 1 ₄

3

2 2

,

極大値 極小値 差をg(a) す , g(a)f()f()





f(x dx) 







9 (x)(x)dx

 

 

  9 1 

6

3 ( )

 3 

2

3 ( )

 

 _   

   

3 2

2 3

1 2 ₄ 3

a a

 

 4₉_ 1 4_

2 3₂

a a

g(a) a a  1 _{0 ,}

す わちa  1 最小 。

［解 説］

3 次関数 極大値 極小値 差を求 いう頻出問題 す。 刊誌 大学へ 数

学 く載 い 上 う 特殊 解法 あ ます。し し, こ 解法 知識

し 持 い 限 , 無 理 し う 。 た し 本 問 , f(x)0 解

x a

a  2 

3

2 3

, ます , a 正負 場合分けをし , 直接g(a)を求 , 計

算量 やや増え 程度 す ます。

x …  …  …



© 電送数学舎 －2－

［98 横浜国大・理］

(1) f(x) x2  x 2 , 五角形OAPQB 面積をS す ,

S 2 a  a a  b ba  b b

2 2 2 2

f( ) f( ) f( ) f

( ) ( )( )

 1



      



2 2a af(a) bf(a) af(a) bf( )b af( )b 2f( )b bf( ) b

 1



  



2 bf(a) af( )b 2a 2f( ) b

 1



           



2 2 2 2 2 2

2 2 2

b( a a ) a( b b ) a ( b b )

 1     2

1

2 2 2

2 2 2

a b ab b b

(2) 不等式0＜a＜b＜2をab平面上 示す ,

右 う 。

ま , bk (0＜k＜2) 固定し 考え , 0＜a＜k い ,

S  1ka  k ak  k

2

1

2 2 2

2 2 2

 1

 

    

2 2

1

8 2 2

2

3 2

k a k k k k

0 2

＜k＜k , a k

2 い S 最大 。す わち, b 値 対

し , a b

2 S 最大値

1

8 2 2

3 2

b b  b を 。こ 状態を保 たまま, bを

0＜b＜2 動 す , g( )b  1b b  b

8 2 2

3 2

く ,

      

g ( )b 3b b ( b )(b )

8 2 2

1

8 3 4 4

2

b 4

3 , g( )b 最大 。 こ , a  1

2 4 3

2

3 あ 。

以上 , a 2 b 3

4 3

, , S 最大値を 。

［解 説］

(2) 本 年 度 多 く 大 学 （ 広 大 ・ 前 期 出 題 さ た 一 文 を 固 定 し 考 え

タイプ 最大・最小問題 す。駄目押し 一題 し 選びました。

O 2

2

b

a

k

k

b 0 … 4

3 … 2



［98 名古屋大・理］ (1) yx2, y 2x , 点A ( ,a a )

2

け

接線 方向ベクトル 成分 ( ,1 2a) くこ

, こ 法線 法線ベクトル こ ,

法線 方程式 ,

x a 2a y( a2)0

x2ay a 2a3 0………

点P ( ,b k)を通 こ ,

b2ak a 2a3 0, b2a3 (2k1)a………

(2) 放物線 い , 1本 法線 対し 1個 接点 対応す , 異 3本

法線 在す 条件 , をa 関す 方程式 た , 異 3実数

解を こ 同値 あ 。

右辺をf(a) く , f(a)6a (2k1) 2

(i) 2 1 0

 

1 2

k k



f (a) 0 f(a) 単調増加す , 3実数解を こ い。

(ii) 2 1 0

 

1 2

k ＞ k＞

    



 



   

 

 

f (a) 6 a 2k 1 a k

6

2 1 6

, ここ    2 1

6

k

く ,

異 3実数解を 条件 , f()＜b＜f()

f() (2 2  1) 2      1 (  ) 6

2 4 3

2 1

9 6 2 1

2 _k k k k _k

f()  (2 2   1) 2     1 (  ) 6

2 4 3

2 1

9 6 2 1

2 _k k k k _k

, 2 1   

9 6 2 1

2 1

9 6 2 1

k _{( k ) b} k _{( k )}

＜ ＜

(i)(ii) , k＞1

2     

2 1

9 6 2 1

2 1

9 6 2 1

k _{( k ) b} k _{( k )}

＜ ＜

［解 説］

(2) 冒頭 コメント , 一般的 法線 本数 接点 個数 いう関係 あ

す 。 本 問 , 法 線 法 線 ベ ク ト ル 成 分 ( ,1 2a) こ , 法線

本数 接点 個数 あ こ わ ます。

0

y

P k

A

x

a …  …  …



© 電送数学舎 －4－

［98 一橋大］

(1) l : ym x1 n1, m y: m x2 n2 く ,

条件 ,

x2 (m x1 n1)(xa)2………

x2 (m x2 n2)(xb)2………

l m 交点C x座標 ,

m x1 n1 m x2 n2

を代入し , x x a x x b

2 _{(  )}2 _ 2 _{(  )} 2

, x  a (xb) , x  a b

2









S x a dx x b dx x a x b

a a b

a a b

a b b

a b b 



2 (  )2 



_ (  )2  (  )3 2  (  ) 

2

3

2 1

3

1 3

1

   

     3 2

1 3 2

1 12

3 3

3

b a a b _{(b a)}

(2) 点C y座標 ,

  

ab  a b a



ab

2 2

2 2

, C



ab ab



2 ,

条件 , 点C 放物線y 1x  x

2 2

2

上 あ ,

 

ab 1 ab   a b

2 2 2 2

2

, す わち8 4 16

2

ab(ab)  (ab) ………

ここ , b a k (k＞0) , b a k し 代入す 。 8a a( k)(2ak)2 4 2( ak)16

4a2 4(k2)a(k2 4k16)0

a 実数 , D 4 4 k 2 4 k 4k 16 0

2 2

 (  )  (   ) , k2 6 0

k＞0 , k 6

(1) , S 最小値 1

 

12 6

3

,す わち 6

2 。

［解 説］

数学Ⅱ 積分 面積計算 , 放物線 原則的 限 たた , 本問 全く同

問題 , 昨年 非常 多く出題さ う ました。本年 センタ 試験

追試 同 問題 出 います。こ う こ 考慮し , (1) , 2 本 接線 交

点 x座標 2 接点 x座標 相加平均 こ を一般的 示しました。また,

(2) 対称式 着目す 解法 あ ます , 上 解 計算量 大差 あ ませ 。

0

y

B

A

a _{b x}

［98 京都大・文］

yx2 y 2x , P け 接線 傾

2t 。

線分AB 傾 , b a

b a a b

2_ 2

   あ 。

ここ , S(P) 最大 , P け 接線

傾 線分AB 傾 等しい ,

2

2

t a b, t a b

こ , P ab

 

ab

 2 2 

2

, 。

さ , P を通 y 軸 平行 直線 線分AB 交点を Q す , 点 Q 線分

AB 中点 , Q ab a b

 2 2 

2 2

, 表さ 。

以上 ,

S _a b 

 

ab b a a b ab b a b a

         

1

2 2 2

1 2

2 4

1 8

2 2 2 2 2

3

( ) ( ) ( )

また, 線分AB 放物線 ま た面積 ,

s x a x b dx b a

a b

 



(  )(  )  1(  ) 6

3

, s S: 1 :  : 6

1

8 4 3

［解 説］

頻出有 問題 す。上 う 接線 傾 着目す 解法 ベスト す , 普通

S(P)を立式し 最大値を求 , 時間 不足す いうこ い し う。

0

y

B

Q

A P

© 電送数学舎 －6－

［99 一橋大］

(1) yx3……… , y3xa………

, x3 3x a………

異 3点 交わ 条件 , 曲線yx  x 3 ₃

直線ya 異 3点

交わ 条件 同値 あ 。

ここ , f(x)x  x 3 ₃

く ,

     

f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1)

右表 , 求 条件 2＜a＜2

(2) 解をx   , , （  ＜ ＜ し , A ( , 3 a), B( , 3a), C( , 3 a) く。

こ , をx x a

3 _{3   0}

変形す ,

x3 3x a (x)(x)(x )………

こ , DA  (a) (   a a)

2 _{3 4} 2

 10(a)2  10  a

同様 し , DB 10 a , DC 10  a DA DB DC  10 10 a a  a

10 10 (a)(a)(a )

10 10 a3 3aa （ 10 10 a3 4a

ここ , g(a)a  a 3 ₄

く , g(a)3a  4 ( 3a2)( 3a2) 2

右表 , g(a)

a  2

3

最大値

16

9 3を 。

, DA DB DC 

最大値 10 10 16 9 3

160 9 30

  。

［解 説］

微分法 応用 関す 問題 す。本問 ポイント , 強い 言え , (2) 式 注

目す こ す。

x … 1 … 1 …



f (x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) _{2 2}

A B

C

D

x y

O

a 2 …  2

3

… 2

3

… 2



g (a) ＋ 0 － 0 ＋ g(a) ₀ 16

9 3  16

［99 九州大］ (1) 線AC 長さ 1 3 2 , 側面 展開

中心角を す ,

2 1 2 2 360

     _ , 180 

線分AB 底面 直径 , ACB 90 , l 長さ 展開 AB2 2 。 (2) AQ 長 さ , 底 面 2 1

360

   _ あ , 側 面

展開 2 2

360

_{   }ACQ 表せ , ACQ 2

△APC 正 定理を適用す , CAP 45 ,





CP

sin45 _sin 2 135

2

  _





CP 

  _

2 45 135

2

2 2

2 2

2

2 2

sin

sin  _cos _sin

,





CP2 

    

2 1

2 2 2

4 1 2

2 2

4 1 2

cos sin cossin sin

(3) △COQ い 考え , OR OQ

CP CQ

 ,

OR

  _

1 2

4 1

1 1

sin _sin , OR 2

 1 1 sin

次 底面 い , OSOAcos cos OS

2 _cos2

, OS OR 2

2 cos ( sin )( sin )( sin )

2 ₁  ₁ 2 ₁ 

sin t く , 0＜ 90 0＜t 1

こ , f( )t (1t )(1t) 2

く ,

     

f ( )t 2 1t( t) (1 t2)

 (3t1)(t1) f( )t t1

3 最大値

32

27を 。す わち

OS OR 2

2 最大値

32

27 あ 。

［解 説］

断面 や展開 を書 い , 位置関係 え い問題 す。

C

A B

Q P

O

θ

A A

B Q P

C

l

C

Q P

O R

θ

A _B

Q O S

t 0 … 1

3 … 1



f ( )t ＋ 0 － f( )t 32

© 電送数学舎 －8－

［99 京都大・文］

領域y＞x, y＜1 点を( ,u v) す , u＜v＜1……… ここ , yx kx

3

上 接点を( ,t t kt) 3 _

く。

  

y 3x2 k , 接線 方程式 ,

y(3t2 k)(x t) (t3 kt)(3t2k x) 2t3

点( ,u v)を通 こ , v(3t k u) 2t

2 3

v 2t3 3ut2 ku………

3 次関数 グラフ 重複接線 引け い , 接線 3 本引け 条件 , 異

3個 実数解を こ 等しい。

右辺をf( )t  2t 3ut ku

3 2

く ,

      

f ( )t 6t2 6ut 6t t( u)

u＞1 , f( )0 , f( ) 3

ku u u ku

求 条件 , ku＜v＜u ku 3_

………

す , 題意 成立す ( ,u v) 対し , 成立す 条件 。

す わち, u＞1 い , ku u…… 1  3

u ku……

, u＞1 k 1……… , g(u)u3 ku く ,

       

g (u) 3u2 k ( 3u k)( 3u k) (i) k

3 1(k 3)

u＞1 い , g(u) 増 減 右 表 う

, g( )1  1 k 2 を満たさ い。 (ii) k

3＜1(3＜k 1)

u＞1 い g(u)＞0 , g(u) 単 調 増 加 す , を 満 た す 条 件 g( )1  1 k 1 , k 2 。

(i)(ii) , 2 k 1

［解 説］

3 次曲線 接線 本数 い 頻出問題 す , そ け く, 集合 論理

いう分 一ひ 加わ います。

O x

y

1

1

t … 0 … u …



f ( )t － 0 ＋ 0 － f( )t

u 1 … k

3 …



［99 熊本大］ (1) x2 (ya)2 b2…… , yx

2 ……

を 代入し , y(ya) b 2 2

y2 (2a1)ya2 b2 0………

y＞0 重解を こ ,

D (2a1)2 4(a2 b2)0………

y  2a1

2 ＞0………

条件 a＞1

2 , 満たさ い 。

す , 求 関係式 , 4 4  1 0 2

a b ………

(2) 線分 PQ y 軸 交点を R す , R 0



2 1



2

, a 。す ,

, PRRQ 2 1 2

a

あ 。

ここ , △APQ 正 角形 , QAR 30 ,





2 1 2

2 1

2 30

a   _a a _{tan ,} 2 1

 

2

1 2

1 3 2

a  _

, a 7

12 , b

2 1 3



こ , A 0

 

7 12

, , R 0

 

1 12

, , Q



1



2 3

1 12

, 。

求 日 形 y軸対称 , そ 面積をS す ,





S _{x dx}

2 1 2

1 12

7 12

1 2 3

1 3

30 360

2 0

1 2 3

      



 3  

 

18 36

1 3

3 0

1 2 3

 _{x } 11 _

216 3 36

した , S 11  108 3 18

［解 説］

放物線 位置関係 関す く見 け 構 問題 す。条件a＞1

2 与え

い , 少し考察 簡単 ました。

A

P Q

R

O x

© 電送数学舎 －10－

10 ［99 名古屋大・文］

(1) yx x1 ……… , ykx………

, x＜1 y x x( 1)……… , またx 1

yx x( 1)………

   

y 2x 1 , x 0 け 微分係数 ,

 

y 1 。

右 , x＞0 2 交点を 条件 ,

0＜k＜1 。

(2) x 0 交点x  , x x( 1)kx x    1 k

x 0 交点x  , x x( 1)kx x    1 k

C l ま 面積を S, 上 各領域 面積をS1, S2, S3, S4

く , S3 S1 (S2 S3 S4)2S4 ,





S S1 S1 (S2 S3 S4)2S4

2S1 (S2 S3 S4)2S4

2



  



  2



 1

0 0 0

1

x x( )dx x x( )dx x x( )dx

 

 1   3

1 6

1 3

3 3

 

 1     3 1

1 6 1

1 3

3 3

( k) ( k)

す , S   (1 k) 1( k) 2 1

2 2

 1  

2 6 1

2

(k k )

右表 , k 3 2 2 , S 最小 。

［解 説］

年, 見 け 超有 パ ル す。パ ル し 解 , 普通 積分計算をし

S 求ま ます , ミス 頻度 高く し う。 , 昨年 山形大 出

います。

O

1

y

x S1

S2 S 3

S4

k 0 … 32 2 … 1



S － 0 ＋

11 ［2000 九州大・文］ (1) f( )b f( )c 0 , bc , f(x) p x( b)(xc)

f(a)1 , p a( b)(ac)1 , p

a b a c

 _ 1 _

( )( ) ,

f( )

( )( )( )( )

x

a b a c x b x c

 _ 1 _  

(2) k x( )f(x)g(x) く , 条件 , a, b, c 異 3 実数 , し

k a( )k b( )k c( )0 , k x( ) (xa)(xb)(xc) 割 。

こ , f(x), g(x) 高々2次 関数 , k x( ) 高々2 次 関数 。 , k x( )0 , す わちf(x)g(x) 。

(3) h x( )(xb)(x c) (xa)(x c) (xa)(xb) ,

   

h a( ) (a b)(a c) , h b( )(ba)(bc) , h c( )(ca)(cb)

, h x

h a x a

h x

a b a c x a a b a c x b x c

( ) ( ) ( )

( )

( )( )( ) ( )( )( )( )

          

1

h x

h b x b

h x

b a b c x b b a b c x a x c

( ) ( ) ( )

( )

( )( )( ) ( )( )( )( )

          

1

h x

h c x c

h x

c a c b x c c a c b x a x b

( ) ( ) ( )

( )

( )( )( ) ( )( )( )( )

          

1

こ こ , F x

h x

h a x a

h x

h b x b

h x

h c x c

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

 _{ }  _{ }  _{ } く , F x( )

高々2次 関数 , し F a( )F b( )F c( )1 。 , (2) F x( )1 ,

1 1 1 1

h x( ) h a( ) (xa)h b( ) (xb)h c( ) (xc)

［解 説］

(3) , (2)を う 利用し う 迷いました。 く高々2次 関数を く

く い け い , 証 明 す 式 両 辺 h x( )を け た わ け す 。 し, こ

© 電送数学舎 2000 －12－

12 ［2000 一橋大］ (1) f(x)x3 3x2, g(x)x3 3x2 c , f(x) g(x)3x2 6x

点P け 接線 ,

y(3p2 6p)(xp) p3 3p2 (3p2 6p x) 2p3 3p2………

点Q け 接線 ,

y(3q2 6q)(xq)q33q2 c (3q2 6q x) 2q3 3q2 c………

一致す こ ,

3p26p3q2 6q…… , 2 3  2 3 

3 2 3 2

p p q q c……

, p2 q22(pq)0, (pq)(p q 2)0

pq す , c0 , c＞0 反す 。

, p  q 2 0, q  p 2………

, c2q3 3q2 2p3 3p2 2( p 2)3   3( p 2)2 2p3 3p2

 4p3 12p2 12p  4 4( p1)3………

(2) yf(x) を連立す , x x p p x p p 3 _3 2 _(3 2 _{6 ) 2} 3 _3 2

x3 3x2 (3p2 6p x) 2p3 3p2 0, (xp) (2 x2p3)0

x  p , 点R x座標 , x  2p3

ここ , c＞0 , p＜1 , p＜ p 2＜2p3 以上 , PQ QR:    ( p 2 p) : (2p  3 p 2 )

 ( 2p2) : (  p 1) 2 1:

［解 説］

2 3次曲線 共通接線を題材 した頻出題 す。正確 計算 すべ す。

l

x y

O P

Q R

13 ［2000 横浜国大・理］ (1) C₁ : y ax2 bxc……… , C y x

2

2 :   ………

上 接点を( ,t t ), ( ,s s )

2 2

す , y  2x 接線 ,

y 2t x(  t) t2  2tx t2……… , y 2sxs 2

………

直交す ,   2t ( 2s) 1, st  1

4………

接す こ , ax bx c tx t

2 _{   2 } 2

ax2 (b2t x)  c t2 0………

D(b2t)2 4a c( t2)0, (4a4)t2 4btb2 4ac0………

接す こ , (4 4) 4 4 0

2 2

a s  bsb  ac ………

す , u い 2次方程式(4 4) 4 4 0

2 2

a u  bub  ac …… ,

異 2 実数解us, tを ち, そ s, t を満たす ,

b ac

a

2 ₄ 4 4

1 4



   , b2 4ac  a 1………

こ , 4a4＞0, b ac 2 _{4 0}

＜ , 式 正 条件を満たす。

(2) 交点 , 2   2 

2 2

tx t sx s , 2(st x) s2 t2 , x  s t

2

を用い , y t

s t

t st

    2   

2

1 4 2

, x b

a

b a   1 _   _

2 4

4 4 2( 1) , 交点 座標 ,



 



b a

2 1

1 4 ( ),

(3) 条件 , 

  b a

2( 1) 1, b 2(a1)………

を 代入す , (4 4) 8( 1) ( 1) 0 2

a u  a u a  , 4u2 8u 1 0

こ 方程式 解 u 

2 5

2 , t  s  2 5

2

2 5 2

, く ,

接点 x座標 重解 , を用い ,

x b t

a

a a

a a   2      

2

2 1 2 5

2

2 5

2

( ) ( )

接点 x座標 , 同様 し ,

x b s

a

a a

a a   2      

2

2 1 2 5

2

2 5

2

( ) ( )

［解 説］

式 たくさ 現 混乱し ち す。交通整理 うまく , 計算 さほ

© 電送数学舎 2000 －14－

14 ［2000 京都大・文］

I 



t2 at dt

0 1

く ,x ax I 2 _{ 2}

解 個 数 , y x ax

2 _y2I グ

ラフ 共有点 個数 一致す 。

(i) a＜0





I 



(t2 at dt)  t3 a t2  a

0 1

0

1 ₁

3 2

1 3 2

2 1 2

3 1

1 3 0

I  ( a)     a a ＜

, 0＜2I＜1a , 右 , 0 x 1 範

解 1個 あ 。

(ii) 0 a 1

I t at dt t at dt

a a

 



( 2 ) 



1( 2  )

0  





 

 



1

3 2

1

3 2

3 2

0

3 2 1

t a t t a t

a

a

1  

3 1 2

1 3 3

a a

2 1 2

3

2 3 1

1

3 2 1

3 3

I  ( a) a     a a ( a  )

(ii-i) 2I 1a



0 1



2 3

a

0＜2I 1a , 右 , 0 x 1 範 解 1

個 あ 。

(ii-ii) 2I＞1a



1



2

1 3 ＜a

0＜1a＜2I , 0 x 1 範 解 い。 (iii) 1＜a

0＜2I , 右 , 0 x 1 範 解 い。

(i)(ii)(iii) , 求 解 個数 , a 1 2

3 1 個, 1

2 3 ＜a

0個 あ 。

［解 説］

当然 す , I＞0 す。こ 場合分けを少 くし, 議論をスッキ させ ポイン

ト す。

1a

O 1

a

2I x y

1a

O a 1 2I

x y

1a

O 1

a

2I

15 ［2000 岡山大・文］ (1) C : y  2x 1 x2 2x1 対し ,

(i) x 1

2 y2x 1 x 2x  1 x 4x

2 2

 (x2)2 4………

(ii) x＜ 1

2 y (2x 1) x 2x1 2

 x22……… (2) , y   2x 4

ここ , t＞ 1

2 し , 接点を( ,t  t t) 2

4 す , 接線 方程式 ,

y  ( t2 4t)  ( 2t 4)(xt), y   ( 2t 4)xt2………

共有点 , x    t xt

2 2

2 ( 2 4)

x2 2(t2)x  t2 2 0………

接す 場合 , D 4 t 2 t 2 0

2 2

 ( ) (  ) , t 3

2

こ , 重解 x    t 2 1 2

1 2

＜ , 題意 適す 。

, 求 接線l , y x 9

4 , a 1 b 9 4 ,

(3) S 



x  x 



dx 



x  x  x



dx 



9



4 2

9

4 4

2 1

2 1

2 2

1 2 3 2

( ) ( )





 







 







₁ x2 x dx



x x dx

2 1

2 2

1 2 3 2 1

4 3

9 4





















x 1 dx



x dx

2

3 2 1

2 1

2 2 2

1 2 3

2  









      

1 3

1 2

1 3

3 2 3

1 2 1

2 3

1 2 3 2

x x

  1 3

1 3

2 3

［解 説］

微積分 総合問題 す。計算ミス 注意し 完答しまし う。

x y

4

4 2 2

O 1 2

‹電送数学舎 2001

−−

16 [九州大・文]

点S Tに関する点; <に対称な点を[ \とすると

T < \ S ;

[ + ₌

= +

< T \ ; S

[ = − = − より対称点の座標はS−; T−<となる。

* \=[ +D[ +E[+F……①上の点; <に対して

F E; D; ;

< = + + + ………②

*上の点_{S S+DS +ES+Fに関して対称移動した点を[ \とすると}

\ F ES DS S < [ S

; = − = + + + − ………③

②③よりS +DS +ES+F−\=S−[ +DS−[ +ES−[+F F

DS S

[ E DS S

[ S D [

\= − + + + + − − + ………④

①と④が一致する条件は

S D

D =− − ……⑤E=S +DS+E……⑥F=−S −DS +F……⑦

⑤よりS=−Dとなりこのとき⑥⑦はともに成立する。

すると T= S +DS +ES+F= D − DE+F

_{となり* はこのグラフ上の点}

(

− D D − DE+F

)

_{に関して点対称である。}

直線[= Sに関する点; <に対称な点を[ \とすると

< \ S ;

[+ _{= =}

< \ ; S

[ = − = より対称点の座標はS−; <となる。

と同様にして ; =S−[ < =\を②に代入すると

F ES DS

S [ E DS S

[ S D [

\=− + + − + + + + + + ………⑧

[ の係数を比べるとどんなSの値に対しても①と⑧は一致しない。

したがって*は\軸に平行などんな直線に関しても線対称でない。

［解 説］

次曲線の有名な性質についての証明問題です。このように一度きっちり証明し

17 [大阪大・理]

[ =[ +[ − [

I よりI′[=[ +[ −[

接点を_{W W +W −Wとおくと接線の方程式は}

_{W W W W W W [ W}

\− + − = + − −

W W W [ W W W

\= + − − − + ………①

①が点 Dを通るので

W W W

D=− − + ………②

ここで _{JW=−W −W +Wとおくと}

W W W

W

_{=− − +}

′

J

=−WW−W+

点 Dを通る複接線以外の接線が 本だけ引ける条件は

②がただ つの実数解をもつことに対応

する。

すると右表において＞ なので

=

D のときである。

［解 説］

問題文の「ただ 点でこの曲線に接する」というコメントは 次曲線では現れる

複接線を除外するというものです。

W … − … … …

W

J′ _{＋ − ＋ −}

W

J

[ \

‹電送数学舎 2001

−−

18 [京都大・理]

\ [

& = より\′=[となるので点3W Wにおける

接線の傾きは_{Wとなる。この接線と[軸の正の向きとのなす}

角をθ とするとWDQθ =Wである。

またこの接線を 3 のまわりに°回転して得られる直線

/と[軸の正の向きとのなす角をϕとすると

WDQ WDQ WDQ WDQ WDQ WDQ W W − + = ° − ° + = ° + = θ θ θ ϕ

よって

± ≠

W のとき直線

_{[ W} W W W \ / − − + = −

なお

± =

W のときは直線/は

± =

[ となり条件を満たさない。

すると&と/の共有点は

W W [ W W

[ − +

− +

= より

_{− =} − + −

− [ W

W W W [

(

)

₌ − + + + + − W W W W[ [ W [

よって [=Wまたは

₌ − + + + + W W W W[ [ ………①

求める条件は①が[ ≠Wの異なる実数解をもつことより

_≠ − + + + + W W W W

W ……②

(

)

_＞ − + + − = W W W W ' ……③

②は

≠ − + W

W _{となるのでつねに成立する。}

③より

＜ − + + W W

W _W−＜

よって

_＜W＜

− より点 3 の範囲を図示すると

右図のようになる。

［解 説］

穏やかな第 問でした。方針に迷いが生ずることはなくどんどん計算を進めてい

くことができます。

19 [広島大・文]

放物線_{\=[……①直線O \=P[+Q……②}

①②の交点は _{[ −P[−Q=………③}

条件から③の解が[ =V WV＜ なのでW

_{P[ Q [ V [ W}

[ − − = − −

よって6 W P[ Q [ G[

V

³

+ −

= =−

³

W − −

V[ V[ WG[

=−

³

W − − + −

V[ V[ V V WG[

=−

³

W

{

− − − −

}

V [ V W V[ V G[

[

]

[

]

_{[ V W V [ V} W _{W V} V

W

V + − − = −

− −

=

直線 O の傾きは W V V

W V W

P = +

− −

= である。また①より\′=[なので点

_{W W における接線の傾きはWとなり条件より}

W+V ⋅ W=−

W W V=− −

より 6 =

(

W+W+_W

)

=

(

W+_W

)

ここでV＜Wより −W−_W＜W

W＞

W+ となりW＞である。

すると相加平均と相乗平均の関係から

(

)

(

)

= ⋅

+ =

W W W

W

6 ≧

よって6は最小値をとる。このときW= _Wから

=

W である。

［解 説］

まで含めて有名な頻出問題のつです。数Ⅱの微積分の標準的な問題です。

[ \

2

‹電送数学舎 2001

−−

20 [東北大・文]

\=− [+

& ………① _{' \=[−+………②と}

する。

まず①上の点_{W −W+ における接線の方程式は}

+ − =

′ [

\ から

_{W W [ W}

\+ + =− + −

_{+ + −}

−

= W [ W

\ ………③

②と③が接することより_{[− +=−W+[+W −}

_{+ W[−W + =}

[

_{=W − −W + =}

' から_{W −=}

± =

W

③に代入して共通接線の方程式は

+ + −

= [

\ ………④ \= −[+………⑤

すると④と⑤の交点は

(

)

となるので求める網点部の面積6は

{

}

_³

{

}

³

− + + + + − + + + +

= −

[ [ G[ [ [ G[

6

=

_³

(

+

)

+

_³

(

−

)

−

G[ [ G[

[

[

(

)

]

[

(

)

]

_{+ + −}

=

−

[

[

=

(

)

+

(

)

=

［解 説］

つの放物線の共通接線を題材にした頻出問題です。

[ \

21 [京都大・理]

E[ D[

[

\_{= + + ……①に対して \′=[ +D[+E=[ +D[+E}

= ′

\ の判別式' =D −Eより D＞Eのときは

= ′

\ は つの異なる実数解[ =−D± D −E をもち

これを[ =α β α＜βとすると①のグラフ増減は右

表のようになる。

これよりあるFに対して①と\=Fのグラフは相異なるつの交点をもつ。

また D≦E_{のときは\′≧となり①は単調増加関数になる。これよりどんな} Fをとっても①と\=Fのグラフは個の共有点しかもたない。

以上より①と\=Fのグラフが相異なるつの交点をもつ条件は D＞Eである。

さて D＞E_{のとき①と\=α +Dα +Eα……②のグラフの共有点は}

E[ D[

[ _{+ + =α +Dα +Eα}

_{[−α [+ α+ D =}

D [

[=α =−α+

同様にして①と\=β+Dβ +Eβ……③のグラフの共有点は D

[

[=β =−β+

右図より①と\=Fのグラフが相異なる つの交点をも

つ と き こ れ ら の 交 点 の [ 座 標 の す べ て は 開 区 間

(

D D E D D E

)

D

D − + = − − − − + −

+

−

β α

に含まれている。

［解 説］

次関数のグラフについての文系風の基本問題です。

[ … α … β …

\′ _{＋ − ＋}

\

① ②

‹電送数学舎 2002 −−

22 [一橋大]

円錐の底面の半径を U高さを K とすると母線の長

さは _{K +U となる。}

このとき右図の断面に注目して

U=K K +U K +U =UK

_{U U K}

K + =

− =

KK

U

ここで円錐の表面積を6とすると

_{U K U U U K K U}

U

6 =π + ⋅ π + =π +π =π +

K K KK

KK K

− ⋅ = − ⋅ = − ⋅ +

=π π π

ここで W

K =

_{とおくとK＞より＜W＜となりさらにIW=W−Wとすると}

W 6

I

π

= である。

(

)

W =− W− + ≦

I より6≧πとなり6の最小値はπである。

円錐の体積を9とすると

K K KK

K U 9

− ⋅ = − ⋅ =

= π π π

と同様にして _{JW=W−Wとおくと}

W 9

J

π

⋅

=

W = − W

′

J

右表より

W ≦

J となる。これより

π π

_{⋅ =} ≧

9 と な り9 の 最 小 値 は

π

である。

［解 説］

6 の最小値は相加平均と相乗平均の関係を用いて求められましたが9 の最小値に

ついてはうまくいきません。そこで考え直して作ったのが上の解です。

W … …

W

J′ _{＋ −}

W

J

K

U

23 [千葉大・文]

≦W≦において _{[ −W[ =[[−Wより}

³

³

³

− = − + −

=

W W

G[ W[ [ G[

W[ [ G[

W[ [ W

I

=

³

− − +

³

−

W W

G[ W[ [ G[

W[

[ =−

[

[ −W⋅[

] [

W + [ −W⋅[

]

_W

₌₋W ₊W _+−W−W_−W

_{− +}

= W W

_{= −}

′ W W

I

(

)(

)

+

−

= W W

W

I の値の増減は右表のようになるので

最大値I=最小値

(

)

= −

I と

なる。

［解 説］

≦W≦ という条件があるために場合分けは必要ありません。微積分の基本問題

です。

W … …

W

I′ _{− ＋}

W

I

₋

‹電送数学舎 2002 −−

24 [広島大・文]

_{\=[より\′=[なので $D Dにおける接線は}

_{D [ D}

D

\− = − \=D[−D………①

% _{E E における接線は同様にして}

E[ E

\= − ………②

①②の交点3は _{D[−D =E[−E}

E−D [ =E −D

_{D E}

D E D E

[ ₌ +

− −

=

①より \= D⋅D+E−D =DE

交点3S TなのでS₌ D+E_{T=DEとなり解と係数の関係からDEは次}

方程式_{[ −S[+T=の解である。}

{

}

[

]

D[ D G[ [ D G[ [ D E D [

6 E E_D

D E

D − − = − = − = −

=

³

³

条件より_{T=−S−T=−S +S−………③}

D＜EからよりD =S− S−T E= S+ S −T となり

(

)

(

)

_{S T S T}

6= − = −

③より _{S −T=S −S+=}

(

_S−

)

_{+なので6は}

=

S のとき最小値

(

)

= をとる。

［解 説］

センター試験に出題されそうな頻出基本問題です。

D _E

\

[

3 %

$

25 [大阪大・文]

& \=−[ +[……①& \=[ −[……②

E D[ [ \

& = + +

………③

まず③が点_{W −W +Wを通るので}

E DW W W

W + = + +

−

_{DW+E=− W +W}

_………④

また③より\′=[+Dとなり [ =Wのとき\′=W+Dで

あ る 。 一 方 ① よ り \′=−[+と な り [ =Wの と き

+ − =

′ W

\ であるので

+ − =

+D W

W D =−W+………⑤

⑤を④に代入してW − W+ +E=− W +W

_W

E=

より③は

_{[ W [ W}

\= − − + ……… ③′

②と ③′の交点は

_{[ W [ W}

[

[ − = − − +

_{[ + W− [− W =}

_{− ± − + =− − ± − +}

−

= W W W W W W

[

この解をα β α＜βとおくと

{

[ W [ W [ [

}

G[ [ [ G[

6=

³

− − + − − =

³

β − − −

α β

α α β

(

)

(

)

(

)

_{⋅ − − = − + = − +}

−

= β α W W W W

_{IW=W −W+とおくと}

₍

₎

_W

6= I となり

(

)

W = W− + ≧

I

よってW=のとき6は最小値

(

)

= をとる。

［解 説］

微積分についての頻出基本問題です。計算量も妥当です。

2

W

α _β [

\

‹電送数学舎 2003 −−

26 [金沢大・文]

_I[₌[₋N[₊N_{に対して I′[=[ −N[ =[[−N} L N≦のとき

[≧のときI′[≧よりI[≧I=Nである。

これより[≧ のときI[≧である条件は N≧ となりN≦ と合わせると

=

N となる。

LL N＞のとき

右表より[≧ のときI[≧となる条件は

(

N

)

≧

I なので

N − N+ N≧ − NN −≧

N＞より ＜N≦ となる。

LLLより求めるNの値の範囲は≦N≦ である。

\=I[すなわち\=[ −N[ +NをNについてまとめて

_{[ − N+\−[ = ………＊}

＊がNの値によらず成立する[ \の条件は

_{− =}

[ _{\−[ =}

=

[ のとき\= [ =−のとき\=−より $− − % となり

直線$%の方程式は \−=[− \=[である。

すると \=I[のグラフが直線\=[の上にある条件は

[ N N[

[ _{− + ＞ [−N[−[+N＞[−[+[−N＞}

＜[＜

− から[−[+＜となるので [−N＜

そこで J[=[−Nとおくと −＜[＜でJ[＜となる条件から

= −N≦

J N≧

［解 説］

微分法を中心とした基本問題です。の結論をあわてて N＞ としないように注

意してください。

[ … N …

[

I′ _{− ＋}

[

27 [千葉大・理]

_{X −X+W=……①よりX−X=−Wと変形すると条件よりXY 平面上で}

X X

Y_{= − ……②とY=−W……③の共有点のうちX座標の絶対値の最小のものが}

W

I である。

②より_{Y′=X−=X+X−}

すると②のグラフは右図のようになり③との共有点の

様子から次のように場合分けをする。

L −W＜−＜−Wのとき ②と③は つの共有点しか

もたないのでその共有点がIW −Wである。

LL −W=±のとき ②と③はつの共有点をもつがX座

標 の 絶 対 値 が 小 さ い の は 接 点 の 方 で

I W − W = B ± 複号同順となる。

LLL−＜−W＜のとき ②と③は つの共有点をもつが

X 座標の絶対値が小さいのは−＜X＜の範囲にある共有

点でありその点がIW −Wである。

以 上 よ り [ \= IW −W と 表 さ れ る 曲 線 は

[ [

\_{= − [＜− −≦[≦ ＜[であり図示する}

と右図のようになる。

と同様にして①より− X + X=W

_{と変形するとY X X}

₊

−

= ……④と

W

Y= の共有点のうちX 座標の絶対値の最小のものがIW

である。

④より

_{+ =− + −}

− =

′ X X X

Y

すると W=±でIWは不連続で [ \=IW W

は \₌₋[ ₊[ _{[＜− −≦[≦ ＜[……⑤で}

表される曲線を描き図示すると右上図のようになる。

これより点W IWの描く曲線は⑤の曲線を直線

[

\= に関して対称移動したものでありこれをV=IWと

おくと W₌₋V₊V _{V＜− −≦V≦ ＜Vである。}

よってこのグラフは右図のようになる。

［解 説］

おもしろい問題ですがの誘導は少し使いにくいものです。

2

−

−

X Y

2

−

−

\

[

−

−

−

2 1 1

− 2 [

\

−

−

−

W V