解答例 ２次数学セレクション

© 電送数学舎 －1－

［98 横浜国大］

(1) OT弧TR , OP( , 1 )

ま , PQk



cos(  ), sin(  )



2 2

k(sin , cos )

, OQOPPQ(ksin , 1kcos ) Q ( ,x y) す , x   ksin , y 1 kcos (2) を定数 し , d

dt  く ,

dx dt

dx d

d

dt k

dy dt

dy d

d

dt k

 _   (1 cos ) ,   _    sin 

点Q 速さをv す ,

 





v dx

dt

dy

dt k k k k

2 2

2

2 ₁ 2 2 2 2 2 _{1 2}

 _{ } _{ } (  cos )  sin   (   cos ) 

k＞0 , cos  1 , v

2

最大 。す わ , v 最大 ,

 (2n1) n 0以上 整数 あ 。 (3) 条件 , x     y  

3sin , 1 3cos

x 0 す   

3sin , 右図 ,  0 ,  0 

6 ,

y1 1 y2

3 0 1 3 6

  cos ,   cos , 求 面積をS す ,









S x dy d d

y y





  



  





1 2

3 3 3 3

0

6 2

0 6

           

 

sin sin sin sin

ここ ,   



 



  

  

sin cos cos

0 6

0 6

0

6 3

12 1 2



d   



d   

ま , sin ( cos )

2 0

6

0 6

1

2 1 2 12 3 8

    

 



d 



 d  

, S      

  

 

 

  

 _    _ 

3 3 12

1

2 3 12 3

8 108 3

72 6

3

2

［解 説］

(2)   

3sin 正 解   6 , 最 初 気 付 ま し 。 ま ,   ₃sin し  計算し いけ うまくいく う 予想しまし , 予想

まし 。そこ    

6, 4, 3を考え わけ す。こ う 解け い方程式

解 偶然 求ま う 問題 作 あ こ あ ます。

O T

P R Q

x y



0

y



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［98 奈良女大・理］

k x

k y

2 2 2

2

1 ₄

 xy 1 表さ 領域 ,

右図 う 。

境界線 k x

k y

2 2 2

2

1 ₄

  …… , xy1……

ここ , こ 曲線をx軸方向 k

2

倍す ,

k x

k k y x y k

2 2

2

2

2 2 2 2

1 _{4 4}



    ,   ……

x

k2 y xy k

2

1

 ,  ……

ま 領域 面積S , ま

領域 面積をS0 し ,

S

k S

 1

2 0……

交点 ,

x k

x k x k x k x k k k

2 4 2

2 4 2 2 4 2 2 4 2

4 4 0 2 3 2 3

  ,    ,   (  )

 (2 3)k2, (2 3)k2 く , x   ,  

ここ , S k x dx S k

x dx

1 2 2 2

2

4





 , 



 

 

す ,

S0 2(S1 S2)……

, 曲線 , , 直線y x 関し 対称 , 2交点A, B 直線yx

関し 対称 。す , S1 扇形OAB 面積 等しく 。

さ , x   y  k  k 

  

2 2

2 3 2 3

    ( ) 

ま , x   y k  k 

  

2 2

2 3 2 3

  

 _{( ) }

, A



, (2 3) 

 

, B , (2 3) 



, 直線 OA, OB 傾 そ 2 3, 2 3 。

tan ( ) ( ) ( )( ) ,

    

     

AOB 2 3 2 3 AOB 1 2 3 2 3 3 3



以上 , S₁ k k

2 2

1

2 2 3 2 3  ( )   

ま , S₂ k



x



k k k

2 2 1 2 2

2

1 2

2 3 2 3

    

 log log log log

 _ _

1   

2 2 3 2 3

2 2 2

k log ( ) k log ( )

O

x y

A

B

O

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, S0 2 2



k2 k2

 

k2



3 2 3

4

3 2 2 3    log (  )   log (  ) , S  4  

3 2log (2 3) , k 値 無関係 一定 値 。

［解 説］

楕円を対象 し 問題 , 楕円を円 変換し 考え 計算を簡略化 こ

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［98 横浜国大］

(1) △ABC 内接円 半径 , 1

2 4 6 2

3  tan 

△A B C   内接円 半径 , 2

3 r 0 ＞

, △    △  

    A B C : ABC 2

3

2 3

2 2

r :

(2 3r) :2 4 △ABC   1 

2 4 4 sin3 4 3 ,

△A B C    1  △ABC  4 2 3 3 2 3

2 2

( r) ( r)

ま , 長方形 ABDE 面積 4r, う 形 AEF 面積 1 3

2

r , 求 面

積をS す ,

S    3 4r 3 1 r    r   r  r

3 4 3 3 2 3 3 3 24

2 2 2

 ( ) ( )

(2) 正 角形をxy 面上 , 半径1 球 通過部分を 面z k (1 k 1 )

断面積をS k( ) く。そ 球 断面 あ 円 半径r ,

r2 k2 1 r 1k2 。(1) 結果を用い ,

S k( )(3 3) (1k2)24 1k2

求 体積をV す ,





V  S k dk  k  k dk





( )



( )( )

1 1

2 2

0 1

2  3 3 1 24 1 2



3 3

 

11    



 

3 24 14 1

40

3 4 3

2

( )  

［解 説］

(1) , 内側 正 角形 △A B C   面積を求 , 2 正 角形 相似を

利用しまし 。 こ , そ 比 す 求ま う , 直接的 求ま

い , ここ 内接円 注目し まし 。(2) (1) い誘導 , 軸

垂直 断面積を求 , そ を軸方向 積分す こ 体積を計算す

いう典型問題 います。

A

B C

A′

B′ C′

D

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［98 東京大］

面z k k( 0) い , 四角錐PABCD 口を, x 0, y 0 領域 考え 。 面z k z軸 交点をR, 辺AP

交点をQ す 。

RQ OA: PR PO: , RQ : 2 (3k) :3 RQ 2 

3 (3 k)

ここ , RQ 1 す , k 3 3 2

3

2 2 2   (  )

, 0 3

2 2 2

k (  )

さ , 右 断面 い , RS x軸 正方向 す角を す 。

円柱x y

2 _ 2 _1

外部 ま 面上 四角錐

PABCD 内部 ま 面上 共通部分を,

面z k 断し 断面 面積をS k( ) す , RTRQsin   4 1 3

k _,

    

 

S k( ) _ k  k k tan    

 

2 1 2 1 3

1

2 1 3 1 3

1

2 1 4

2

2

  



 

1







 

3 1 4

2

k sin

cos   cos2 cos sin  

4

     cos  1 3

k

求 体積をV す , sin d  1dk 3 ,

V 4



 S k dk4



   d

4 3

0 3

2 2 2 2

0 4

( ) ( cos cos sin ) sin

( )

      



12



   4

2 2

0

4_{( cos} _sin _{cos sin}   _sin _{sin )} 



d

12



1    



3

1

3 4

3 3

0 4

cos  sin   cos cos sin 

       

    

12 2 12

1 3

2 12

2 8 4

2 8

2

2 4 4 2 3

   

［解 説］

空間 , x y

2 _ 2 _1

円柱を表す いうこ わ い 手 足 ま ,

そ クリアー , 後 体積計算 基本 す。上 解 z 軸 垂直 ま

し , 他 軸 い OK す。94年 類題 出 います。

A B

C

D P

O 1 -1

Q

x y z

x y

R

S Q 1

1 T

θ

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［98 横浜国大］

(1) 定点をA ( ,a 0) し, C上 任意 点を P (tsin ,t 1cos )t く。

AP2 f( )t す ,

f( )t  (t sinta)2  (1 cos )t 2

      

f ( )t 2(t sint a)(1 cos )t 2 1( cos ) sint t2 1( cos )(t ta) , ta f( )t 最小 。

こ , P (asin ,a 1cos )a

(2) (1) , P (asin ,a 1cos )a す , P け 法線l 点A ( ,a 0)を通 。す , PQ 1 ,

OQ OP PQ OP PA PA

   

さ , PA  sin ( cos  )

2_{a a 1} 2

 22 cosa  4  2 2 2

2

sin a sina

OQ( sin , cos )  sin

( sin , cos )

a a a

a a a

1 1

2 2

1

( sin , cos )







sin

sin cos , sin

a a a

a

a a a

1 1

2 2

2

2 2 2 2

2

(asin ,a 1cos )a 



cosa, sina



2 2 ここ , 変数をa t 変え , Q ( ,x y) く ,

x  t sintcost, y  costsint

2 1 2

す ,

 

dx



 



dt

dy

dt t

t _t t

2 2 2 2

1 1

2 2

1 2 2     cos  sin  sin  cos  2 2  1  

4 2 2 2

cost sin t sint cost sin cost t

 9  

 

 4 2cost sin2 sin 2

t t _t

 9







 4 2 1 2 2 2 2

2

sin t sint 



2 



2 1 2

2

sint

ま , y＞0 , 点Q 線分PA上 点 , x＞0 成立す 。 点Q 第1象限 含ま 条件 , 1

2 0

costsint ＞ , sint



sint



2 2 21 ＞0 0＜t＜2 sint

2＞0 , sin

t

2 1 2 ＞

t 0 … a … 2



f ( )t ₀ － 0 ＋ 0

f( )t

0

y

P

Q _x

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,     6 2

5 6 3

5 3 ＜t＜ , ＜t＜

以上 , 求 曲線 長さをl す ,





l



2 t  dt



t  dt

2 1

2 2 2

1 2

3 5 3

3 5 3

sin sin

 

 





 4   

2 1

2 4 3 2 3

3 5 3

cost t

 



［解 説］

(2) (1) 無 関 係 解 く こ ます , (1) 結果を誘導 し 使いまし 。

ま , 点A 点P け 法線上 あ いう事実 す。こ 気付け , 少し計

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［99 筑波大］

ま , x y x

2 _ 2 _{4 (0 2)}

を x 軸 まわ 回転し

容器を作 考え 。

半 球 形 容 器 体 積 , 1 2

4 3 2

16 3

3

    , こ

出 水 量 , 条件 11

11 5 16

3

11 3

     。

し ,  (4 ) 11

3

2 0  



h x dx

4 3

11 3

3

hh  , h3 12h110, (h1)(h2  h 11)0 0＜h＜2 h1 , こ sin  1

2 ,  30 あ 。

［解 説］

超有名問題 す。最近 97 年 島根 大 構図 問題 出題さ います。

x y

O h 2

2

2

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［99 九州芸工大］

(1) 0 x a , y xa sinx axsinx ,

f(a)



a(ax) sin2x dx 



a(ax) ( cos x dx)

0 2 0 1 2

ここ , (a x dx)



ax x



a

a a

   



0

2 0

2

1 2

1 2





(a x) cos x dx (a x) sin x sin x dx

a _a a

   



2 1



2 2

1

2 2

0 0 0

 1





   4 2

1

4 2 1

0

cos x a ( cos a ) , f(a) 



a  ( cos a )



( cos a a  )

2 1 2

1

4 2 1 8 2 2 1

2 2

(2) a x  , y  xa sinx  xasinx ,

g(a) (x a) sin x dx

a





  2

(1) , f(a)



a ( a x) sin2x dx

0

ここ t  x く , dt dx , x    0 x  a t   t a , f( )  ( ) sin ( ) ( )  ( ) sin





a 



a ta t dt 



ta t dt

a

2 2





(xa) sin x dx  (a) a

2 _g

(3) (2) , h a( )f(a)g(a)f(a)f(a)

   



   



8 2 2 1 8 2 2 1

2 2

( cos a a ) cos ( a) ( a) 



   



4 2 1

2 2

cos a a ( a)





     

h a( )  sin a a ( a)

4 2 2 2 2  2(sin2a2a)

   

h (a) ( cos2a 1) 0 , h a( ) 単調増加 , h

 

 

2 0 ,

h a( ) 値 増 減 右 表 う , h a( )

a 

2 最小値を 。

［解 説］

(2) 変 数 を 置 換 す , 積 分 間 上 端, 端 対 応 を, 0a,  a  ま 考 え ま し , う ま く い ま し 。 そ こ , 0 ,  a a 対 応 さ

わけ す。

a 0 … 

2 …  

h a( ) － 0 ＋

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［99 京都大］

(1) f(x) a x b 連続 関数 , こ 間 け f(x) 最大値, 最小値 存在し, そ M, m す , m f(x) M 。

m b a mdx x dx M dx M b a

a b

a b

a b

(  )





f( )



 (  ) , m

b a a x dx M

b 1





f( )

間 a x b , f(x) m 以 上, M 以 すべ 実数値を う , 1

b a a x dx c

b





f( ) f( ) (a c b) c 存在す 。 (2) 立体 体積をV す , ysinx ,

V 



x dy 



x x dx



2 0

1

2 0

2 _{cos }







_





 x2 x   x x dx

0 2

0 2

2

sin sin

   









 







3

0 2

0 2

4 2 xcosx cosx dx  3  

4 2

条件 ,  x dy



 



n

yn

2

1 ₁ 3

4 2



 

n x dy

yn

2

1 2

4 2



  ……… ここ , 0

2

x  い ysinxを x い 解 , そ をx f(y) く

, f(y) yn y 1 連続 あ 。 (1) , 1









1

2 1

2 yn



yn y dy  cn

f( ) f( ) (yn cn 1 )



f(y)



dy ( y )



f(c )



yn n n

2

1 ₂

1



  (yn cn 1)………

, n(1 yn)



(cn)



4 2

2 2

 f  





_

_

n y

c

n

n ( )

( ) 1

4 2

1

2

2     

f

さ , n∞ yn 1 cn 1 , こ f(cn)

2 , lim ( )

nn 1yn 







   

 

2

2 2

4 2

4 _{1 8}

［解 説］

(1) 定 理 う ま く 利 用 う (2) 作 います。最初 計算を楽 し

う , 0 y yn 部分 体積を考え す , 1yn 気付い まし 。

O x

y

1



2

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［99 大阪大］

立体Kを表す不等式 ,

y 0, y 3x, y  3(x1)……… 立体Lを表す不等式 ,

x 0 z 1 x z x

3

1 3

2 3

, ,   ………

立体 K L 共通部分を 面x k 断面 考え 。

ま , そ 面積をS k( ) く。 , k 0 1 k z k

3

1 3

2 3

,   ………

断面 存在す 条件 , 1 3

1 3

2 3

k  k , k 1

, 0 k 1………

, y 0, y 3k, y  3(k1)……… , 3k  3(k1) ⇔ 0 1

2

k , 3k  3(k1) ⇔ 1

2 k 1 (i) 0 1

2

k

x k 断面 右図 う 。





S k( ) 3k  1 k  k

3 2

3 1

3  2k k( 1)

(ii) 1

2 k 1

x k 断面 右図 う 。





S k( )  3(k1)  1 k  k

3 2

3 1

3 2(k1)2

以上 , 立体K L 共通部分 体積V ,









V 



2k k1 dk



2 k1 dk  2k k  k

3

2

3 1

2 1

2 1

3 2 0 1 2 0

1

2 3

1 2 1

( ) ( ) ( )

      2 3

1 8

1 4

2 3

1 8

1 4

［解 説］

2 立体 共通部分 体積を求 いう以前 頻出題 一 す。現行

課程 出題さ く いう噂 あ まし , そう あ ま し 。

x y z

O

x y z

O 1 1 2

立体 K

立体 L

1 3 2

3

 1 

3 2

3 k

1 3

k

3k y

z

 1 

3 2

3 k

1 3

k

 3(k1)

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10 ［99 名古屋工大］

(1) 条件 , AQ



cos



  



, sin



  





( sin , cos )

2 2

ま AQ 垂 直 , y 成 分 正 単 位 ベ ク ト ルu

u( cos , sin )  表 。

そこ 条件(iii) QP   , QP(  )u(  ) ( cos , sin ) 

, OPOAAQQP ,



x( ), y( )



( ,0 1)( sin , cos ) (  ) ( cos , sin )  以上 , x( ) sin(  ) cos, y( )  1 cos(  ) sin (2) (1) , y( ) sinsin (  ) cos

(  ) cos 右表 y( )  

2 最大値を ,

 

y  

2  1 2

(3) (1) , x( ) coscos (  ) sin   ( ) sin



x( )

 

2  y( )



2 (  ) cos2 2(  ) sin2 2 (  )2 , 求 道 l ,





l



 (  )2d 



(   )d      

0 0

2 0

2

1 2

1 2

［解 説］

題意を読 取 , そ を数式化 う , すべ す。今年 曲線 媒

変数表示 微積分 融合 くさ 出題さ まし 。

O A

Q P

x y

θ

 0 … 

2 …  

y( ) ＋ 0 － 0

© 電送数学舎 －13－

11 ［99 お茶水女大］

A ( ,a b, h), 曲線 D 上 点P ( cos , sin , )

3 3 _{1 ,}

曲線D上 点Q( ,x y, 0) く , 条件 , OQOAtAP 。

( ,x y, 0)( ,a b, h)t( cos3a, sin3 b, 1h) 0 h t(1h) , t h

h

 1

x a h

h a

h h

a h

  _{1( cos}3_  _{) 1cos}3_{  1}

y b h

h b

h h

b h

  _{1( sin}3  _{) 1sin}3_{ 1}

す ,

   

dx

 





d

dy d

h h

     

2 2 2 _{2 2 2 2}

1 3 3

  _ ( cos sin ) ( sin cos )



 

 

  

9 1

9

4 1 2

2

2 2 2 2

h h

h h

sin cos  sin  

D 周 長さをl す ,

l h

h d

h

h d





3_{ }  _



2 1 2

3

2 1 2

2 0

2

0 2

sin

( ) sin

   

 

 3_{ }



_{ }



2 1 4 2

6

1 2

0 2

0 2

h

h d

h

h d

( ) sin   sin  

 





  6  

1

2 2

6 1

0 2

h h

h h

cos  

［解 説］

空中 浮 ぶアステロイ 影 長さを求 問題 す , 点光源 静 し い

© 電送数学舎 2000 －14－

12 ［2000 名古屋大］

(1) ylog (x1) ,   

y x

1 1

0 t e1 し , 接 点 を( , log (t t1) ) す , 接 線 方程式 ,

y

t x t t

 _1   

1( ) log ( 1)  _1  _  

1 1 1

t x

t

t log (t )

こ 方程式 yaxb 一致す ,

a t

  1

1……… , b

t

t t

 

1log ( 1)……… , t

a t a

 1 1,  1 1

代入し , b   1 a loga……… ここ , 0 t e1 ,

1

1

e a

, b     a

a a

1 1 1  

b a

1 0

2 ＞

, 点( ,a b) 存在範 右図 う 。 (2) 台形AOCB 面積をS₀ す ,

OAb, CBa e(  1) b





S₀ b a e 1 b e e e a b

2 1

1

2 1 2   (      ) ( ) (  ) 

ここ , f( )t (e1)a2b く , ,

f( )t e log ( )

t

t

t t

 _1 _   1

2

1 2 1  e_   

t t

1

1 2log ( 1) 2    

     

f ( )

( ) ( )

t e

t t

t e

t

1 1

2 1

2 1 1

2 2

右 表 , t

e

 1

2 f( )t

最 小 値

を 。

 





f e e

e

e

 _ 

     

1 2

2 1 1 2 2

1

2 1 2 ( )

( ) log 

 2 1

2 loge

さ , 求 網点部 面積をS す ,

O _x

y

A

B

C

t e1

a

1

e … 1



b － 0

b 1_e 0

1 a b

O 1

e

1

e

t 0 …

e1

2 … e1 

f ( )t － 0 ＋

© 電送数学舎 2000 －15－

SS₀



e x dx

0 1

1 log ( )









 e 1 t  x x e 



e dx

2 1 1 0

1 0

1 f( ) ( ) log ( )

 e 1 t  e e  e t 

2 1

1

2 1

f( ) ( ) f( )

以上 , S t

e

 1

2 , 最小値

 

e e

e e

1  _{    }

2

1

2 1 1

1 2 1

f ( ) log を

。

こ , a

e

  2

1, b

e e

e

  

  

1 1

1 2 log

［解 説］

微積分総合 称さ 分 典型問題 す。(2) 図形的 考え い す ,

© 電送数学舎 2000 －16－

13 ［2000 東京工大］

(1) yex……(ア), y e nx

 1……(イ) (ア)(イ) , e e

x _ nx _{1 , e}nx _ex _{ 1 0}

f(x)enx ex 1 く ,





     

f (x) nenx ex ex ne(n 1)x 1

x 0 い , n1 1 ne n

n x

( 1) ₁

＞ f(x)＞0 , f(x) 単調増加 。

ま , f( )0  1＜0, さ , f

 

1

1 1

1 1

2

n e e e e

n

    

ここ , (e1)  e e 3e 1



e



 .  3

2 5 4 1 2

5 4 0

2 2 2 2

＞ ＞ ,

e1 e

1 2

＞ , f

 

1

0

n

＞ あ 。

以上 , f(x)0 0＜x＜ 1

n い , 一 解を 。す わ , (ア)

(イ) グラフ 第1象限 い 一 交点を 。 (2) (1) , 0＜a ＜1

n

n , lim n∞an 

0 (ア)(イ) , b e

n an

 , b_n enan ₁

ean enan _{1 , na e}

n

an

log ( 1 ) lim lim log ( ) log

n n n

a

na e n

∞  ∞  

1 2

(3) S



e e



dx



e



ne x

n

x nx a

x nx a

n n





( 1)  1 

0 0 e  _n e  a

a na

n

n ₁ 1₍ n ₁₎

nS n e e na e

a na e na

n

a na

n a

n

n na

n

n n

n

n

 (  1)  1   1   1

(2) , n→∞ , a n 0

e a

a

n

n

 1

1 , さ na

n log 2 , lim log log log log

n∞nSn   e    

1 2 2 1 2 2 2 1

［解 説］

最初, f

 

1

0

n

＞ 代わ , lim ( ) x∞ x 

∞

f (1) 結論を導 まし , そ

(2) lim n∞an

求ま ま 。こ lim

n∞an

値 0 あ こ グラフ 明

, い そう手間取 まし 。

1

O

an

bn

© 電送数学舎 2000 －17－

14 ［2000 千葉大］

(1) PQ1 , OPsin , OQcos , AP 1 sin OROP (1 sin ) PQ

( sin , 0) (1 sin )( sin , cos )  



sin2, (1sin ) cos 



, R sin



2, (1sin ) cos 



。

(2) (1) , 点R ( ,x y) 軌跡をパラメータ表示す ,

xsin2, y  (1 sin ) cos 



0



2  

こ 曲線 x軸, y軸 ま 図形 面積をS す ,

S



y dx 



  d

0 1

0

2 _{(1 sin ) cos}  _{2sin cos}  



2



2  2 2

0

2 _{( sin cos}  _sin _cos  ₎



d

ここ , sin cos  



cos 



( )

 

2 0

2 3

0 2

1 3

1 3 1

1 3

d



      

sin2 cos2 sin ( cos )

0

2 2

0 2

0 2

1

4 2

1

8 1 4

1

8 2 16

        

  

d d d











   

, S2



1



  3 16

2 3 8

 

［解 説］

パラメータ曲線 さま 領域 面積を求 いう問題 す。文中 誘導を利

用す , ス ー 値 求ま ます。

x y

P A B

O

R Q

1 1

© 電送数学舎 2000 －18－

15 ［2000 東京医歯大］

(1) f(x)log



x x21



,





 

     

f (x)

x x

x

x x

1 1

1 2 2 1

1 1

2 2 2

点A ( ,a f(a) ) け 接線 傾 ,  



f (a)

a

1 1

2

………

ま , yg(x) ⇔ x f(y) ,  

  

g

f

( )

( )

x

y y

1

1

2

点B ( ( ),f b b) け 接線 傾 ,

  

g f( ( ) )b b2 1………

ここ , 点A け 法線 点B け 法線 行 , 接線 うし 行

, , 1 1

1

2

2

a

b

  

。

, (a2 1)(b2  1) 1, (a2 1)b2 a2 , b a a



 2 ₁

(2) g( )1 a く 1f(a) , 点( ,a 1) け C

1 法線 , ,

y

a x a

  1 _1 

f ( )( )   a  xa

2 _{1 ( )}

x軸 交点 , x a

a

 

 1

1

2

曲線C

1 そ 法線 び x 軸 ま 図形 面積

をS す ,





S x dx a

a

a

a

  

  



f( )

1 2

1 2

1 1

1

 





f

g g

( )

( ) ( )

x dx

a

0 1

2

1 2 1

………

ここ , x g( )t く , x g( )0 t0 , x g( )1 t1 ,

f f g g g

g g

( ) ( ( ) ) ( ) ( )

( ) ( )

x dx t t dt t t dt

0 1

0 1

0 1







 









tg( )t







g( )t dtg( )



g( )t dt

0 1

0 1

0 1

1 ………

ま , yf(x) ⇔ x g(y) , ylog



x x 



2 ₁

く ,

x x2 1 ey, x2  1 ey x, x2 1 (ey x) 2

x 1 …



f (x) ＋

f(x) ₀

y

x

O 1 1

a b

C1

C2

y

x

O 1 1

C1

© 電送数学舎 2000 －19－

, x e

e e e

y

y

y y

 2  1  

2

1

2( ) , g(y) (e e )

y y

 1  

2 , S e e e e dt

e e

t t

    

 

 





1

2

1 2

1 2 1

4 1

1 0

1

1 2

( ) ( )

( )

  







 

 



1 2

1 2

1

1

0 1

1 2

( )

( )

e e e e

e e

t t

     

 



1 2

1 2

1

1 1

1

(e e ) (e e )

e e

 

 

 





e

e e

e e e

1

1

2

2

1 2 1 1 ( )

(3) C₁: y f(x) C₂: yg(x) 直 線yx 関 し 対 称 , C₁上 点 P C₂上 点 Q 距離 最小

, 右図 , C₁上 点 P 直線yx 距離

最小 あ 。

こ , 点 P け 法線 直線y x 直交す

, 点P け 接線 傾 1 。 , 1

1 1

2

a  

, a2  1 1 , a 2

, P ( 2, log ( 21) ) , yxす わ x y 0 距離d ,

d 2 21      

2

2 2 1

2 1

1

2 2 1 log ( ) log ( )

log ( )

以上 , 線分PQ 長さ 最小値 2d 2 2log ( 21) 。

［解 説］

計 算 量 多 い 問 題 し 。f(x) 逆 関 数g(x) , g(x) (e e )

x x

 1  

2 う

簡単 式 し 表さ ます , 最初 こ 気付 ま し 。そ , (2) 途

中ま こ 式を利用 計算を進 まし 。上 解 そ 解 す。

y

x

O 1 1

a

C1

© 電送数学舎 2000 －20－

16 ［2000 横浜国大］

(1) f(x)x3 x2 ax い , f(x) 増加す ,  

f (x) 3x22xa 0, D 4 1 3a 0……… ここ , yf(x) ⇔ x g(y) ,  



f

g

( )

( )

x

y

1

x 0 y0 ,  



f

g

( )

( ) 0 1

0 , g( )0  f( )  1

0 1

a………

さ , yf(x) , y g(x) 原点 共通 接線を ,   

f ( )0 g ( )0 , a a

 1 , a2 1

, a1

(2) yf(x) yx 共有点 , (1) ,

x3 x2  x x, x2(x 1) 0, x 0 1, , 求 回転体 体積をV す ,









V 



g(x) 2dx



f(x) dx

0

1 ₂

0 1

………

ここ x f( )t く , x0 t0 , x 1 t1



g(x)



2dx



g f( ( ) )t



f ( )t dt t f ( )t dt x f (x dx)

0

1 ₂

0 1

2 0 1

2 0 1







 



 





, V 



x2  x dx





x



dx

0

1 ₂

0 1

f ( ) f( )







x2  x 



x



2



dx

0 1

f ( ) f( )







x2 x2  x  x3 x2 x 2



dx

0 1

3 2 1

( ) ( )





x2



x2  x  x2  x 2



dx

0 1

3 2 1 1

( ) ( )





(x6 x5)dx



 x x



 

0

1 7 6

0 1

2

7 3

4 21

［解 説］

鮮明 記憶 し 残 い , 98 年 東北大 理系 出題さ 問題 す ,

こ う 逆関数 関す 積分計算を, 最近 く見 けます。ポイント , 上 解

う , 置換積分す こ す。

O 1 x y

© 電送数学舎 2000 －21－

17 ［2000 東京大］

(1) 条件式 各辺 行列 積を計算す , 1 0

0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 0 0 1

a

b

c



  



   

  



   

  



   

1 0 1 0 0 1

c a ab

b

 

  



   1 0 0

0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 1

x

y

z



  



   

  



   

  



 

  



  



   1

0 1 0 0 1

y yz

z x

成分を比べ , y  c a, yzab, z x b ま , y c a…… , z ab

y

ab

c a

 _{ } …… , x b z bc

c a

    …… (2) yz ab…… , xyb y( a)……

xybyyz , y＞0 b x z………

, a yz b

yz

x z

 _{ } ………

, c y a y yz

x z

xy

x z

       ………

ここ , 条件 1 a 2, 1 b 2, 1 c 2 , 1 yz 2

xz …… , 1 xz 2…… , 1 2

xy

xz ……

yt す , 2 t 4 い ,

, xz tz 2(xz) , t2z x t z

2 ( 1) , 1 xz 2

, xz tx 2(xz) , t2x z t x

2 ( 1) (i) t

t



 2 2

1

1(2 t 3)

面y t上 , 不 等 式 を 満 す 口 右

図 網点部 う 。

口 z x 関 す 対 称 性 , ま z x

x z 2 交 点 を 求 , ( ,x z)( ,1 1) 。 さ z (t 1)x x z 2 交 点 を 求 ,





( ,x z) ,

t t

t

 2 2 2 _,

そ 面積S ,

S t

t t

t t

t t

2 3 4

1 2

2 2 2 3 8

2 4 3 2 4

       (  )

S t

t

3( ₂2)

1 2 1

2

x z

z t 2x

2

x t 2z

2

z(t1)x

© 電送数学舎 2000 －22－

(ii) t

t



 2 2

1

1 (3 t 4)

面yt上 , 不 等 式 を 満 す 口 右

図 網点部 う 。

口 z x 関 す 対 称 性 , ま z x

x z 2 交 点 を 求 , ( ,x z)( ,1 1) 。 さ , z  t 2x

2 x z 2 交 点 を 求 ,





( ,x z) ,

t t

t

 4 2 4 _,

そ 面積S ,

S t

t t

t t

t t

2 3 4

1 2

2 4 4 3 8

2 8 3 4 4

       (  )

S t

t

3 4( ₂ )

(3) 立体K 体積をV す , (2) ,

 

 

V t

t dt

t

t dt t dt t dt





3 ₂2 



3 4₂  3



 



 2 1

2 3 2

4 ₁

2 3

3 4

2 3

3 4

( ) ( )

 3





















 

 



2 2

3 2 4

3 2 1 2

3 2

3 2 4

4 3 1

2 3

3 4

t logt logt t log log

 3 3      2 6

4

3 3 3 3 2 12 2 6 3 log log log log log log 15log29log3

［解 説］

(2) , a, b, cをx, y, z 表し , x, y, z 条件を求 いう確実 方法を

まし 。計算 少々複雑 ます , 力 押し いけ , ゲット ます。

1 2 1

2

x z

z t₂2x x t 2z

2

z(t1)x

2001 入試問題セレクション 解答解説

‹電送数学舎 2001

−−

18 [九州大]

中心軸が[軸で断面が半径Uの円である円柱は _{\+]≦U………①} また中心軸が]軸で断面が右図のような辺_U

の正方形である正四角柱は

U \

[ + ≦………②

①②の共通部分を平面]=W −U≦W≦Uで切ったと きの切り口は _{\ +W≦U}

U \

[ + ≦

_{W \ U W}

U − −

− ≦ ≦

U \

[ + ≦

さて＜U≦ から _{U U W}

U≧ ≧ −

よって ] =Wでの切り口は右図の網点部となりその

面積を6Wとすると

{ ( )

(

) }

_{= − − U −W ×}

U U

W

6

_{U W W U}

U − + −

=

共通部分.が[\平面に関して対称なので

(

_U U W W U

)

GW GW

W 6 U

9 U U

=

³

=

³

− + −

ここで

_U

U GW W U

U

π

π ⋅ =

= −

³

より

[

]

U _U U W U W U U

9 = ⋅ π + − U = π −

_{9′U=π −U =−U−π}

右表より ＜U≦ において U= π のときに9U は最大となり最大値は

(

π

)

π π π π π π

= − ⋅ =

9

である。

［解 説］

年も前になりますが直交する円柱と円柱の共通部分の体積を求める問題が

年に出ました。今年は円柱と正四角柱でしたがそれにしても現行課程になっ てもこの種類の問題はよく出題されます。

U … π …

U

9′ _{＋ −}

U

9

2 [

\

U

U

U

−

U

−

[ \

U

U

U

−

U

−

_W

U −

_W

‹電送数学舎 2001

−−

19 [筑波大]

\=[−[より[−[+\=

  ≦ ≦

  [ より [=− −\

_{\ \}

[ = − − −

≦\≦Kにおける水量を:とすると

³

³

= − − −

= K [ G\ K \ \ G\

:

π

π

すると G:_GK =π−K− −K………①

ここで条件より G:_GW =9 GK_GW =X

GW GK GK G: GW

G: _{= ⋅ なので}

X GK G:

9 = ………②

①②より9 =π−K− −KXなので

K

K K

9 K K

9 X

π π

− + − = − − −

=

G:_GW =9 でW=のとき: =から: =9W………③

=

K のとき容器に水がいっぱいになりこのときの水量:は

[

]

π π

π _{− − − = − + − =}

=

³

\ \ G\ \ \ \

: ………④

③④より9W= π となり求める時間は

9

W= π である。

［解 説］

以前はよく出題されていた水の問題に久々に出会いました。演習する価値のある問 題です。

−

[ \

2001 入試問題セレクション 解答解説

‹電送数学舎 2001

−−

20 [九州大]

3W IWにおける接線の傾きはI′Wより WDQθW=I′Wとなる。

FRV_{θ W} ⋅θ′ W =I′′ W FRV

_W

W

W θ

θ′ =I′′

条件よりI′′W＞なのでθ′W＞よってθWはつねに増加する。

①より接線の方向ベクトルは WDQθWとおけるので下向きの法線ベクト

ルはQ=WDQθW −となる。

すると _FRV

FRV

WDQ

W W

W Q

θ θ

θ + = =

= より

WDQ FRV FRV 23

24= + θ W Q= W I W + θ W θ W −

=W IW+VLQθW −FRVθW=W+VLQθW IW−FRVθW

よってαW=W+VLQθW βW=IW−FRVθW

より

{

}

FRV

WDQ

W W

W

θ

θ =

+ = ′

+ I なので

GW W GW

W

/ E

D E

D FRV

FRV

θ

θ

³

³

=

=

から

{

α′W

}

+

{

β′W

}

=

{

+FRVθWθ′W

}

+

{

I′W+VLQθWθ′W

}

=

{

+FRVθWθ′W

}

+

{

WDQθW+VLQθWθ′W

}

₌

{

₊FRV_θWθ′W

} {

₊WDQ_θW

}

{

}

FRV

FRV

W W W θ

θ

θ ′

+

=

{

}

_GW

W W

W GW

W W W

/ E

D E

D FRV

FRV

FRV

FRV

θ θ θ θ

θ

θ + ′

= ′

+

=

³

³

よって / / FRV_FRVW_WWGW E WGW

[

W

]

E_D E D

D E

D θ θ θ θ θ

θ θ

− = =

′ = ′ =

−

³

³

［解 説］

ていねいな誘導がついたよく練られた問題です。の結論は予想以上に簡明なも のでした。

© 電送数学舎 2002 －26－

21 [岡山大]

直線AB 方程式 , y2x2 , )P(t, 2t2 く。 し, 0 t 1 あ 。 こ , )Q(t, 0 , )R(0, 2t2

。

さ , RQ(t, 2t2) , 直 線 RQ 法 線 ベ ク ト ル を )

, 2 2

( t t す こ , そ 方程式 , 0

) )( 2 2

( t xt ty ……… 1

0 t , 通過す 領域 , を t 関す 方程式

し , 0 t 1 少 く 1 実数解を (x, y) 条件 し 求

。

, 02t2 (2xy2)t2x  ………

左辺をf(t) く , f(0)2x, f(1)22xy22x  y

ここ , 線分QR 通過領域 △OAB 内部ま 周上 ,

2 2 ,

0 ,

0 y y  x

x ………

, 0f(0) , 0f(1) 。

そこ ,





x

y x y

x t

t 2

8 ) 2 2

( 4

2 2

2 ) (

2 2

       

f , 求 条件 ,

1 4

2 2

0 xy …… , 2 0 8

) 2 2

( 2

x y

x

  

 ……

, 0 2xy2 4, 2x2 y 2x2………

, 0(2xy2)2 16x , (2xy24 x)(2xy24 x) 0 0

4 2

2xy  x , 2xy24 x 0 2

4 2x x 

y ………

ここ , 境界線y2x4 x 2 対し ,

x x x

y 1 2( 1)

2 1 4

2     



0 1

2 3

＞

x x x y  

以上 , を満 す領域 , 右図 網点部 , こ

面積をS す ,



₂



₃1 3

2 4 )

2 4 2

( 2 1₀

3 2

1

0       





x x dx x x x

S

［解 説］

直線 通過領域を求 頻出題 す。実数解条件を用い 解い います。

x 0 … 1

y × － 0

y 2 0

O Q B A

R P

1 2

x y

O 1 2

© 電送数学舎 2002 －27－

22 [九州大]

(1)

2 t t _e

e

x    …… ,

2 t t _e

e

y   …… 対し

＋ e x y

t _{ }

…… , － e x y

t _{ }  

…… ,

) )( (

1 xy xy

 , x2 y2 1, y2 x2 1 , y＞0 , 1

2 _  x y

(2) t 0 , et 1 , 1

y

x , 1 xy＜0

1  x

y , 1x＜y x

曲線をC , 1

2 _  x

y (x 0)

す ,

2 2 2 1 1 ) ( 2 0

2 t t t t

e e e e e e dx x t A t t          



 ( ) 8 1

1 2 2

2 0

2 t t

e e e e dx x t t      





ここ ,

2 u u _e

e

x   く , dx e e du

u u 2    ,







 _{ }   _   _{  }   t u u

t u u u u

e e du e e du e e e e dx x t t 0 2 2 0 2 0 2 ) 2 ( 4 1 2 2 1



e2u u e 2u



t₀

2 1 2 2 1 4

1 _{ } 

 e t e t t

2 1 ) (

8

1 2 _ 2 _

 

, A t e t e t t e t e t t

2 1 ) ( 8 1 2 1 ) ( 8 1 )

(  2  2   2  2 

ま , S t A t e e t e e t

t t t t 2 1 ) ( 4 1 2 1 2 1 2 1 ) ( OMP ) ( △           

(3) )A(t)S(t)F(t く , ( ) 4 1 2 1 ) ( 4 1 2 1 )

(t t et e t t t et e t

F         

) ( 4 1 1 )

(t et e t

F    

t t t e e e 4 1 4

2 _{ }   0 ) (   t

F す , 2 3

t

e

1 t

e et 2 3, tlog(2 3)

, 右表 , tlog(2 3) , )F(t 最大 。

［解 説］

置換積分 面積を求 頻出問題 す。今年 筑波大 , 双曲線を題材

し 類題 出 います。

t 0 … log(2 3) …

) (t

F ＋ 0 －

© 電送数学舎 2002 －28－

23 [大阪大]

(1) 1C1:x2y2  … … , 1: ( sin )

2 2

2 x  y  

C … …

対し ,

x軸 交点 , y0 し ,



 2

2

2 _{1sin cos}

x , x cos

, lA: xcos, lB; xcos ま ,

2

1 x

y  , ysin 1x2

,





     

 

 

   

 cos

cos

2 cos

cos

2 2

1( ) (sin 1 x ) dx (1 x )dx

V



 

  cos  

0

2 2 _{2sin 1 )}

sin (

2 x dx

ここ , 右図 網点部 面積 ,



cos 

0

2

1 x dx    



 



2 1 2 1 sin cos 2

1 2

2 4 sin cos 2

1 _{ } _ 

) (

1 

V





2 4 sin cos 2 1 sin 4 cos sin

2 2       

4sin2cos2sin2sin





     

 _  _ 

 cos

cos

2 2 cos

cos

2

2( ) (1 x )dx (sin 1 x ) dx

V

 



cos     

0

2 2 _{2sin 1 )}

sin (

2 x dx

し , )V1()V2(      

cos sin 4 sin

2

2 cos 2

0

2 _





dx

(2) (1) , )V1()V2()4(1cos2)cos 4(cos cos3 こ こ , cos t し , 10＜t＜ い

3

) (t tt

f く ,

) ( 4 ) ( ) ( 2

1 V t

V     f ,

) 3 1 )( 3 1 ( 3 1 )

(t   t2   t  t



f

右表 ,

3 1 

t f(t) 最大値 3

9 2

を 。 , )V1()V2( 最 大 値 , 

 3

9 8 3 9 2

4   あ 。

［解 説］

積分 標準題 す。計算 難しく くホッ します。

t 0 …

3 1

… 1 )

(t

f ＋ 0 －

) (t

f 3

9 2

O B A

1 1

1



1



y

x

O 1 1

y

x





© 電送数学舎 2002 －29－

24 [京都大]

(1) f(x)log(x 1x2 ) 対し ,



₂



₂

2 ₁

1 1

2 2 1 1

1 )

(

x x

x x

x x

    

  

f

(2) 曲線r  上 点を(x, y) す , x rcos cos, yrsin sin

   

2 2 _(cos _sin₎2 _(sin _cos₎2 ₁ 2



  d      

dy d

dx

曲線r  0   部分 長さをl す ,





   

0

2

1 d

l







   

   

  

 

0 2

0 2

1 2

2

1 d



 _ 

 

  

  



0 2 2 2

1 1 1

1 d







   



  

 

 

0 2

2 2

1 1 1

1 d







 



 0

2 2

) 1 log(

1    

 l  12 llog(  12 ) )

1 log( 1

2l 2   2

, log( 1 ) 2

1 1

2

1 _2 _ _{ }2 

l

［解 説］