クラスター代数とルート系

中島 啓

京大数理研

2012

年

月

日

Conway-Coxeter Frieze

ルール

d

が、

を満たすように、左か ら右へと、数を並べていきます。

1 1 1 1

1 ?

1 1 1

1 1 1 1

ルール

d

が、

を満たすように、左か ら右へと、数を並べていきます。

1 1 1 1

1 2

1 ?

1 1

1 1 1 1

Conway-Coxeter Frieze

ルール

d

が、

を満たすように、左か ら右へと、数を並べていきます。

1 1 1 1

1 2

1 3

1

1 ?

1 1 1 1

ルール

d

が、

を満たすように、左か ら右へと、数を並べていきます。

1 1 1 1

1 2 ?

1 3

1

1 2

1 1 1 1

Conway-Coxeter Frieze

ルール

d

が、

を満たすように、左か ら右へと、数を並べていきます。

1 1 1 1

1 2 2

1 3

1 ?

1 2

1 1 1 1

ルール

d

が、

を満たすように、左か ら右へと、数を並べていきます。

1 1 1 1

1 2 2

1 3 ?

1 7

1 2

1 1 1 1

Conway-Coxeter Frieze

ルール

d

が、

を満たすように、左か ら右へと、数を並べていきます。

1 1 1 1

1 2 2

1 3 5

1 7

1 2 ?

1 1 1 1

ルール

d

が、

を満たすように、左か ら右へと、数を並べていきます。

1 1 1 1

1 2 2

1 3 5

1 7 ?

1 2 4

1 1 1 1

Conway-Coxeter Frieze

ルール

d

が、

を満たすように、左か ら右へと、数を並べていきます。

1 1 1 1

1 2 2 ?

1 3 5

1 7 3

1 2 4 ?

1 1 1 1

ルール

d

が、

を満たすように、左か ら右へと、数を並べていきます。

1 1 1 1

1 2 2 3

1 3 5 ?

1 7 3

1 2 4 1

1 1 1 1

Conway-Coxeter Frieze

ルール

d

が、

を満たすように、左か ら右へと、数を並べていきます。

1 1 1 1

1 2 2 3 ?

1 3 5 2

1 7 3 ?

1 2 4 1

1 1 1 1

ルール

d

が、

を満たすように、左か ら右へと、数を並べていきます。

1 1 1 1

1 2 2 3 1

1 3 5 2 ?

1 7 3 1

1 2 4 1

1 1 1 1

Conway-Coxeter Frieze

ルール

d

が、

を満たすように、左か ら右へと、数を並べていきます。

1 1 1 1

1 2 2 3 1

1 3 5 2 1

1 7 3 1

1 2 4 1

1 1 1 1

... . .

しばらく並べると、上のように再び

が折れ線状

に並ぶ。

1 1 1 1 1 1

1 ?

1 1

1 1

1

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

しばらく並べると、上のように再び

が折れ線状

に並ぶ。

1 1 1

1

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

しばらく並べると、上のように再び

が折れ線状

に並ぶ。

1 1 1 1 1 1

1 2 ?

1 3

1 ?

1

1 ?

1

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

しばらく並べると、上のように再び

が折れ線状

に並ぶ。

1 4

1 ?

1 2

1 ?

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

しばらく並べると、上のように再び

が折れ線状

に並ぶ。

1 1 1 1 1 1

1 2 2 ?

1 3 3

1 4 ?

1 9

1 2 ?

1 3

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

しばらく並べると、上のように再び

が折れ線状

に並ぶ。

1 4 7

1 9 ?

1 2 14

1 3 ?

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

しばらく並べると、上のように再び

が折れ線状

に並ぶ。

1 1 1 1 1 1

1 2 2 2 ?

1 3 3 5

1 4 7 ?

1 9 11

1 2 14 ?

1 3 5

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

しばらく並べると、上のように再び

が折れ線状

に並ぶ。

1 4 7 8

1 9 11 ?

1 2 14 4

1 3 5 ?

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

しばらく並べると、上のように再び

が折れ線状

に並ぶ。

1 1 1 1 1 1

1 2 2 2 3 ?

1 3 3 5 5

1 4 7 8 ?

1 9 11 3

1 2 14 4 ?

1 3 5 1

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

しばらく並べると、上のように再び

が折れ線状

に並ぶ。

1 4 7 8 2

1 9 11 3 ?

1 2 14 4 1

1 3 5 1

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

しばらく並べると、上のように再び

が折れ線状

に並ぶ。

1 1 1 1 1 1

1 2 2 2 3 2 ?

1 3 3 5 5 1

1 4 7 8 2 ?

1 9 11 3 1

1 2 14 4 1

1 3 5 1

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

しばらく並べると、上のように再び

が折れ線状

に並ぶ。

1 4 7 8 2 1

1 9 11 3 1

1 2 14 4 1

1 3 5 1

1 1 1 1

このようにして現れる数は、必ず正の整数になる。

しばらく並べると、上のように再び

が折れ線状

に並ぶ。

数式版 ( A

型)

1 1 1

x₁ x₃? x₂

1 1 1

1 1 1 x₁ x₃

x₂ x₄?

1 1 1

x₃ = ^x2+1/^x1

数式版 ( A

型)

1 1 1

x₁ x₃ x₂ x₄

1 1 1

x₃ = ^x2+1/^x1 x₄ = ^x3+1/^x2

1 1 1 x₁ x₃

x₂ x₄

1 1 1

x₃ = ^x2+1/^x1

x₄ = ^x3+1/^x2 = ^x1+x2+1/^x1x2

数式版 ( A

型)

1 1 1

x₁ x₃ x₅? x₂ x₄

1 1 1

x₃ = ^x2+1/^x1

x₄ = ^x3+1/^x2 = ^x1+x2+1/^x1x2

1 1 1 x₁ x₃ x₅

x₂ x₄

1 1 1

x₃ = ^x2+1/^x1

x₄ = ^x3+1/^x2 = ^x1+x2+1/^x1x2 x₅ = ^x4+1/^x3

数式版 ( A

型)

1 1 1

x₁ x₃ x₅ x₂ x₄

1 1 1

x₃ = ^x2+1/^x1

x₄ = ^x3+1/^x2 = ^x1+x2+1/^x1x2 x₅ = ^x4+1/^x3 = · · · = ^x1+1/^x2

1 1 1 x₁ x₃ x₅

x₂ x₄ x₆?

1 1 1

x₃ = ^x2+1/^x1

x₄ = ^x3+1/^x2 = ^x1+x2+1/^x1x2 x₅ = ^x4+1/^x3 = · · · = ^x1+1/^x2 x₆ = ^x5+1/^x4

数式版 ( A

型)

1 1 1

x₁ x₃ x₅ x₂ x₄ x₆?

1 1 1

x₃ = ^x2+1/^x1

x₄ = ^x3+1/^x2 = ^x1+x2+1/^x1x2 x₅ = ^x4+1/^x3 = · · · = ^x1+1/^x2 x₆ = ^x5+1/^x4 = (^x1_x⁺¹

2 +1)· _x1^x_+x^1x₂²₊₁

1 1 1 x₁ x₃ x₅

x₂ x₄ x₆?

1 1 1

x₃ = ^x2+1/^x1

x₄ = ^x3+1/^x2 = ^x1+x2+1/^x1x2 x₅ = ^x4+1/^x3 = · · · = ^x1+1/^x2 x₆ = ^x5+1/^x4 = (^x1_x⁺¹

2 + 1)· _x1^x_+x^1x₂²₊₁ = x₁

数式版 ( A

型)

1 1 1

x₁ x₃ x₅ x₇? x₂ x₄ x₁

1 1 1

x₃ = ^x2+1/^x1

x₄ = ^x3+1/^x2 = ^x1+x2+1/^x1x2 x₅ = ^x4+1/^x3 = · · · = ^x1+1/^x2 x₆ = ^x5+1/^x4 = (^x1_x⁺¹

2 + 1)· _x1^x_+x^1x₂²₊₁ = x₁ x₇ = ^x6+1/^x5

1 1 1 x₁ x₃ x₅ x₇?

x₂ x₄ x₁

1 1 1

x₃ = ^x2+1/^x1

x₄ = ^x3+1/^x2 = ^x1+x2+1/^x1x2 x₅ = ^x4+1/^x3 = · · · = ^x1+1/^x2 x₆ = ^x5+1/^x4 = (^x1_x⁺¹

2 + 1)· _x1^x_+x^1x₂²₊₁ = x₁ x₇ = ^x6+1/^x5 = (x₁ +1) · _x1^x₊²₁

数式版 ( A

型)

1 1 1

x₁ x₃ x₅ x₂ x₂ x₄ x₁

1 1 1

x₃ = ^x2+1/^x1

x₄ = ^x3+1/^x2 = ^x1+x2+1/^x1x2 x₅ = ^x4+1/^x3 = · · · = ^x1+1/^x2 x₆ = ^x5+1/^x4 = (^x1_x⁺¹

2 + 1)· _x1^x_+x^1x₂²₊₁ = x₁ x₇ = ^x6+1/^x5 = (x₁ +1) · _x1^x₊²₁ = x₂

x₁ x₄? x₂ x₃ x₅?

1 1 1 1

三変数版 ( A

型)

1 1 1 1

x₁ x₄ x₂ x₆? x₃ x₅

1 1 1 1

x₄ = ^x2+1/^x1, x₅ = ^x2+1/^x3, x₆ = ^x4x5+1/^x2

x₁ x₄ x₇? x₂ x₆ x₃ x₅ x₈?

1 1 1 1

x₄ = ^x2+1/^x1, x₅ = ^x2+1/^x3,

x₆ = ^x4x5+1/^x2 = ^{x22+2x2+1+x1x3}/^x1x2x3, x₇ = ^x6+1/^x4

x₈ = ^x6+1/^x5

三変数版 ( A

型)

1 1 1 1

x₁ x₄ x₇ x₂ x₆ x₉? x₃ x₅ x₈

1 1 1 1

x₄ = ^x2+1/^x1, x₅ = ^x2+1/^x3,

x₆ = ^x4x5+1/^x2 = ^{x22+2x2+1+x1x3}/^x1x2x3, x₇ = ^x6+1/^x4 = · · · = ^1+x2+x1x3/^x2x3, x₈ = ^x6+1/^x5 = · · · = ^1+x2+x1x3/^x1x2, x₉ = ^x7x8+1/^x6

x₁ x₄ x₇ x₁₀? x₂ x₆ x₉

x₃ x₅ x₈ x₁₁?

1 1 1 1

x₄ = ^x2+1/^x1, x₅ = ^x2+1/^x3,

x₆ = ^x4x5+1/^x2 = ^{x22+2x2+1+x1x3}/^x1x2x3, x₇ = ^x6+1/^x4 = · · · = ^1+x2+x1x3/^x2x3, x₈ = ^x6+1/^x5 = · · · = ^1+x2+x1x3/^x1x2, x₉ = ^x7x8+1/^x6 = · · · = ^1+x1x3/^x2, x₁₀ = ^x9+1/^x7 x₁₁ = ^x9+1/^x8

三変数版 ( A

型)

1 1 1 1

x₁ x₄ x₇ x₃ x₂ x₆ x₉ ? x₃ x₅ x₈ x₁

1 1 1 1

x₄ = ^x2+1/^x1, x₅ = ^x2+1/^x3,

x₆ = ^x4x5+1/^x2 = ^{x22+2x2+1+x1x3}/^x1x2x3, x₇ = ^x6+1/^x4 = · · · = ^1+x2+x1x3/^x2x3, x₈ = ^x6+1/^x5 = · · · = ^1+x2+x1x3/^x1x2, x₉ = ^x7x8+1/^x6 = · · · = ^1+x1x3/^x2,

x₁₀ = ^x9+1/^x7 = · · · = x₃, x₁₁ = ^x9+1/^x8 = · · · = x₁,

x₁ x₄ x₇ x₃ x₂ x₆ x₉ x₂ x₃ x₅ x₈ x₁

1 1 1 1

x₄ = ^x2+1/^x1, x₅ = ^x2+1/^x3,

x₆ = ^x4x5+1/^x2 = ^{x22+2x2+1+x1x3}/^x1x2x3, x₇ = ^x6+1/^x4 = · · · = ^1+x2+x1x3/^x2x3, x₈ = ^x6+1/^x5 = · · · = ^1+x2+x1x3/^x1x2, x₉ = ^x7x8+1/^x6 = · · · = ^1+x1x3/^x2,

x₁₀ = ^x9+1/^x7 = · · · = x₃, x₁₁ = ^x9+1/^x8 = · · · = x₁,

.

Theorem

. .

... .

.

.

.

^{このようにして現れる}

は、最初に与えられた変 数

上の例の

で表すと、分母は単項式、

分子は正の整数を係数とする多項式となる、分数 式で表される。

.

最初に与えられた変数を除くと、必ず分数式にな り、また分母に現れる単項式はすべて異なる。

.

しばらく並べると、上のように再び最初の変数が

折れ線状に並ぶ。

x₁ x₂ x₃

x₄

1 1 1 1

A

型

1 1 1 1

x₁ x₅ x₂ x₃ x₆

x₄

1 1 1 1

x₅ = ^x2+1/^x1, x₆ = ^x2x4+1/^x3,

x₁ x₅ x₂ x₇ x₃ x₆

x₄ x₈

1 1 1 1

x₅ = ^x2+1/^x1, x₆ = ^x2x4+1/^x3, x₇ = ^{x22x4+x2x4+x2+x1x3+1}/^x1x2x3, x₈ = ^x2x4+x3+1/^x3x4,

A

型

1 1 1 1

x₁ x₅ x₉ x₂ x₇ x₃ x₆ x₁₀

x₄ x₈

1 1 1 1

x₅ = ^x2+1/^x1, x₆ = ^x2x4+1/^x3, x₇ = ^{x22x4+x2x4+x2+x1x3+1}/^x1x2x3, x₈ = ^x2x4+x3+1/^x3x4, x₉ = ^x1x3+x2x4+1/^x2x3,

x₁₀ = ^{x22x4+x2x4+x2+x2x3+1+x3+x1x3+x1x23}/^x1x2x3x4,

x₁ x₅ x₉ x₂ x₇ x₁₁ x₃ x₆ x₁₀

x₄ x₈ x₁₂

1 1 1 1

x₅ = ^x2+1/^x1, x₆ = ^x2x4+1/^x3, x₇ = ^{x22x4+x2x4+x2+x1x3+1}/^x1x2x3, x₈ = ^x2x4+x3+1/^x3x4, x₉ = ^x1x3+x2x4+1/^x2x3,

x₁₀ = ^{x22x4+x2x4+x2+x2x3+1+x3+x1x3+x1x23}/^x1x2x3x4, x₁₁ = ^{x1x23+x1x2+x2x4+x3+1}/^x2x3x4,

x₁₂ = ^x2+x1x3+1/^x1x2,

A

型

1 1 1 1

x₁ x₅ x₉ x₁₃ x₂ x₇ x₁₁ x₃ x₆ x₁₀ x₁₄

x₄ x₈ x₁₂

1 1 1 1

x₅ = ^x2+1/^x1, x₆ = ^x2x4+1/^x3, x₇ = ^{x22x4+x2x4+x2+x1x3+1}/^x1x2x3, x₈ = ^x2x4+x3+1/^x3x4, x₉ = ^x1x3+x2x4+1/^x2x3,

x₁₀ = ^{x22x4+x2x4+x2+x2x3+1+x3+x1x3+x1x23}/^x1x2x3x4, x₁₁ = ^{x1x23+x1x2+x2x4+x3+1}/^x2x3x4,

x₁₂ = ^x2+x1x3+1/^x1x2, x₁₃ = ^x3+1/^x4, x₁₄ = ^x1x3+1/^x2

x₁ x₅ x₉ x₁₃ x₂ x₇ x₁₁ x₃ x₃ x₆ x₁₀ x₁₄

x₄ x₈ x₁₂ x₁

1 1 1 1

x₅ = ^x2+1/^x1, x₆ = ^x2x4+1/^x3, x₇ = ^{x22x4+x2x4+x2+x1x3+1}/^x1x2x3, x₈ = ^x2x4+x3+1/^x3x4, x₉ = ^x1x3+x2x4+1/^x2x3,

x₁₀ = ^{x22x4+x2x4+x2+x2x3+1+x3+x1x3+x1x23}/^x1x2x3x4, x₁₁ = ^{x1x23+x1x2+x2x4+x3+1}/^x2x3x4,

x₁₂ = ^x2+x1x3+1/^x1x2, x₁₃ = ^x3+1/^x4, x₁₄ = ^x1x3+1/^x2

A

型のときの分母についての観察

.

Theorem

. .

... .

.

.

変数の分母に出てくる単項式は、

_の整数 の組み

に対して

x_ix_i+1· · · x_j

となっている。全部で、

個ある。

あとで、これが、

型の正ルートと対応しているこ

とを見る。

• ^// • x₁ = 1 x₃

x₂ = 1 x₄ x₃ = ^1+x2/^x1, x₄ = ^1+x32/^x2

上の段と下の段で定め方を変えたもの ( B

型)

• ^// •

x₁ = 1 2

x₂ = 1 x₄

x₃ = ^1+x2/^x1, x₄ = ^1+x32/^x2