単軸引張り試験でひずみを測定するため，直交

材料力学Ⅱ 復習問題 #04

単軸引張り試験でひずみを測定するため，直交

軸 ひずみゲージを試験片の軸方向およびその直角方向 に合わせて貼り，その結果から縦弾性係数とポアソ ン比を計算し，縦弾性係数

およびポアソン比

を得た．しかし，実験後に確認したところ，図のよ うに直交

軸ひずみゲージの軸が角度  傾いている ことに気付いた．引張り試験より求められた見掛け

の縦弾性係数

およびポアソン比

^{から真の縦弾性係数}

およびポアソン比

^{を求める補} 正式が以下のように与えられることを示せ．また，材料がクロム鋼で 

のとき，縦弾性 係数には何％の誤差が生じると考えられるか．

2 2 2 2

2 2 2 2

'(cos sin ) (sin 'cos )

(cos 'sin ), (cos 'sin )

E E      

     

 

 

 





材料力学Ⅱ

復習問題 #04

x軸を引張り軸に一致させてxy座標系を取り，角度θ傾いた座標 系をxy座標系とする．単軸引張りの場合，_xy 0 (_y 0) な ので，各軸方向の垂直ひずみの間には

2 2

2 2

cos sin

sin cos

x x y

y x y

    

    





  



 

 ⁽¹⁾

の関係がある．これを _x, _y^{について解いて，}

2 2 2 2

2 2 2 2

( cos sin ) ( sin cos )

(cos sin ) , (cos sin )

x y x y

x y

       

 

   

      

 

  ⁽²⁾

と求められる．垂直応力をσとすると，真の縦弾性係数とポアソン比は

, ^y

x x

E   

 

   (3)

また，見掛けの縦弾性係数とポアソン比は

, ^y

x x

E   

 



 

   (4)

で，それぞれ求められる．(2),(3),(4)式を用いると

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

(cos sin ) (cos sin ) (cos sin )

( cos sin ) (cos sin ) (cos sin )

( sin cos ) (sin cos ) (sin co

( cos sin ) (cos sin )

x x y x

y x y x

x x y x

E        E  

           

          

         

  

  

  

   

   

 

  

     

     

  

2

2 2

s )

(cos sin )



  ^ 

のように補正式を求めることができる．

上式より，

2 2

2 2

(cos sin )

(cos sin )

E E

 

  

 

   である．クロム鋼で見かけのポアソン比を 0.3^とし，  5

とともに代入すると，

2 2

2 2

(cos sin )

0.99007

(cos sin )

E E

 

  

  

  

すなわち，縦弾性係数には1％程度の誤差を生じると考えられる．

※実際には測定された見かけのポアソン比の値を用いるが，さほど誤差がないことを仮定して，ここでは

 0.3を代入した．

※真の値と見掛けの値を比較すると

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

'(cos sin ) (1 ) sin

(cos sin ) (cos sin ) 0

(sin cos ) (1 ) sin

(cos sin ) (cos sin ) 0

E E E   E E  

     

    

  

     

  

  

     

 

 

 

 

 

    

 

 

となるので，常に E E,    である．



 y y

x

x

材料力学Ⅱ

復習問題 #04

x軸を引張り軸に一致させてxy座標系を取り，角度θ傾いた座標 系をxy座標系とする．単軸引張りの場合，_y 0,_xy 0 な ので，単軸応力を ( _x)^とすると

2 2 2

2 2 2

cos sin 2 sin cos cos

sin cos 2 cos sin sin

x x y xy

y x y xy

         

         





    



   



である．これより，x y , 方向の垂直ひずみは

2 2

2 2

1( ) (cos sin )

1( ) (sin cos )

x x y

y y x

E E

E E

      

      

  

  

    



    



(1)

となる．ここで，見かけの弾性係数は , ^y

x x

E   

 



 

   として求められているので，(1)式より

2 2

2 2 2 2

sin cos

cos sin , cos sin

y

x x

E  E     

       



 

      

  ^（2）

となる．これを真の弾性係数 E,  ^{について解くと}

2 2 2 2

2 2 2 2

(cos sin ) (sin cos )

(cos sin ), (cos sin )

E E      

     

  

  

 

 

のように補正式を求めることができる．

以下，縦弾性係数の誤差計算については省略．

※(2）式を用いて，クロム鋼で真のポアソン比 0.3^，  5 ^{を代入して，}

2 2 2 2

1 1

1.009973 (cos sin ) (cos 5 0.3 sin 5 )

E

E   

   

    

と求められるが，真のポアソン比を測定するための実験であり，これでは自家撞着になるので，あくまでも 目安として考える．



 y y

x

x