電磁気学

電磁気学 C

Electromagnetics C

山田 博仁

電磁場のエネルギー

4/24

講義分

Maxwell の方程 式

t t t



 

 ( , ) )

, (

rot B x

x

E ファラデーの電磁誘導則

アンペール・マクスウェルの法則 電場に関するガウスの法則

磁場に関するガウスの法則

0 ) , (

) , ( )

, (

) , ) (

, ( )

, (

) , ) (

, (















 









 







t

t t

t t t

t

t t t

e e

x B

x x

D

x x D

i x

H

x x B

E



E(x, t): 電場 (V/m) SI 国際単位系 H(x, t): 磁場 (A/m)

D(x, t): 電束密度 (C/m²)

B(x, t): 磁束密度 ( 磁場 ) (Wb/m²) i_e(x, t): 伝導電流密度 (A/m²)

_e(x, t): 真電荷密度 (C/m³) 物質中の電磁場を規定する基本法則

変位電流 t t t

t _e



 

 ( , )

) , ( )

, (

rot D x

x i x

H

) , ( )

, (

div D x t  _e x t 0

) , (

div B x t 

静電場

) 3 ( )

( )

(

) 2 ( )

( )

(

) 1 ( 0

) (











 x

E x

D

x x

D x E



















e

静電場の基本方程式

第 (1) 式より、以下の静電ポテンシャル (x) が定義できる )

4 ( )

( )

(x x 

E  

第 (3) 式の関係を用いて、上式を第 (2) 式に代入すると、以下のポアソン方程式を得る



  ( )

)

( x

x   ^e



上記ポアソン方程式の無限遠方でゼロとなる解は、

' x' '

V

e( )d3

4 ) 1

(^{x } _



^_x^x_x



上式を (4) 式に代入することにより、電場 E(x) が求まる ' x'

' '

V

e 3

3( )d )

( 4

) 1

(^{x }



^x_x^x_{ x} ^x

E 



( 局所的な電荷密度分布とその周りの電位を関係付 ける )

何故なら、ベクトル恒等式より、

0 ) ( 



 



  







 ( )

教科書 P20 、式 (2.34)

教科書 P8 、式 (2.4)

静電場

) ( )

(x x

D  _e





微分形式でのガウスの法則

両辺をある体積 V について積分する





^{ }

V e V

dV

dV ( )

)

(x x

D  dS

V S n D(x)

_e(x)

積分形のガウスの法則

( 局所的な電荷密度分布とその周りの電束密度の発散を関係付けている )



^

S

dS n x

D( ) Qe

Gauss の定理

e S

Q dS 



^D(x)ⁿ

静磁場

静磁場の基本方程式

第 (2) 式のガウスの法則から、磁場 B(x) はベクトル・ポテンシャル A(x) を用いて )

4 ( )

( )

(x A x 

B  

第 (3) 式の関係を用いて、上式を第 (1) 式に代入し、ベクトル公式を用いると以下の式を 得る

) ( )

( )

(x A x i_e x

A   





上記式の解は、



_



V

e x'

' ' ₃

) d ( ) 4

( x x

x x i

A 



上式を (4) 式に代入することにより、磁場 B(x) が求まる



^_ ^



V

e x'

' '

' ₃

3 ) d

( ) ( ) 4

( x x

x x x

x i

B 



) 3 ( )

( )

(

) 2 ( 0

) (

) 1 ( )

( )

(











 x

H x

B

x B

x i x H















 _e

Biot-Savart の法則

A A

A    







 ( ) ( )

何故なら、ベクトル恒等式より、

0 ) ( 



 A

B(x)

V i_e(x’)d³x’

A(x)

教科書 P107 、式 (7.46)

教科書 P93 、式 (7.7) と書ける

静磁場

微分形式でのアンペールの法則

両辺をある面 S について積分する )

( )

(x i x H  _e





dS x dS

x

S e S

) ( ) ( )

( )) (

( H x n



i x n



^{   }

積分形式でのアンペールの法則 I_e

H(x) dS

i_e(x)

S C dr

n(x)

H(x)

( 局所的な電流密度分布とその周りの磁場の回転を関係付けている )



^

C

dr x H( ) Stokes の定理

e C

I d 



^H(x) ^r

Ie

ベクトル・ポテンシャルは実 在か ?

ベクトルポテンシャル A は何者 ? )

1 ( rot A 

B  (2)

t



 A

E

E と B がベクトルポテンシャル A を通して互いに関係付けられている

( 両辺の rotation をとってみる )

A の空間分布に渦があると B が生じ、 A が時間的に変化すると E が生じる A の時間変化は、単位電荷を持つ粒子に働く力に等しい

t

 P

つまり A は、 Newton 力学における運動量 P に対応 F

従って、 Maxwell は A を「電磁気的運動量」と呼んでいた

( ただし、後で習う電磁波の運動量とは違うので要注意 )

単位電荷を持つ粒子がその位置にやってきたときに粒子が得る運動量のこと E

F  q



電磁波の運動量とは違う !!

ローレンツ力と相対運 動

B

_z

q

+

E

-v

x’

y’

z’

K’

x y

z K

v

F

_y

’ = q v×B

_z

F

_y

’

磁場 B が有るのなら、必ずそれを作 っているベクトルポテンシャル A が 有るはず

座標系 K’ の観測者から見ると、ベクトルポテンシャルが時間的に変化しており、

電場 E として見える。この E によって受ける力が -F_y’ となるため、点電荷は動かない

-F_y’ A

ベクトルポテンシャル

ベクトル・ポテンシャルは実 在か ?

ローレンツ力では、 E や B は単位電荷の粒子に働く「力」として定義された )

(E v B F  q  

E 、 B の代りに静電ポテンシャル ( 電位 ) とベクトルポテンシャル A を使うこともできる

単位電荷を有する粒子は、電場 E で加速されると電位差  分だけの エネルギーを得る

つまり、

E と B は、荷電粒子に力を及ぼす電磁気現象

 と A は、荷電粒子のエネルギーや運動量に変化をもたらす電磁気現象 また、磁場 B の中を通ると、ベクトルポテンシャル A 分だけの運 動量を得る

t

 



 A

E 

q W 

A B  rot

アハラノフ・ボーム (AB) 効果

電場 E も磁場 B も存在しなけれ ば、荷電粒子 q に電磁的な力は及 ばない

) (E v B

F  q   の関係より、

ローレンツ力

右の実験では、電場 E は存在せず、ソレ ノイドコイルが十分に長ければ、その外 に磁場 B も存在しない

従って、コイルの外側を飛行する 電子に電磁的な力は及ばないはず

ところが、アハラノフとボームは、コイルの外側を飛行する 2 本の電 子線の間には次式で与えられる位相差が生じることを予言した





^



 e S d

e ds

S B

A 

 

つまり、ソレノイドコイルの中の磁束に比例した位相差が生じるという B

A

アハラノフ・ボーム (AB) 効果の

これを 1980 年頃に実験的に確かめたのが、日立製作所の外村 彰氏

観測

ホログラフィー電子顕微鏡 四角いドーナツ状の微小なパーマ

ロイ薄膜のサンプルを作り、ホロ グラフィー電子顕微鏡で観察した

観測した電子線ホログ ラフィーによる干渉縞

リングの中と外 で、干渉縞に位相 差が現れている つまり、 AB 効果 は確かに存在す ることを裏付け ている

http://www.ieice.org/jpn/books/kaishikiji/200012/20001201-1.html より詳しく知りたい方は

、以下の電子情報通信学会 の Web ページをご参照

外村 彰氏 このことは、磁場 B が無

くても、ベクトルポテン シャル A が存在すれば、

電子の波動関数に影響が及 ぶことを示唆

AB 効果の検証実験から分かった こと

・ 磁場

B

が無くても、ベクトルポテンシャル

A

が存在すれば、電 子の運動に影響を及ぼす

・ 磁場

B

よりも、ベクトルポテンシャル

A

の方が本質的な量である

?

・ 磁場

B

は、ローレンツ力によって荷電粒子に力を及ぼし、その 運動経路を変える

・ 一方、ベクトルポテンシャル

A

は、荷電粒子の波動関数の位相 に影響を及ぼし、その運動を変える

・

AB

効果の実験では、電子は磁場

B

の存在しない空間を飛行す るので、電子の運動経路を変えることはない

ということは、

静電エネルギ

ー

太田昭男　新しい電磁気学　p.33

電荷 Q を与えた半径 a の孤立導体球の静電エネルギーを求める 導体上に既に電荷 q が分布している場

合、導体の電位  _q は、

a q

q

40

 

この状態から、さらに微小電荷 dq を無限遠方 から導体上に運ぶために必要な仕事 dW は、

dq dW _q

従って、導体上に電荷を少しずつ運び最終的に Q とするために要する仕事 W は、

a dq Q

a q dq dW

W

Q Q

q

0 2

0 0 0

8 4

1

















 

従って、導体球は上記の静電エネルギー W を有すると考えられる ( 遠隔作用の観点 )

_q a q

dq

∞ 遠方 dW

dr

帯電した導体球の周りの電場のエネル ギー

帯電した導体球の周りには電場 E(r) が存在する。 ₂ 4 0

)

( r

r Q

E  

電場の静電エネルギー密度 u_e は、教科書

p69 式 (5.41) に依れば以下の式で与えられ

る。

2

2 1 2

1 E

u_e  ED  

従って、導体球の周りの空間に存在する電 場の全エネルギーは、

a dr Q

r Q

r dr r Q

dr r E r

dr u r U

a a

a a

e e

0 2 2

0 2

4 2 0 2

2 2

0

2 0 2 2

8 1

8 2 16

) 2 (

4 1 4







 

































近接作用の観点では、電場のエネ ルギーは空間に蓄積されていると 考える

a Q

E(r)

電磁場のエネルギ

磁場の磁気エネルギー密度 u_m は、教科書

ー

p152 式 (9.51) に依れば以下 の式で与えられる。

2

2 1 2

1 H

u_m  BH  

従って、電磁場のエネルギー密度 u は、電場によるエネルギーと磁場に よるエネルギーの和となるから、

) 2(

) 1 2(

1 _{2 2}

H E

u u

u  _e  _m  ED  BH   

勿論、ある空間 V 内の電磁場のエネルギーは、それをその空間内で体積 積分したもので、

dV U

U

U ^ e ^ m ^ ₂¹



V^{(ED BH)}

物質中 ( 真空中 ) に時間的に変動しない電磁場が存在する場合、空間に蓄 えられる電磁場のエネルギー密度

時間的に変動する電磁場のエネルギ ー

次に、時間的に変動する電磁場のエネルギーを表す式を導出してみる

H E

E H

H

E ) rot rot

(

div     

以下のベクトル解析の公式 ( 教科書 p228 の一番上の式 ) からスタート

上式に Maxwell の方程式を代入

t t t



 

 ( , ) )

, (

rot B x

x E

t t t

t _e



 

 ( , )

) , ( )

, (

rot D x

x i x

H



 







 



 







 t ^e t

i D B E

H H

E ) (

div

t e

t B E i

D H

E  



 









 





 D  E B   H

 

_e

t ED H B E i



 

 2

1

 

t t

t 





 

 

 

 D

E E D

D E

時間的に変動する電磁場のエネルギー ( 続 き )

 

^{div ( )}

2

1 ED H B  E i  EH



  _e

従って、 t

上式を、ある領域 V で積分すると、

   



^{      }



 

V V

e V

dV dV

t dV div ( )

2

1 E D H B E i E H

dS

S=E×H

V S

n

U

E ･ i_e

u

電磁場のエネルギー密度 ジュール熱によ るエネルギー損 失

   



^{       }



 

S V

e V

dS dV

t E D H B dV E i (E H) n

2

1 Gauss の定理

領域 V を囲む閉曲面 S から単 位時間に外部に流出するエネル S = E×Hギー

Poynting ベクト

ル は、

電磁場のエネルギーの流れを現す

E

S H

電磁場に関するエネルギー保存則

※ Poynting ベクトルがあるからと

言って、　　必ずしもエネルギーの流れがあ る訳　　ではない

Poynting ベクト ル

S = E×H を、

時間的に変動する電磁場のエネルギー ( 続 き )





^{  }

 

 

S V

e dV dS

tU E i S n

電磁場のエネルギー保存則

電磁場エネルギ

ーの時間的減少 = 熱になって損 失するエネル ギー

+ 単位時間に外部に流 出するエネルギー

S

U E ･ i_e S

u と S の関係は ?

電磁波は、単位時間に光速度 c だけ進む c

S = E×H

u EcH



単位時間に単位面積を通過す る電磁場のエネルギー

u

単位体積当たりの 電磁場のエネルギ ー

ベクトル解析の復 習

E E

E E

E E

E E

0







































































) (

) (

rot rot

ベクトル場) (

) (

スカラー場) (

) ( grad

div

0 ) (

rot div

) ( grad

rot

2 









ガウスの定理





^{  }

V S

dV

dS F

n F

ストークスの定理





^{   }

S C

dS

dr F n

F ( )

dS F

V S n

dS

F S

C dr n 重要なベクトル恒等式

2 2 2

2 2

2

z y

x 

 



 



 



2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2

1

1

t c

t c z

y x



 







 



 



 



 

□

ダランベルシアン ラプラシアン

ベクトル解析の復 習



 







 



 



 













 















 



2 2 2

2 2

2

, ,

z y

x z y

x

演算子∇ ( ナブラ ) と ととととととの意味

勾配 (gradient)

z y

x y z

x z

y

x x e

x e x e

x x

x x

x 

 



 



 



 















 



 ( ) ( ) ( ) ( )

), , (

) ) (

( )

(

grad       

発散 (divergence)

z E y

E x

Ex y _z



 



 



 





 ( ) ( ) ( )

) ( )

(

div x x x

x E x

E

ナブラ∇と E(x) のスカラー積

スカラー積 ( 内積 ) AB  A^xB^x  A^yB^y  A^zB^z

ベクトル解析の復 習

回転 (rotation)

x z y

z y x x

z y

z y

x

z y

x

y E x

E x

E z

E z

E y

E

E E

E

z y

x

x e e x

x e x

x x

x x

x

e e

e x

E x

E



 







 



 



 







 



 



 







 



 











 







) ) (

) ( ( )

) ( ) (

(

) ( )

( )

( )

( )

( rot

ベクトル積 ( 外積 )



y z z y



x



z x x z



y



x y y x



z

z y

x

z y

x

z y

x

B A B

A B

A B

A B

A B

A B

B B

A A

A e e e

e e

e B

A       

ナブラ∇と E(x) のベクトル積