数学と無限 — 無限のパラドックス

数学と無限 — _{無限のパラドックス}

渕野 昌^{（中部大学，}

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2006年12月02日（ 土 ）／09日（ 土 ）【05日（ 火 ）:静 岡 大 学 数 学 科 に て 】 中 部 大 学2006年 秋 学 期 開 講 数学の考え方 の 補 講【 静 岡 大 学 で の 講 演 の 第 一 部 】

数 学 で は ，自 然 数 の 全 体 ，実 数 の 全 体 な ど 無 限 に 要 素 を 持 つ 対 象 が 積 極 的 に 考 察 さ れ ま す．無 限 を 考 察 の 対 象 と し て 積 極 的 に 扱 か う，と い う の が 現 代 数 学 の 一 つ の 特 徴 と 言って も い い く ら い で す．

「 無 限 」を 扱 か う 数 学 は 大 き な 成 功 を 収 め て い ま す．そ の 一 方 で ，有 限 の ア ナ ロ ジ ー（ 類 推 ）で 無 限 を 考 え て ゆ く と ，ひ ど く 奇 妙 な 現 象 に ぶ つ かって し ま う こ と が あ り ま す．そ う いった 奇 妙 な 現 象 の 例 や ，そ れ ら が 何 を 意 味 し て

初等数学に現われる無限

定 理 1 (三 平 方 の 定 理 — ピ タ ゴ ラ ス の 定 理) 直 角 三 角 形 の 直 角 を は さ む 二 辺 の そ れ ぞ れ の 長 さ の ２ 乗 の 和 は 他 の 辺 の 長 さ の ２ 乗 に 等 し い ．

ピ タ ゴ ラ ス

紀 元 前 569年（？）イ オ ニ ア の サ モ ス 島 生 — 紀 元 前 475年（？）没

無限個の 異 な る 直 角 三 角 形 が 存 在 す る：

✧✧

✧✧

✧ r r r

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ピ タ ゴ ラ ス の 定 理 は ，無 限 に 存 在 す る 色々な 直 三 角 形 す べ て に 対 し て「 直 角 三 角 形 の 直 角 を は さ む 二 辺 の そ れ ぞ れ の 長 さ の ２ 乗 の 和 は 他 の 辺 の 長 さ の ２ 乗 の 和 に 等 し い 」と い う 性 質 が 成 り 立 つ こ と を 主 張 し て い る ．

初等数学に現われる無限

定理 2 (素数の存在定理 — ユークリッド) 素 数 は 無 限 に 存 在 す る ．

ユ ー ク リッド

（ 紀 元 前 325年（？）生 — 紀 元 前 265年（？）ア レ ク サ ン ド リ ア 没 ）

2 以上の自然数 （2, 3, 4 . . .）のうち，1 とその数自身以外の自然数で 割切れないようなものを 素数 という．2, 3, 5, 7, 11, 13 . . . は素数だが，

た と え ば 8 = 2 × 4 だ か ら 8 は 素 数 で な い ．

初等数学に現われる無限

定理 2 (素数の存在定理 — ユークリッド) 素 数 は 無 限 に 存 在 す る ．

証明 も し ，素 数 が 有 限 個 し か な かった と す る と ，そ れ ら を p₁, p₂,. . . , p_{n と し て ，}

q = p₁ · p₂ · · · · ·p_n + 1 と い う 数 が 考 え ら れ る ．

q _を p₁, p₂,. . . , p_{n のどれで割っても} 1 があまる．したがって，q _自身が 素数であるか，あるいは，q _は p₁, p₂,. . . , p_n のどれとも異なる素数で 割れるかのどちらかである．いずれの場合も p₁, p₂,. . . , p_{n が素数のす} べ て で あ る と い う 仮 定 に 矛 盾 す る ． （証明終り）

無限のパラドックス : 部分は全体より小さい？

2つ の 物 の 集 ま り（ 集 合 ）の 要 素 の 間 に 一 対 一 の 対 応 が つ く と き ， こ れ ら の 集 合 は 同 じ 個 数 の 要 素 を 持 つ（ あ る い は濃 度 が 等 し い）と い う．

た と え ば ，集 合 {1,2,3,4,5} と 集 合 {2,4,6,8,10} は ， 1 2 3 4 5

↑ ↑ ↑ ↑ ↑

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

2 4 6 8 10

と い う 対 応 か ら 同 じ 個 数 の 要 素 を 持 つ こ と が 確 か め ら れ る ．

一 方 ，有 限 の 個 数 の 物 の あ つ ま り の 要 素 は ，そ の（ 真 の ）部 分 の 要 素 と は 一 対 一 に 対 応 づ け る こ と が で き な い：

1 2 3 4 5

↑ ↑ ↑

↓ ↓ ↓

1 2 3

無限のパラドックス : 部分は全体より小さい？

N で 自 然 数 の 全 体 を あ ら わ す． N = {0,1,2,3, . . .} で あ る ．

E を偶数の全体とする，つまりE = {0,2,4,6,8, . . .} である．E _は N _の 真 の 部 分 だ が ，

0 1 2 3 4 5 6 · · ·

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

0 2 4 6 8 10 12 · · ·

という対応から同じ個数の要素を持つ（濃度が等しい）ことが確か め ら れ る！

無限のパラドックス : 部分は全体より小さい？

ガ リ レ オ・ガ リ レ イ

（1564年 ピ サ（ 現 在 の イ タ リ ア ）生

— 1642年 フ ロ レ ン ス 近 郊（ 現 在 の イ タ リ ア ）没 ）

ガ リ レ オ は ，1638年 の 論 文 で 上 の よ う な「 逆 理 」（ パ ラ ドック ス ）を とりあげて，『無限の大きさを比較する議論は無意味だ』と結論して い る ．

無限のパラドックス : 部分は全体より小さい？

ゲ オ ル グ・カ ン ト ル

1845年 ペ テ ル ス ブ ル ク（ 現 在 ロ シ ア ）生

— 1918年 ハ レ（ ド イ ツ ）没

19世 紀 末 に は 無 限 を よ り 積 極 的 に 考 察 に 取 り こ ん だ 数 学 の 可 能 性 や 必 要 性 が よ り 感 じ ら れ る よ う に なった ．カ ン ト ル は 無 限に 関 連 し た 研 究 を 積 極 的 に 行 い ，現 在 で は集 合 論 と 呼 ば れ て い る 数 学 の 分 野 を 確 立 し た が ，無 限 を 研 究 す る こ と を 擁 護 し て 次 の 言 葉 を 残 し て い る:

『... こ れ に 対 し ，必 要 以 上 の 研 究 領 域 の 制 限 は よ り 大 き な 危 険 を は ら ん で い る よ う に 思 え る ．特 に ，こ の 学 問 の 本 質 か ら ，そ の よ う な 制 限 に 対 し て 何 の 正 当 性 も 結 論 で き な い の で あ る か ら な お さ ら で あ る； つ ま り，数 学 の 本 質 は そ の 自 由 に あ る か ら で あ る ．』

無限のパラドックス : 部分は全体より小さい？

ゲ オ ル グ・カ ン ト ル

1845年 ペ テ ル ス ブ ル ク（ 現 在 ロ シ ア ）生

— 1918年 ハ レ（ ド イ ツ ）没

上のガリレオの逆理に関しては，カントルは，全体と部分が同じ大 きさになりえる，というまさにそのことが，無限の本質的な性質の １ つ で あ る ，と 読 み か え て ，無 限 の 研 究 を さ ら に 進 め た ．

無限のパラドックス : ヒルベルトホテル

M.Aigner G.Ziegler 著: “Proofs from THE BOOK”_のK.H.Hoffmann _{に よ る 挿 絵}

無限のパラドックス : ヒルベルトホテル

ダ ー フィト・ヒ ル ベ ル ト

1862年 ケ ー ニ ヒ ス ベ ル ク（ 現 在 の ロ シ ア ） 生 — 1943年 ゲッチ ン ゲ ン（ ド イ ツ ）没

バ ー ト ラ ン ド・ラッセ ル

1872年 ウェー ル ズ（ イ ギ リ ス ）生

— 1970年 ウェー ル ズ 没

無限のパラドックス : ヒルベルトホテル

無限のパラドックス : ラッセルのパラドックス

「 自 分 自 身 を 要 素 と し て 含 ま な い 」と い う 集 合 の 性 質 を 考 え る ． 集 合 x が こ の 性 質 を 持 つ こ と は ，x 6∈ x と い う 式 で 表 現 で き る ． 今 ，こ の 性 質 を 持 つ 集 合 を 全 部 集 め て で き る 集 合 A _{を 考 え る}

A = {x : x 6∈ x} で あ る ．

もし A _が A の要素だとすると，これは A ∈ A _{とあらわせる．}A _の定 義 か ら A 6∈ A と な り 矛 盾 で あ る ．

も し A _が A の 要 素 で な い と す る と ，こ れ は A 6∈ A と あ ら わ せ る が ， こ の こ と か ら A _{の 定 義 か ら} A ∈ A と なって し ま い ，や は り 矛 盾 で

無限のパラドックス : ラッセルのパラドックス

A = { x : x 6∈ x }

x

新しい集合を作るときの作りかたをきちんと規 定する（公理的集合論）ことで，この種のパラド ックスは回避できる．

無限のパラドックス : バナッハ = タルスキーの定理

定理 （S.バ ナッハ ，A.タ ル ス キ ー ， 1924 — 大 正13年)

三 次 元 空 間 で の 球 の 有 限 個 の 集 合 へ の 分 割 P で P の 要 素 を 適 当 に 回 転 ，移 動 す る こ と で 同 じ 半 径 の 球2つ に 再 構 成 で き る よ う な も の が 存 在 す る ．

バ ナッハ=タ ル ス キ ー の 定 理 は ，そ こ で 存 在 の 保 証 さ れ て い る 分 割 P が物理的に実現可能なものであるとは言っていない．数学の一般 性が物理的な世界での直観を越えるものだったとしても，そのこと は 直 ち に 数 学 が 矛 盾 し て い る こ と の 証 明 と は な ら な い ．

数学は本当に矛盾しないのか ?

初 等 幾 何 学 は 矛 盾 し な い （A.タ ル ス キ ー ） 帰 納 法 を 含 ま な い 数 学 は 矛 盾 し な い

（ フォン・ノ イ マ ン ，小 野 勝 次 etc.）

不 完 全 性 定 理 （K. ゲ ー デ ル 1931） 帰 納 法 を 含 む 数 学 が 矛 盾 し な い こ と は 証 明 で き な い（ こ と が 証 明 で き る ）．

ほとんどの数学理論は矛盾しないことが，上のゲーデルの定理の仮 定 し て い る 立 場 を 弱 め る と 証 明 で き る

（G.ゲ ン ツェン ，竹 内 外 史 etc. ）

参考文献

[1] 渕 野 昌 ，数 学 の 中 の 無 限 (2004)

http://fuchino.ddo.jp/chubu/infinity-LN.pdf

[2] 渕 野 昌 ，ゲ ー デ ル 以 降 の 数 学 と 数 学 基 礎 論 ， 数 学 の た の し み ， 2006年 秋 号 (2006).

[3] 玉 野 研 一 ，なっと く す る 無 限 の 話 ，講 談 社 (2004).

[4] こ の ス ラ イ ド:

http://fuchino.ddo.jp/chubu/method-math-WS06-hoko-inf.pdf