凸体の付値と積分幾何学

数理物質科学研究科

微分幾何学 I

————–

凸体の付値と積分幾何学

田崎博之

2011

3

i

目 次

第

1

1

1.1

. . . . 1

1.2 Groemer

. . . . 4

第

2

9 2.1

. . . . 9

2.2 Hausdorff

. . . . 13

2.3

. . . . 15

第

3

24 3.1

. . . . 24

3.2 Euler

. . . . 28

3.3

. . . . 32

3.4

. . . . 37

1

第 1 _{章 付値と積分}

1.1 _付値

定義

1.1.1

S

P (S)

L ⊂ P (S)

L

µ

µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B) (A, B ∈ L), (1.1.1)

µ( ∅ ) = 0.

(1.1.2)

例

1.1.2

S

P

(S)

P

(S) ⊂ P (S)

P

(S)

∈ P

(S)

A

#A

P

(S)

1.1.11。

例

1.1.3 R

I(1)

I(1)

A

µ

(A)

I(1)

1.1.12。

命題

1.1.4

L

µ

(1.1.3) µ(A

∪ · · · ∪ A

) =

∑

( − 1)

∑

i1<···<ik

µ(A

∩ · · · ∩ A

) (A

∈ L).

この等式を包除原理または包除公式と呼ぶ。

証明

n = 1

= 2

(1.1.1)

n = 3

µ(A

∪ A

∪ A

) = µ(A

∪ A

) + µ(A

) − µ((A

∪ A

) ∩ A

)

=µ(A

) + µ(A

) − µ(A

∩ A

) + µ(A

) − µ((A

∩ A

) ∪ (A

∩ A

))

=µ(A

) + µ(A

) − µ(A

∩ A

) + µ(A

)

− { µ(A

∩ A

) + µ(A

∩ A

) − µ(A

∩ A

∩ A

) }

=µ(A

) + µ(A

) + µ(A

) − µ(A

∩ A

) − µ(A

∩ A

) − µ(A

∩ A

)

+ µ(A

∩ A

∩ A

)

2

1

(1.1.3)

n

(1.1.3)

n + 1

µ(A

∪ · · · ∪ A

)

=µ(A

∪ · · · ∪ A

) + µ(A

) − µ((A

∪ · · · ∪ A

) ∩ A

)

=

∑

( − 1)

∑

i1<···<i_k

µ(A

∩ · · · ∩ A

) + µ(A

)

− µ((A

∩ A

) ∪ · · · ∪ (A

∩ A

))

=

∑

( − 1)

∑

i1<···<ik

µ(A

∩ · · · ∩ A

) + µ(A

)

−

∑

( − 1)

∑

j1<···<jl

µ(A

∩ · · · ∩ A

∩ A

)

=

∑

( − 1)

∑

i1<···<ik

µ(A

∩ · · · ∩ A

).

定義

1.1.5

S

G ⊂ P (S)

G

“有限個の共通部分に関して閉じている”

∪ {∅}

関数

ν

∪ B ∈ G

A, B

(1.1.1)

(1.1.2)

G

注意

1.1.6

(定義 1.1.5)

G

A, B ∈ G

(1.1.1)

この講義の主な対象である

R

補題

1.1.7

S

G

する。Gの元の有限個の合併全体

L

証明

L

, B

∈ G

(

∪

i=1

A

)

∩ (

∪

j=1

B

)

= ∪

i,j

(A

∩ B

)

1.1.

3

A

∩ B

G

L

定義

1.1.8

1.1.7

G

L

= [G]

注意

1.1.9

G

[G]

に拡張できるかどうかが問題になる。そのための必要十分条件を与えるのが次の 節の主題である。問題

1.1.13

G

[G]

問題

1.1.10 S

L ⊂ P (S)

L

Val(L)

問題

1.1.11 S

(1) P

(S)

(例 1.1.2)。

(2) f

S

λ

(X) = ∑

x∈X

f(x) (X ∈ P

(S))

によって

λ

P

(S)

1

合は、λf は例

1.1.2

#

(3) S

F (S)

Λ : F (S) → Val(P

(S)) ; f 7→ λ

は線形同型写像になる。

問題

1.1.12

(1) I(1)

(例 1.1.3)。

(2) f

R

λ(X) =

∫

X

f (x)dx (X ∈ I(1))

によって

λ

I(1)

1

λ

1.1.2

µ

問題

1.1.13 S = { 1, 2, 3 } , G = {{ 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1, 2, 3 }} ⊂ P (S)

λ(X) = {

0 (X = ∅ ), 1 (X 6 = ∅ )

によって

G ∪ {∅}

λ

4

1

(1) G

(2) λ

G

(3) [G] = P (S)

(4) λ

[G]

1.2 Groemer _{の積分定理}

定義

1.2.1

S

A

I

I

(s) =

{

1 (s ∈ A) 0 (s / ∈ A)

L

(1.2.4) f =

∑

α

I

(α

∈ R , A

∈ L)

L

命題

1.2.2

I

= I

I

, (1.2.5)

I

= I

+ I

− I

I

= 1 − (1 − I

)(1 − I

).

(1.2.6)

L

証明

(1.2.5)

I

= I

+ I

− I

= I

+ I

− I

I

− A ∪ B

1 − I

= (1 − I

)(1 − I

).

これらより、(1.2.6)もわかる。

(1.2.5)

(1.2.6)

L

定義より

L

L

1.2. Groemer

5

命題

1.2.3

I

=1 − (1 − I

)(1 − I

) · · · (1 − I

) (1.2.7)

=

∑

( − 1)

∑

i1<···<ik

I

.

証明

(1.2.5)

(1.2.6)

(1.2.7)

(1.2.7)

n = 1

= 2

(1.2.6)

n

S − A

∪ · · · ∪ A

= (S − A

) ∩ · · · ∩ (S − A

)

1 − I

= (1 − I

)(1 − I

) · · · (1 − I

)

I

= 1 − (1 − I

) · · · (1 − I

)(1 − I

).

もう一つの等式は

1 − (1 − I

) · · · (1 − I

)

=1 − {

1 −

∑

( − 1)

∑

i1<···<ik

I

1

· · · I

}

=

∑

( − 1)

∑

i1<···<ik

I

1

· · · I

=

∑

( − 1)

∑

i1<···<ik

I

1∩···∩A_ik

よりわかる。

定理

1.2.4 (Groemer

)

S

G

G

(1) µ

[G]

(2) µ

n ≥ 2

B

, B

∪ B

∪ · · · ∪ B

∈ G

B

(1.2.8) µ(B

∪ B

∪ · · · ∪ B

) =

∑

( − 1)

∑

i1<···<ik

µ(B

∩ · · · ∩ B

).

6

1

(3) [G]

µ

[G]

数

f = α

I

+ · · · + α

I

(α

∈ R , A

∈ G)

(1.2.9)

∫

f dµ =

∑

α

µ(A

)

によって積分を定める。

証明

(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1)

(1) ⇒ (2) µ

[G]

(1.1.3)

(2) ⇒ (3) (1.2.9)

[G]

証明する。空ではなく互いに異なる

K

, . . . , K

∈ G

0

α

, . . . , α

∑

α

I

= 0, (1.2.10)

∑

α

µ(K

) 6 = 0 (1.2.11)

が成り立つと仮定する。

L

= K

, . . . , L

= K

L

= K

∩ K

, L

= K

∩ K

, . . .

K

L

L

, . . . , L

(p = 2

− 1)

i

L

∈ G

{ L

, . . . , L

}

i, j

max { i, j } ≤ k

L

∩ L

= L

C :=

{

(c

, . . . , c

)

∑

c

I

= 0,

∑

c

µ(L

) 6 = 0 }

について考える。L1

= K

, . . . , L

= K

(α

, . . . , α

, 0, . . . , 0)

C

q := max

(ci)∈C

min { i | c

6 = 0 }

(c

) ∈ C

∑

c

I

= 0, c

6 = 0, (1.2.12)

∑

c

µ(L

) 6 = 0

(1.2.13)

1.2. Groemer

7

= p

c

= · · · = c

= 0

c

I

+ · · · + c

I

= 0

と書ける。もし

q = p

c

I

= 0

(1.2.13)

c

µ(L

) 6 = 0

q < p

L

⊂ L

∪ · · · ∪ L

となることを示す。もしそうならないとすると、ある

x ∈ L

− (L

∪· · ·∪ L

)

(x) = 1, I

(x) = 0 (i > q)

(1.2.12)

x

c

= 0

⊂ L

∪ · · · ∪ L

L

= L

∩ (L

∪ · · · ∪ L

)

= (L

∩ L

) ∪ · · · ∪ (L

∩ L

)

を得る。µと特性関数はともに包除等式を満たすので、上記等式より

µ(L

) = ∑

q<i≤p

µ(L

∩ L

) − ∑

q<i<j≤p

µ(L

∩ L

∩ L

) + − · · · , I

= ∑

q<i≤p

I

− ∑

q<i<j≤p

I

+ − · · ·

が成り立つ。右辺に現れる

L

, L

, . . . ,

s > q

L

d

I

= ∑

s>q

d

I

, (1.2.14)

µ(L

) = ∑

s>q

d

µ(L

) (1.2.15)

が成り立つ。(1.2.14)と

(1.2.15)

(1.2.12)

(1.2.13)

= · · · = c

= 0

(1.2.13)

q

q

∑

α

I

= 0 ⇒

∑

α

µ(K

) = 0

単純関数が

a

I

+ a

I

+ · · · + a

I

= b

I

+ b

I

+ · · · + b

I

8

1

a

I

+ a

I

+ · · · + a

I

− b

I

− b

I

− · · · − b

I

= 0

a

µ(X

) + a

µ(X

) + · · · + a

µ(X

) − b

µ(Y

) − b

µ(Y

) − · · · − b

µ(Y

) = 0

a

µ(X

) + a

µ(X

) + · · · + a

µ(X

) = b

µ(Y

) + b

µ(Y

) + · · · + b

µ(Y

)

µ

[G]

(3) ⇒ (1) µ

[G]

˜ µ(A) =

∫

I

dµ (A ∈ L)

によって

µ ˜

[G]

∈ G

˜ µ(A) =

∫

I

dµ = µ(A)

となり、˜

µ

µ

[G]

A, B ∈ [G]

˜

µ(A ∪ B) =

∫

I

dµ =

∫

(I

+ I

− I

)dµ

=

∫

I

dµ +

∫

I

dµ −

∫

I

dµ

= ˜ µ(A) + ˜ µ(B) − µ(A ˜ ∩ B)

となって

µ ˜

[G]

(1.1.3)

9

第 2 章 閉区間塊の内在的体積

2.1 _閉区間塊

定義

2.1.1 R

[a

, b

] × · · · × [a

, b

] (a

, b

∈ R , a

≤ b

)

を

R

I

(n)

dim([a

, b

] × · · · × [a

, b

]) = # { i | a

6 = b

}

によって定める。

R

I

, J

(I

× · · · × I

) ∩ (J

× · · · × J

) = (I

∩ J

) × · · · × (I

∩ J

)

となるので、I0

(n)

I(n)

I

(n)

[I

(n)]

定理

2.1.2 (I(n)

Groemer

I

(n)

I(n)

証明

µ

I

(n)

1.2.4

n

= 0

≥ 1

n − 1

P

, . . . , P

∈ I

(n)

α

, . . . , α

∈ R

∑

α

I

= 0, (2.1.1)

∑

α

µ(P

) = C 6 = 0 (2.1.2)

を満たすとする。

k = # { i | dim P

= n }

10

2

(2.1.2)

P

, . . . , P

∈ I

(n)

k = 0

(2.1.1)

(2.1.2)

P

, . . . , P

∈ I

(n)

dim P

≤ n − 1

(2.1.2)

P

, . . . , P

P

, . . . , P

l

l ≥ 1

l = 1

− 1

1

P

, . . . , P

H

, . . . , H

P

⊂ H

∪ · · · ∪ H

(i = 1, . . . , m)

となっている。ここで、各

H

P

· I

= I

I

(2.1.3)

∑

α

I

= 0

を得る。Pi

∩ H

n − 1

− 1

(2.1.4)

∑

α

µ(P

∩ H

) = 0

− (2.1.3)

(2.1.5)

∑

α

I

−

∑

α

I

= 0.

(2.1.2) − (2.1.4)

(2.1.6)

∑

α

µ(P

) −

∑

α

µ(P

∩ H

) = C.

(2.1.5)

(2.1.6)

P

⊂ H

i

P

⊂ H

∪ · · · ∪ H

(i = 1, . . . , m)

となって

l

⊂ H

i

P

∩ H

= P

α

I

0

− α

I

0∩H1

= 0

(2.1.6)

α

µ(P

) − α

µ(P

∩ H

) = 0

N

= { 1, . . . , m } − { i | P

⊂ H

}

2.1.

11

i ∈ N

P

H

, . . . , H

(2.1.5)

(2.1.6)

∑

i∈N1

α

I

+ ∑

i∈N1

( − α

)I

= 0,

∑

i∈N1

α

µ(P

) + ∑

i∈N1

( − α

)µ(P

∩ H

) = C 6 = 0.

と書くことができ、Pi

, P

∩ H

(i ∈ N

)

H

, . . . , H

l

k = 0

≥ 1

k ≥ 1

(2.1.2)

P

, . . . , P

n

, . . . , P

n

, . . . , P

n

H

P

∩ H

P

H

, H

P

⊂ H

I

∑

α

I

= 0.

同様に

(2.1.1)

I

I

∑

α

I

= 0,

∑

α

I

= 0.

µ

∑

α

µ(P

) =

∑

α

µ((P

∩ H

) ∪ (P

∩ H

))

=

∑

α

µ(P

∩ H

) +

∑

α

µ(P

∩ H

) −

∑

α

µ(P

∩ H).

n − 1

∑

α

I

= 0

より

∑

i=1

α

µ(P

∩ H) = 0

P

∩ H

P

P

⊂ H

P

= n

dim(P

∩ H

) = n − 1

# { i | dim(P

∩ H

) = n } ≤ k − 1.

さらに

∑

i=1

α

I

= 0

12

2

∑

α

µ(P

∩ H

) = 0

∑

α

µ(P

∩ H

) =

∑

α

µ(P

) = C.

改めて

2n

H

, . . . , H

P

=

∩

H

を満たすようにとる。H1

, . . . , H

H

すと

∑

i=1

α

µ(P

∩ H

∩ · · · ∩ H

) = C

∑

α

µ(P

∩ P

) = C

I

∑

α

I

= 0

を得る。n次元の閉区間

P

, . . . , P

∑

α

I

= 0,

∑

α

µ(P

∩ P

∩ · · · ∩ P

) = C.

D = P

∩ · · · ∩ P

D ∈ I

(n)

∑

α

I

= 0,

∑

α

µ(P

∩ D) = C

となる。1

≤ i ≤ k

P

∩ D = D

≥ 2

k

k = 1

α

I

+

∑

α

I

= 0

2.2. Hausdorff

13

n − 1

− α

I

(2.1.2)

2.2 Hausdorff 距離

x, y ∈ R

d(x, y) = | x − y |

によって

R

A ⊂ R

d(x, A) = inf

y∈A

d(x, y)

によって

x

A

x ∈ A ¯

定義

2.2.1

K, L ⊂ R

Hausdorff

δ(K, L)

(2.2.7) δ(K, L) = max

(

sup

d(a, L), sup

b∈L

d(b, K ) )

によって定める。

補題

2.2.2 K, L ⊂ R

δ(K, L) = 0

K = L

証明

δ(K, L)

δ(K, L) = 0

sup

a∈K

d(a, L) = sup

b∈L

d(b, K) = 0

である。さらにこれは任意の

a ∈ K

d(a, L) = 0、すなわち a ∈ L ¯ = L、

かつ、任意の

b ∈ L

d(b, K ) = 0、すなわち b ∈ K ¯ = K

よってこれは

K = L

R

B

K ⊂ R

≥ 0

K + B

= { x + u | x ∈ K, u ∈ B

}

によって

K + B

14

2

2.2.3 K, L ⊂ R

K + B

= { x ∈ R

| d(x, K) ≤ }

が成り立つ。さらに、δ(K, L)

≤

K ⊂ L + B

, L ⊂ K + B

証明 まず最初の等式を証明する。任意の

x ∈ K + B

y ∈ K

u ∈ B

x = y + u

| x − y | ≤

d(x, K) ≤

∈ { z ∈ R

| d(z, K) ≤ }

x ∈ R

d(x, K) ≤

m

| x − y

| ≤ + 1/m

y

∈ K

K

y

y

K

x − y | ≤

− y = u

u ∈ B

∈ K + B

K + B

= { x ∈ R

| d(x, K) ≤ }

K ⊂ L+B

x ∈ K

d(x, L) ≤

L ⊂ K + B

∈ L

d(y, K) ≤

≤

K

L+B

x ∈ K

x / ∈ L+B

δ(K, L) ≥ d(x, L) >

δ(K, L) ≤

K ⊂ L + B

L ⊂ K + B

R

C

定理

2.2.4 δ

C

証明 任意の

K, L ∈ C

δ(K, L) = δ(L, K ) ≥ 0

任意の

x ∈ K

d(x, K) = 0

δ(K, K) = 0

δ(K, L) = 0

x ∈ K

d(x, L) = 0

x ∈ L

x ∈ L

d(x, K) = 0

x ∈ K

= L

最後に三角不等式を示す。K, L, M

∈ C

α, δ(L, M ) = β

2.2.3

K ⊂ L + αB

L ⊂ M + βB

K ⊂ M + αB

+ βB

= M + (α + β)B

2.3.

15

2.2.3

δ(K, M ) ≤ α + β = δ(K, L) + δ(L, M)

以上で

Hausdorff

δ

C

2.3 閉区間塊の不変連続付値

R

R

T ˜

g ∈ T ˜

, P ∈ I

(n)

gP ∈ I

(n)

(n)

T ˜

T ˜

µ

(2.3.8) µ(gP ) = µ(P ) (g ∈ T ˜

, P ∈ I(n))

T ˜

I(n)

µ

I

(n)

Hausdorff

I(n)

注意する必要がある。このように付値の連続性を定義するのは、幾何学的に重要 な付値が

I

(n)

I(n)

µ

∈ I(n)

P ⊂ Q

µ(P ) ≤ µ(Q)

∈ I(n)

P ⊂ Q

µ(P ) ≥ µ(Q)

まず

R

I (1)

A ∈ I (1)

µ

(A) = A

µ

(A) = A

によって、µ¹₀

, µ

補題

2.3.1 µ

, µ

I (1)

T ˜

証明

A, B, A ∪ B ∈ I

(1)

∪ B ∈ I

(1)

A ∩ B

µ

(A ∪ B) = 1,

µ

(A) + µ

(B) − µ

(A ∩ B ) = 1 + 1 − 1 = 1.