令和2年度3Q試験問題 微分積分学 解答例
2020.11.30 永野 解答はすべて解答用紙に記入せよ。解答は論理が分かるように整然と書くこと。特に答 は明示せよ。
[1] 次の関数の第1次導関数を求めよ。
f(x) = ex3logx2+ cosx
（解）
f′(x) = (ex3)′logx2+ex3(logx2)′ + (cosx)′
= 3x2ex3logx2+ex3 1
x2(2x)−sinx
= 3x2ex3logx2+ 2
xex3 −sinx · · ·（答）
[2] 次の各問いに答よ。
１．不定積分 ∫
(sinx2 + cosx2)2dx を求めよ。
（解）
(与式）=
∫
(1 + 2 sinx 2cosx
2)dx
=
∫
(1 + sinx)dx
=x−cosx+C(積分定数) · · ·（答）
２．定積分 ∫ 1
2
0
√ 1
1−x2dx を求めよ。
（解）
(与式）=
∫ 1
2
0
(sin−1x)′dx
=[
sin−1x]1
2
0 = sin−1 1
2−sin−10
= π
6 · · ·（答）
[3] 関数f(x) = sin−1x+ cos−1x (0≤x≤1) について次の各問いに答よ。
１．f(x) = C (C :定数) であることを証明せよ。
(証明)
関数f(x)は0< x <1で微分可能であるので、
f′(x) = (sin−1x)′ + (cos−1x)′ = 1
√1−x2 + (− 1
√1−x2)
= 0
1
よって
f(x) =
∫
f′(x)dx=C(積分定数) f(x)は0≤x≤1で連続関数であるので、f(0) =f(1) =C ゆえに、
f(x) = C(定数)(0≤x≤1) · · ·（答）
２．前問１のCの値を求めよ。
（解） 前問の結果より
C =f(0) = sin−10 + cos−10 = 0 + π 2
= π
2 · · ·（答）
[4] 次の各問いに答えよ。
１．f(x) = exのx= 0の近くでの4次近似式を求めよ。eはネピアの数である。
（解） 一般に
f(x)∼f(0) + f′(0)
1! x+ f′′(0)
2! x2+f′′′(0)
3! x3+ f(4)(0) 4! x4 が成り立つ。ここで
f(x) = exよりf(0) = 1 f′(x) = exよりf′(0) = 1 f′′(x) =exよりf′′(0) = 1 f′′′(x) = exよりf′′′(0) = 1 f(4)(x) = exよりf(0)(x) = 1 より、求める4次近似式は
ex ∼1 +x+1
2x2+1
6x3+ 1
24x4 · · ·(答)
２．f(1) =eと前問の結果を用いて、eの近似値を小数第３位まで求めよ。
（解） f(1) =eより
e∼1 + 1 + 1 2+ 1
6+ 1 24
= 2 + 17
24 ∼2 + 0.7083· · ·
∼2.708 · · ·(答)
３．eの近似の精度を上げるにはどうすればよいと思うか。
（答）
(1) 近似の次数をあげる。5次近似、6次近似、· · · など。
2
(2) なるべく0の近くで、計算を行う。つまり、x= 1 2, 1
3,· · · など。
(参考) x= 1
2のとき
e12 ∼1 + 1 2 +1
8 + 1 48 + 1
384 = 633
384 ∼1.6484375 ゆえに
e∼(1.6484375)2 ∼2.717346
e= 2.71828182· · · より、明らかに、x= 1の場合より近似の精度が上がっている。
[5] アステロイド x23 +y23 =a23 をx軸の周りに回転してできる回転体の体積V を 求めよ。ただし、a >0は定数。
（解）
図形は下図のような原点対称の星形である。
図 1: アステロイド これをx軸の周りに回転するので、求める体積V は
V =π
∫ a
−a
y2dx
一方
y2 = (y23)3 = (a23 −x23)3
=a2−3a43x23 + 3a23x43 −x2 3
すなわち
V =π
∫ a
−a
y2dx = 2π
∫ a 0
(a2−3a43x23 + 3a23x43 −x2)dx
= 2π[
a2x− 3
53a43x53 + 3
73a23x73 − 1 3x3]a
0
= 2π (
a3− 9 5a3+9
7a3− 1 3a3
)
= 32
105a3 · · ·(答) [6] 次の各問いに答えよ。
１．f(x, y) = xytanxyの偏導関数fxを求めよ。
（解）
fx = ∂f
∂x = (xy)′tanxy+xy(tanxy)′
=ytanxy+xy 1 cos2xyy
=ytanxy+ xy2
cos2xy · · ·(答) ２．偏微分係数fx(π2,π2)を求めよ。
（解）
前問の結果より
fx(π 2,π
2) = π 2tanπ
2 π 2 +
π 2(π2)2 cos2 π2π2
= π
2tanπ2
4 + π3
8 cos2 π42 · · ·(答) 以上
4
