演習問題 7 （ 2015 年 12 月 2 日）

解析学序論II（担当：梶野） 2015年度後期・神戸大学理学部数学科

学籍番号： 氏名：

演習問題 7 ^（ 2015 ^年 12 ^月 2 ^日）

注意. 答案作成に際しては以下の点に注意すること：

なるべくきれいな字で丁寧に書くこと．試験答案やレポートも「他人に読んでもらう文章」

なのだから，自分にしか読めないような雑な字で書くべきではない．

数学的に厳密な議論を行うこと．厳密さを欠いた曖昧な議論は数学では許されない．

演習7.1. ¹anº¹nD1R,a2 Rとし，limn!1a2n 1Daかつlimn!1a2nD aと仮定する．この ときlimn!1anDaであることを示せ．

演習7.2. ¹anº¹nD1Rが収束するならばlim_n!1janj D jlim_n!1anjであることを示せ．

演習7.3. (1)n2N,0x1に対し次の不等式が成り立つことを示せ：

ˇˇ ˇˇ ˇ

n 1X

kD0

. 1/^kx^k 1 1Cx

ˇˇ ˇˇ ˇxⁿ: (2)

1 1

2 C1 3

1

4C D X1

nD1

. 1/^{n 1}

n Dlog2であることを示せ．