平成２４年度 京都大学・工学部 解答例
問題１
問１
n = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
について，n 2 + 2 = 6, 11, 27, 51, 123, 171, 291
． 問２n = 2
のとき，n 2 + 2 = 6
だから，ともに素数ではない．n ≥ 3
のとき，自然数
n
は，3m,3m + 1, 3m + 2 (m ≥ 1)
と表せる．n = 3m
のとき，3
以外のn
は素数でない．n = 3
のとき，n 2 + 2 = 11
でともに素数に なる．n = 3m + 1
のとき，n 2 + 2 = (3m + 1) 2 + 2 = 9m 2 + 6m + 3 = 3(3m 2 + 2m + 1)
でn 2 + 2
は3
を約数にもち，n
とn 2 + 2
がともに素数にはなれない．n = 3m + 2
のとき，n 2 + 2 = (3m + 2) 2 + 2 = 9m 2 + 12m + 6 = 3(3m 2 + 6m + 2)
でn 2 + 2
は3
を約数にもち，n
とn 2 + 2
がともに素数にはなれない．したがって，２以上の自然数で
n
とn 2 + 2
がともに素数になるものは，n = 3
の場合だけである．問題２ 問１
a n の定義から，an > 0
でa n は有理数．
a 1 = 3 > √
3
が成り立っている．n ≥ 2
について，a n − √ 3 = 1
2
³
a n − 1 + 3 a n − 1
´
− √ 3 = 1
2
³
a n − 1 − 2 √ 3 + 3
a n − 1
´
= 1 2
³ √ a n − 1 −
√ 3
√ a n − 1
´ 2
≥ 0
． もし等号が成り立つなら，√ a n − 1 =
s 3
a n − 1 から，少なくてもあるn
について，
a n − 1 = √
3 (n ≥ 2)
でなければならないが，これはa n が有理数であることに矛盾する．
よって，
a n − √
3 > 0 (n ≥ 1)
．問２
a n+1 − √
3 = 1 2
³ a n + 3
a n
´
− √ 3 < 1
2
³ a n + 3
√ 3
´
− √ 3 = 1
2 (a n − √ 3)
．問３
問２から，
a n − √ 3 < 1
2 (a n − 1 − √ 3) < 1
2 2 (a n − 2 − √
3) < · · · < 1
2 n − 1 (a 1 − √
3) = 3 − √ 3 2 n − 1 ．
よって，0 < a n − √
3 < 3 − √ 3 2 n − 1 ．
この両辺の
n → ∞
についての極限値をとって，0 ≤ lim
n →∞ (a n − √
3) ≤ 0
．1
∴
lim
n →∞ a n = √ 3．
問題３ 問１
l =
Z 2π 0
r³ dx dt
´ 2
+ ³ dx dt
´ 2
dt = r Z 2π
0
q
(1 − cos t) 2 + sin 2 t dt = r Z 2π
0
q
(1 − cos t) 2 + sin 2 t dt
= √
2r Z 2π
0
√ 1 − cos t dt = 2r Z 2π
0
sin t
2 dt = 2r h
− 2 cos t 2
i 2π
0 = 4r( − cos π + cos 0) = 8r．
h
sin t
2 ≥ 0 (0 ≤ t ≤ 2π)
を用いている．i
問２S = Z
C
y dx = Z 2π
0
r(1 − cos t)r(1 − cos t) dt = 4r 2 Z 2π
0
sin 2 t 2 dt
t
2 = u
とおいて，
= 8r 2 Z π
0
sin 4 u du = 16r 2 Z
π20
sin 4 u du = 16r 2 · 3 4 · 1
2 · π
2 = 3πr 2． 問３
題意から
1 − cos t 6 = 0
であることを以下の計算で用いている．曲線
C
上の点P
の座標を(x, y )
とすると，点P
における 接線の方程式はY − y = dy
dx (X − x) · · · (1)
， 法線の方程式はY − y = − dx
dy (X − x) · · · (2)
である．(2)
が点(a, 0)
を通るから，0− r(1 − cos t) = − 1 − cos t
sin t (a − r(t − sin t))，
r sin t = a − r(t − sin t)
より，a = rt
．(1)
とX = a
の交点は，Y − r(1 − cos t) = sin t
1 − cos t (a − r(t − sin t))
を満たすから，a = rt
であ ることを用いて整頓すると，Y (1 − cos t) = r(1 − cos t) 2 +sin t(a − a+r sin t) = 2r(1 − cos t)
より，Y = 2r
となります．Y はa
に関わらず一定だから，交点の描く図形はY = 2r (0 < X < 2πr)
であるX
軸に平行な直線である．問題４ 問１
(E+A)(E − A) = E − A+A − A 2 = E − A 2．一方(E − A)(E +A) = E+A − A − A 2 = E − A 2．
よって，(E + A)(E − A) = (E − A)(E + A) · · · ( ∗ )
．
(E + A)(E − A) = (E − A)(E + A) · · · ( ∗ )
．E + A
が正則であるという仮定から，( ∗ )
の両辺に左から(E + A) − 1をかけて，
E − A = (E + A) − 1 (E − A)(E + A)
，さらに，この式の両辺に右から(E + A) − 1をかけて，
(E − A)(E + A) − 1 = (E + A) − 1 (E − A)．
2
問２
以下転置行列の記号
t
はt B = B t
のように左にも右にも付ける事ができるとします．B
が正則のとき( t B) − 1 = t (B − 1 )
が成り立ちます．（∵
t (B − 1 ) t B = (BB − 1 ) t = Eより，( t B) − 1 = t (B − 1 )
）
(E + A) t = E + t A
で，E + A
が正則であるという仮定から，
| E + t A | = | (E + A) t | = | E + A | 6 = 0． ∴ E + t A
は正則．(E + t A) − 1 = { (E + A) t } − 1 = { (E + A) − 1 } t．
問３
