伝送線路を持つ
Chua
回路のクロストークによる同期現象Synchronization of Chua’s Circuits with Transmission Lines Linked by Cross Talk
中阿地有紀
1 Yuki Nakaaji
西尾芳文
2 Yoshifumi Nishio
徳島大学大学院 工学研究科 電気電子工学専攻1
Department of Electrical and Electronic Engineering, Graduate School of Engineering,Tokushima University
徳島大学大学院 ソシオテクノサイエンス研究部2Institute of Technology and Science, Tokushima University
1
はじめに近年、カオス回路の結合系に見られる同期現象の研 究が盛んであり、カオス通信やカオス暗号方式などカオ ス回路の工学的応用の重要な基礎研究として注目されて いる。本研究では、カオス回路の中でも有名な回路であ る
Chua
回路(図 1)
を調査した。Chua
回路は１つのキャ パシタと１つの線形抵抗とLC
共振器とChua
ダイオー ドと呼ばれる非線形抵抗から成る回路であり、非線形抵 抗の式は次のよう表される。ここで、m0
、m1
とm 2
は 区分線形のそれぞれの傾きを表し、Bp1
とB p2
はブレー クポイントを表す。i
R= m
2v
1+ 0.5(m
0− m
1)[|v
1+ B
p1| − |v
1− B
p1|]
+ 0.5(m
1− m
2)[|v
1+ B
p2| − |v
1− B
p2|], (1)
i
RR
C
1+
-
v
1+
-
C
2v
2L
i
図
1 Chua
i 回路R
vR Bp1 Bp2 -Bp1
-Bp1
m0
m1 m2
図
2
非線形抵抗のv − i
特性これまでに、LC共振器を伝送線路に置き換えた遅延 時間を含む
Chua
回路の研究がされているが[1]、本研
究では、伝送線路を含むChua
回路を２つ並べた時に、その伝送線路でみられるクロストーク現象による２つの 回路の同期現象について調査する。
2
同方向に結合した場合我々は伝送線路を適当な数で離散化して集中定数回路 としてみなし、さらにクロストーク現象の影響として相
互インダクタや相互キャパシタでそれぞれを結合した。
その回路図を図
3
と図4
に示す。この回路モデルの正規i1R R
C10 +
- v10
1
i2R R
C20 +
- v20
2
図
3
２つの伝送線路を持つChua
回路i1R R L L
C10 C11 C12
23
11 12
C C1n
L1n
i11 i12 i1n
+ + + + +
- - - -
-
v10 v11 v12 v13 v1n
1
...
...
i2R R L L
C20 C21 C22
21 22
C C2n
L2n
i21 i22 i2n
+ + + + +
- - - -
-
v20 v21 v22 v23 v2n
2
...
...
C C
C1 C2 3 n
13
M1 M2 Mn
図
4
伝送線路を離散化した回路モデル 化された式は次のように表され、４次のRune-Kutta
法 によりコンピューターシミュレーションをした結果は図5
と図6
のようになる。これらの結果より、相互インダ クタで結合した場合は逆相で同期し、相互キャパシタで 結合した場合は同相で同期する事を確認した。˙
x 10 = x 11 − x 10 − f (x 10 )
˙
x 11 = α 11 (y 11 − x 11 + x 10 )
−β 11 (y 21 − x 21 + x 20 )
˙
x 1k = α 1k (y 1k − y 1(k−1) ) − β 1k (y 2k − y 2(k−1) )
˙
x 20 = ζ(x 21 − x 20 − f (x 20 ))
˙
x 21 = α 21 (y 21 − ζ(x 21 − x 10 ))
−β 21 (y 11 − x 11 + x 10 )
˙
x 2k = α 2k (y 2k − y 2(k−1) ) − β jk (y 1k − y 1(k−1) )
˙
y jl = γ jl (x j(l+1) − x jl ) + β l (x (j+1)(l+1) − x jl ) (2)
ここで、xj(n+1) = 0。
f (x j0 ) = c j x j0 + 0.5(a j − b j )(|x j0 + 1| − |x j0 − 1|) + 0.5(b j − c j )(|x j0 + d j | − |x j0 − d j |),
(3)
2007 年 電子情報通信学会総合大会S-25
AS-2-1
図
5
相互インダクタで結合した場合のシミュレーショ ン結果(γ=1.0、β l =4.0)
図
6
相互キャパシタで結合した場合のシミュレーショ ン結果(γ=1.0、β jk =0.092)
3
逆方向に結合した場合同様の手法で、２つの
Chua
回路を逆方向から結合し た場合を調査した。その回路図は図7
と図8
のように なる。また、クロストーク現象の影響として相互インダR1
C10
R2
C20
(v10) iR
(v20) iR
+ - +
-
v20
v10
図
7
２つの伝送線路を持つChua
回路を逆方向に並べ た回路図M1 M2 M3 Mm
i2n i2n-1 i2n-2 i23 i22 i21
i11 i12 i13 i1n-2 i1n-1 i1n
+
- +
- +
-
+
-
+
-
+
-
+
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
-
+
-
v10 v11 v12
v2n
v13 v14
v2n-1 v2n-2 v23
v1n-2 v1n-1 v1n
v22 v21 v20
...
...
図
8
クロストーク現象を相互インダクタで表した回路 モデルクタで結合した場合のシミュレーション結果を図
9
に示 す。ここで、βは結合の強さを示しており、mは伝送線 路部分の重なり具合を示している。つまり、m= 10
は 伝送線路部分のすべての相互インダクタが結合されてい る事を意味し、m= 5
は伝送線路部分が半分だけ影響し あっている事を意味し、m= 1
は端の相互インダクタの みでつながっている事を意味する。これらの結果より、逆方向から結合しているにもかかわらず、２つの回路は 逆相同期をする事を確認した。
4
同期平面上の解同期平面上の解を探索するために、次のように新しく 変数を定義する。
p jk = x 1k − x 2k
q jk = y 1k − y 2k (4)
(a) m = 10、β = 6.5
(b) m = 5、β = 9
(c) m = 1、β = 14
図
9
相互インダクタで結合した場合のシミュレーショ ン結果この変数を用いることにより、回路方程式式は次のよう に得られる。
˙
p j0 = C C
j0j1
p j1 − p j0 − f (p j0 )
˙
p j1 = α j1 (q j1 − p j1 + p j0 )
˙
p j2 = α j2 (q j2 − q j1 ) − β jk (q (j+1)(n−1) − q (j+1)n )
˙
p j3 = α j3 (q j3 − q j2 ) − β jk (q (j+1)(n−2) − q (j+1)(n−1) ) .. .
˙
p jk = α jk (q jk − q j(k−1) ) − β jk (q (j+1)1 − q (j+1)2 )
˙
q jl = γ jl (p j(l+1) − p jl )
(5) p jk = q jk = 0
は上の式を満たすので、同期平面状に解が 存在する事が理論的に示された。また、r jk = x 1k +x 2k
、s jk = y jk + y jk
についても同様の議論が成り立つ事を確 認しており、これは逆相同期平面状にも解が存在する事 を示してしる。5
おわりに本研究で、我々は無損失伝送線路を持つ２つの
Chua
回路について調べた。クロストーク現象の影響として相 互インダクタや相互キャパシタでモデル化し、コンピュー タシミュレーションをした結果、興味深い現象を確認で きた。今後の課題として、同期平面上の解の安定性を調 査する事により、今回確認した現象を裏づける事である。参考文献
[1] J. Kawata, Y. Nishio and A. Ushida, “Analysis of Chua’s Circuit with Transmission Line,” IEEE Transactions on Circuits and Systems I, vol. 44, no. 6, pp. 556-558, 1997.
2007 年 電子情報通信学会総合大会
