近似法 摂動（定常状態）

近似法

摂動（定常状態）

系の運動を決めるハミルトニアン𝐻が以下のように与えられたとする。

𝐻 = 𝐻0+ λV … (1)

運動は主としてH0で決められ、λVの影響が小さな補正とみなしうる場合を考える。λV を摂動という。

λは補正の程度をみるためのパラメータである。λ、λ²、λ³の順に補正の程度は弱くなる。

摂動論は、H0の固有値、固有ベクトルが既知であり、λV によるそれからのずれが小さい 場合に近似計算（λのべき級数展開）によってHの固有値や固有関数を求める方法である。

固有方程式

𝐻₀𝜑_𝑛⁽⁰⁾= 𝜀_𝑛⁽⁰⁾𝜑_𝑛⁽⁰⁾… (2)

は解かれているとする。（|𝜑_𝑛⁽⁰⁾> のケットベクトルの記号を省略。以下同様）

𝐻𝜑_𝑛= 𝜀_𝑛𝜑_𝑛 … (3) の固有値と固有関数をλのべき級数に展開する。

𝜀_𝑛= 𝜀_𝑛⁽⁰⁾+ 𝜆𝜀_𝑛⁽¹⁾+ 𝜆²𝜀_𝑛⁽²⁾+ ⋯ (4) 𝜑_𝑛= 𝜑_𝑛⁽⁰⁾+ λ𝜑_𝑛⁽¹⁾+ 𝜆²𝜑_𝑛⁽²⁾+ ⋯ (5)

これらを（3）の両辺に代入し、両辺でλの同じべきの項を等しいとおく。λの0次の項に ついて整理すると、（２）が得られる。λの１次の項についてまとめると、

𝐻₀𝜑_𝑛⁽¹⁾+ 𝑉𝜑_𝑛⁽⁰⁾= 𝜀_𝑛⁽⁰⁾𝜑_𝑛⁽¹⁾+ 𝜀_𝑛⁽¹⁾𝜑_𝑛⁽⁰⁾ … (6)

が得られる。{𝜑_𝑛⁽⁰⁾} が完全正規直交系をつくっているとし、𝜑_𝑛⁽¹⁾をこれで展開する。

𝜑_𝑛⁽¹⁾= ∑ 𝑐_𝑛𝑗⁽¹⁾𝜑_𝑗⁽⁰⁾

𝑗

… (7)

これを（６）に代入し、左からケットベクトル< 𝜑_𝑖⁽⁰⁾|を掛ける。

𝜀_𝑖⁽⁰⁾𝑐_𝑛𝑖⁽¹⁾+< 𝜑_𝑖⁽⁰⁾|𝑉|𝜑_𝑛⁽⁰⁾> = 𝜀_𝑛⁽⁰⁾𝑐_𝑛𝑖⁽¹⁾+ 𝜀_𝑛⁽¹⁾𝛿_𝑛𝑖 … (8) これより、縮退がない場合、𝑖 = 𝑛に対し、

𝜀_𝑛⁽¹⁾= < 𝜑_𝑛⁽⁰⁾|𝑉|𝜑_𝑛⁽⁰⁾> … (9) 𝑖 ≠ 𝑛に対し、

𝑐_𝑛𝑖⁽¹⁾=< 𝜑_𝑖⁽⁰⁾|𝑉|𝜑_𝑛⁽⁰⁾>

𝜀_𝑛⁽⁰⁾− 𝜀_𝑖⁽⁰⁾ … (10) 二次以上の摂動についても同様に計算できる。

遷移確率

系の状態が非定常な場合、時間を含むシュレーディンガー方程式は、

HΨ = iℏ𝜕Ψ

𝜕𝑡 … (11)

ただし、Ψはq1,q2,…,tの関数である。摂動をVとし、𝐻 = 𝐻₀+ 𝑉とする。（１次の摂動の み考えるので、パラメータλは省略）

𝐻₀の固有値と固有関数は既知とする。

𝐻0Φ𝑛= 𝐸𝑛Φ𝑛 … (12)

ただし Φ_𝑛 は、q1,q2,…の関数であり、{|Φ_𝑛>}は完全正規直交系とする。

V=0の場合の一般解は、

Ψ₀= ∑ 𝐶_𝑛𝑒^{−𝑖𝐸𝑛𝑡/ℏ}Φ_𝑛

𝑛

… (13)

であたえられる。摂動Vがある場合は、係数𝐶_𝑛が時間の関数になっていると考える。

Vが時間tを含まない場合

Ψ = ∑ 𝐶_𝑛(𝑡)𝑒^{−𝑖𝐸𝑛𝑡/ℏ}Φ_𝑛

𝑛

… (14) を (11) に代入し、左から< Φ_𝑓|を掛けると

∑ 𝐶𝑛(𝑡) 𝑒^{−𝑖𝐸𝑛𝑡/ℏ}< Φ_𝑓|𝑉|Φ𝑛>

𝑛

= iℏ𝑑𝐶_𝑓

𝑑𝑡 𝑒^{−𝑖𝐸𝑓𝑡/ℏ} … (15) 初期条件として、系はt=0においてΦ_𝑖の状態にあったとする。

𝐶_𝑖(0) = 1, 𝐶_𝑛(0) = 0(𝑛 ≠ 𝑖) … (16)

Vの影響が小さく、t>0においてもこの関係が成り立つと仮定し、（15）に代入すると、

𝑒^{𝑖(𝐸𝑓−𝐸𝑖)𝑡/ℏ}< Φ_𝑓|𝑉|Φ_𝑖> = iℏ𝑑𝐶_𝑓

𝑑𝑡 … (17) f ≠ i（ゆえに、𝐶_𝑓(0) = 0)とし、積分すると、

𝐶𝑓(𝑡) =1 − 𝑒^{𝑖(𝐸𝑓−𝐸𝑖)𝑡/ℏ}

𝐸_𝑓− 𝐸_𝑖 < Φ𝑓|𝑉|Φ𝑖> … (18) よって、

|𝐶_𝑓(𝑡)|²= [2 sin(𝐸_𝑓− 𝐸_𝑡)𝑡 2ℏ 𝐸_𝑓− 𝐸_𝑖 ]

2

|< Φ_𝑓|𝑉|Φ_𝑖>|² … (19)

これはt=0においてΦ𝑖の状態（始状態）にあった系が、時間t後にΦ𝑓の状態（終状態）に 遷移する確率を表す。ディラックのデルタ関数を用いると、

|𝐶_𝑓(𝑡)|²=2𝜋

ℏ 𝑡|< Φ_𝑓|𝑉|Φ_𝑖>|²𝛿(𝐸_𝑓− 𝐸_𝑖) … (20) これより、

（単位時間当たりの遷移確率）=^2𝜋

ℏ |< Φ_𝑓|𝑉|Φ𝑖>|²𝛿(𝐸_𝑓− 𝐸_𝑖) … (21)

これをすべての終状態または関心のある終状態について寄せ集めたものを、Fermi の黄金 律という。

摂動Vが周期的な振動をする場合

V = 𝑉₊𝑒^𝑖𝜔𝑡+ 𝑉₋𝑒^{−𝑖𝜔𝑡} (𝑉₋= 𝑉₊^†) … (22) という形に表され、

（単位時間当たりの遷移確率）=^2𝜋

ℏ |< Φ_𝑓|𝑉|Φ𝑖>|²𝛿(𝐸_𝑓− 𝐸_𝑖± ℏ𝜔) … (23) のようになる。