高等学校数学における「考え方」に関する考察II-香川大学学術情報リポジトリ

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(1)

香川大学教育実践総合研究(jd.£&c.j?a.7iヨaS.£)gv 「叩心即sM屈幻,16:59−65,2008

高等学校数学にお

’︰V

ナる

Γ−

考え方」に関する考察H

  松岡大我・安西一夫* (大学院教育学研究科)(数学敦育講座ド 760-8522 高桧市幸町1−1 香川大学人学院 *760-8522 高松市幸町1−1 香川大学教育学部

On the Mathematica1

Thinking

at the High Schoo1 Leve1 H

         Taiga Matsuokaand Kazuo Anzai Graゐalg&]1・Qθjげ」&jz,aZj∂,1,瓦昭αwα陥j,,9,3jりろ7-7,&,j肖zj-&。,7aα。α£szj 76θ-8522   *j陥Cz峨μび瓦1alja,2,瓦,零αwαひ必g肖砂,7-7,&j細aj-&Q,72汝α澗αZSZj 76θ-,Sj22

要 旨 高等学校数学における方法に関係した11種類の考え方(帰納的な考え方・演鐸的な

考え方・類推的な考え方・統合的な考え方・分析的な考え方・発展的な考え方・一般化の考

え方・抽象化の考え方・特殊化の考え方・単純化の考え方・記号化の考え方)について検討

し,各科目,内容,単元に含まれている頻度について調査し考察する。

キーワード 数学的活動 数学的な考え方 算数・数学教育 高等学校 科学的思考 1 はじめに  天然資源が乏しい創造立国を目指す我が国で は,創造性を培う教育が望まれている。平成18 年12月22日に施行された新しい教育基本法に は,今日極めて重要と考えられている敦育の目 的や理念に関して,その教育基本法の(教育の 目標)第二条に「‥個人の価値を尊重して, その能力を仲ばし,創造性を培い,・づ等が 規定されている。また,香川大学教育学部附属 高松中学校の研究開発報告書「21世紀に求めら れる資質・能力の育成」9)において,前期中等 敦育段階で育成する必要がある資質・能力を「相 互に理解し合う力」,「創造的に思考し,探究す る力」,「自ら見通しを持って設計する力」,「感 性豊かに表現する力」の4つに焦点化して研 究開発をし,その結果を述べている。これらの 資質・能力は従来から育成されている大切な資 質・能力である。

 また,第15期中央敦育審議会は平成8年「21

世紀を展望した我が国の敦育の在り方につい

て」の答申を行った。敦育課程審議会はこの答

申を受け,知識を一方的に教え込むことになり

がちだったこれまでの敦育から,白ら学び白ら

考える敦育への基調の転換を図り,子どもたち

の看匠を生かしながら,学び方や問題解決など

の能力の育成を重視することなど,教育課程

の基準の改善に当たって基本的な考えを示し

た。これらのねらいを達成するために平成11年

3月に新しい高等学校学習指導要鎖が告示され

た。そこでは,多面的にものを見る力や論理的

に考える力などの創造性の基礎を培うことが求

められ,平成15年度から実施されている新学習

指導要領の数学科の目標には「数学的活動を通

して創造性の基礎を培う」という文言が加えら

れた。「数学的活勤」は,新たに用いられた言

葉であるが,数学的活動の趣旨は,これまでも

問題解決能力や考える力の育成などとして,算

59

(2)

数・数学の学習指導上大切にされてきたもので ある。数学的活動には内的な活動と外的な活動 が考えられるが(文部省5)p.9),高等学校数 学では主として内的な活動が中心になると考え られる。問題解決過程の内的な活勁における数 学的な考え方は,犬きく「内容に関係した考え 方」と「方法に関係した考え方」とに二分する ことが可能である。本稿では,後者の「方法に 関係した考え方」(以下,「考え方」という。) を取り上げ検討する。その「考え方」は,片桐夕 (pp.128-190)の10種類の「考え方」(帰納的な 考え方づ寅鐸的な考え方・類推的な考え方・統 合的な考え方・発展的な考え方・一般化の考え 方・抽象化の考え方・単純化の考え方・特殊化 の考え方・記号化の考え方)に基づき,分析的 な考え方の概念を加えた,桧岡・安西4)による 11種類の「考え方」であり,学校種によらない ことを特徴としたものである。すなわち,学校 敦育及び生涯学習の観点から必要とされる数学 的な考え方としてとらえている。  ここでは,高等学校数学における「考え方」 について考察する。高等学校数学敦科書(数学 B・数学Ⅲ・数学C)の各内容,単元に含まれ ているこれらの「考え方」の頻度について調査 し,池内・安西oの結果と合わせて分析する。 調査の対象は,S社の数学教科書(数学B[平 成15年2月10日検定済],数学Ⅲ[平成16年1 月10日検定済],数学C[平成15年3月10日検 定済Dであり,それぞれの教科書における「例」 (本文の理解を助けるための具体例),「例題」 (基本的で解答のある問題および重要で代表的 な問題)である。 2

,高等学校数学の教科書における

え方」の分析

Γ︲ 考  高等学校数学の∫社の敦科書(数学B・数 学Ⅲ・数学C)の「例」及び「例題」に含まれ ている指導上適切と思われる11種類の「考え方」 の頻度(解答例のない練習問題などを除Oに ついて,科目別,単元別,内容別に調べた。ま た,1つの学習内容にいくつかの「考え方」が 60 含まれている場合があり,その場合はそれぞれ の「考え方」の度数に加算した。なお,数学B の第4章(統牡とコンピュータ)と第5章(数 値計算とコンピュータ)及び数学Cの第4章(統 計処理)は,ここでは「考え方」の頻度に加算 していない。  これらの敦科書を調査した結果について,科 目別,単元別,内容別に表したものが,資料の 表1∼表3である。各科目,単元及び内容の学 習内容と対応させ「考え方」の頻度を表してい る。この資料より生徒達はどの単元の学習内容 で,どの「考え方」にふれることができるの かということを把握することができる。また, 「考え方」を育成するためのカリキュラムを検 討するとき,その構成要素である教育内容,教 材,配当時間数,指導形態などの検討におい て,この一覧表が基礎資科として活用できると 考えられる。  数学B・数学Ⅲ・数学Cの科目別にみた特徴 として,いずれの科目にも演祥的な考え方及び 記号化の考え方が含まれている場面が多いこと がわかる。数学Bの内容は(「平面上のベクト ル」,「空問のベクトル」,「数列」)であり,数 学Ⅲの内容は(「関数」,「極限」,「微分法」,「 微分法の応用」,「積分法」)であり,数学Cの 内容は(「行列」,「式と曲線」,「確率と確率分 布」)である。「考え方」における数学B・数学m・ 数学Cの特徴として,帰納的な考え方の指導の 場面は数学Bに多く見ることができる。帰納的 な考え方は,事例を獲得すること,得られた事 例から一般的な関係・性質・法則を見出すこと, その関係・性質・法則が普遍的であることを検 証することの3つの活動よりなる。高校数学で は,推測された関係・性質・法則が普遍的であ ることを検証する方法として,数学的帰納法を 用いることができる。この点において,小・中 学校における帰納的な考え方の指導と高等学校 での指導に違いがある。  表4は,数学T・数学A・数学H・数学B・ 数学Ⅲ・数学Cに含まれている「考え方」の頻 度を表にしたものである。ただし,数学I・数 学A・数学Hに含まれている「考え方」の頻度

(3)

は,池内・安西1)による。  図1∼図6は,表4より,数学I・数学A・ 数学n・数学B・数学m・数学cに含まれてい る「考え方」の頻度を科目別にグラフに表した ものである。  表5は,表4において頻度の少ない帰納的な 考え方・統合的な考え方・分析的な考え方・発 展的な考え方・一般化の考え方吋由象化の考え 方・単純化の考え方・特殊化の考え方の8つの 「考え方」を合わして***としたものである。 表5において,[数学I・数学A・数学H・数 学B・数学Ⅲ・数学Cの敦科書]と[4種類の「考 え方」:演棒的な考え方,類推的な考え方,記 号化の考え方,***]という2つの属性の関 係について,カイ2乗検定を行ったところ,有 意であった。(*:p<0.05)。  表6は,表5において,[数学I・数学A・ 数学H・数学B・数学Ⅲ・数学Cの教科書のう ちの2科目]と[4種類の「考え方」:演鐸的 な考え方,類推的な考え方,記号化の考え方, ***]という2つの属性の関係について,カ イ2乗検定を行った検定桔果であり,*:p< 0.05は2科目における頻度の分布におけるカイ 2乗検定の検定結果が有意水準5%で有意であ ることを表している。 15の検定結果のうち,お およそ2/3に相当する9の検定結果が有意で あった。11種類の[考え方]の科目別にみた分 布は似ているとはいえないが,いずれの科目も 帰納的な考え方・統合的な考え方・分析的な考 え方・発展的な考え方・一般化の考え方・拍象 化の考え方・単純化の考え方・特殊化の考え方 と比較して演鐸的な考え方及び記号化の考え方 が含まれている場面が多いことがわかった。  数学I・数学A・数学H・数学B・数学m・ 数学Cの全てを学んだ場合,表4より,「考え 方」が使われる場面(練習問題などを除Oが 最も多い演鐸的な考え方は511であり,最も少 ない抽象化の考え方は3であり,大きな差があ ることが分かる。これらのことより,「考え方」 の種類により指導する機会に差があり生徒の 「考え方」の定着度は異なってくると考えられ る。「考え方」を育むためには,指導のあり方 61 を検討したり参考書等の袖肋教材を活用したり する必要がある。 3.おわりに  本稿では,高等学校数学における「考え方」 の特徴及び,高等学校数学敦科書(数学I・数 学A・数学H・数学B・数学Ⅲ・数学C)にお ける11種類の「考え方」の頻度について検討し た。その結果,高等学校数学における「考え方」 についての考察では,育みたい「考え方」にお いて,小学校・中学校と指導上特に異なる点 を,帰納的な考え方,続合的な考え方及び抽象 化の考え方等に見ることができた(池内・安西 1)p.3)。また,高等学校数学教科書(数学I・ 数学A・数学n・数学B・数学m・数学c)の「例」 及び「例題」に含まれている指導上適切と思わ れる11種類の「考え方」の科目別にみた分有は 似ているとはいえないが,これらの研究をもと に今後は,それぞれの「考え方」の良さを理解 させ,問題解決過程において「考え方」を意識 させる方途を開発すること,発問の工夫などを 検討すること,補助敦材を開発することなどが 課題である。問題解決能力に関わる数学的な見 方・考え方の評価等についても研究を深めてい きたい。       参考文献 1)池内康貴,安西一夫:高等学校における「考え   方」に関する考察,香川大学教育実践総合研究,   第12号,pp.1-7,2006 2)片桐重男,:数学的な考え方の具体化,明治図書,   1988 3)片桐重男,:問題解決過程と発問分析,明治図書,   1988. 4)松岡沙知,安西一夫:数学的見方・考え方に関   する考察,香川大学教育実践総合研究,第9   号,pp.37-46,2004 5)文部科学省:高等学校学習指導要領解説,数学編,   理数編,1999 6)山田真也,安西一夫:中学校数学における考え   方に関する考察,香川大学教育実践総合研究,   嬉11号,pp.39-50,2005

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7)L.C.Larson : Problem −Solving Through   Problems,Springer −verlag New York lnc,   1983

8)G.Polya : How to SOlve lt,Princeton university   Press,1945 9)研究開発報告書:21世紀に求められる資質・能 資 料   力の育成,香川大学教育学部附属高松中学校,   2001 10)教科書:数学I(2004),数学A(2004),数学   n(2004),数学B(2004),数学Ⅲ(2005),数   学C(2005),S株式会社

平面上のベクトルとその演算(A) 0 18 0 0 3 0 0 2 0 0 3 26

ベクトルと平面図形(A)

0 9 0 0 1 0 1 0 0 0 8 19

空間のベクトル(B)

0 14 1 1 0 0 2 1 0 0 8 27

数列とその和(C)

2 19 3 1 1 2 2 0 1 0 2 33

数学的帰納法(C)

5 4 1 0 0 1 0 0 0 0 3 14

合計

64 5 2 5 3 5 3 1 0 24 且9

割合(%)

5.9 54 4.2 1.7 4.2 2.5 4.2 2.5 0.8 0 20 100

表1.高等学校数学教科書(数学B(練習問題などを除く))における「考え方」の単元別(内容 A

   平面上のベクトル,B:空間のベクトル,C:数列)の表

関数(D)

0 11 2 1 0 0 3 0 0 0 1 18

数列の極限(E)

0 13 1 1 1 4 0 0 4 0 4 28

関数の極限(E)

0 10 4 2 2 2 1 0 1 0 4 26

微分法(F)

2 17 3 1 5 3 3 0 2 0 1 37

導関数の応用(G)

0 16 0 0 1 0 0 0 0 1 14 32

速度と近似式(G)

0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8

不定積分(H)

0 11 0 1 0 2 0 0 3 0 0 17

定積分巾)

0 13 0 0 0 2

0 1 1 5 22

積分法の応用(H)

0 10 0 0 0 1 0 0 0 0 9 20

発展(H)

0 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 5

合計

2 112 10 6 9 15 7 0 11 2 39 213

割合(%)

0.9 53 4.7 2.8 4.2 7 3.3 0 5.2 0.9 18 100

表2.高等学校数学教科書(数学Ⅲ(練習問題などを除く))における「考え方」の単元別(内容

   関数,E:極限,F:微分法,G:微分法の応用,H:積分法)の表

−62− D:

(5)

行列の計算(I)

0 17 2 0 0 0 1 0 1 0 0 21

行列の応用(I.)

1 19 3 0 0 0 0 0 0 0 4 27

2次曲線(J)

0 9 2 0 0 0 0 0 0 0 10 21 媒介変数表示と極座標(J.) 0 10  0 0 0 1 0 0 0 0 9 20

確率の計算(K)

0 10  0 0 0 0 0 0 0 0 3 13

確率分布(K)

1 10 0 2 0 0 2 0 0 0 4 19

合計

2 75 7 2 0 1 3 0 1 0 30 121

割合(%)

1.7 62 5.8 1.7 0 0.8 2.5 0 0.8 0 25 100

表3.高等学校数学教科書(数学C(錬習問題などを除く))における「考え方」の単元別(内容

   行列,J:式と曲線,K:確率と確率分布)の表

一 般 化

数学I

0 83 10 0 2 2 1 0 5 1 30 134

数学A

数学H

1 65 5 0 2 2 0 0 2 2 16 95 1 112 9 0 3 1 0 0 7 3 13 149

数学B

7 64 5 2 5 3 5 3 1 0 24 且9

数学Ⅲ

2 112 10 6 9 15 7 0 11 2 39 213

数学C

2 75 7 2 0 1 3 0 1 0 30 121

合計

13 511 46 10 21 24 16 3 27 8 152 831

割合(%)

1.6 61.5 5.5 1.2 2.5 2.9 1.9 0.4 3.3 1.0 18.3 100 表4.高等学校数学教科書(数学I・数学A・数学n    除く))における「考え方」の科目別の表 数学B・数学Ⅲ・数学C(練習問題などを

***

合計

数学I

83 10 30

134

数学A

65 5 16 9 95

数学n

112 9 13 15 149

数学B

64 5 24 26 119

数学m

且2 10 39 52 213

数学C

75 7 30 9 121

511 46 152 122 831

表5.表4において,

¨*

は,帰納的な考え方・統合的な考え方・分析的な考え方・発展的な考え方・

   一般化の考え方・抽象化の考え方・単純化の考え方・特殊化の考え方の8つの「考え方」の

   数を合わせたもの

−63−

(6)

−64−

数学I

数学A

数学H

数学B

数学m

数学C

数学T

*:p<0.05 *:p<0.05 *:p<0.05

数学A

/

10.39

数学H

*:p<0.05

17.31 22.89 *:p<0.05

数学B

*:p<0.05 *:p<0.05

*:p<0.05

数学Ⅲ

*:p<0.05 *:p<0.05 *:p<0.05

/

*:p<0.05

数学C

*:p<0.05 *:p<0.05 *:p<0.05

表6.表5の2科目間のカイ2乗検定による検定結果であり

   有意であることを表している

「*:p<0.05」は,有意水準5%で  図1∼図6は,表4より,高等学校数学教科害に含まれている11種類の「考え方」のグラフであ る。ただし,a,b,c,d,e,f,9,h,ij,kは,それぞれ,a:帰納的な考え方,b:演鐸的な考え方,c:類 推的な考え方,d:統合的な考え方,e:分析的な考え方,f:発展的な考え方,g:一般化の考 え方,h:抽象化の考え方,i:単純化の考え方,j:特殊化の考え方,k:記号化の「考え方」 を表す。 1 2 0 1 0 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 1 2 0 1 0 0 8 0 6 0 4 0 2 0   0 数学I り ^ ‘ ` ' “ 9 ゛ 圀 a 呪 l ・ 愈 ‘ ` 愈 ‘ ‘ 愈 ‘ F 原 四 ‘ Q 鳶 a 匹 ゛ ‘ j 呪 z ヾ 7 z l ・ ; . き 圀 B r 4 壁 ゛りー % W 読 l 洛 ・ M X 、 詣説 訟 ・ S g 胆 煕 S S 印 a i a E M ゛ ぶ 贈 S に ミ ぷ 昌   ゝ 賜 i 〃.) 乃.1 乃 閤 卜 沢 ・ ゝ C ( a 1 言 謳 謳 l M 閤 。 閤 り 宍臣 言 ぶ 跨 I S ぶ I U S I 暇i 圖 轄闘 り 消詣i 怒 愁| ぽ 、 国圓圓 1詣諧m i l 悒 頴i l E i l 胞 ゛ ヌ 回 嶮 ・ 如 、 − − − 窓 鮑 を3 1 慰 り Z g j 励 図 圀 汲 徊 詣 図 j 影 沁 c 詣 │ 回 - ・ 』 ・ S § M 1 5 m 詣 j 。 i 泌 誼 回 l i ・ 鴬 l g c l ・ 胞 禰 ら 鼎 , ゛ 回 ゛ . l 回 回 回 感 図 判 呂 l H 婦 習 9 旨 回 回 i 回 ゛ x n s ゛ ` l s M a g 、 ゛ 、 g S ・ンg 、 妃 ・ ン − 謡 肩 鸚 . § 弥 皿麿詣 詣 謡 肖 ぽ │ ゛ 裔 | 胆誼自 | g g ン ¥ 醇 四 回 S り S 罰 り g ぼ ・ ふ ほ 回 2 Q 気 a 1 贈 活 S 9 訟 9 図 涵 岩 勁 訟 脂 ヨ 鱈 ご 4 1 心 ` 認 B 、 。 居 説 硲 , 器 窓 5 管 M m   占 八%占 匹趾 皿 塵 m 訟詣 回 H I 庖 昌 │ヨ 固旧│ 偕 g箆 j S − ♂ ?〃%♂a ` `゛ 聊 回 凛ml 言 . 駈 肖 副 § 9ぼ 自 H a 自 S § § 冒 | 溶 H 昌 国 I E 忿 蓉 賢1 1 M| 回彭恋 、 l k.・   j u i Q a M a M g 旺 M 、;ぶ 昿 j 、 ' 祠 回 防 回

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胆談

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参照

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