授業を楽しむ生徒たち : 興味を持たせ思考力をつけるための教材

授 業 を

楽

し

む 生徒 た ち

興味

を も

っ て

思考

力

を

つ

け るた め

の

教材

　　　　　　

京華 中学高等学校

　　　

永

見

利 幸

生 徒 た ち 向 けの テ キス トを再 編 集し た も の です

．

若干

．

説明 を 省 略し てあ りま す

．

実際

の

_指導

1

_{．不 思 議}

な 三

角

形

12

＋

22

＋

32

＋

42

＋

52

＋

62

＋

… …

＋ n2

と

パ _{ス カ ルの 三}

_角

_形

パ ス カ ル の 三角形 を 応 用 して

12

十

22

十

3z

十

42

十

52

十

62

÷

… …

十n1 を求め て み ま しよう

．

　

n を

1

か ら

変

化さ せて表を作っ て み ま す

．

　

1

行目に は n を

1

か ら順 番に変 えて い っ た 値 を

書

いて お きます

．

表

1

　 　 　 　

9

＝

14 −5

　 　

1

＝

12

　　

5

＝

12

十

22

　

14

＝

12

_十

22

_十

32

　

30

＝

12

_十

22

_十

32

_十

42

と なって い ます

．

　

2

行 目は

1

行目 の隣り合っ てい る数の差 を 書い て お き ます

．

同 じ よ う に，

3

行 目 は

2

行 目 の 隣 り合っ てい る数の差 を書いてお き ま す

．

以下同 様に _，

4

行 目 も

3

行 目の差 を 書いてお き ま す

．

5

行 目か らは

0

にな りま す か ら， その ま まに してお き ま す

．

　次

の

表

を 見て くだ さい

．

1514305591

」

畠

．

厚．

4962536

 

　　　1 5 フ

9

屮

222

，

o

1

行 目の

5

に_{注 目}し ま す

．

1

_各段

_の最初

_の

_数

_で

₁

_行

_目の

_数

_を

_表

_すこと

_牽

_考

_{え ま}

_す

_．

　

5

＝

1

_十

4

　 1

は

1

回

，

4

は

1

回

　　14

＝

1

_＋

4

_＋

9

　　

（上_の 表よ り

9

は

4

と

5

_で表 さ れ ま す

．

）

　 　 　 ；

1

十

4

十

4

十

5

Tokyo University of Science

NII-Electronic Library Service Tokyo _Universityof _Soienoe

鏤

は

1

回，

灘

は

2

回

，

覊

は

1

回

30

＝

1

_＋

4

_＋

9

_＋

16

　　 　

（

1

行 目の

1

と

2

行

目の

4

，

9

，

16

で表 している

）

　 　 ＝

1

_十

4

_十

4

_十

5

_十

9

_十

7

　 　＝

1

十

4

十

4

十

5

十

4

十

5

十

5

十

2

　

30

を

表

すの に，

靉

は

1

回，

蠶

i

は

3

回，

懇

は

3

回，

鑾

は

1

回

　

次に

55

に注 目 し ます

．

　

55

を表 すの に_，

鑾

は

1

回，

鑾

は

4

回，

黐

は

6

回，

鑁

は

4

回 現 れ ま す

．

回 数に注 目

す

る と，

1

，

3

，

3

，

1

や

1

，

4

，

6

，

4

は どこかで見たこ とのある数になっ て い ま す

．

どこで

見

た

数

だか調ぺ て み ま しょう

．

1

，

4

，

5

，

2

は 何 回 出て きて い るのかをま とめて おき ます

．

　表

の 醤 のところ に書い て あ る

1

，

2

，

1

は

1

が

1

回，

4

が

2

回，

5

が

1

回 出て きて いるという

意

味で す

．

　

縦に し て見るとわか りま すが，

1

，

4

，

5

，

2

が

何

回 出でて きて い るのか ま と め ま す と，

数

字の

出

て くる 回 数はパス カ ル の 三角形 の

数

字になっ ていま す

．

（

55

と

91

の ところでは

0

も

1

回 出で て きた ものと し て入 れてれてお き ま す

．〉

　

で は， なぜパ ス カ ル の 三

角

形の

数

字になっ て いるので しょう

．

その ことを

説

明 し ま

す ．

　

ま ず

30

を

考

え ま す

．

　

30

＝

1

＋

4

_＋

4

＋

5

＋

4

＋

5

＋

5

＋

2

_で ，

4

は

羅

回で できていま

す，

この

靉

は

4

か ら

30

までた と り着 く場 合の数が

3

であ ること を

意味

し てい ま す

．

　い ま

30

を 頂 点に し て表 を作 り直し て み ま す

。

151430

4916572

　

こ の

考

え

方

に したが っ て ， 上の表か ら

30

を 分 解 し て み ます

．

30

＝

14

_÷

16

　 　＝

5

＋

9

　　　　　　　＋

9

　　　　＋

7

　 ＝

1

＋

4

＋

4

＋

5

＋

4

＋

5

＋

5

＋

2

　　

唖

9

＿

＿

_→ ・は ・回

出

・き ま す

・

　

30

を 頂 点 と してパ _{ス カ ル の三 角 形}に似 た 図 を 書いて みま す

．

　 右の表 は 分 解 した 様 子 を 表し てい ま す

．

　

右の 表

2

で

一

部分 を

抜

き出し ま す

．

　3

回 出て きた

4

は， どのよ うに分

解

さ れ たの か を見て み ま しよ う

．

表

2

一

₆₄

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

た と え ば ，

 

の

4

は

5

を

1

＋

4

と分解 した と きの

4

で す

．

 

は

9

を

4

＋

5

に分 解 し たと きの

4

で す が ， こ の

9

は

14

を 分 解 した もの で す

．

 

は

 

と 同 じよ うに

9

を 分 解 した ものです が， この

9

は

16

を

9

＋

7

に分 解 した もの です

．

以上の様子 を

4

か ら

30

にどの よ うに分 解 した もの なのか を ま とめ て み ま す

．

 

5

　 　 　

14

4

9

30

16

 

5

重

0

 

5

4

14

30

9

　 　 　

16

　こ の こと か ら

，

30

を分 解 した と き に

4

が

3

回 出て き たの は表

2

のよ うに分 解 した と きの

4

か ら

30

まで の最

短

経 路 を 考 えれ ば よい ことに な りま す

．

　

4

’

か ら まで

30

行 く場 合の数は横に

2

， 縦 に

1

だ け 進 む 最 短 経 路 を 計 算 しま すか ら

，

3C1 ＝

3

と な ります

．4

が

3

回 出_{で て} く_るのは

，

4

か ら

30

ま_で到 達 す_るのに

，3

通 り_の道が あること に他な り ま せ ん

．

実は場 合の数と Σ記 号の 間に は密

接

な関 係が あ ること が わ か り ま す

．

　　

30

を例に とっ てみ ま す と， 表

3

を

考

え ま して パ ス カ ル の 三角形の

4

行目の数 字になっ てい ます

．

す な わ ち， 3C

．

で表せ ます

．

30

＝　 （

1

か ら

30

ま で 到達 する場

合

の

数）

x1

　　

＋

（

4

か ら

30

ま で到 達す る場 合の

数）

×

4

　　

＋

（

5

か ら

30

まで到 達 す る 場 合の

数）

x5

　　

＋

（

2

か ら

30

まで到 達 す る 場 合の数

）

x2

　

＝ _sCo ×

1

＋ 3C1 ×

4

＋3C2x5 ＋3C3 ×

2

．

　 　

灘 韃韆

1

「

　

111111

婁

12345

13610

1410151

表

3

＼

1

で ある こと を 使っ て いま す

．

第

4

項 目の

30

は3Cr で表 すことがで き ましたか ら， 同 じよ うに

考

えます と， 第

5

項

目の

55

は _4C ．で 表すこと が で き る はずです

．

Tokyo University of Science

NII-Electronic Library Service Tokyo _Universityof _Soienoe

55

＝ _{4Cox1 十 4Cl ×}

4

十_4C2x5 十_4C3 ×

2

十_4C4x 　 　 　 　

1

　 　 　

4

　 　 　 　

6

　 　 　 　

4

　 　 　 　

1

こ の ように考 え ま す と， 表

1

の

第

n

項

目の

数字

す なわち

　

12

＋

22

十

32

十

42

＋

52

十　

62

_十

……

_＋n2 は ．

−

IC ． で表 現でき ま す

．

　 12

十

22

十

32

十

42

十

52

十

62

十

…。

・

・

十n2 ＝ n

−1C

。 ×

1

＋n

．

、

C

、　× ・

4

＋ ．

一

、

C

、 x5 ＋ _n

_．

、

C

、×

2

＋n

−

1　

C

、　×　

O

・

・

_…  

　 　 　 n ！

　　　　　　

こ こで組 合せの公式 を 使っ て変 形 を します と， ．

Cr

”

　　　　　　（

n

−

r

_）

！r！

 

一 _・・

4（

n

−

1

）

・ ・

（

警

一2）

・

2

（

n

− 1

_）

_（

”

1

，

2

_）

_（

n

”

3

_）

で

・計算

をしま す ・・ n

_（

n ＋

1

_）

_（

2n

＋

1

_）

にな りま す

．

　 　 　

6

1

・_＋

2

・ ＋

3

・＋

4

・_＋

5

・_＋

6

・_＋

＿．

．

_{＋ n}・＝ n

_（

n ＋

1

_）

_（

th

＋

1

_）

　 　 　

6

こ の パス カ ル の 三

角

形

を使

う 方 法で， 計 算 方 法で

次

の

計算

をし て みま し よう

．

（

1

）

Z

，

k

’

　

”

13

＋

23

＋

33

＋

43

＋

53

＋

…

＋n3

（

2

）

Z

，

　

”‘

　

’

14

＋

24

＋

34

＋

44

＋

54

＋

…

＋ n4

（

1

）

か ら

計

算 を して見 ま す

．

1936100225441784129620253025

■

　

■

　

，

　

■

　

●

　

o

☆

827641252163435127291000

‘

19376191127169217271

18243036424854

666666

00000

　 　 　 　n _{項 を ☆ と しま す}

．

1

か ら☆ まで到 達 する の に

，

_n

．

lCo 通 りあ ります

．8

から☆ まで 到達する のに ，　_n

−

1Cl 通 りあ りま す

．

19

から☆ ま で 到達する の に，_n

−

lC2 通 りあ ります

．

18 から☆ まで到達 するのに

，

　n

−

t　

C

コ通 りあ ります

．

6

から☆ まで到 達 する のに

，

n

．

！

C4

　

pa

りあり ます

．

で すか ら，

一

₆₆

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

　

。n　

Co

　×

1

十．

．

IC ，　×　

8

十n

．

LC2 ×

19

十。

．

1C3 ×

18

十 。

−

1C4 ×

6

で

後

の

0

は

何

回 通っ ても 後 は

変

わ りません

．

結 局， 計 算を し ますと， n2・

（

・・＋・

ア

。な り ます

．

　 　 　 　

4

（

1

_）

と同じよ う に表 を作 成 しまし て ，

：

1681

　

256625

　

1296

　　　　　　．

　　　　　

｝

　　　 　　　 憂　

・

240140961656110000

i

65

　 　

175369i671

爿

051695124653439

口

10194

　

3024345901770974

曙

_{84108132156180204}

1

2424242424

｝

0

0

0

0

i

0

0

0

「

0

O

l L ヨ

0

n

＿

ICo ×

1

十n

＿

1　

Cl

　x　

16

十n

＿

1C2 ×

65

十n

＿

IC3 　x　

110

十n

＿

tC4 　x　

84

十 n

−

1C5 ×

24

−

n

（

n ＋

fX2

・＋ユ

）

Bn2

　・　

3

・　

−

1

　 　 　

30

　こ の ように パスカル の三 角 形 はい ろいろな 使い 方 が あ り ま す

．

　

　

　潔

を下のシ

ー

トを

使

・ て

講

・ て み ま・・う

・

Zk5

　

e

求め るた めの表 を 完 成 させ ま す

・

計

算

をす る と，

一

_{。な ， ま す}

_．

　 　 　 　 　

12

Tokyo University of Science

NII-Electronic Library Service Tokyo _Universityof _Soienoe

2

．

　 針

に

語

ら

せ

る

　

以 前は乱数サ イを

振

って円 周

率

の近

似

値を求め ま したが， 今 度は少し

違

う 方 法で円周 率の近 似 値 を求め て み ま しよう

．

今 度の主 役は乱 数 サ イ よ りも 手に 入 りや すい針です

．

　

適当な 大き さの模 造 紙に等 間 隔で横 線 を描 き ま す

．

　

こ の

紙

の上に

針

を 落 と しま す

．

　

（綜の間 隔は針よ り も大き く とって お き ま す

．

）

　こ の模 造 紙に

100

本の針 を 落 とした とし ま しょう

．

　こ のと き， 何 本の針が模 造 紙の線と交わっ たかを数 えてお き ま す

．

　

た と え ば， 針の 長 さ を

2cm

， 線の 間隔 を

4cm

として， 実 際に針を落と した ところ，

30

本の針 が線 と交わ りま した

．

こん なこ と をし て何になる の か_調ぺ てみ ま しよう

．

　 　 　 　 　 　 　 　

線

₄

夕

＼

_．

　

針の長 さ を

t

，

針

と

線

の なす 角 を

鑵

， 針の真 ん 中

（

以後， 針 の

中

心 と呼び ます

）

と

一

番 近い

_線

_との距 離 を

韈

としま す

．

ま た， 最

初

に

_描

い た平 行 線の間 隔 を

d

とし ます

．

　y

は

一

番 近い線 と，

針

の中心 との距 離ですか ら， 平

行線

の 間 隔

d

の半 分 よ り

短

い はずで

す．

こ の こ と を 式で表 し ますと， 　 　 　

1

　

0

≦

_y

≦

−

d

……… 



_とな りま す

．

　 　 　

2

角

度

は

0

°

と 180

° す な わ ちπ ラ ジア ン の 間で 考 え れ ば 十 分ですの で ，

　

o

≦

x

≦

π

　

一 …・

 

蠶

1

_騨



　　　　　　　　

y

≦−

lsin

　x

・

…・

…

 

　 　 　

2

で な ければ な り ませ ん

．



   

 

を ま と めて み ま

す ．

　 　 　 　

1

0

≦

_y

≦

−

d

……… 

　 　 　 　

2

0

≦

κ

≦

π

　

………

 

　 　

1y

≦

一

’sin　x

・

・

一 …

 

　 　

2

一

₆₈

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

　

こ こで横

軸

にx ， 縦

軸

に

y

を とっ てグラフ を 描い て み ま す

．

　

長

方

形

OABC

の内 側が ，

 

と

 

の不 等

式

の領 域 を 表 してい ま す

．

蠏

面上

・・

一

・ ・

鴎

・

〔

　π

d

，T 　

2

）

・ ・

la

・・

）

・

・ま

す ・

　

長 方 形

OABC

の面 積

…………

1nd

…… 

　 　 　 　

2

 

・ 潮 ・ 囲 ・れ柵 ・面 積

……・

…・

鳶

・

i

・・_xdx −

；

ii

［

一

… xl ・・＝　

i

一  

　

こ の計 算は高 校

3

年 生でない と理 解で き ない ので， 積 分 を知らない場 合 は， とにか く上の図 で

■

■

■

の つ い て い _{る 部 分}の面 積は ’だと認めて くだ さい

．

1

−

nd

_と

t

_{の比 は何 を 表して い るの か考 えてみ ましょう}

_．

2

　

こ こ で ，

座標

平 面 上の点

（

x，

y

）

に注 目しま す

．

（

κ

，

y

）

は針の

落

ちた場 所を 表 してい ます

．

座

標

は

 

，

 

の

制

限の も と で は，

長

方 形

OABC

の外 側の点に は出 られ ません

．

長 方 形の中の

1

点は

（

x，

y

）

は，た だ

一

_{つ の組み合わ せ に}

_対

_{応 し ま す}

_．

_{こ の} 動 くことの で きる面 積は すべ _ての こ と が起こる可 能 性 を 表 し ていま す

．

この値 は

 

よ り

2nd

です

．

　 　 　

2

　

ま た，

線

と針の交わ る条 件

 

を 入 れ ます と

，

（

κ丿

y

）

の 動 く面 積 は，   よ り’にな ります

．

こ の

1

は，

針

が

線

と 交わ る可 能 性 を表 して い ま す

．

　

ところ で， 針 が 線と交わ る

確率

を

考

え ま す と， 確 率 とは

，

装靉

濺

覊

性

・すか ・

・

　 　 　

1

　 　 　 　

21

　こ の値は

一

＝

一

_です

．

　　　　　

！

_nd



nd

　 　 　

2

　

この値は， 理論値で

先

ほ ど実 際に針を投げた と きに，

100

本 中，

30

本 が 線 と 交わ り ま したの で ， 針が線 と 交 わる確 率 は

0

．

3

です

．

　 　 　 　

21

膿

値

は

_th

ですから針の長 さ とP　

va

の間 隔 す な わ ち・　

1

−

・

2

・

d

−

4

を代

入 し ま して・ 　 　 　

2x2

　 　 　

一

旨

0

．

3

　 　 　 π x4 こ の 式か ら， π ＝

⊥

＝

3

．

3

_{欄 か れ ま す}

．

　 　 　

0

．

3

こ の こ と を， 公

式

化 し ま す

．

Tokyo University of Science

NII-Electronic Library Service Tokyo _Unlversltyof _Solenoe

4

．

球

の

表

面

積

と

体

積

・

錐台

の

鵬

・

去

 

如

》

・す

・

こ の 式は

後

で とても重

要

にな りま す

．

図

1

を 見て み ます と

k

−・

1

を 高 さと

考

えれば， 台 形の面

積

の 公 式に似てい ま

す ．

b

k

−

₁

A

＝

B

図

1

畷

台の側 面

積

＝

（

_{上 面の}

齷

_＋

底面

_の直径

）

。

ma

。

1

　 　 　

2

図

2

以 上

2

つ の事 実 を使っ て図

2

のよ う な 半 径 厂の 球の表 面

積

を

求

めま しょう

・

．

　初

めに

球

を 扱 うの では な く，

球

に

似

た 立

体

を扱い ま す

．

図

3

のよ うに， 半 径 厂の円に内接 す る 正

8

角

形 を

軸

の周 りに

回転

を させま

す．

図

5

のよ うな 立

体

ができ ま す

．

こ の立

体

を

M

と呼 ぷ こ とに し ます

．

立体

M

につ いて考え て み ま しよう

．

一

₇₀

一

N工 工

一

Eleotronlo _Llbrary

軸 立 体

M

は 図

4

の よ うな形 をし て い る立

体

に分

割

で き

 

 

〈

o

 

図

4

図

3

D

軸

B

F

A

C

G

H

図

6

立

体

は 円

錐

2

個

，

円 錐

台 2 個

です

．

図

6

のよ うに

，

各 頂 点に名 前 をつ けてお き ま す

．

立体

M

の

嬲

を 求めて み ま す

．

　

M

の 表面 積は △

ABC

を

軸

の周 りに

一

回 転 し て で きた立体

　

一一『一一

→レ 台形

BCED

を

軸

の周 りに

一

回 転 してで き た 立体

一一

→

台

形

DEGF

を軸の_{周 り}に

一

_{回 転し て で き た 立}

_体

_一 △

HGF

を

軸

の周 りに

一

回 転し て で きた 立体

　

一

一 の

4

つ の部 分の

_側

_{面 積 を 求 め れ ば}い い こと に な りま す

．

円

錐 　…… 

円錐 台

……

 

円

錐 台

……

 

円錐

　

……

 

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NII-Electronic Library Service Tokyo _Universityof _Soienoe

　

 

2

×、

BC

×

AB

　xπ 　 　 　

2

 

tl

・

（

BC

・

DE

）

・・

D

・ ・

 

去

・

伽

・

の

・

D

・・ π

 

1X

、

F

σX 册 Xπ 　

2

正

8

角

形で

す

か ら

各

辺の

長

さ は

等

しい の で，

A8

■

BD

　・

・

　

DF

　p 　

FH

■

1

とな り ま す

．

去

畑

・・

BC

・励 ・・

FG

・

F

σ

）

結

局， π

Z

（

BC

・

DE

　

FG

）

です

．

図

7

で加 比の理 を 使いま す

．

図

7

で

直角

三

角

形で 円 周 角の定 理 よ り，

∠

ABI

＝ ∠

ICJ

＝ ∠

JDO

＝ ∠

OEP

＝ _∠

PFQ

＝ _∠

QGH

＝ ∠

AHB

な_{の で} ，

A

F

鰭 　 　 　 　

G

童

_へ

_h

…

申

_、

．

．

誌

0

痲 袖

二

_「

・

…

癌

_．

．

： 　 ：

凵

　 　

．

f

・

髦

・

．

鮎

．

　 　 　

．

．

論

J

D

門

・

門

　

一

_・

C

H

　 　 　 図

7

　 　 　

E

　

△

ABIoo

△

JIAOo

△

JDOoQ

△

PEOco

△

PFQQQ

△

HGQco

△

AHB

にな ります

．

対

応 ・・辺・ 比 は

等

・い の で ・

寿 ｝

甼

十 ｛

署

一

器 器

… 

　で すか ら，

　

BI

　

工

C



OD



OE



QF



QG



BI

＋

IC

＋

OD

＋

OE

＋

QF

＋

QG

　

　

　

　

　　

　

　 　

＝

　

へ

　　

＝

　 　　　　 　　　　 　

ロ

　

　

　

＃

　

−

　 　

　

　

AI

　

JI

　

JO

　

PO

　

PQ

　

HQ

　

AI

＋

JI

＋

JO

＋

PO

＋

PQ

＋

HQ

　 　

BC

＋

DE

÷

FG

　 　 　 　 　

AH

一

₇₂

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

 

は

壟

と 乳 いの で ， 　 　 　

AB

BC

＋

DE

＋

FG

　 　 　

BH

　　 　　　　　　

＝

一

_と

な

_りま

す ．

　　 　

AH

　　 　　　　　　 　

AB

図

8

を 見て くだ さい

．

　 　 　 　

AHxBH

　

BC

＋

DE

＋

FG

＝ 　 　 　

AB

　

正

8

角

形の表面 積

M

は

，

B

，

A

H

π

1

（

BC

・

D

五 ・

FO

）

　 　 　 図

8

　 　　　

AHxBH

　 ＝ 　 π

f

　 　 　

AB

　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　 　　　　 ー

ぼ

／

・

−

t

ゆ

／

ttth

’

tト

　 　 　

・

9

　　

ところ で ，

1

＝

AB

ですか ら

，

式 を整 理 しまし て，

　

M

の表 面 積 ＝

麒 ．

_訴

_艱

_搬吻

　 　こ こまで求め ますと も うすぐで す

．

　 　

正

8

角 形 を軸の周 りに

一

回 転した 立

体

の表 面

積

を求め ま し た

．

次に， 図

8

の よ うな 、正

16

角 形の表 　 面 積 を

M

’

としま す

．

　 M

】 の 表面 積と

M

の表 面 積の 関 係 を 考 え ましょ う

．

　

M

の 表 面 積

一 一 一 一

十

　

M

’ の表 面積 一

　 　

球の表 面 積

　　　　　　

（

だ ん だ ん近づい て い き ま す

．

）

一

一

鬮■■

もう

一

度， 立体

M

の 表 面 積 を 見て み ましよう

．

M

の麺 積は

鑽 靉 韈 鐶 饑

i

靆

覊

_蠹

_靉

蓖轢

_{驪 鑿欝 鯲 癈鑼}

モ

鸚

を

しま す と，

AHxB

’

Hx

π と表さ れ ます

。

　

ま た， 正多

角

形の角 数 を 多 くす れ ば する ほ ど，

B

’ は

A

に 近づ き ま す

．

　

M

’ の表 面 積

　

一一

一一

一

レ

　

球の 表 面 積

　

B

，

　 　　　　

一一 一一

一

_A

　

ですか ら，

　 M

’ の

表

面 積



一一一

_一



_球

の表

面檳

　

　

　

1

　 　

・・ が 朧 ・ き ま す

・

　

li

　

AHxB

’

Hx

π

一

AH

　＝ ＝　_{r として} ， 球の 表 面 積 は 半 径 を 1 と して

2rx2rx

π す なわち，

4m

・

2 と な りま す

．

半 径

厂の

球

の

表

面積 　 　 　

4

π r2

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釣 り合

い

に

つ い て

　

重 りを

W

 

，

V

  と

し ま

す ．釣

り

合

っ てい ると きには，図

9

のよ うにな り， と な り ま

す．

このこと を 使っ て球の体

積

を

求

めてみ ま す

．次

の図

10 を

見て

く

ださい

．

　　 　　　黄

緑 色

　 縦

4r

　横

2r

の

長方

形

　　 　　　赤　色　 　

半 径 厂の円

　　 　　　青　

色

　 　

底

辺

4r

，

高

さ

2r

の

直角

二

等

辺三

角

形

　

で，

HA

＝

AB

と しま

す．

　

HB

を軸 と

_{して矢 印の}

方向

_へ

1

_回

転

_{さ せ ま}

す．

　

こ の

回転

して で

き

た 図 形 を

QP

で切

断

しま

す ．切断

した と きの

面

は 円です

．

　

ま た，

QP

と

A

との

距離

は

k

と

し ま

す．

　

TR

＝

2r

_です か ら ， 円

柱を

切 断 した と きの 断 面の 円の半 径 は

2r

で す

．

　

円

錐

は

直角

二 _{等 辺 三 角 形}

ABD

_を回

_転

_{さ せた もの で} ，　

AB

＝

BC

ですか ら

AT

＝

ST

にな り， 断 面の 円 の

半径

は

k

で

す．

一

₇₄

−一

N工 工

一

Eleotronlo _Llbrary

球の場

合

は

少

し

準

備 が 必

要

で

す ．

2tS

，

灘 鷺

欝

き

u

’

tiix

°

nrp

より 　 　 　 　 図

11

同 じこ と を 図

12

で考 え ま す と，

ok

’

〜

←

謙

評

＋

OT

　2

・

と なり ます

．

OR

＝

_厂 ，

OT

＝

厂 よ り，　

R

Ri

・

’

一

宀

←

一

げ

一

仁

_・婦 ・

レ

と な り ま す

．

AT

　 　

O

図

12

韆

灣

耀

糅

噸

蝿

●

《

次

のような 図

13

を

考

えま

す．

、

A

を支 点 と し

ま

す

．

　

H

か

ら

 

と

 

をぶ ら下 げ ま す

．

ま た，　

T

か ら

 

を ぶ ら下 げ ま す

．

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　 　 　 　 　r

k

−

｛

H

図

13

B

距 離 ×_{面 積}

を考え

_ま

す ．

螺

． 一一

｝

。 、

3

よ

＿

＿

T

側

_鋼

_膨

　　

こ の こ と よ り

A

か らr だけ

離

れたところに下げ た

 

，

 

と

A

か ら

k

だ け

離

れ た ところ に 下 げた

 

は 釣 り

合

っ ているこ とになり ます

．

　

T

を

A

か ら

B

まで少しずっ

_移

動 させま す

．

いず れに しても，図

13

のよ う に もっ てい

く

と釣 り合 うことにな り ま す

．

　

こ こで ， こ の切 断した 円につ いて， ほ んの少し厚 さ が あるもの としま す

．

す な わ ち， 球， 円 錐， 円 柱 はこ の円盤 が た くさ ん 集 まっ て で き た もの と考 え ま す

．

　

釣 り合っ てい る

1

回

，

1

回

の 円盤 を集 め ま す

．球

と円

錐

を 切

断

した円盤 は

H

から下 げて いま す から， それを 集めた ときには， 図

14

のよ うに

H

か ら， 球 と 円錐 が 下 げ られている と

考

え ま す

．

　

図

14

か ら

一

歩

進ん で円

柱

，

球

， 円錐がで きた と考 え ま す と， 下の 図

15

の よ うにな り ます

．

円柱 は 同じ大 き さの 円盤が

A

か ら

B

ま で 並 んでい るの で ，重 心 が ちよう ど

AB

の 中 点

M

に あ る

一

₇₆

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

と

考

えるこ と が で き ます

．

　 　 　 　 　厂　 　 　

k

r

−

v

・_・

一

一 一

一 、

｛

● 8 ． O

H

　

ゆ■ 嚇 ●

　　　

．_oO 　 ρ   ． 覧 ■ 噂 o　　　　．

蚕

T

41

B

図 円

盤 を集

め た ものと

考

え ま す

．

L

−一一一

・

−

_y

−

一

・

’ 重心 は

AB

の

_中点

に

_あ

_りま

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H

A

ず

M

7

一

胃

B

こ こ で ， 釣 り

合

い の 法

則

を

使

え ぱ， 図

9

を 使っ て ・

幅

）

一

郭

・

す ・一

 

　 　 　

1

AM

＝

−

r_で あ_ること を

使

_{っ てい} ま す

．

　 　 　

2

 

・ ・

響

また，

V2

は

底

面が半 径

2r

の円で，

高

さが

2r

の円錐で す か ら， 図

15

v

，・（

aff

・

Wh

が 半 径

2r

の円

滴

さ が

2r

の 円

柱

です か ら，

■

■ ■

と な りま す

・

Pt 　　

ゆヒ

　　　　

い

’

隅

　

・ 上・式・代 入 しま ・て ・

 

物 3

_一

耋

ガ

ー

芸

π 3 半 径・の聯

蝦

辭

轍

・

す ・

とな りま す

．

一

₇₈

一

N工 工

一

Eleotronlo _Llbrary

パ ラボラ ァンテナ

　

ー

番簡単

な

2

次 関

数

は 式で表 せ ば，

y

騾 砿 2 で形は

放

物

線

の形です

．

こ の関 数の軸 は，　

y

軸

で す

．

ま

ず

， 反射 とは 面に

対

して

図 16

の よ うになるこ と を 約

束

してお きま

す．

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 　 　 　 図

16

P

に お け る

接線

の方 程

式

は

_y

＝

2at

（

x

−

t

_）

＋ at2 で す

．

図

17

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平 面の図で表

現

を す れ ば 図

17

の よ うにな りま す

．

こ こでは，

g

＿

90

°

_■

θ す な わ ち

　op

一

θ÷

90

°

　　　

……

 



の関 係 式 が 導 か れ ま す

．

反

射

した

波

の角の大 き さ は，

90

’

＋

2

θ

…… 

　

である こ とが わ か り ま す

．

　

g

は

点

P

におけ る

放

物

線

の接 線の 角の

大

き さですか ら，

　　

tan　

_ep

　

・

・

　

2at

で

す ．

……

 

　　

反

射

した

波

の

傾

きが ほ しい の で ，

計算

を して み ま

す．

tan

_（

9

・

’

・

2

θ

〕

一一

。

号

、θ です か ・・　 …

2

θが必 要に な ・ます

・

　 　 　 　

2tan

θ

　　　　　　

です

．

する と，

tan

θ

　

がで てき ま すか ら，

 

と

 

で

考

えます

．

　

tan

　

2e

　m

　　　　　

1

＿tan2

θ 卿

孀

・・

呼

論

・

関係

・

使

・ _て ・ 砌 θ一

一

毒

一一

・な ・ます

・

　 　 　

1

　 　 　

2x

− 一

妖

 

罸

昌

藷

細

叫

一

。

諭

すか ・・

細

…

）

一一

。

診

讐

ユ 実は ， こ の式こそ が 反

射

し た

波

の傾 き を表 しま す

．

この反 射 した 灘

P

伽

’

〕

を通 ります

．

　　　　　　

4a212

＿

1

　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　

の

直線

を

考

えま

す ．

　

ですか ら，

P

を通 り，

傾

き 　 　 　 　

4at

緋

讐

1

←

一

・

）

・

_蜘

一

〔

讐

1

_レ

・

毒

_… 囎 項 ・

詣

・

す・

　こ の 式 は 多 くの こ _{と を 語}っ てい _{ま す}

．

…

t

・た 波 は 切 片が

一

定・す

・

必 す・軸の

1

点

（

・・

it

）

・集・・ます

・

・ の

座標

囓

・呼 ば れ て い ま す

．（

a は定

数

です

）

こ の

性質 （

電 波 を は ね 返して

1

点に

集

め る

）

の た め に， ア ン テナ は放 物 線の

形

をしていま す

．

一

₈₀

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

不 思議 な数

7641

　

4 桁

の正の整 数 を考

え

ます

．

い くつでもい い ので

す

が， た とえ ば，

麗

… −’

钁

で， こ の

整数

の

各桁

の

数字

に

注目

します

．

2

，

6

，

7

，

8

です

．

この

4

っ の

数字

を大 きい順に並べ ま す

．

8

，

7

，

6

，

2

で

す．

　

次に

数字

を 小 さい順に並べ _{ま す}

．

2

_，

6

_，

7

_，

8

です

．

大 きい順に並べ _た

_数

_{か ら小 さ}い順に 並べ た数 を 引 き ま す

．

　1

回 目は

876L

）

− 2678

　 ＝

6084

_です

．

同_{じ よ うに}今 度は

6084

_で各 桁_の数 を 大 き_い順に並べ た 数か ら， 小 さい順に並べ た 数 をひ き ま す

．（

注 意

0468

は

468

と考 え ま す

．）

2

回

3

回

4

回

5

回

6

回

8640

−



₄₆₈

＝

8172

8721

−

₁₂₇₈

＝

7443

7443

−

3447

＝

3996

9963

−

3699

＝

6264

6642

−

2466

＝

4176

→ → → → →

8721744399636642

・

攤

’

　7641

− 1467

＝

6174

_で ，大 きい順に並ぺ れば，

7641

にな り，この

先

は

計算

をし て も 同 じ で

す．

　

今の例では，

2678

は

6

回で

7641

にた どり着いてい ます

．（

実

際は

4176

ですが ， 大 きい順 に並べ _{れ ば} ，

7641

にな りま す

．

） こ こで 問 題で す

．

4

桁の他の数は何 回で い くつ に た と り着 くで しようか

．

ま た，

他

の

桁

数

（

2

桁 や

3

桁

）

につ い て も 調ぺ て み ま しょう

．

実は，

4

桁の数はすべ て

7641

にた どり着 き ます

．

しかも， 大 きい順に並ぺ た 数

字

か ら， 小 さい順に 並べ _た

_数

_{字 を引}い て

答え

をの

各

位の数

字

を大 きい順に並べ _るまでの作 業 を

1

回 と しま す と，

7

，

6

，

4

，

1

は 必ず

7

回 以

内

で出てき ま す

．

　

不思 議な話で すが，

4 桁

の整

数

は

7

回 以

内

で

7641

が出て き ま す

．

　

こ の 4

桁

の

数字

は カ プ レ カ

ー

数 と呼ば れて い ます

．

カプレ カ

ー

数

を調べ _る

．

　3

桁の場 合にカブ レカ

ー

数 を 調べ て み ま す

．

　

100

の位の数 をa ，

10

の

位

の

数

を

b

，

1

の位の

数

を‘ と しま す

．

3

桁

の

数

は

IOOa

＋

10b

＋c と表 示 さ れ ま す

．

この ことを

使

っ て カ プレカ

ー

数 を調べ _{て みま す}

．

　

今， a く

b

＜ c と しま す

．

すると， 最 初の

計算

は，

（

100c

＋

10b

＋a

）

一

（

100a

＋

10b

＋c

）

とな りま す

．

　

（

100c

＋

10b

＋ a

）

一

（

100a

＋

10b

＋c

）

＝

99

（

c

−

a

）

と な_って ， こ の こ とは，

1 度

こ の

計算

を

実

行 すると，

3

桁

の

数

は

99

の倍 数 となるこ と を 示 してい ます

．

2

揃

自

以降

φ

言

_瞬

　

出

て く る

数字

は

99

の倍 数で すか ら，

Tokyo University of Science

NII-Electronic Library Service Tokyo _Universityof _Soienoe

99x2

＝

198

99

×

3

＝

297

ggx4

：＝

396

99x5

＝

495

　　

　　　

同 じ

数 字

にな

り

ま

99

×

6

＝

594

　　

　　　

す

．

99

×

7

＝二

693

99

×

8

＝

792

99

×

9

＝

891

99

×

10

＝

990

が ，

考

えら れ ます

，

　

各桁

を

数

が 大 きい順に並べ _ると 同 じ

数

が

出

てき ま すの で，

198

，

297 ，

396

，

495 ，

990

がその

後

の 計

算

で ど う なるのか を考 え れ ば 十 分で

す ．

198



− 一一一一

→レ

　　

792 ＿＿＿

→ ＞

　　　　

693 −一

→

　　　

594

297 　　− 一一一一一一

g

レ

　　

693 −一一 一一

→レ

₅₉₄

396

　

− 一一 一

レ 　

594

990

　　

−一一

一一

一一9

レ

　　89

_｝

一一一

一

・

一一

・

_＞

　　　　

792 ・

一

一

一

一一

一

一

_→レ



693

−一一

一一一

和レ

₅₉₄

　 こ の よ う にすべ て

594

に到 達 しま す

．

　3

桁の カブ レカ

ー

数は

954

です

．

到 達は

5

回以

内

です

．

4

桁の数，

3

桁の 数 ともカ プ レカ

ー

数に 到

達

したの で

2

桁

もあ りそうです が， カ プレカ

ー

_{数 は あ りません}

_．

_調べ て み る とすぐ に解 りま

す

が ，

循環

し て しまい ます

．

　 カ プレカ

ー

数 ヱ

949

年

　

イン ドの

数

学

者

カ プ レカ

ー

に よっ て発 見 さ れ ま した

．

10

進 法では

7641

ですが ， 次の

結

果 が

得

ら れてい ま す

．

4

桁の

_g

進 数でカ プ レ カ

ー

の現 象が

起

こる のは

9 −

5r

（

r

冨

2

‘ ，s

は 奇 数 ）

の場 合に限る

．

カ プ レ カ

ー

数

は

（

3rXr

　

一

ユ

X4r

　

−

1

）

（

2r

）

と な り ま す

．

一

₈₂

一

N工 工

一

Eleotronio _Library