ボーダーレス時代のグローバル株式投資 ーカントリーからグローバルインダストリーへー

2007年 10月26日

金融工学研究センター

野村證券株式会社

デリバティブ プロダクト リサーチ グループ

大本 隆（[email protected]）

デリバティブ・プロダクツと

数理フ

ァイナンス

本論は筆者の個人的見解に基づ いており、野村證券の公式見解に 基づくものではありません。

-2-リスク（Risk）

„

リスクとは単なる危険を意味しない・・・

„

確実に予測することができない損失（金額で表示できない、または、蓋然的に予期される場

合は、ファイナンスの数理ではリスクとは言わない）

„

対象資産の価格や参照指数の確率的(ないしはカオス的）変化によってもたらされる

„

様々なリスク

„

事業リスク ・・・・・・企業活動におけるコストの増加、営業収益の変動、資産価値の変動など

„

金融リスク

„

マーケットリスク・・・価格やレートなどの予期しない変化のリスク

„

クレジットリスク・・・クレジット・クォリティの予期しない変化に関連して，価値（価格）が

変化するリスク

„

流動性リスク ・・・ ポジション（ポートフォリオ，資産と負債）の変更をする際のコスト

が増加するリスク（特に、クローズ時のアンワインンド・コスト）

＜注＞他にオペレーショナルリスク、システミックリスク等

マーケットでリスク移転（ヘッジ）

大数の法則による分散効果

-3-デリバティブとは何だろうか（1）

伝統的（トラディショナル）な投資手法

• 株や債券、不動産を購入する（ロング）

• 無いものを売ることはできない？→ 空売り（ショート）

または貸りて売る（レポ）

デリバティブを用いた投資手法

• オプション性（選択する権利）がある金融商品

• 何らかの参照資産に応じてペイオフが決まる金融商品

＜特徴＞

有効なリスク移転（オプションと保険は親戚） レバレッジを効かせたリスクの取り方 リスクとは・・・確率的な価格変動から生じる期待損失 資産価値 （企業価値） 負債 自己資本 クッションの役割_を果たす 債務や金利コ スト等 実物資産、金融資産、 営業収益、等

-4-デリバティブとは何だろうか（2）

上場物： 標準物、取引所取引、高（低？）流動性

例） 日経平均先物、日経平均オプション

金融市場： ＯＴＣ物（店頭取引）、相対取引

例） 特に、為替、金利物

＜標準物（プレーンバニラ）＞

フォワード(先渡), オプション, スワップ市場；大きい取引量、高流動性

＜エキゾティック物＞

バリアー、トリガー、ラチェット付（経路依存型）

仕組債、スワップション； 膨大な残高、低流動性

より収益性の高いプロダクツ組成へ

z市場出来高、取引量で示される換金性 z突然、流動性を喪失することがある（質への逃避）

-5-デリバティブとは何だろうか（3）

＜特徴的な例；オプション＞

z キャッシュ・フローの分解と合成が基本

→ ペイオフの非線形性

z 原資産（参照指数）が確率過程

→ ボラティリティ（価格変動性）が重要

K

S

T

(

)

(

,

0

)

max

S

K

K

S

T T

−

=

−

+

T

t

=

0

(

₋

) (

+

₋

₋

)

+

=

−

T T T

S

K

K

S

K

S

注）

Black-Scholes

Model

T

C

European Call

At

Put

Put-Call Parity

Call

＜注＞配当のない原資産

λ

Market price of risk

λσ

µ

= r

+

risk-premium

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₌

₊

−

+

=

+

=

dt

dB

r

dt

dW

W

B

r

t

S

dS

t t t t t t

σ

µ

σ

σ

µ

満期(maturity) (配当支払いの 無い)原資産の 瞬間的な価格変 化率（リターン）

-6-Call Option

-10 0 10 20 30 40 60 70 80 90 100 110 120 130 原資産価格 Pr em iu m Prem1 S-Kexp(-rT) Intrinsic Prem2

(

)

[

]

(

)

[

]

rT T Q rT T Q rT

Ke

S

K

S

E

e

K

S

E

e

C

− − + −

−

=

−

≥

−

=

[ ]

[ ]

T P T T Q rT

S

E

e

S

E

e

S

µ − −

=

=

デリバティブとは何だろうか（4）

満期 T= 2(年） 無リスク金利 r= 5% ボラティリティ σ= 20% 行使価格 K= 100 Intrinsic Value Time Value S

σ=20%

σ＞20%（S<100

で増加）

European Call Option

（underlying asset price）

0

=

t

At

＜注＞ • Black-Scholesの枠組では、 がタイムバリューを規定する重要な量である • 本来はボラティリティ・スマイル、スキューはSが所与でKの関数として与えられる T σ rT

Ke

−

K

現在(評価時点)

S

-7-出所：BIS OTC derivatives statistics 2006

デリバティブ・プロダクツの分類

店頭デリバティブ残高＝415兆ドル （想定元本ベース、2006年） エクイティ関連, 2% コモディティ関連, 2% その他, 10% 金利関連, 70% クレジット関連, 7% 為替関連, 10% 店頭デリバティブ総額＝9.7兆ドル （時価ベース、2006年） その他, 17% コモディティ関連, 7% エクイティ関連, 9% 金利関連, 50% クレジット関連, 5% 為替関連, 13%

„

株式デリバティブ（株価指数オプション、株価指数先物、エクイティ・スワップなど）

„

金利デリバティブ（金利オプション、金利スワップ、金利先物、FRAなど）

„

為替デリバティブ（通貨オプション、通貨スワップ、通貨先物など）

„

コモディティ・デリバティブ（商品先物（原油、金属）、コモディティ・スワップなど）

„

クレジット・デリバティブ（CDS,CDO等）

<店頭デリバティブ統計（ＢＩＳ）>

-8-デリバティブ・プロダクツの潮流

„

金融商品（フィナンシャル・プロダクツ）＆

グローバル・マーケット（グローバルな金融市場）

＜最近の潮流＞

z 90年後半以降の潮流として、金融業界においてデリバティブ・ビジネスのプレゼンスは徐々に高まり、 現在では大きな収益の柱になっている。 z 金利デリバティブが主流であった時期と比較して今日では、原資産クラスは多様化している。収益の 源泉の分散化（diversification）が図られている。 z デリバティブ・トレーディングは、伝統的な株（Equity）、債券(Debt)のトレーディングとは別個に、全て の資産クラスやビジネスのカテゴリーにアクセス可能な、グローバルでハイブリッドな着想になりつつ ある。 z プレイン・バニラ、エキゾティックを問わず、デリバティブ・モデルは差別化の源泉として、否応なく高度 化、複雑化、グローバル・スタンダード化を指向する。 z 仕組債やスワップ、オプション商品は多様化しており、資本市場（起債等ファイナンス）のビジネス、証 券化商品の組成が進化している。 z 資本市場では、ブリッジ・ローン、自己資本調達、あるいは、保険リスクや事業リスクの移転手法など、 様々な形態が出現すると考えられる。 z 商品開発は武器商人のビジネスに似て、ある種の近代兵器の開発競争を彷彿とさせる。また、デリバ ティブ・ハウスは装置産業的なビジネスであるとも言える。 z リスク管理上、キャピタル（自己資本）の充実と適切な最適化配分、P/Lとリスクの計測を徹底し、効率 的な経営が（株主、監査法人、監督官庁(FSA)からも）求められている。

-9-C(X)

発行体

Issure

投資家

Investor

Swap

House

L+α

証券会社

売却

元本100円

引受

C(X)

ヘッジ

金融市場

購入

資金調達

• 仕組債も、CB(転換社債)等の起債も、大枠としては似ている

• 債券仕立てなっているのと、スワップやオプション等とニュアンスが異なる

• 発行体の信用力を反映してスプレッドαが決まる（sub LIBOR; α<0）

• 特に過去10年間、円金利の低水準の環境下で、仕組債は隆盛

• クーポン エンハンスメント（見栄え良くする）ためにデリバティブを組み込む

• 投資家は暗黙に何がしかのオプションを売っている

仕組債（structured note）

スプレッド

；

仕組クーポン

;

)

6

(

);

(

α

M

LIBOR

L

X

C

＜注＞

• MTN (Medium Term Note) は、文字通りの中期という意味ではなく、短期から超長期まである（発行が容易な形態） • 発行体がSPC (Special Purpose Company)になる場合もあるが、相対的に運営・発行コストは高くなる

グローバル化／ ボーダーレス化

-10-＜プライシングの前提＞

z

市場の無裁定性（

No Arbitrage）

→

無リスクで確率１の収益は得られない。

（このとき、同値マルチンゲール(martingale)測度が存在する。）

z

複製可能性（自己金融取引による）

→

原資産と割引債（リスクフリー資産）をリバランスする（期中の

キャッシュフロー流入・流出がない）適当な自己金融取引戦略

で、デリバティブのペイオフを複製できること。

＜注＞ 任意のデリバティブを複製できる場合、完備市場（complete market) であると呼ぶ。このとき、 同値マルチンゲール測度は一意的で、また、無リスク資産が基準財(ニューメレール)であるため、リスク 中立測度という。

z

デリバティブ（派生証券）＝自己金融取引のポートフォリオ価値

z

デルタヘッジ（Delta Hedge）戦略

プライシング（価格付け）の考え方 ）（1）

-11-)

(

)

(

)

(

)

(

_{1 1 2 2} 1 n n n j i i

D

t

c

D

t

c

D

t

c

D

t

c

V

=

∑

=

+

+

+

=

L

ｔ（年） ０ e.g.

spot rate (zero coupon rate) r

default free, deterministic

100

+

= c

c

_n

c

_c

∆

t

c

c

1

t

t

₂

t

3

t

4

t

n t t u

du

r

t

D

Ν

Ν

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

=

∫

0 0

exp

)

(

キャッシュフロー （クーポン、元本） ＜注＞ スポットレート(ゼロレート) は一定ではなく、期間構造(term-structure)がある。自明だが、金利と債券価格の変動は逆向き

プライシング（価格付け）の考え方 （2）

) ( ln 1 T D T r_T =− 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% ディスカウント・ファクター ゼロ・レート

格

の額面１円の割引債価

満期

_i i

t

t

D

(

)

:

≠

=

＜ディスカウント・ファクター＞

確定的なディスカウント・ファクター 額面１円の割引債価格 確率的なディスカウント・ファクター 額面１円の割引債価格

z

固定利付債＝割引債のポートフォリオ

-12-(

)

(

S

T

S

)

Q

(

S

T

S

)

i

Q

S

T

S

Q

T

D

i m i i i S_i

∀

≥

∈

=

∈

∈

×

=

Α

∑

=

0

)

(

,

1

)

(

)

(

)

(

1

＜

Arrow-Debreu証券＞

z

デリバティブ＝

AD証券のポートフォリオ

n i S S n S m j S i

c

c

c

c

U

=

∑

Α

=

Α

+

Α

+

+

Α

= 1 2

L

2 1 1 在価値 を支払うＡＤ証券の現 円 り、 であるような場合に限 が での原資産価格 満期 1 ) (T S_i S T

(

)

[ ]

(

)

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

−

∂

∂

=

−

∂

∂

+ ≤ +

))

(

(

)

(

1

)

(

2 2

T

S

K

T

S

K

K

T

S

K

K

ST K

δ

e.g. ディジタル オプション の一種

[ ]

⎜⎜

⎝

⎛

=

=

=

t t t t Q t t t t t

X

F

S

S

E

F

dW

t

X

X

dX

,

)

,

(

σ

＜注＞ Local Volatility (LV) model の一種；

パス毎の一意性のある強解が存在すれば議論には十分で、 必ずしも指数マルチンゲール（或いは、幾何Brown運動） である必要はない。 確率微分方程式(SDE)

(

)

種の事象 における到達確率 リスク中立測度 m m i S Q i =1,L, ; ＜注＞ 弱微分（超関数の意味で） δはDiracのδ超関数（Dirac測度） 推移確率密度の情報を表す

プライシング（価格付け）の考え方 （3）

-13-＜

European型デリバティブ価格＞

具体的には、

積分表示すると、

[

(

(

))

]

)

(

T

E

S

T

D

V

=

Q

ϕ

満期Tでのペイオフ関数

∑

=

∈

=

m i i i

Q

S

T

S

T

D

V

1

)

)

(

(

)

(

ϕ

∫

₋∞_∞

≤

<

+

=

D

(

T

)

(

x

)

Q

(

x

S

(

T

)

x

dx

)

V

ϕ

[ ] [ ]

⎜⎜

(

₍

)

₎

⎝

⎛

∉

∈

=

=

∈ ∈

∑

i i S x i S T S i

S

x

S

x

c

T

S

i i

if

0

if

1

1

1

))

(

(

_{( )}

ϕ

x

Q

x

dx

x

x

∂

∂

=

∫

−∞∞

)

(

)

(

)

(

φ

φ

ϕ

∞

=

=

=

∞

− = m i i i m i i

s

s

s

S

S

),

,

[

)

,

0

(

1 1

U

t=0_{でSにいるところから出発して、時点} Tで原資産価格がxの近傍に推移する確率 （測度Qの下で） ＜注＞ well-defined でありさえすれば良く、連続なBrown運動を用いたSDEで状態変数（あるいは株価）Sの過程が表される必要はない (Levy過程でもよい）。 現実の確率測度(実測度)Pの下で (Qと同値)で観測するパスとは異 なり、分布も変わリ得る。但し 、対数正規(e.g. 幾何Brown運動) では平均がシフトするだけ

プライシング（価格付け）の考え方 （4）

区分的にAD証券で表される

-14-Ｓ ｔ＝Ｔ ｔ＝０ Ｓ_３ Ｓ_２ Ｓ_４ Ｓ_５ Ｓ_６ Ｓ_７ Ｓ_８ Ｓ_９ Ｓ_１

派生証券の

ペイオフ

payoff

推移確率（離散的）

推移確率（連続的）

満期Ｔでの原

資産価格S(T)

（現在０での）原資産

スポット価格

（現在０での）

派生証券価格

upfront premium

原資産の

サンプルパス

[

(

(

))

]

)

(

T

E

payoff

S

T

D

V

_E

=

Q e.g.

(

₋

)

+

+

=

a

b

S

(

T

)

S

0

payoff

プライシング（価格付け）の考え方 （5）

＜基底による展開（

expansion）＞

Fourier級数展開、Hermit多項式展開を思い出してみよう・・・複製戦略を表すもの・・・

伊藤の表現定理［Hilbert(ヒルベルト)空間でのRiesz（リース）定理の応用］

-15-の価値がある では、 u u u S r t V S = 0(1+ ∆ ) 0 0 = t t1=∆t 0 S ) 1 ( 0 r t S Sf = + f∆ の価値がある では、 _d d d S r t V S = ₀(1+ ∆ ) t S q q − 1

バイノミアル・ツリー （1）

デルタヘッジ(数値微分) r; リスクフリーレート（短期金利,例；1%） N; 無リスク資産価値（現在価値1円） S; 株価（原資産価格）（例；100円） K; 行使価格(例；95円) x; リスク資産の株数 y; 無リスク資産への投資金額（負値は調達） ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∆ + + = ∆ + + d d u u V t r y xS V t r y xS ) 1 ( ) 1 ( ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ∂ ∂ = − − = ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ d u d u u d d u d u S S S V S V y S V S S V V x u f d S S S < < を仮定する

[ ]

t Q d d u u d u d u d u u d V E V q V q S S S S V S S S S V y xS ∆ = + = − − + − − = + ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + = + d d u u V y S x V y S x ~ ~ ~ ~ ) 1 /( ) ( ~ t r Z Z PV Z = = + ∆ 現在価値PV(・) 即ち、 0 , 1 ≥ = + d u d u q q q q ＜二項モデル＞(

Binomial Tree

) − １期間モデル 自己金融複製戦略 リスク中立確率 複製ポートフォリオ さもなければ、裁定機会が生じる

[ ]

0 ~ ~ ~ S S q S q S EQ _{t u u d d} = + = ∆

-16-の価値 では、 uu uu V S L 0 0 = t t1=∆t 0 S t S u S t t2 = 2∆ d S uu S ud S du S dd S の価値 では、 ud ud V S L の価値 では、 du du V S L の価値 では、 dd dd V S L

バイノミアル・ツリー （2）

) 0 ( 1 ) 1 ( ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) ( )) ( ( ) ( 0 = ∆ + − + = ∆ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + − + = ∆ + − + = = = t t r V q qV V t t t r V q qV V t r V q qV V T t S payoff T V d u dd du d ud uu u T

ω

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = − = = = = = 2 2 0 ) 1 ( , 1 ) 1 ( , , 1 q Q q Q q q Q Q q Q q Q Q dd d du ud u uu

[

]

[

]

∑

= = ∆ + = n j j T j T Q Q V Q T V E T V E t r V 0 , , 2 0 ) ( ) ( ) 1 ( 1 ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≠ ≠ du ud du ud S S V V 一般にud とduは 異なるノードなので、 での状態数は ) maturity ( n t T = n 2

-17-の価値 では、 _uu uu V S L 0 0 = t t₁=∆t 0 S t S u S t t₂ = 2∆ d S uu S ) ( _du ud S S = dd S の価値 ) ( _du ud V V = L の価値 では、 _dd dd V S L

バイノミアル・ツリー （3）

) 0 ( 1 ) 1 ( ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) ( )) ( ( ) ( 0 = ∆ + − + = ∆ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + − + = ∆ + − + = = = t t r V q qV V t t t r V q qV V t r V q qV V T t S payoff T V d u dd ud d ud uu u T

ω

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = − = = = = 2 2 0 ) 1 ( , 1 ) 1 ( 2 , , 1 q Q q Q q q Q q Q q Q Q dd d ud u uu

[

]

[

]

_∑

= − − = ∆ + = n j j T j n j j n Q Q V q q C T V E T V E t r V 0 , 2 0 ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( 1 ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = du ud du ud S S V V CRRでは再結合す る二項ツリーなので、 での状態数は ) maturity ( n t T = 1 + n

＜ノード再結合（recombine）する二項ツリー＞−

CRR (Cox-Ross-Rubinstein) model

＜注＞ 実務上は、バイノミアル より、むしろトリノミア ル(三項)ツリー (PDEを 近似するFDMの一種)が 用いられるが、これは 完備なモデルではない 0 S

-18-t t t d X x f dX x f X df ₂ 2 2 1 ) ( ∂ ∂ + ∂ ∂ = u t u t

M

dX

M

−

=

∫

0 0

ψ

0 2 4 6 8 10 time -6 -4 -2 0 2 4 6 n a i n w o r Bn o i t o m t W 0 2 4 6 8 10 time 10 10.5 11 11.5 c i r t e m o e gn a i n w o r Bn o i t o m

(

)

[

]

[ ]

t t t t t S E F W t F S = + − = exp σ2 /2 σ

伊藤 清 京大名誉教授

第１回ガウス賞を授賞

国際数学連合（IMU、2006年）

ブラック・ショールズ・（マー

トン）モデルを構築した

ScholesとMertonは1997年

ノーベル経済学賞を受賞し

た。 これらはBrown運動を

扱う伊藤積分(1942) に基

づいて理論構成したもの

„

伊藤の補題

„

伊藤の表現定理

バシェリエは最初に、確率解析の

基礎を築いた(1900)、アインシュタ

インは拡散方程式を与えた(1905)

Brown運動 幾何Brown運動

Bachelier Finance Society 世界大会(第4回)は今夏 東京で開催

伊藤確率解析 (Ito Calculus)

Gauss

Prize

Fischer Black

Kiyoshi

Ito

Gauss

Prize

-19-(

)

[

]

(

)

[

]

)

(

)

(

e

)

(

e

)

(

e

)

(

)

(

e

0 0 + − − + − − − + + −

−

−

−

=

−

=

−

=

−

=

d

N

S

d

N

K

T

S

K

E

BSPut

d

N

K

d

N

S

K

T

S

E

BSCall

rT Q rT rT Q rT

(

)

∫

_−∞ − ±

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

±

=

d rT

d

d

N

T

T

Ke

S

d

ξ

ξ

π

σ

σ

2

exp

2

1

)

(

2

1

)

/(

log

2 0 標準正規分布関数 ) log var( S_t t = ∆ ∆ σ に注意して、日次データから求め た標準偏差σ（年率換算）を HV(ヒスト リカル・ボラティリティ) という。

ブラック・ショールズ(B-S)・モデル

Black-Scholes(B-S)-Merton Model z 市場は摩擦がなく、また、無裁定である z 原資産価格は幾何ブラウン(Brown)運動で表される z パラメータ r, σ、μは一定とする B-S 公式(closed form；閉形解) Black-Scholes偏微分方程式(PDE) t t t t t t dW rdt dt dB dW r dB dt S dS

σ

θ

σ

µ

θ

σ

µ

+ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = − = + = ,

(

)

(

max

(

,

0

)

)

)

,

(

0

)

,

(

2

1

2 2 2 2

K

S

K

S

S

T

f

S

t

rf

S

f

S

S

f

rS

t

f

T T T

=

−

≡

−

=

−

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

+

σ

満期Tにおける行使価格K のヨーロピアン・コール・オ プションのペイオフ関数 <B-Sモデルの拡張> z 配当が存在する原資産の 場合のB-Sモデル z 変数係数、複数資産の下 でのB-Sモデル z Black 76 モデル(フォワー ドを原資産とする) z Jumpを含んだB-Sモデル 金利ｒやボラティリティσは含まれる が、期待リターンμは含まれない。 t W とは、 が標準 Brown運動になる、 実測度と同値な測度 Q

-20-感応度（Greeks）

<European Call (B-S)>

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

)

(

)

(

0 2 2 2 0 0 0 2 0 2 0 + + − + − + − − − − + + +

=

∂

∂

−

=

∂

∂

∂

=

∂

∂

=

∂

∂

+

=

∂

∂

≡

Θ

=

∂

∂

≡

Γ

=

∂

∂

≡

∆

d

d

d

T

S

C

d

d

S

C

d

T

S

C

d

TKe

r

C

d

Ke

d

T

S

T

C

T

S

d

S

C

d

N

S

C

rT rT C C C

φ

σ

σ

φ

σ

σ

φ

σ

φ

φ

φ

σ

σ

φ

Delta Gamma Theta Rho Vega Vanna Volga

( )

2

)

,

(

)

,

(

2

)

,

(

2

)

,

(

)

,

(

S

T

S

S

C

T

S

C

T

S

S

C

S

T

S

S

C

T

S

S

C

C C

∆

∆

−

+

−

∆

+

≅

Γ

∆

∆

−

−

∆

+

≅

∆

[ ]

~

(

)

1

)

(

0 0

K

S

Q

e

S

S

E

K

S

e

S

S

S

E

T K S rT T Q T rT T T Q C T

⎥

=

≥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

∂

∂

∂

∂

=

∆

≥ + − i) 有限差分(Finite Difference) ii) Pathwise 法

(

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

±

=

− ±

2

exp

2

1

)

(

2

1

)

/(

log

2 0

ξ

π

φ

σ

σ

d

T

T

Ke

S

d

rT

iii) Likelihood Ratio 法

[

]

dy

S

T

y

S

K

y

e

T

S

W

K

S

e

E

rT T T T rT T Q C

∫

−∞∞ + − + −

∂

∂

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₌

−

×

=

∆

)

0

,

|

,

(

)

(

)

(

π

σ

ω

ω

δ δ

„

Greeks

の計算法

t W W~_t = _t −σ が 標準Brown運動に なる同値な測度

-21-B-S方程式の導出

L + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = t t t t t dr r C d C S d S C dS S C dt t C dC

σ

σ

2 2 2 1 L + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = t t t d S S G dS S G dt t G dG ₂ 2 2 1 実務的な要因分解 （時点が変われば、 パラメータが変わる） Higher order の微分で説明する Ｇ： Greeks

„

伊藤の

lemma dt S S d S t C C dt S H C r S d S C dS H S C dt t C S H C d t t t t t t t t t t t t t 2 2 2 ) ( , ) , ( ) ( 2 1 ) (

σ

= = − = ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = − 0 ) , ( 2 1 2 2 2 2 − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ S t rC S C S S C rS t C

σ

Brown運動による価格 変動リスクをヘッジする リスク・フリー期待運用 （採算価格と意味では、ネットでの調達コスト） ) , ( _t t t S S C H ∂ ∂ = ＜注＞ 微小区間の間ではリバランスしない（伊藤積分）、複製戦略の 議論を経れば、中間的な仮定は実は結果である

デルタ ヘッジ

B-S PDE (典型的) ) (ω t S 任意の原資産価格の パス（path） で成立

市場の無裁定性

（w/

B-Sモデルの仮定）

„

しかし、実際は・・・・

更に、その他の 非線形なコスト項

„

二種類の市場価格の考え方

z 公正価格 （fair price） z 採算価格 (break-even price

)

„

市場の完備化

z ボラティリティ（バリアンス）スワップ z 配当スワップ

„

その他の評価手法

z 動的計画（ガンマ制約等） z 効用関数アプローチ（非完備市場）

-22-B-Sモデルの単純な拡張

„

コンビニエンス・イールド

（

Convenience Yield）

取引不能な資産（幾何Brown運動）の上に書かれたデリバティブが と表されるとき、 と表せば、伊藤のlemmaを用いて、 ) , (S t u U_t = _t t U S U S U U U U ∂ ∂ = Θ ∂ ∂ = Γ ∂ ∂ = ∆ , ₂ , 2 t t U t t U t U t U t t t t U U t t dW U S dt U S S dW dt S dS dW dt U dU

σ

σ

µ

σ

µ

σ

µ

∆ + Γ + ∆ + Θ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = + = 2 2 2 1

(

U

)

t F t U t U t U t F t U U rU S S r rU S S − Γ + ∆ − − + Θ = − Γ + ∆ − + Θ = 2 2 2 2 2 1 ) ( 2 1 ) ( 0

σ

σ

λ

λ

σ

σ

λ

µ

σ

µ

λ

λ

σ

µ

r r U U U − = ≠ = −

[ ]

(

β

α

)

σ

β

β − = = = + = − r e S S S E F dW dt S dS t T t t T Q t t t t ) (

σ

λ

λ

α

=

(

_U

−

)

リスクの市場価格

Market price of risk

コンビニエンス

イールド

完備市場では一致

(

λ

_U

=

λ

)

Black-Scholes方程式に帰着 （実務的にしばしば取り扱われる） ) ( cost strage ; ) ( ; ) ( ) ( contango ; 0 ) ( ion backwardat ; 0 保管コスト 現物を保有する便益 での期待成長率 測度 コンタンゴ バックワーデーション c yield e convenienc c r Q α α β β β − + = > < 単位リスク当たりの 期待超過収益率 （期待値；実測度下）

-23-B-S

モデルの拡張

変数係数（決定論的）

• 決定論的なタームストラクチャー（ゼロ・レート、クレジット・スプレッド(CDS)が時間tの関数) • 局所ボラティリティモデル（LV）ｰボラティリティが状態変数と時間の関数

確率的パラメータ

• 金利・為替・期間構造モデル (IR/FX term structure model)ー HW, BDT, CIR, LMM, HJM • クレジット・リスクモデル ー 構造モデル, 誘導モデル(確率強度モデル)

• 確率的ボラティリティモデル（SV）ー Heston, SABR w/jump

確率微分方程式、経路依存、制御問題

• PDEで記述できないモデル 過程 • SPDE

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

=

+

=

=

−

∂

∂

+

∂

∂

∂

+

∂

∂

∫

∑

∑

= = t T T t s Q d t t t t i d i i j i d j i ij

X

X

t

u

ds

X

s

E

x

t

u

dW

X

t

dt

X

t

dX

x

t

u

x

t

x

u

x

t

x

x

u

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t

t

u

)

,

(

)

,

(

exp

)

,

(

)

R

(

)

,

(

)

,

(

0

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

2

1

1 2 1 ,

γ

α

β

γ

β

α

に値を取る （例）

X

t

=

(log

S

t

,

r

t

,

λ

t

,

σ

t

)

より高度なプライシング・モデル

；Lipschitz連続、可積分性、 正値性、強圧性、 ；Lipschitz連続、可積分性 ；非負値性 γ β α

-24-最近の傾向 IT的性質 1970 1980 1990 2000 ＜注＞ ハイブリッドな手法、例えば、treeと解析解を複合的に使うなどのアイディアもある。

数値解法の進化

z コンピュータ・リソースに強く依拠する

z 数値計算テクノロジー研究開発は日進月歩

z IT技術（ハードウェア、ソフトウェア）の急速な進歩が金融工学の発展に多大に貢献

モンテカルロ法

(Monte Carlo)

z エキゾティック条項、多資産／多ファクター物に強味がある（American型は難しい） z 径路依存型Americanオプションの問題も研究されている（例：LSM(最小2乗MC）) z Malliavin解析など高等確率論の応用研究がされはじめた z コンピュータ・パワーの膨大な進化、Grid Computing (並行処理計算)等

z LDS(差異の小さい点列；Low Discrepancy Sequence)の応用

ツリー

(Tree, Lattice)／PDE法

z 偏微分方程式(PDE)の解法として、有限差分法や有限要素法がある z Americanオプション評価に強味、径路依存性は次元拡大法を要する z ツリーは金利系のモデルで発展してきた。しかし、ナイーブな手法では高々３，４次元程度 の状態変数の問題にしか対応不可

解析的手法（閉形解

,Closed form）／数値積分法

z （解析的手法が効く場合）収束性の高い、精密な計算手法。BSモデル（幾何Brown運動）周 辺では強力 z 低次元の数値積分は可能、特に、1次元積分では非常に高精度で収束性がよい（DE, GQ） z 閉形解(closed form）を用いた解析的な近似

-25-（単に理論価格算出のみならず パラメータ感応度、リスク量も計算）

プライシング・モデルXYZ

モデル・パラメータ（α、β、γ…）

＜マーケット・データ＞

•

フォワード価格

• プレーンバニラ（ヨーロピアン）オプション

（インプライド・ボラティリティ）

＜キャリブレーション＞

モデル・パラメータ推定

(マーケットとモデル乖離誤差の最小化)

＜エキゾティック商品＞

価格評価

＜リスク管理＞

標準物を用いたヘッジ

（信用枠、VaR、デルタ、ベガ・ リスク、ストレス・テスト）

By XYZ（α、β、γ…）

( ) ( ) 2 Market , , XYZ , ,

min

∑

−

k k k k

V

V

w

α β γ γ β α <注> 現実にデリバティブの市場価格が得られれば、リスク中立化法によって、パラメータを逆算して推定（インプライド・ボラティリティ 等）をする操作を、頻繁に行う。（有限個のサンプルであるから、真のモデルが特定はできないが）。キャリブレーション（パラメータ推 定）が安定的にできるなら、価格評価やリスク管理が可能になる。

デリバティブ実務上の課題(1)

-26-∑

デリバティブ実務上の課題(2)

PV（α(t

₁

)、β(t

₁

) 、γ(t

₁

)…） ｰ PV（α(t

₀

)、β(t

₀

) 、γ(t

₀

)…）

=

(α、β 、γ…) の期間(s,t]に関する変位の寄与

{

} {

}

)

(

)

(

)

)(

,

(

)

)(

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 残差項 高次微分項

+

+

−

∂

∂

+

−

∂

∂

=

−

+

−

=

−

=

∆

∑

β

β

β

α

β

α

α

β

α

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

PV

PV

PV

PV

PV

PV

PV

PV

V

＜分解法１＞

＜分解法２＞

z

Ｐ/Ｌ(損益)計算

（要因分解含む）

z

リスク計算

（要因分解含む）

z

ストレス・テスト

（極端なケース）

„

EOD

(

End of day

;日締処理)

z

クレジット・リスク、

カウンター・パーティ

リスク

（ネッティング・エクスポー ジャー、リザーブ等） 全ての金融商品に関して ポートフォリオ・ベースで のP/L、リスク管理は多大 な計算コストが発生する。 <注> Ｐ／Ｌ、リスク計測はエンジニアリング的な要素が強く、厳格な定義があるわけではないが、FSA（金融監督当局）的に言えば、 自己資本規制(e.g. バーゼル)などより厳密化、整合性と運用の確からしさが求められるため、多大な計算処理、文書管理、運用コスト が生じる

z

モデル検証

（要因分解含む）

z

取引戦略検証

（ヘッジ・シミュレーション） PVは金融商品 の現在価値 時価評価(marked to market)

-27-K

S

T

(

)

(

,

0

)

max

_T T T

S

K

S

K

P

−

=

−

=

+

0

K

T

S

T T

P

C

−

0

満期Tにおいて 満期Tにおいて

デリバティブ・プロダクツ （1）

European Put Put Call Partiy

K

S

T

(

)

(

,

0

)

max

S

K

K

S

C

T T T

−

=

−

=

+

0

European Call (payoff at Maturity)

K

S

0

(

S

T

K

)

C

C

₀

=

₀

,

,

0

現在0において

European Call Premium

-28-K

S

T

0

満期Tにおいて

デリバティブ・プロダクツ （2）

Digital Option (cash-or-nothing call)

Range Forward (Zero Cost-type)

0 1 K K₂ S 高ボラティリ ティ 低ボラティリ_ティ プレミアム(価格) 0 1 K 2 K 高ボラティリ ティ 低ボラティリ ティ S プレミアム(価格）

1

償還金 1 τ T 0 H S 3 τ 想定元本 × T L_T 2 τ ) (t S ) ( ) (τ₂−τ₁ + −τ₃ = T L_T 但し、 時間t Range Accrual Note

Option Spread ( Spread Option )

≠

(滞在時間)

[S_T≥K]

-29-0

K

H

S

Premium High Volatility 0 Low Volatility

Premium Reverse KI-Put Reverse KO-Call

[ ]

(

)

[

+

]

≤ − ( ) 1 ) , 0 ( T E K S T D Q _{τ T} D(0,T)EQ

[

1_[τ>T]

(

S(T)− K

)

+

]

} ) ( | 0 min{t > S t = H = τ } ) ( | 0 min{t > S t =L = τ

K

L

デリバティブ・プロダクツ （3）

1円償 還 H τ L T 0 H S t t L τ 償還金 なし Double Barrier Digital

0

K

S

Premium

Single Barrier KO-Call

[ ]

(

)

[

+

]

> S T − K E T D(0, ) Q 1_{τ T} ( ) } ) ( | 0 min{t > S t = H = τ

H

First Hitting Time (到達時刻)

} , min{τ_H τ_L

τ =

(Down and Out Call)

(Up and Out Call) (Down and In Put)

-30-（日経平均オートマチック・コーラブル債） （”callable” とは金利デリバティブではAmerican ないしBermudan の意味であるが、 ここではtriggerの意味。オプションでなくオートマチックに早期償還が発生）

t

1

t

t

₂

t

₃

T

=

t

₄ 円 000 , 13 円 000 , 18 円 000 , 17 日経平均

0

2

t

で早期償還 初回クーポン 2回目の利払以降 クーポン 100 000 , 17 ) ( × T S 円 100 円 100

(

S(T)>17,000

)

(

τ

>T

)

(

S(T)≤17,000&τ ≤T

)

000 , 17 ST 0 100 償還価額 満期Tにおいて バリアにヒット した場合 バリアに一度もヒット しなかった場合

デリバティブ・プロダクツ （4）

Nikkei 225 Auto-Callable ＜注＞ Long position = 買い（買い持ち） Short position = 売り（空売り） クーポン(イールド) エンハンスメントの一例

-31-basket

100

1

)

0

(

)

(

1

)

(

of"

worst

"

100

1

)

0

(

)

(

min

)

(

1 1 , , 1

L

L

L

×

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

×

=

×

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

∑ ∑

= = = n k N i i k i i i N i

S

t

S

N

n

t

X

S

t

S

t

X

期中償還のトリガー起動

t

累積支払クーポン 0

t

t

₁

t

₂

t

₃

t

_x

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = + = + = + + + TARN Spread -CMS ; 2 20 ) ( TARN F/X Power ; ) ( / ) ( ) ( TARN Equity Power ; ) ( / ) ( ) ( 0 0 α β α β α y CMS y CMS t X t FX t FX t X t S t S t X j j j j j % 10 = τ ε

t

t

t

_x

=

₄

−

∆

4 3

t

t

t

t

_x

=

+

∆

_ε

<

エクイティTARN IR/FX-TARN 原資産（個別株式など）の場合、Putショート型では、 行使価格以下の場合、現株引渡しもある 早期償還（キャッシュ・セトル）

(

)

redemption

early

)

(

1

⇒

≤

+

=

∑

= + k j j k k

c

t

X

c

τ

β

α

デリバティブ・プロダクツ （5）

TARN (TArget Redemption Note)

„ 更に変則的なペイオフのケースもある(e.g. Snowball, Thunderball)

„ リバース・フローターのケース （K−L）+、スプレッド・オプションの場合もある（CMS spread)

„ ワースト・オブ（Worst of, Least of )型を参照指数とするケースもある（多通貨TARN, エクイティ TARN）

„ (スワップハウスによる) コーラブル条項(Bermudan)が付帯したケースもある

期中償還（償還金）

（早期償還トリガー）

-32-・ ・ ・ AP% DP% 100% 0% Mezzanine Individual KI Puts yr 1 2yr 3yr yr 4 100 70 V DP AP

Expected loss of portfolio

Loss of Mezzanine

デリバティブ・プロダクツ （6）

0 10 20 30 40 50 50 60 70 80 90 100 プレミアム 10% 20% 30% ボラティリティ T=1(年)

„ CDOと類似の構造（CDSでなく、EDS(Equity Default Swapーノックイン・デジタル)の型もある）

„ シンセティック・シングル・トランシェ（e.g. エクイティ(Equity), メザニン(Mezzanine)）

„ ポートフォリオの毀損額は構成銘柄のReverse KI Putのバスケット

ECO (Equity Collateralized Obligation)

Loss of Portfolio Probability of loss

-33-ボラティリティの構造 （1）

)

,

(

ˆ

σ

_IV

K

T

σ

=

インプライド・ボラティリティ

=

)

ˆ

;

,

,

,

,

(

S

K

T

r

y

σ

BS

公式

ヨーロピアン オプション市場価格

Market

BSPut

r

T

K

S

BSPut

Market

BSCall

r

T

K

S

BSCall

@

)

ˆ

;

,

,

,

,

(

@

)

ˆ

;

,

,

,

,

(

=

=

σ

α

σ

α

„ ブラック・ショールズ式の仮定は理想化された世界で、現実的には妥当と言い難い仮定が含まれている 倒産した企業の株は0円 原資産（例えば株式）は正値 実際には離散的な取引 原資産が連続的に取引される 実際に支払われるのは数日後 満期＝現金支払日という仮定 空売り規制銘柄もある 原資産の空売り(short sale)可能 配当は離散的（年に数回） 配当は連続的に支払われる 単位株までしか分割できない すべての証券が任意の単位に分割可能 実際には存在する 取引コスト、税金がない 収益率の分布は正規分布とはいえない 原資産価格の収益率が正規分布に従う 時間と原資産価格、満期と行使価格に依存している ボラティリティ（収益率の標準偏差）が一定 金利は期間構造を持っている 金利が一定 現実 ブラック・ショールズ式の仮定

-34-σ

S K x= スマイルでは両端が上昇

0

(ATM) 1 = x

ボラティリティの構造（2）

右下がりのスキュー (出所；Bloomberg) „ 右上の図は、（インプライド）ボラティリティー・サーフェスの断面をとったもの（満期Tでスライス）。 一般に、足元のボラティリティは高く、長年限になるほど低下傾向にある（特にエクイティでは） „ スマイル(smile)は現在値より行使価格が高くあるいは安くなればなるほど、ボラティリティが 高くなって笑っているように見えること（正確に言えば、両翼はウィングが形成され、発散するこ とはない） „ スキュー（skew）とは、非対称的に、行使価格が高くなればなるほど（あるいは安くなればなる ほど）、ボラティリティが低くなることをいう。 „ ボラティリティの表示方法は必ずしも行使価格Kの関数とならず、FX(為替)のケースではリス ク・リバーサルやバタフライを用いたデルタ表示（例：25%デルタ、50%デルタ）。

-35-ボラティリティの構造（3）

1M 5M 9M 24M 80 85 90 95 100 _{105 110 115 120} 0 10 20 30 40 50 日経平均IVサーフェス(2007/10/16) 40-50 30-40 20-30 10-20 0-10 (%) 日経平均IV (2007/4/2) 0% 10% 20% 30% 40% 50% 80 85 90 95 100 105 110 115 120 1M 3M 6M 12M 2Y 3Y 4Y 日経平均IV (2007/8/1) 0% 10% 20% 30% 40% 50% 80 85 90 95 100 105 110 115 120 1M 3M 6M 12M 2Y 3Y 4Y 日経平均IV (2007/10/16) 0% 10% 20% 30% 40% 50% 80 85 90 95 100 105 110 115 120 1M 3M 6M 12M 2Y 3Y 4Y 100 0 × = S K x ＜出典＞野村證券金融工学研究センター

-36-ボラティリティの構造（4）

50% _75% 100% _125% 150% 0% 10% 20% 30% 40% vol K/S₀

Vol Surface WTI($)

0 1y 2y term ＜出典＞野村證券金融工学研究センター „ ボラティリティ構造 „ 「プレーンバニラな」 ヨーロピアン オプション（プットとコール） の価格はボラティリティσについて単調増加なので、価格に 整合するインプライド ボルを一意的に算出できる。 „ ブラック ショールズ(BS)公式の仮定には非常に理想的であ り現実的には妥当とは言い難い仮定がかなり含まれる。 „ しかし、その一方で、市場価格のインディケーションには、 BS公式で逆算したインプライド ボラティリティでの表示法が 確立している。 „ IVを行使価格の関数として、1次係数をスキュー、2次係数を スマイルという（些か不正確な表現ではあるが）。 „ コモディティのみならず、金利、為替(FX)、エクイティ（株式） でもボラティリティ・スキュー、スマイルに関するモデル研究 がなされている。 „ Delta の定義法 „ Vegaを経由した微分（chain rule）を使うべきか否か(sticky-delta) „ スポット価格が変動してもボル構造が変化しないケースがあ る „ バスケットやスプレッド・オプションでは相関構造が問題に

-37-注） と略記することがある。

数理ファイナンスの基礎（1）

[

]

(

)

(

X

)

X

martingale

N

n

X

E

X

n n n n n n

が）

は（或いは

Λ

⇔

=

∀

Λ

=

₋ −

,

,

,

2

,

1

1 1

L

｛Λ_n

｝

_{n＝0,1,・・・}をσ−集合族の系列とし、増大族であるとする。 直感的には、時刻nまでに観測できる事象の全体と捉えればよい。 （フィルトレーション；filtration）

[

]

[

Λ

−1

]

=

[

[

Λ

]

Λ

−1

]

=

[

Λ

−1

]

=

−1

⇒

Λ

=

n n n n n n n n

X

Z

E

Z

E

E

X

E

Z

E

X

条件付期待値はマルチンゲール（tower property） ｛Ｍ_n ｝_{n＝0,1,・・・}をマルチンゲール、 ｛H_n

｝

_{n＝0,1,・・・}を可予測（predictable）な列、 すなわち、HnがΛn-1可測であるとする。

(

n=1,2,L

)

賭の公平さの概念

｛Ｘ_n ｝_{n＝0,1,・・・}もマルチンゲール 条件付期待値が、過去の原資産価格の履歴 に依存せず、足元の原資産価格だけに依存 する場合、原資産価格はマルコフ(Markov) 性を持つ。

マルチンゲール

_(Martingale)

マルチンゲール変換

(

L

)

L

,

2

,

1

, 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0

=

−

=

∆

∆

+

=

∆

+

=

∆

+

+

∆

+

=

=

− = =

∑

∑

n

M

M

M

H

M

M

H

M

H

M

H

M

H

M

H

M

H

X

M

H

X

n n n n i i i n n n i i i n n n

[ ]

[

n

]

n Z E Z E = Λ

-38-数理ファイナンスの基礎（2）

Black-Scholes (BS) model

原資産は幾何Brown運動に従う ＜注＞ • 原資産価格（幾何Brown運動） = フォワード価格×RND（指数マルチンゲール） • 幾何Brown運動のべき、他の幾何Brown運動との積や商（為替レート、無リスク資産、累積配当、クレジットファクター）も幾何Brown運動 • 同値な測度とは、双方向に絶対連続、すなわち、どちらの測度でも零集合は同じ（RNDの逆写像も定義できる）

[ ]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

=

=

∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − T T T T T

dQ

Q

d

X

E

dQ

dQ

Q

d

x

Q

d

x

X

E

ˆ

)

(

)

(

)

(

ˆ

)

(

)

(

ˆ

)

(

ˆ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

CMG定理より、 と同値な測度 の下で、 は標準Brown運動である。指標関数と併せて、四則演算により オプション価格を計算できる。 T W T T T

dQ

Q

d

− θ −θ

=

( 2/2)

e

ˆ

t

W

W

ˆ

_t

=

_t

+

θ

ℜ

∈

θ

任意の に対して、 RND(Radon-Nikodym Derivative); で変換した同値な測度；

Qˆ

_T の下で、 は、標準Brown運動である。 ＜CMG (Cameron-Martin-Girsanov) 定理＞ t W W~_t = _t −σ T Q Q~_T

)

;

0

(

)

(

1

.

.

W

at

=

W

a

>

厳密には、分布の意味で

a

f

c

_t <時間変更（Time-Change）> 多資産BSでも使われる 最も単純な例 Drift係数の変更 拡散係数は不変

(

β

α

)

σ

β

+

=

+

=

−

=

r

M

dM

F

dF

dW

dt

S

dS

t t t t t t t

[ ]

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

=

=

=

=

+ − T WT T T T T T Q T T T T

dQ

Q

d

M

S

S

E

F

M

F

S

σ σ β ) 2 / ( 2

e

~

e