S N
t n X
S t t S
X
期中償還のトリガー起動
t
累積支払クーポン
t
0t
1t
2t
3t
x( )
( )
( )
( )
( )
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝
⎛
+
−
= +
= +
=
+ + +
TARN Spread
-CMS
; 2
20 )
(
TARN F/X
Power
; ) ( / ) ( )
(
TARN Equity
Power
; )
( / ) ( )
(
0 0
α β
α β α
y CMS y
CMS t
X
t FX t
FX t
X
t S t S t
X
j
j j
j j
%
= 10 τ
t
εt
t
x=
4− ∆
4
3
t t
t
t
x= + ∆
ε<
エクイティTARN
IR/FX-TARN
原資産（個別株式など）の場合、Putショート型では、
行使価格以下の場合、現株引渡しもある 早期償還（キャッシュ・セトル）
( )
redemption early
) (
1
≤ ⇒
+
=
∑
=+ k
j j
k k
c
t X c
τ
β α
デリバティブ・プロダクツ （ 5 ）
TARN (TArget Redemption Note)
更に変則的なペイオフのケースもある(e.g. Snowball, Thunderball)
リバース・フローターのケース （K−L）+、スプレッド・オプションの場合もある（CMS spread)
ワースト・オブ（Worst of, Least of )
型を参照指数とするケースもある（多通貨TARN,
エクイティTARN
） (スワップハウスによる) コーラブル条項(Bermudan)が付帯したケースもある
期中償還（償還金）
（早期償還トリガー）
（仕組クーポンはオプションの形） トリガー水準
(レベル)
-32-・
・
・
AP%
DP%
100%
0%
Mezzanine Individual KI
Puts
yr
1 2 yr 3 yr
yr 4 100
70
V DP
AP
Expected loss of portfolio
Loss of Mezzanine
デリバティブ・プロダクツ （ 6 ）
0 10 20 30 40 50
50 60 70 80 90 100
プレミアム
10%
20%
30%
ボラティリティ T=1(年)
CDOと類似の構造（CDSでなく、EDS(Equity Default Swapーノックイン・デジタル)の型もある）
シンセティック・シングル・トランシェ（e.g. エクイティ(Equity), メザニン(Mezzanine)）
ポートフォリオの毀損額は構成銘柄のReverse KI PutのバスケットECO (Equity Collateralized Obligation)
Loss of Portfolio Probability of loss
-33-ボラティリティの構造 （ 1 ）
) , ˆ σ IV ( K T
σ = インプライド・ボラティリティ
= ˆ )
; , , , ,
( S K T r y σ
BS 公式 ヨーロピアン オプション市場価格
Market BSPut
r T K S BSPut
Market BSCall
r T K S BSCall
@ ˆ )
; , , , , (
@ ˆ )
; , , , , (
=
= σ α
σ α
ブラック・ショールズ式の仮定は理想化された世界で、現実的には妥当と言い難い仮定が含まれている倒産した企業の株は0円 原資産（例えば株式）は正値
実際には離散的な取引 原資産が連続的に取引される
実際に支払われるのは数日後 満期＝現金支払日という仮定
空売り規制銘柄もある 原資産の空売り(short sale)可能
配当は離散的（年に数回）
配当は連続的に支払われる
単位株までしか分割できない すべての証券が任意の単位に分割可能
実際には存在する 取引コスト、税金がない
収益率の分布は正規分布とはいえない 原資産価格の収益率が正規分布に従う
時間と原資産価格、満期と行使価格に依存している ボラティリティ（収益率の標準偏差）が一定
金利は期間構造を持っている 金利が一定
現実 ブラック・ショールズ式の仮定
Implied Volatility (IV)
-34-σ
S x = K
スマイルでは両端が上昇
0
(ATM)
= 1 x
ボラティリティの構造（ 2 ）
右下がりのスキュー
(出所；Bloomberg)
右上の図は、（インプライド）ボラティリティー・サーフェスの断面をとったもの（満期T
でスライス）。一般に、足元のボラティリティは高く、長年限になるほど低下傾向にある（特にエクイティでは）
スマイル( smile )
は現在値より行使価格が高くあるいは安くなればなるほど、ボラティリティが 高くなって笑っているように見えること（正確に言えば、両翼はウィングが形成され、発散するこ とはない）
スキュー（skew
）とは、非対称的に、行使価格が高くなればなるほど（あるいは安くなればなる ほど）、ボラティリティが低くなることをいう。
ボラティリティの表示方法は必ずしも行使価格Kの関数とならず、FX(為替)のケースではリス ク・リバーサルやバタフライを用いたデルタ表示（例：25%デルタ、50%デルタ）。-35-ボラティリティの構造（ 3 ）
1M 5M
9M 24M
80 85 90 95 100 105 110 115 120 0
10 20 30 40 50
日経平均IVサーフェス(2007/10/16)
40-50 30-40 20-30 10-20 0-10 (%)
日経平均IV (2007/4/2)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
80 85 90 95 100 105 110 115 120
1M 3M
6M 12M
2Y 3Y
4Y
日経平均IV (2007/8/1)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
80 85 90 95 100 105 110 115 120
1M 3M
6M 12M
2Y 3Y
4Y
日経平均IV (2007/10/16)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
80 85 90 95 100 105 110 115 120
1M 3M
6M 12M
2Y 3Y
4Y
100
0
×
= S x K
＜出典＞野村證券金融工学研究センター
-36-ボラティリティの構造（ 4 ）
50% 75% 100% 125% 150%
0%
10%
20%
30%
40%
vol
K/S
0Vol Surface WTI($)
0 1y
2y term
＜出典＞野村證券金融工学研究センター
ボラティリティ構造
「プレーンバニラな」 ヨーロピアン オプション（プットとコール）の価格はボラティリティσについて単調増加なので、価格に 整合するインプライド ボルを一意的に算出できる。
ブラック ショールズ(BS)公式の仮定には非常に理想的であ り現実的には妥当とは言い難い仮定がかなり含まれる。
しかし、その一方で、市場価格のインディケーションには、BS公式で逆算したインプライド ボラティリティでの表示法が
確立している。 IVを行使価格の関数として、1次係数をスキュー、2次係数を
スマイルという（些か不正確な表現ではあるが）。
コモディティのみならず、金利、為替(FX)、エクイティ（株式）でもボラティリティ・スキュー、スマイルに関するモデル研究 がなされている。
Delta の定義法
Vega
を経由した微分（chain rule
）を使うべきか否か(sticky-delta)
スポット価格が変動してもボル構造が変化しないケースがあ る
バスケットやスプレッド・オプションでは相関構造が問題に-37-注） と略記することがある。
数理ファイナンスの基礎（ 1 ）
[ ] ( )
( X ) X martingale
N n
X E X
n n
n
n n n