野 添 俊 雄 〔研究紀事 算7番〕 141
時空の構造に つ い て
野 添 俊 準
On the Structure of Space-times
Toshio Nozoe 緒 二 自 r時空とは何ぞや｣という問題は古くから人質の重大問題として,幾多の学者によって思惟され検 討されてきた｡それにもか1わらず未だに解明され難い要素をもっているように思われてならない｡ カントやニュートンによって代表される古典的時空の概念は,三次元の空間と一次元の時間とを 考え,之等ほ互に独立に存在し,その間には何等の関聯もないものとした｡即ち空間という一定の 容器があり,別に時間は水の流れのように流れるとする考え方であった｡然しそれは全く直線的, 空間的なものに過ぎない｡このような時間は既に時間ではない｡現代に特色ある時間の考えを出し たベルグソンの言葉を借りるならば,このような時間は空間化,幾何学化された時間である｡そう ではなくして,り我々が働いて生きて行くことが時間を成り立たせるのである｡時間は何処かにあっ ● ● て,その中でものがおこるとする考えは,時間を空間化して考えることである"と云っている｡田 辺氏は叉次のように述べている｡即ち哲学的時空は,我々の自己なくしてほ,意味がないとする｡ 然し自己なくしてほ時間は考えられないとする考えは,自己だけが時間をもつという意味にはなら ない｡自己なくしてほ時間は考えられないが,主観と客観が結びついて初めて時間は成立すると> 一方物理学に於て古典的時空の概念を捨て去って新しい時空観を提唱したのはアインスタインの 相舟論であり,新しい物質観を提供したのは,シュレーヂンダー, -イゼンベルグ等による量子力 学であろう｡ 新しい物理学は,新しい時空観の上にのみ建設されたものである｡換言すれば新しい時空観は当 然の要求として,新しい法則の形式を要求する｡アインスタインの相対■論は物理三現象の幾何学化の 方向をたどって,物理現象の幾何学的表洩となってきた.一方量子力学は更に微視時空に躍る素粒 子の世界-と発展してつきることを知らない｡ この小論文に於てほ,この時空の問題にとりくんで哲学的思索をたどり,更に理論物理学が求め て止まない時空の本質をたづねて,物理学は如何に,時空を追求すべきかを検討し,哲学的時空観 の根底に貢献したいと思う｡ 本 読 1.一時空の物理学的性格 ○古典物理学的時空 時間及び空間は其の本質に於て先験的な要素をもち,それは全く不動のものと信じていた｡即ち 三次元のユーク1)ッド空間はニュートン力学の行われる不変の容器であった.そして別に空間とは
142 ′ 時喪の構造に つい て 全く独立した水の流れのような不変の時間を考えていた｡ このような時間,空間の絶野性が許されるかどうかは容易ならぬ問題である｡例えば時間の絶対性 という中には, (1)時間的継続は凡ての観測者に対して同一である｡ (例えば1日という時間) (2)時間的位置という絶対的継舵が存在する｡ (例えば1960年1月1日正后という位置) という意味をもっている｡吾人は古くより第-の絶対性を認めていた｡即ち殆ど党験的に時間とい うものが,そのような性質をもっていると考えていた｡次に第二の絶野性をも黙認し,絶卸的な時 間的継続が入寮の歴史を一義的に決定していると思惟していた｡空間も亦何様である｡唯空間が異 るのは,物体が空間の中では,その占有する場所を変えること,即ち連動という現象を生ずるのに, 時間には之がないということi時間の一次元性に卸して空間は三次元性である｡空間は特別な一点 を推定するのに少くとも三つの独立変数を必要とするのである｡ 以上の結論として古典物理学に於ける時空の根本思想は (1)時間は絶対であり,空間も絶潜である｡そして時間と空間とは互に独立である｡ (凡ての観測I ヽ 者に舟して,之に超越して絶対である｡) (2)測定される物理現象は,測定によって擾乱されることがない｡ (物理現象は時空とは独立にそ ヽ の内容物として存在する) ということになろう｡このような二つの重大な仮定の上に立脚して,古典物理学は大成され,輝し い結果をもたらしたのであった｡換言すれば古典物理学はユークリッ.ドの三次元空間を仮定し,別 に之とは独立した一次元の時間座標を考え,物質が存在する場合にはそのまわりに △∨-0･---(1) を満足する重力ポテンシャルVが存在するとし,ユークリッド三次元空間は重力現象の不変の容器 で,互に何等の影響をも受けないというのであった｡ ○相対論的時空 このような古典的時空観を捨て去って,全く新しい時空観を提唱したのが,今世紀初めに発表さ れたアインスタインの相野論であろう｡彼は1905月先づ特殊相野論を発表し更に之を一般化し,班 張して1916年絶対微分幾何学の武器をもって有名な一般相対･論を完成したのである｡ 一段相野論に於てほ実在する物理空間はユークl)ッド空間ではなく実はl) -マン空間であるとす る｡そして物質が存在するときにはそのまわりに Km-0-･-･-- (2) (アインス?インの重力法則)I を満足する重力ポテンシァルGijが生ずるとした r-マン時空に於ける計量は"Kij-O の解 である｡この場合空間を特性化するのはGijであるとして絶潜的時空を否定したのである｡そこで はもはや物理現象は時空と独立には存在しないのであって物理現象は時空の本質的属性として融合 されてしまったのである｡即ちアインスタインは物理学の幾何学化によって物理現象を支配する重
野 添 俊 雄 〔研究紀要 葬7奄〕 143 カ現象を,実在するl) -マン空間の計量テンソルと卦応せしめて,理論として一党づ完成し,実験 的にも輝く成果を治めたのである｡ 彼の着眼は確かによかったように思われる｡それにも拘らず,よく検討すると物理j現象の凡てを 時空に融合することには成功していない｡ ○時空の幾何学化(統一場理論の展開) 重力現象が時空の本質的属性として時空の計量テンソルとして,置きかえられたにも拘らず,こ れとは独立な電磁現象はそれとは全く無関係なため,計量テンソル以外に他の幾何学的浄象をいれ る余地をもち,且つそれを必要とするような改変された幾何学の上に,重力及び電磁気等の新しい理 論を基礎づけようとの試みがなされた｡之等7)試みの中で,最も巧妙なものの一つは疑いもなくア イルのゲ-ジ不変幾何学である｡しかし彼によって拓れた統一場理論は,幾何学的概念の美しさに もか1わらず,其の理論構成はアインスタインの理論と全く同じで成功した理論にはならなかった｡ ワイルの理論構成は (1) 5 -マンの時空に変わる適当な時空を見つけること｡ (2) ∂脚dr-O が物理湖Uの基本式となるような適当な不変密度町を見出すこと｡ であった｡彼はリーマン時空に変わる非リーマン時空,を実在する時空として,非リーマン幾何学を 構成し,時空の幾何学的構造を鄭称テンソル及び疑ヴェクトルで特性づけられるとし,それ等が各 重力場と電磁場の成分であると仮定して,形式的には一応重力及び電磁気の両現象を融合統一し, 時空の性格を決定する本質的属性とすることに成功したのである｡ カルツァーも亦重力現象及び電磁気現象が共に空間の構造を決定するような幾何学をつくること を試みた｡ カルツァもなある特殊な五次元のリーマン空間をとり,実に美事な統一場理論を建設し得ること を示した｡彼は実在する物理空間は四次元だが説明の都合上第五番目の補助的変数を導入して五次 元のリーマン空間を考えるのである｡最後に変数の個数を一つだけ減らすため添写5を2個もつ計 量テンソル成分は常数で且つ1に等しいと仮定した｡このような仮定によってカルツァーは少くと も第-近似に於て14個の微分方程式 GMV-0 (a*,v=1 - 5) 但Gj5=1 と仮定する｡ が重力場と電磁場を決定する14個の微分方程式と同等であることを示した｡さて,このような構造 をもったリーマン空間に於て,測地線,即ちそれに沿って曲線の長さが極値をとるような曲線の微 分方程式を計算すると,これは丁度,重力場及び電磁場の存在する時空のなかを,質量と電荷をも った質点が連動するとき,それが画く軌道の微分方程式と全然同じものになる｡従ってか1る質点 の連動はカルツァの空間ではその測地線で表わされること1なる｡かようにしてカルツァの理論は 少くとも数学的には巧妙な理論であったが,物理的に不自然な五次元を考えた為物理的意味を持ち 得ないので成功したとは云えない｡このような映点を修正して,これを避けるためいろいろの統一 場理論が考えられたが容易に満足すべき解答は得られなかった｡
IK! 時容の 構造に つ い て この時従来の統一場理論に見切りをつけ,全く新しい統一場の理論が展開された｡これが最近ア インスタインとシュレヂンガーが互に独立に発表した統一場の理論である｡その理論の構成は,非 難凍基本テンソ!レGikと非難龍接続rrとが時空の幾何学的基本量と考えたo之等はリペン 幾何学の計量テンソル及びクl)ストッフェル記号を拡張したものである｡シュレヂンガ-は更に一 歩を進めて非浄称な接続だけを場の基本量とする理論を展開して重力場と電磁場とを時空の中に融 合しようとしたのである｡これが有名なアイスタイン,シュレヂンガーの統一場理論でその場方程 式のいくつかの解が最近発表されている｡ ○時 空 と 溶 則 重力場と電磁場を時空の幾何学的基本量として融合しようとする統一場理論の努力は時空そのも のと,物理現象とは一体不離のものとすべきだとする物理学の要求でもあった｡とにかく重力場と 電磁場の融合には一応成功したとしてもこの二つの現象の外にもはや時空に融合すべきものがない とは云えない｡現在の物理学に於てもっとも基本的粒子の一つは電子であるが,この電子は,質量 と荷電の他に一つの磁気能率をもっているのである｡こうなってくると問題はいよいよ複雑になつ で行くように思われる｡確かに素粒子の存在する微視時空については簡単ではない｡量子力学は既 にこの世界に於ては,古典物理学の基盤であり,然も相浄論では放棄し得なかった仮定り測定され る物理現象は測定によって擾乱されない"という概念を否定し,不確定性を理論の基礎とした｡従 ってそこには既に因果律は成立を許されなくなったのである｡ このように時空の問題は物理的にも侍解決されそうにない多くのものを残している｡三村氏は, ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 物理学の真の使命は物理漁則を探究し,何時に時間空間を探究するということである｡γ ､この要求を ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 満足する理論の構成は,物理政則が定まる時,時空も同時に定まり,叉時空が定まるとき,物理法 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 則も同時に定まるものであってほしいと云って,之を彼の波動幾何学の理論の指導原理として,相 対論と量子論の融合を試み,新しい理論のとるべき時空に大きな暗示を与えてくれた｡然し問題は 容易ではないように思われる｡勿論相対論も量子論も未だにこの欲求を満足してはくれない｡統一 ● ● ● ● ● ● 場理論も亦不満足である｡新しい物理学的時空の方向は,ベルグソンが言っている｢吾人が働らい Fig. 1 /一戸だ.一千一一＼.
野 添 俊 雄 〔研究紀要 葬7番〕 145 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● て生きて行くことが時空をなりた1せる｣という､方向に懸命の努力がなされるべきであろう｡ さて,こiで物理学がたどってきた時空と政則の形式について検討しよう｡古典物理学は一次元 の時間と三次元の空間をとり,汝則はベクトル方程式で表規され,其の物理農はベクトルで表現さ れる｡叉特殊相対論に於ては,四次元の双曲線的時空をとり,洪則はベクトル方程式で,物理量は ベクトルである｡更に一般相対論ではl) -マン時空をとり,其港則は各テンソル間に成立するテン ソル方程式で表現し得る｡之は如何なる座標系にも成立し得るものであって絶好微分幾何学に負う ところが大きいのである｡ワイル理論も相対論の拡張に過ぎない｡今これ等について表示しよう｡ 物 理 学 体 系 時 空 ∫法 則 の 形 式 物 理 ■量 古典物理学 ニ ユ■ トン力 学 三次莞ユ空 ク冒 li 雫空罵 ベ ク ト ル 方 程 式 巨 ク ト ル 特殊相対論 (アイ■ンスタイン) 四 次 元 双 曲 線 時 空 ト ベ ク トル 方 程 式 巨 ク ト ル 一般相対静 ( アイソスタイン) 四 次 元 1) I ア ン時 空 ) テ ン ソ ル 方 程 式 巨 ソ ソ ル 統一場理論 ( ワ イ ル) 非 リ 【 マ ン 時 空 テ ン ソ ル 方 程 式 巨 ソ ソ ル 2､時 空 の 哲 学 的 性 格 時空の哲学的性格については,古くより幾多の哲学者によって深く追求されている｡ギリシャ前 既に, -ラクレイトス,パルメニデス,ゼノン,プラトン,アリストテレス,プロチノス,アウグ スチヌス等の哲人が,この間題にふれ,中世近世に於ては,デカルト,ショウペン-ウニル, -ル ムホルツ,カント,スペンサー,ライプニッツ,更に現代に於てほベルグソン,西田幾太郎,田辺 元等当代第一流の哲学者によって時間及び空間の本質が究明された｡ 然し時空の把接の困難性は,時間空間そのものの,自己矛盾的性格と把撞する主観の態度によっ て,容易ではないように思われる｡それにも拘らず吾人は時空についての思索をやめるわけにはい かない｡それは時空そのものが吾人の生き方に他ならないからで,其の自己を凝視し,自覚的に自 己を掘り下げようとする場合,どうしても時空の問題に当面せざるを得ないのである｡ 筆者はこ1で之等哲人の時空観について述べようとは思わない｡それはその凡てに流れる哲学的 時空観をもっとも通.切な表現によって展開したベルグソンの思想をたどるのみで充分だと思うから である｡ ○ベルグソ-/の時空 ベルグリン(仏.1859-1941)は,些闇は境のない等質的媒質で可測,可逆的なもので何処でも分 割し得て,それがため本性が少しも変わることがない｡空間の一部は人と関係を絶ってもなお存続 する｡それは空間が外的なものであるからで並列と区分の可能を含んでいる｡ カントは,時空を等質形式にとらえたが,ベルグソンほ等質的時間に対し,異質的時間,不可測, 不可逆で持続する時間が兵の時間としている｡純粋持続なる時間は分割し得ないものと知覚される｡ 従って物ではなく,連動であり,意識状態の過程であり,生きており,絶えず変化する｡純粋持続 は外から測√ることによって,そこに時間が知覚されるのでなく,それは空間化された時間であって,
146 時容の構造に つ い て 寅の時間は｢内観｣によって与えられる｡時間は密着し,浸透し,そして自己を増大する意識の作 用によってとらえられるもので,知性は時間を考える資格をもち得ない｡ 硯に生きつつ,働きつつ未来に喫みつく過去の意識の創造的流動が時間なのである｡正にいたる 所等質であり,可潮であり,可逆である物理的時間に卸して,常に異質であり,不可測,不可逆で ある内的真実の持続との間の本質的相違を認識させている｡ベルグソンの思想はカントを超えてア リストテレス;更に-ラクレイトスと結びつく一画をもっている｡ このベルグリンの時空に鄭する概念の本質を簡明に述べるならば, 1.空間は等質的媒質で可測,可逆なもので分割し得るが時間は異質的なもので,不可測,不可 逆で持続する時間が夷の時間である｡従って分割し得ないものである｡ (即ち時間と空間は同格 ではない) 2.時間は物ではなく,意識状態の過程であり,生きており,絶えず変化するものであり,夷の 時間は外から測ることによって知覚されることなく, ｢内観｣によって与えられる｡即ち生きつ つ,働きつつ,未来に喫みつく過去の意識の創造活動である｡ 3 ･物理的時間は等質なもので可潮で可逆で哲学的時間とは本質的に異る｡ の三つに要約されよう｡ ○物理的時空の哲学的考察 ベルグリンの哲学的時空観によって物理的時空観を考察しよう｡もっとも今の場合物理的時空と しては,主として相野論的時空を対､照としよう. 物理的時空は時間と空間という全く異質なものを同格化している｡これはベルグソンも指摘して いるのだが,本質的に異るものを同格化出来るという重大な仮定の基盤に立っているのである｡物 理学者は既に物理学的表現の内にも明かであるにも拘らず,物理学の範囲を出て時間,空間の同質 性を無限に主張する愚をおかしてはならない.量子論的場の理論を相対論的に定式化しようとする 最近の問題にしても,時間と空間の本質的相違の探刻さに常かされるのである｡ ワイル等の統一場理論も同様に時間と空間との同格の仮定から出発しているので少くとも哲学的 意味では夷の時間ではないと云えよう｡ベルグリンは叉時間は物ではなく,生きており,絶えず変 化するものであり,真の時間は外から測ることによって知覚されることなく,内観によって与えら れると述べているが,之は既に時空の物理的性格のところで記述しているように古典物理学には自 明とする二つの仮定即ち, (1)時間,空間の絶対性と(2)測定によって物理現象は擾乱されな い｡を認めていたのであるが,この第二の仮定の否定を要求しているように思われて興味深い｡ 相漸論に於ては第二の仮定は保存して第-の時間,空間の絶対性を否定し去り,量子力学に於て は第二の仮定を否定し,之が不確定原理としてこの理論の支柱となっているのである｡相漸論の理 論的発展をのぞむならばこの第二の仮定に当然何等かの操作を必要とするだろう｡ 然し全く仮定のない物理的時空は出来そうに見えないのである｡そこにほも早や物理的時空は既 にないのである｡かつてアウグスチヌスは｢時間とは何か｣と人が私に関わねば私はそれを知って
野 添 俊 雄 〔研究紀要 算7各〕 147 いる｡問う人に説明しようとすれば,私はも早やそれを知らない｣と云った言葉を思い出す｡之程 時空の真実の姿を把撞しているものは少いだろう｡物理学はより真実の時空をより近似的に,適切 な表現形式で表現しようともがいているが,もがいても,もがいてもこの近似値を零にすることは 出来ないことをよく知っている｡とらえようとすると自然は既にそれによって擾乱されて,兵実を 示してはくれないのである｡こ｣に｢立場なき立場｣といわれる最終統一の場に立つ哲学の時空観 とは本質的に異るものがあるのである｡ こiで新めて進むべき物理学の方向を見定める必要がある｡それは｢物理三現象と時間空間とは一 体不離のものであるということである｡新しい時空観は物艶払則が定まるときに時間空間が明かと なり,時間空間が定まるとき物理港則が明かになるような理論構成を期待する｡ 参 考 文 戟 1. C. Miller, The theory of Relativity. (1952)
2. P. G. Bergmann, Introduction to the theory of Relativity. 3. A. Einstein, Ann. of Math. 46 (1945), 578;
A. Einstein and E. Strous, Ann. of Math. 47 (1946) A. Einstein, Rev. Mod. Phys. 20 (1948), 35; 4. E. Schrodinger, Proc. Roy. I. A. (A) 51 (1947)
5, H. Takeno, M. Ikeda and S. Abe, Prog. Theor. 6 (1951), 837. 6. M. Ikeda, Prog. Theor. Phys. 7 (1951), 127.
7.阿部･遠藤･山田･石原共訳 アイyスタイy全集(1-4) 8.田辺 元 数理哲学研究 9.田辺 元 歴史的現実 10.田辺 元 科 学 概 論 ll.高山 岩男 西 田 哲 学 12.安部 光雄 ベルグゾソ哲学 13.渡辺 慧 時 間 14.石原 純 相対性原理 15.学術研究会議 物理学講演集 16.京都哲学会 哲 学 研 究
