基礎数学B・C Kaneshita's Class

定義域と値域

定義域と値域

定義域

x ^{のとる範囲}

値域

y ^{のとる範囲} 定義域

値域 変域

変域は ２種類ある 変域

変数のとる値の範囲

＝

定義域の例

ルール２：ルートの中はゼロ以上 ルール１：分母はゼロでない

定義域

定義域

値域の例（グラフの利用）

頂点から求める 漸近線から求める

値域

値域 漸近線（_x軸に平行）

これ以外の値はとれる

頂点（１，２）

グラフをかいてみると 頂点から上にのびる

2次関数の標準形

平方完成：標準形に変形する方法（基本）

基本の手順：

（１） _x の係数（ ） に注目

（２） の半分を考える（ ）

（３）半分 の₂乗（ ）をひく

ポイント：どんな形に変形したいのかを意識する

これを標準形という

目標の形

半分にする

２乗をひく

平方完成：標準形に変形する方法（原理）

半分

２乗ひく

これでうまくいく理由

４を半分にして２

前ページの方法

は次の面積

大きい正方形の面積 から４を引けばよい

平方完成：２次の係数が１でないとき

基本の手順：

（１） _x の係数（ ） に注目

（２） の半分を考える（ ）

（３） の₂乗（ ）をひく 最初に２次の係数でくくる あとは基本の手順で変形

[ ]括弧をはずすときに注意 にも係数がかかる

（４×２＝８）

2次関数の最大・最小

最大値・最小値をとる点の候補

（候補１）頂点

（候補２）左端の点

（候補３）右端の点

３つの候補

標準形に変形 x ^{の値を代入} x ^{の値を代入}

右端

頂点 左端

求め方

頂点が範囲に入っているか確認

右端

範囲内 左端

右端

左端

範囲外なので× 頂点が範囲の外なら候補から外れる

範囲内の場合 ^{範囲外の場合}

候補を比較

最大

最小

×

最大

最小

範囲外なので× 大きいものが最大値．小さいものが最小値

範囲内の場合 ^{範囲外の場合}

2次不等式の解法

重なっている点（境界）

放物線の方が上にある領域 放物線の方が下にある領域

対応する方程式からグラフのパターンを見つける

（下の３つのうちどれか）

「 _{f(x) > 0} 」 の ときは赤の範囲（上向き矢印）

「 _{f(x) = 0} 」 のときは緑の範囲（境界）

「 _{f(x) < 0} 」 のときは青の範囲（下向き矢印）

不等号が等号を含むとき（≦ や ≧） は 赤や青の範囲に緑の範囲を付け足す

図から範囲を求める

共有点（ _α と _β ）を求め

範囲を式で表す

赤： _x<α ， _β<x

緑： _x=α ， _β

青： α<x<β

赤： _{x ≠ α}

緑： _x=α

青：解なし

赤：実数全体

緑：解なし

青：解なし

不等号が等号を含むとき（≦ や ≧） は 赤や青の範囲に緑の範囲を付け足す

α _{β α}

グラフの操作と式変形の対応

平行移動に対応する変数の置き換え

P ^Q

置き換えの例

y = f(x) → y-Q = f(x-P) y=x² → y-Q = (x-P)²

x _{→ x-P} y _{→ y-Q}

変数の置き換え

x ^軸方向に P ^平行移動 y ^軸方向に Q ^平行移動

グラフの操作

「グラフを右にずらす」

「座標平面を左にずらす」

＝

マイナスになる理由

対称移動に対応する変数の置き換え

y _→ ^－y

変数の置き換え

y=x ^{に関して対称移動}

＝逆関数

グラフの操作

x ^{軸に関して対称移動}

＝上下反転

y ^{軸に関して対称移動}

＝左右反転

原点に関して対称移動

＝上下＋左右反転

x _→ ^－x x _→ ^－x

x _{←→ y} y _→ ^－y

入れ換え

拡大・縮小に対応する変数の置き換え

置き換えの例

y = f(x) → y/D = f(x/C)

∴ y = D f(x/C) y=x² → y/D = (x/C)²

∴ y = D (x/C)² x _{→ x / C}

y _{→ y / D}

変数の置き換え

x ^軸方向に C ^倍 y ^軸方向に D ^倍

グラフの操作

C ^倍

D ^倍

いろいろな関数

1次分数関数の基本

式（標準形）

直角双曲線

（反比例グラフを平行移動）

グラフの形

x^軸に平行 y^軸に平行

漸近線

漸近線の式

（分母 _{= 0} より） q^：商 r^：余り x-p^：分母

1次分数関数の変形

（商：２，余り：４）

漸近線：_x=1/2， _y=2 定義域：_x≠1/2， 値域 _y≠2

無理関数の基本

式

放物線の半分 を横にしたもの

グラフの形

頂点 定義域

グラフの特徴

頂点の座標

頂点（_{p, q}）

定義域：ルートの中≧０

グラフ：「頂点」と「もう一点」の座標を求めてかく 値域：グラフから分かる

グラフのかき方

1次分数関数のグラフ

式（標準形）

q^：商 r^：余り x-p^：分母

p

q

①

②

③

手順

① 漸近線 _x=p （分母）

② 漸近線 _y=q （商）

③ _y 切片（_x=0を代入），なければ他の点

④ 漸近線に近づくようにかく

グラフの形は反比例のグラフと同じ

無理関数のグラフ

式

手順

① 頂点 （_{p, q}）

② もう１点（適当なｘの値を代入．例：_x=p+1）

③ 頂点からもう一点を通るようにかく

グラフの形は放物線の半分を横にした形

p

q

②

x

頂点（_{p, q}）

逆関数のグラフ

手順

①元のグラフと代表の点

②直線 _y=x

③直線 _y=x に対称にかく

（代表点がどこに来るかを 考えるとかき易い．）

p

①

②

③