平成29年度 編入学者・転入学者選抜学力検査〔問題］ 一 物 理 一
1 ばね定数が0で，自然長がα の，フックの法則に従う2本のばねが， 図1のように，一端は大きさが無視できる質量Mの小物体につながれ他 端は間隔が2α の2つの壁にそれぞれ固定されている。小物体は，摩擦のな い水平な床の上を，ばねの方向に沿った水平なコc 方向に空気抵抗を受けず に運動し，両方のばねが自然長のときの小物体の位置座標z を零とする。 （1）時間を‡ として，小物体の運動方程式を，￠（のを未知関数とする微分方
程式で表せ。
（2）この微分方程式は，コc （￠）＝Xe 城（乞＝∼ρ f ， Xは複素定数ω は正の
定数）という形の複素解を持つ。ω を0とMを用いて表せ。
（3）複素定数Xを、4e一乞α （ただし、4，α は実数）とおき，オイラーの公式
♂＝COSθ ＋乞s i nθ （θ は実数）を用いて解の実数部分をとると得られる，運，
動方程式の解を書け。
次に，一種類の原子（質量M）が忽軸方向に一直線上に並んでいる模型を 用いて，結晶の格子振動を考えよう。ただし，原子は隣の原子だけから，ば ね定数0のフックの法則に従う力を受けるとする。
図2のように，（3−1）番臥8番目5＋1番目の原子が，それぞれの平衡の位置
にあるとき（このとき原子間隔はα）からコゥ軸方向に，それぞれμ 。＿1，μ、，μ、＋1
変位しているとき，3番目の原子が左右の原子から受ける力は，それぞれ 一〇（μs −t ↓ 8＿1）および一〇（μ s 一μs ＋1）である。
（4）時間を‡ として，3番目の原子の運動方程式を書け。
（5）この微分方程式は，μ ，（￠）＝σ e乞（8κ α一ω り＠＝∨⊂丁，σ は複素定数κ は
0＜κ ＜：を満たす定数，ω は正の定数）という形の複素解を持っ。ω を κ の関数として表せ。
（6）原子の振動は波となって伝わる。その波の群速度Ugを求めよ。ただび し，Ug＝器である。
2α
0
M
O
図1
O
M
O
一→μs ＿1
M O 、M O
㎜｝㎜・一
→％3 →％s 十1
平成29年度 編入学者・転入学者選抜学力検査［問題］ 一 物 理 一
I I 、金属の電気伝導の模型を考えよう。有効質量（見かけの質量）m，電 荷一eの伝導電子が，電場ベクトルE，磁束密度ベクトルBの電磁場中を 速度ベクトルvの速度で運動しているとき，
（1）伝導電子に働くクーロンカ（静電気力）をベクトルで表記せよ。 （2）伝導電子に働くローレンツカ（運動する荷電粒子が磁場から受ける 力）をベクトルで表記せよ。ただし，ベクトルの外積には記号× を用い よ。
伝導電子が平均時間τ で，不純物やフォノンと衝突をする効果は，単位時 間あたり，一竿の運動量の損失とみなすことができるので，伝導電子には クーロンカ，ローレンツ力以外に一撃の力が働いているとみなすことが できる。
（3）時間をτ として伝導電子の運動方程式をv（￠）を未知関数とする微分方
程式で表せ。
伝導電子は，上記の衝突を繰り返すと，やがて定常状態に達し，vは一定
になる。
まずE≠ 0，B＝0の場合を考えよう。定常状態では，v＝一μ Eと書くこ とができる。この比例定数μ は移動度と呼ばれる。
（4）移動度μ をe，τ ，mを用いて表せ。
伝導電子の数密度をπ とすると，電流密度ベクトル」は」＝η （−e）vで あることと，v＝一μ Eより，抵抗率をρ とすると，局所的オームの法則 E＝ρ J が成り立つことがわかる。
（5）抵抗率ρ をη ，e，τ ，mを用いて表せ。
次に，E≠
0，B≠
0の場合を考えよう。一様で一定のz 軸に平行な磁場
がかけられたとき，その之成分をBとする。このとき，定常状態では，β
麓霊叉，㌶）認る1表すことカ§
できる・ただし，（E＝
（6）行列ρ の（￠，y）成分をμ （移動度），ρ （抵抗率），Bだけを用いて表
せ。
（7）行列β の（y，￠）成分をμ （移動度），ρ （抵抗率）β だけを用いて表
