統計学入門（2016年度） 福地純一郎のページ introstat2016

2016

2016

12

9

junichiro.fukuchi@gakushuin.ac.jp

第

1

章 統計学とは何か

1.1

データの種類

1.1.1

測定の尺度による分類

Stevens 4

1

名義尺度

順序尺度

5 1,2,3,4,5

間隔尺度

4 18 9 00 比率尺度

1.1.2

データの計測形態に着目する分類

時系 列データ

クロスセクションデータ 空間データ

時系列データの例 :

クロスセクションデータの例 : GDP

1

第

2

章

1

変数データ分析

1

2.1

ヒストグラム

1 2.1

2010 7 2011 2 1 _{ヒストグラム}

階級 階級幅 度数

Histogram of Nikkei$return

Nikkei$return

Frequency

−0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0.00 0.01 0.02 0.03

0

5

10

15

20

25

30

2.1:

100 右に歪んだ分布

左に歪んだ分布

Histogram of kouji_23ku$kakaku

kouji_23ku$kakaku

Frequency

0 500000 1000000 2000000 3000000

0

50

100

150

200

250

x1, x2, . . . , xn

✓ ✏

n

∑

i=1

xi =x1+x2+· · ·+xn

✒ _n ✑

∑

i=1

xi i 1,2, . . . , n xi

a

n

∑

i=1

a=a+a+· · ·+a

| {z }

n =na ✓ ✏ (1) n ∑ i=1

(xi +yi) = n

∑

i=1

xi+ n ∑ i=1 yi (2) n ∑ i=1

axi =a n

∑

i=1

xi

✒ ✑

問題1

問題2 (1) (2)

問題3

n

∑

i=1

(axi+byi) = a n

∑

i=1

xi+b n

∑

i=1

yi

2.2

データの代表値−平均、メディアン−

1 代表値

2.2.1

平均

x1, x2. . . . , xn 平均

¯

x= 1

n

n

∑

i=1

xi

平均の性質1

n

∑

i=1

(xi−x¯) = 0

平均の性質2

外れ値

例 2.1.

330,280,230,240,390,290,340,1580

¯

x= 460 8 7 460

1 1580

2.2.2

メディアン

メディアン(中央値)

x(1) < x(2) <· · ·< x(n)

M d=

{ x₍n+1

2 ) n ,

1 2

{

x(n/2)+x(n/2+1)

}

n .

2.2.3

モード

モード，メディアン，平均の関係

単峰型 双峰型

< < 2

< <

2.3 23

350 427 528

2.3

四分位数

2 2

第1四分位数 2

第3四分位数 第2四分位数 四分位数

2.4

箱ひげ図

箱ひげ図

2.4:

sapporo

naha

toky

o

−10 0 10 20 30

2.5

データのばらつきの尺度

2.5.1

範囲，四分位範囲

範囲（レンジ）

四分位範囲

= 3 − 1

2.5.2

分散，標準偏差

偏差

= − =xi−x¯

分散

S_x2 =1

n {

(x1−x¯)2+ (x2−x¯)2+· · ·+ (xn−x¯)2

}

= 1

n

n

∑

i=1

(xi−x¯)2 (2.1)

(xi−x¯)2 xi x¯

Sx =

√ S2

x

2.5.3

平均の性質（続き）

(1) x1, x2, . . . , xn a x1+a, x2+a, . . . , xn+a

¯

x+a

(2) x1, x2, . . . , xn b bx1, bx2, . . . , bxn bx¯

(3) x1, x2, . . . , xn b a bx1+a, bx2+a, . . . , bxn+

a bx¯+a

2.5.4

分散と標準偏差の性質

S2

x x1, x2, . . . , xn Sx

(1) x1, x2, . . . , xn a x1+a, x2+a, . . . , xn+a

S2

x Sx

(2) x1, x2, . . . , xn b bx1, bx2, . . . , bxn b2Sx2

|b|Sx

(3) x1, x2, . . . , xn b a bx1+a, bx2+a, . . . , bxn+

a b2_S2

x |b|Sx

✓ ✏

x1, x2, . . . , xn a+bxi,i= 1,2, . . . , n

a+bx1, a+bx2, . . . , a+bxn

: a+bx¯ : b2S_x2

: |b|Sx

✒ ✑

✓ ✏

zi =

xi−x¯

Sx

i= 1,2, . . . , n (2.2)

標準化 基準化 標準化得点

z1, z2, . . . , zn z¯, Sz2,Sz ¯

z =0

S2

z =1

Sz =1

問題

A B C D E 85, 86, 87, 88, 89

解答 87

−2, −1, 0, 1, 2

2

4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10

S_x2 = 10 5 = 2

Sx=

√

2≒1.4142

−2/√2, ₋1/√2, ₋0/√2, 1/√2, 2/√2

≒₋1.414, ₋0.707, 0 0.707, 1.414

偏差値

10 50

xi = 50 + 10×

xi−x¯

Sx

第

3

章

2

変数データの分析

3.1

散布図

2 散布図

2

( )

20 40 60 80 100 120

5

10

15

20

25

area

yachin

3.1:

3.1 203

正の相関関係

3.2: 19

3.2 19

無相関

3.2

2

変数データの直線的関係の尺度−共分散，相関係数−

共分散

✓ ✏

x y (x1, y1), . . . ,(xn, yn) x y

Sxy =

1

n{(x1−x¯)(y1−y¯) +· · ·+ (xn−x¯)(yn−y¯)}=

1

n

n

∑

i=1

(xi−x¯)(yi−y¯) (3.1)

✒ ✑

✓ ✏

x, y

r= Sxy

SxSy

(3.2)

x y 相関係数(correlation coefficient)

✒ ✑

r

r=

n

∑

i=1

(xi−x¯)(yi−y¯)

v u u t

n

∑

i=1

(xi−x¯)2 n

∑

i=1

(yi−y¯)2

(3.3)

r (3.3)

( )

✓ ✏

(i) ₋1_≤r_≤1 a

(ii) r

r 1

(iii) r

r −1

(iv) r 0

a

49

✒ ✑

3.3 1

3.3:

(v) 1 r 1

(vi) 1 r −1

(v)

3.3

相関関係と因果関係

相関関係 因果関係

2

1

3.3 ฀

3.4

見かけ上の相関

3.4 47

3.4: 47

見かけ上の相関

3.5

第

4

章 回帰分析

4.1

単回帰分析

2

3.1

yachin =a+b_×area

area yachin

被説明変数 説明変数 最小2乗法

a b a,b

\

yachin = 3.1553 + 0.2118_×area (4.1)

(4.1) 回帰式

20 40 60 80 100 120

5

10

15

20

25

area

yachin

回帰式のあてはめ

4.1

回帰分析

y x y x

y=a+bx (4.2)

最小2乗法

4.2

最小

2

乗法

( x

i

, y

i

)

a + b x

x

i

y

i

x y

a+bx

i

4.2: 2

x−y y =a+bx a, b (xi, yi)

y=a+bx (xi, a+bxi)

2 yi−a−bxi y =a+bx (x1, y1),(x2, y2), . . . ,(xn, yn)

yi 2

S(a, b) = n

∑

i=1

(yi−a−bxi)2

S(a, b) a, b 最小2乗法

S(a, b) a, b 1

b =

n

∑

i=1

(xi−x¯)(yi−y¯)

n

∑

i=1

(xi−x¯)2

(4.3)

(4.3) ,(4.4) a, b y=a+bx 回帰式

y

ˆ

y=a+bx

例題

5 (

) 2_.

xi yi

24 17 25 19 26 20 27 21 28 23

a, b

xi yi (xi−x¯) (yi−y¯) (xi−x¯)2 (xi−x¯)(yi−y¯) 24 17 -2 -3 4 6 25 19 -1 -1 1 1 26 20 0 0 0 0 27 21 1 1 1 1 28 23 2 3 4 6 0 0 10 14

¯

x=26, y¯= 20

b =14

10 = 1.4, a= 20−1.4×26 =−16.4

a, b

ˆ

y=a+bx

回帰式 回帰直線 .

ˆ

y=₋16.4 + 1.4x

1 1.4

2

4.3

決定係数

2

y=a+bx (4.5)

xi y yˆi

ˆ

yi =a+bxi, ı = 1,2, . . . , n.

ˆ

yi yi 回帰値 yi yˆi

yi yˆi

ei =yi−yˆi, i= 1,2, . . . , n (4.6)

残差 (4.6)

yi = ˆyi+ei (4.7)

ˆ

yi yi ei

(4.7) y¯

yi−y¯= (ˆyi−y¯) +ei (4.8)

(4.8) 2 i

n

∑

i=1

(yi−y¯)2

| {z }

yi

= n

∑

i=1

(ˆyi−y¯)2

| {z }

ˆ yi + n ∑ i=1

e2_i | {z }

(4.9)

(4.9) y1, y2, . . . , yn

yi yˆi

R2 =

n

∑

i=1

(ˆyi−y¯)2 n

∑

i=1

(yi−y¯)2

(4.10)

R2 _{決定係数 y}

i yˆi

yi (4.9)

0≦R2 ≦1

4.4

回帰分析の名前の由来

Galton (1822-1911) (regression) 4.3 2

2 Galton

1cm 1cm

Galton 回帰(regression)

150 155 160 165 170

150

155

160

165

170

twodimrn$x

tw

odimr

n$y

第

5

章 確率

5.1

準備：順列と組合せ

例 5.1. a b c d 4

4 2 3 3 2 4×3×2 = 24 24

例 5.2. a b c d 2

4 2 3 4×3 = 12 12

n r n r 順列

nPr nPr

nPr =n(n−1)· · ·(n−r+ 1) =

n!

(n−r)! (5.1)

n! n! = n(n−1)· · ·2·1 n 階乗

例 5.3. 2

2

ab, ac, ad, bc, bd, cd

6 (4×3)/2 = 6

n r n r 組合せ

nCr n r nPr

1 r r!

nPr r! nCr

nCr= n

Pr

r! =

n!

5.2

標本空間と事象

試行

1 Ω( )

Ω ={1,2,3,4,5,6}

標本空間 Ω

事象(event)

A ={1,2} 1 2 {1,2}, {2,4,6}

1 , Ω

{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}

根元事象

∅ 空事象

例 5.4. 2 .

Ω = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}

, (H, T) 1 (Head) , 2 (Tail)

{(H, H)_}, _{(H, T)_}, _{(T, H)_}, _{(T, T)_}

{(H, H)}, {(H, H),(H, T)}

問題 5.1. 5.4 _{(H, H)_}, _{(H, H),(H, T)_}

, .

和事象A_∪B A B

積事象A∩B A B

A_∩B , A B 互いに排反 , . A B

A B

5.3

確率

0 1 .

2 .

5.3.1

等可能性の原理による確率の定義

, , A

P(A)

P(A) = #A

#Ω

, #A A .

5.3.2

頻度に基づく確率の定義

.

2 2

1

P(·) 3

✓ ✏

(C1) A 0_≤P(A)_≤1

(C2) Ω P(Ω) = 1, _∅ P(_∅) = 0 (C3) A B P(A∪B) =P(A) +P(B)

✒ ✑

5.3.3

主観確率

5.3.4

確率の性質

, , .

✓ ✏

(a)P(Ac_{) = 1−P(A)}

(b) A_⊂B P(A)_≤P(B)

(c) A, B P(A_∪B) =P(A) +P(B)₋P(A_∩B)

(d)A1, A2,· · · , An ,

P(A1∪A2∪ · · · ∪An) =P(A1) +P(A2) +· · ·+P(An).

✒ ✑

問題 5.2. 2 4

問題 5.3. 13 5

5

(1) 1, 2, 3, 4, 5

(2) 5 13

(1)

1

13C5

= 5!8! 13! =

5_·4_·3_·2_·1 13·12·11·10·9 =

1 13·11·9

(2)

12C4 13C5

= 12! 4!8! ·

5!8! 13! =

5.4

条件付き確率と乗法定理

5.4.1

条件付き確率

2 1 1 2

1 A, 2 B

A B A

1 1 B 1/2

A B

A A

B A_∩B P(A_∩B)

P(A) P(A) = 2/3, P(A∩B) = 1/3

P(A_∩B)

P(A) =

1/3 2/3 =

1 2

✓ ✏

定義 5.1. A,B P(A)>0

事象Aが起こったときの事象Bの条件付き確率 P(B_|A)

P(B|A) = P(A∩B)

P(A) (5.3)

✒ ✑

5.4.2

乗法公式

✓ ✏

乗法公式

P(A_∩B) = P(A)_×P(B _|A) (5.4)

.

✒ ✑

A, B

A ={A∩B} ∪ {A∩Bc} (5.5)

{A_∩B_{} {}A_∩Bc_}

解答 : A,

B 2

10

P(A _∩ B) = P(A)P(B_|A) = 2

10 × 1 9

P(A_∩Bc_{) = P(B}c_)P(A|Bc_{) =} 8 10 ×

2

9 2 B

P(A) = P(A∩B) +P(A∩Bc)

= 2 10 ×

1 9 +

8 10 ×

2 9

= 2 90 +

16 90 =

18 90 =

2 10

5.5

独立性

✓ ✏

定義 5.2. 事象の独立性

2 A, B

P(A∩B) = P(A)P(B)

, A B 独立 .

✒ ✑

A B P(A)>0

P(B|A) =P(B) (5.6)

. (5.6) , A B

. A B , A, B

.

3 A, B, C P(A∩B) = P(A)P(B), P(A∩C) =P(A)P(C), P(B ∩C) =

P(B)P(C),P(A_∩B_∩C) =P(A)P(B)P(C) , A, B, C

. 4 .

モンティ・ホール問題

Let’s make a deal

1 3

第

6

章 確率変数

離散型確率変数 連続型確率変数

6.1

離散型の確率変数と確率分布

X X 1 6

1/6

X 1 2 3 4 5 6

1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 X

x1, x2, . . . , xk

X

p1, p2, . . . , pk

X 離散型確率変数(random variable) pi =P(X =xi),

(i= 1,2, . . . , k) x1, x2, . . . , xk p1, p2, . . . , pk , X 確率分布

p1+p2+· · ·+pk= 1

Z Z Z

Z 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36

Z = 2 (1,1)

1

36 Z = 3 (1,2), (2,1) 2

36

1 2 3 4 5 6 1/6

5.1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1/36

6.2

離散型確率分布の例

6.2.1

離散型一様分布

離散型一様分布 X n 1,2, . . . , n

P(X =k) = 1

n (k= 1,2, . . . , n)

6.2.2

二項分布

A A p n

n A X X 1,2, . . . , n

X

P(X =k) = nCkpk(1−p)n−k (k = 0,1, . . . , n)

二項分布(binomial distribution) B(n, p) X

B(n, p) X B(n, p) X ∼B(n, p)

n

∑

k=0

nCk pk(1−p)n−k= (p+ 1−p)n = 1

問題 6.1. 0.8

6.3

期待値（離散型確率変数）

X x1, x2, . . . , xk pi =P(X =xi)

E(X) = k

∑

i=1

xipi

X 期待値(expected value) X 確率分布の平均 X

.

例 6.1.

X B(n, p)

E(X) = n

∑

k=0

k_×nCk pk(1−p)n−k

= n

∑

k=0

k n!

k!(n−k)! p

k_(1−p)n−k

=np

n

∑

k=1

(n−1)!

(k₋1)!_{(n₋1)₋(k₋1)_}! p

k−1_(1−p)(n−1)−(k−1)

=np

n−1

∑

s=0

(n−1)!

s!_{(n₋1)₋s_}! p

s_(1−p)(n−1)−s

=np

B(n, p) np

n−1

∑

s=0

(n₋1)!

s!_{(n₋1)₋s_}! p

s₍₁

−p)(n−1)−s_{= (p+ 1}

−p)n−1 _{= 1}

✓ ✏

n (a+b)n

(a+b)n= n

∑

k=0

nCk akbn−k

✒ ✑

6.3.1

確率変数の関数の期待値

X g g(X) X

x1, x2, . . . , xk pi = P(X =xi), i = 1, . . . , k Y = g(X)

Y g(x1), g(x2), . . . , g(xk)

Y ℓ y1, . . . , yℓ

Y =g(X) ,

E[g(X)] = ℓ

∑

. g(X) E[g(X)]

定理 6.1. X X x1, x2, . . . , xk

E[g(X)] = k

∑

i=1

g(xi)pi (6.1)

定理

6.1

を使って問題を解く

問題 6.2. X

(1) E(X) (2) E(X2₎

解答 (1)

E(X) = 1_× 1 6 + 2×

1 6+ 3×

1 6 + 4×

1 6 + 5×

1 6+ 6×

1 6 = 3.5 (2) 6.1

E(X2) =12× 1

6+ 2

2_×1

6 + 3

2 _×1

6 + 4

2_× 1

6 + 5

2_× 1

6+ 6

2_× 1

6

=1

6(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = 15.17 2

✓ ✏

X c

(a) E(c) = c

(b) E(X+c) =E(X) +c

(c) E(cX) = cE(X)

(d) X, Y E(X+Y) = E(X) + E(Y)

✒ ✑

証明(a), (b), (c) (d) 7

分散

X 分散(variance)

V(X) = E[(X−E(X))2]

X µ= E(X) 1 _{g(x) = (x−µ)}2

6.1 X

V(X) = k

∑

i=1

(xi−µ)2pi = (x1−µ)2p1 +· · ·+ (xk−µ)2pk (d)

1

定理 6.2. X

V(X) = E(X2)₋[E(X)]2 (6.2) 証明 µ= E(X)

V(X) =E[(X₋µ)2] =E[X2₋2µX +µ2]

=E[X2]−2µE(X) +µ2

=E[X2]−µ2 ✷

X cm cm2

X

X 標準偏差(standard deviation) D(X)

D(X) = √V(X) (6.3)

例 6.2. B(n, p)

X B(n, p) E[X(X₋1)] =n(n₋1)p2

E[X(X₋1)] = n

∑

k=0

k(k₋1)_×nCk pk(1−p)n−k

= n

∑

k=2

k(k₋1) n!

k!(n−k)! p

k₍₁

−p)n−k

=n(n−1)p2

n

∑

k=2

(n₋2)!

(k−2)!{(n−2)−(k−2)}! p

k−2_(1−p)(n−2)−(k−2)

=n(n₋1)p2

n−2

∑

s=0

(n₋2)!

s!{(n−2)−s}! p

s₍₁

−p)(n−2)−s =n(n₋1)p2

E(X2_{) = n(n−1)p}2 _{+np 6.2 V(X) = E(X}2₎₋

[E(X)]2 _=n(n−1)p2_{+np=np(1−p)}

✓ ✏

B(n, p) np,np(1₋p) X B(n, p)

E(X) =np, V(X) = np(1−p)

✒ ✑

練習問題10

0.3 10

X

6.4

数学の準備１：定積分

[a, b] f(x)

[a, b] a = x0 < x1 < · · · < xn =b [a, b] n

[x0, x1],[x1, x2],· · · ,[xn−1, xn] ∆ = {x0, x1,· · · , xn}

|x1−x0|,|x2 −x1|,· · · |xn−xn−1| ∆ |∆|

[xi−1, xi] ui

n

∑

i=1

f(ui)(xi−xi−1) =f(u1)(x1−x0) +f(u2)(x2−x1) +· · ·+f(un)(xn−xn−1)

f ∆ リーマン和 f _|∆_{| →}0

n _{→ ∞} S

S [a, b] f

∫ b

a

f(x)dx

∫ b

a

f(x)dx=F(b)₋F(a)

F f

6.5

数学の準備２：広義積分

[a, b]

[a,_∞) [a,_∞) a [a,_∞)

f(x) [a,∞)

lim

t→∞

∫ t

a

f(x)dx

f(x) [a,_∞)

∫ ∞

a

f(x)dx

f(x) (_−∞, a]

lim

t→−∞

∫ a

t

f(x)dx

f(x) (−∞, a]

∫ a

−∞

f(x)dx

(_−∞,_∞) f(x) (_−∞,_∞)

lim

t→−∞

∫ a

t

f(x)dx lim

t→∞

∫ t

a

f(x)dx

∫ ∞

−∞

f(x)dx= lim

t→−∞

∫ a

t

f(x)dx+ lim

t→∞

∫ t

a

f(x)dx

例題 6.1. a >0

(1)

∫ t

0

e−ax_{dx, (2)}

∫ ∞

0

e−ax_{dx, (3)}

∫ t

0

xe−x2

dx, (4)

∫ ∞

0

xe−x2

dx,

( )

(1)

∫ t

0

e−ax_dx=

[ −1 ae −ax ]t 0

=−1 ae

−at₊ 1

a

(2)

∫ _∞

0

e−ax_{dx= lim}

t→∞

(

−1

ae

−at₊ 1

a ) = 1 a (3) ∫ t 0

xe−x2

dx=

[

−1₂e−x2

]t

0

=₋1 2e

−t2

+1 2

(4)

∫ ∞

0

xe−x2

dx= lim

t→∞

(

−1

2e −t2

+1 2

)

6.2: J 846

6.6

連続型確率変数

連続型確率変数 (

GNP )

6.2 2002 J

X f(x) _≥ 0 [a, b]

a_≤X _≤b f(x) x=a, x=b x

f(x) X 確率密度関数(probability density function, pdf)

X x f(x)_≥0

a < b

P(a_≤X _≤b) =

∫ b

a

f(x)dx (6.4)

f

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

a b

f(x)

∫

a b

f(x) dx P(a≤ X≤ b) =

✓ ✏

X f(x) f(x) X

(1) f(x)_≥0

(2) x y=f(x) 1 (3) P(a _≤X _≤b)

✒ ✑

6.7

連続型確率変数の期待値

:

✓ ✏

X f(x) X E(X)

E(X) =

∫ ∞

−∞

xf(x)dx (6.5)

✒ ✑

X [L, R] f(x) [L, R] 0

X

E(X) =

∫ R

L

xf(x)dx (6.6)

x x

X µ X

V(X) = E[(X₋µ)2)] =

∫ ∞

−∞

(x₋µ)2f(x)dx (6.7)

✓ ✏

V(X) = E(X2)₋[E(X)]2

✒ ✑

6.8

一様分布

a, b a < b

f(x) =

{

1

b−a a≤x≤b

例 6.3.

X X 0 360 [0, 360]

6.9

正規分布

正規分布の定義

✓ ✏

f(x)

f

(

x

) =

√

1

2

πσ

e

−1 2

(

x−µ

σ

)

2

(6.8)

, 正規分布(normal distribution) N(µ, σ2₎

✒ ✑

X (6.8)

E(X) = µ (6.9)

V(X) = σ2 _(6.10)

2 _{N(µ, σ}2_{) 平均µ, 分散σ}2 _{の正規分布}

0, 1 N(0,1) 標準正規分布 X

(6.8) X µ σ2 _{, X ∼N(µ, σ}2₎

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

µ+σ

N (

µ

,

σ

2

)

µ µ+2 σ µ+3 σ

µ-3 σ µ-2 σ µ-σ x

6.4: N(µ, σ2₎

N(µ, σ2_{) f(x)}

✓ ✏

(i)f(x) µ

(ii) 2 (µ−σ, f(µ−σ)) (µ+σ, f(µ+σ))

(iii) [µ₋3σ, µ+ 3σ] ,

P(µ−σ ≦X≦µ+σ) = 0.683

P(µ−2σ≦X ≦µ+ 2σ) = 0.955

P(µ−3σ≦X ≦µ+ 3σ) = 0.997

(iv)f(x) x=µ √1

2πσ

✒ ✑

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

N(0, 1) N(4, 1)

N(0, 4)

6.5:

2

(1)

正規分布の確率密度関数の x=µ における高さ µ, σ2

f

(

x

) =

√

1

2

πσ

e

−1 2

(

x−µ

σ

)

2

(6.11)

x=µ f(x) x=µ

f(µ) = √1

2πσ (6.12)

N(µ, σ2_{) x=µ √}1

2πσ

1

√

2π ≒0.4 (6.13)

N(µ, σ2_{) 0.4 σ}

定理 6.3 ( 1). a, b

X _∼N(µ, σ2₎

aX+b∼N(aµ+b, a2σ2)

X₋µ

σ ∼N(0,1)

Z = X−µ

σ X 標準化 X

付録

(6.9) z = (x−µ)/σ

E(X) =

∫ ∞

−∞

x√1

2πσe

−12(

x−µ

σ ) 2 = ∫ ∞ −∞ 1 √

2πσ(σz+µ)e

−12z 2 σdz = ∫ ∞ −∞ 1 √

2πze

−12z 2 dz+ ∫ ∞ −∞ 1 √

2πµe

−12z 2 dz =µ ∫ ∞ −∞ 1 √

2πze

−12z 2

dz = 0

( )

∫ ∞

−∞ 1

√

2πe

−12z 2

dz = 1

✷

(6.10)

Z = (X₋µ)/σ) Z _∼N(0,1) Z V(Z)

V(Z) = E(Z2) =

∫ ∞

−∞

z2√1

2πσe

−12(

z−µ

σ )

2

dz

=

[

−z√1

2πσe

−12(

z−µ

σ )

2]∞

−∞ +

∫ ∞

−∞

z2√1

2πσe

−12(

z−µ

σ )

2

dz

=0 + 1 = 1

σZ+µ N(µ, σ) X =µ+σZ V(X) =σ2_.

✷

6.3

F(x) =P(X _≤x) X 分布関数

X _∼N(µ, σ2_{) X t= (s−b)/a}

a >0

P(aX+b≤x) =P(X ≤(x−b)/a) (6.14)

=

∫ (x−b)/a −∞

1

√

2πσe

−12(

t−µ

σ ) 2 dt (6.15) = ∫ x −∞ 1 √

2πσae

−12(

s−aµ−b

aσ )

2

ds (6.16)

6.9.1

上側確率，上側パーセント点

X

P(X > u) (6.17)

(6.17) 上側確率

1 u u

u

u= 0.55 , .5 .05

0.291 Z N(0,1)

P(Z >0.55) = 0.291 (6.18)

α 上側100αパーセント点

100α zα

2.5 0.5 1.96, 2.58 X a P(X =a) = 0

6.10

正規分布についての確率の求め方

1

例題 6.2. Z _∼N(0,1) (1) P(Z >1)

(2) P(Z >1.96) (3) P(Z ≦1)

解答

(1) u= 1.00 P(Z >1) = 0.159 .

(2) P(Z >1.96) = 0.025 .

(3) P(Z ≦ 1) = 1 −P(Z > 1) P(Z > 1) = 0.159 P(Z ≦ 1) = 1₋0.159 = 0.841

6.3

例題 6.3. X _∼N(50,100) (1) P(X >60)

(2) P(X ≦60) (3) P(X ≦70)

解答 (1)

P(X >60) =P (

X₋50

10 >

60₋50 10

)

=P (

X₋50

10 >1

)

= 0.159

(X−50)/10

(2) (1) P(X ≦60) = 1₋P(X >60) = 1₋0.159 = 0.841 (3)

P(X ≦70) =P (

X−50

10 ≦

70−50 10

)

=P (

X−50

10 ≦2

)

= 1−P (

X−50

10 ≥2

)

第

7

章 多次元の確率分布

7.1

同時確率分布と周辺確率分布

2 X Y . X x1, x2,· · · , xk,

Y y1, y2,· · · , yℓ . ,

p(xi, yj) = P(X =xi, Y =yj), i= 1,· · · , k, j = 1,· · · , ℓ

X Y . 2 p(_·,_·) X Y 同

時確率関数 同時確率分布 .

p(_·,_·) yj p(xi, yj) X

X 周辺確率分布 p1(xi) p1(xi) = ∑ℓ_j=1p(xi, yj)

p1(x1), . . . p1(xk) X ∑ki=1p1(xi) = 1

p2(yj) p2(yj) = ∑k_i=1p(xi, yj) p2(y1), . . . p2(yℓ) Y

∑ℓ

j=1p2(yj) = 1

例 7.1. X

Y X Y

解答 36

1/36

X Y

1 2 3 4 5 6

1 ₃₆1 ₃₆1 ₃₆1 ₃₆1 ₃₆1 ₃₆1 1₆ 2 ₃₆1 ₃₆1 ₃₆1 ₃₆1 ₃₆1 ₃₆1 1₆ Y 3 1

36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 6

4 ₃₆1 ₃₆1 ₃₆1 ₃₆1 ₃₆1 ₃₆1 1₆ 5 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 6 6 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 6 X 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

例 7.2. X

X Y 1 2 3 4 5 6

0 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 6 36

1 ₃₆1 ₃₆2 ₃₆2 ₃₆2 ₃₆2 ₃₆1 10₃₆ Y 2 ₃₆1 ₃₆1 ₃₆2 ₃₆2 ₃₆1 ₃₆1 ₃₆8

3 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 6 36

4 ₃₆1 ₃₆1 0 0 ₃₆1 ₃₆1 ₃₆4 5 ₃₆1 0 0 0 0 ₃₆1 ₃₆2 X 1₆ 1₆ 1₆ 1₆ 1₆ 1₆

7.2

期待値

g(x, y) 2 X, Y g(X, Y)

g(X, Y) g(X, Y)

✓ ✏

E[g(X, Y)] = k ∑ i=1 ℓ ∑ j=1

g(xi, yj)p(xi, yj)

✒ ✑

7.2.1

共分散

, µX E(X) , µY E(Y) . 2 X Y 共 分散(covariance) Cov(X, Y)

Cov(X, Y) =E[(X₋µX)(Y −µY)] = k ∑ i=1 ℓ ∑ j=1

(xi−µX)(yj−µY)P(X =xi, Y =yj)

. Cov(X, Y) X Y . X Y

,

. , X Y ,

. .

Cov(X, Y) = E(XY)₋E(X)E(Y) (7.1)

7.3

連続型確率変数の場合

X, Y

2 f(x, y) a, b, c, d(a < b, c < d)

P(a_≤X _≤b, c_≤Y _≤d) =

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) (X, Y) 同時確率密度関数 2 ₃

x1

x2

z

7.1: f(x, y)

7.4

確率変数の独立性

X Y a_≤b, c_≤d

P(a_≤X _≤b, c_≤Y _≤d) =P(a_≤X _≤b)_×P(c_≤Y _≤d) (7.3)

X Y

X Y ,

.

2 X, Y ,xi (i= 1,· · ·, k),yj (j = 1,· · ·ℓ)

. , i= 1,_{· · ·}, k, j = 1,_{· · ·} , ℓ ,

P(X =xi, Y =yj) =P(X =xi)×P(Y =yj)

,X Y

2 X,Y , f(x), g(y) . ,

x y , X, Y f(x, y)

f(x, y) = f(x)g(y)

,X Y

2

7.5

期待値の性質

定理 7.1. [ ] 2 X, Y

(1) E(X+Y) = E(X) + E(Y)

(2) V(X+Y) = V(X) + 2_×Cov(X, Y) + V(Y)

. X Y .

(3) E(XY) = E(X)E(Y) (4) Cov(X, Y) = 0

(5) V(X+Y) = V(X) + V(Y)

(1), (2) X Y .

問題 7.1. A B A X, B

Y (X, Y) A 1

B 2 0.14

X Y 0 1 2 3

0 0.06 0.08 0.04 0.02 1 0.15 0.20 0.10 0.05 Y 2 0.10 0.14 0.05 0.01 3 0 0 0 0 X

(1) X Y

(2) A B A

問題 7.2. A B 200m A B

1 2 200m A B 100m ( )

定理7.1の証明

(1)の証明 E(X+Y)

= k ∑ i=1 ℓ ∑ j=1

(xi+yj)p(xi, yj)

= k ∑ i=1 ℓ ∑ j=1

xip(xi, yj) + k ∑ i=1 ℓ ∑ j=1

yjp(xi, yj)

= k ∑ i=1 xi ℓ ∑ j=1

p(xi, yj) + ℓ ∑ j=1 yj k ∑ i=1

p(xi, yj)

= k

∑

i=1

xip1(xi) + ℓ

∑

j=1

yjp2(yj) =E(X) + E(Y)

(2)の証明 V(X+Y)

=E[_{(X+Y)₋E(X+Y)_}2] =E[_{(X₋E(X)) + (Y ₋E(Y))_}2]

=E[_{X₋E(X)_}2]+ 2E [_{X₋E(X)_{} {}Y ₋E(Y)_}] + E[_{X₋E(X)_}2] =V(X) + 2Cov(X, Y) + V(Y)

(3)の証明 E(XY) = k ∑ i=1 ℓ ∑ j=1

xiyjP(X =xi, Y =yj)

= k ∑ i=1 ℓ ∑ j=1

xiyjP(X =xi)P(Y =yj) X Y

= k

∑

i=1

xiP(X =xi) ℓ

∑

j=1

yjP(Y =yj)

=E(X)E(Y) ✷

(4)の証明

Cov(X, Y) =E [(X₋µX)(Y −µY)] =E [(X₋µX)] E [(Y −µY)]

X a,b aX+b

aX+b

✓ ✏

(a) E(aX+b) =aE(X) +b

(b) V(aX +b) =a2_V(X)

✒ ✑

証明(a) 29

(b) µ=E(X) E(aX+b) =aµ+b

V(aX +b) = E[(aX +b₋(aµ+b))2] = E(a2(X₋µ)2) = a2E((X₋µ)2) = a2V(X) ✷

7.1 n X1, X2, . . . , Xn

(a) E(X1+X2+· · ·+Xn) = E(X1) + E(X2) +· · ·+ E(Xn)

(b) n X1, X2· · ·, Xn ,

V(X1+X2+· · ·+Xn) = V(X1) + V(X2) +· · ·+ V(Xn)

✓ ✏

n X1, X2· · · , Xn µ σ2

E

( _n

∑

i=1

Xi

)

=nµ

V

( _n

∑

i=1

Xi

)

=nσ2

✒ ✑

¯

X = 1

n

∑n

i=1Xi aX+b

✓ ✏

n X1, X2· · · , Xn µ σ2

E(X¯)=µ

V(X¯)=σ

2

n

✒ ✑

例 7.3.

n

X1, X2· · · , Xn E(Xi) = 60(g), V(Xi) = 1(g2)

7.6

確率変数の和の確率分布

2

1 2 3 4 5 6 1/6

7.1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1/36

7.2 2

再

生性3

✓ ✏

定理 7.2 ( ). X1, X2 X1

N(µ1, σ12) X2 N(µ2, σ22)

X1+X2 ∼N(µ1+µ2, σ12+σ22)

✒ ✑

7.2

n X1, X2, . . . , Xn

Xi ∼N(µ, σ2), i= 1,2, . . . , n

n

∑

i=1

Xi ∼N

(

nµ, nσ2)

✓ ✏

定理 7.3. n X1, X2, . . . , Xn

Xi ∼N(µ, σ2), i = 1,2, . . . , n

¯

X = 1

n

n

∑

i=1

Xi ∼N

( µ,σ

2

n )

✒ ✑

7.3

3

第

8

章 統計的推測

8.1

母集団と標本

母集団 (i)

(ii) (iii)

統計的推測

8.1.1

標本

(

サンプル

)

標本抽出, サンプリング

無作為標本

標本の大きさ n

推定

点推定 区間推定 2

点推定量 推定量

点推定値 推定値

8.1.2

有限母集団の場合

N

例 8.1. 1 _{2012 11}

n = 1272 0.173

母比率の推定

p p 母比率

p n

X

ˆ

p= X

n

ˆ

p p

8.1:

p

X B(n, p) n _√X−np

np(1−p)

N(0, 1) 2.5%

1.96 2

P {

−1.96_≤ √X−np

np(1₋p) ≤1.96

}

≒0.95

1

45 1 434

2

P {

−1.96× √

p(1−p)

n ≤pˆ−p≤1.96×

√

p(1−p)

n }

≒0.95

n pˆ p √ p pˆ

P {

ˆ

p−1.96× √

ˆ

p(1₋pˆ)

n ≤p≤pˆ+ 1.96×

√

ˆ

p(1₋pˆ)

n }

≒0.95

p

信頼係数95%の信頼区間

✓ ✏

n

[

ˆ

p₋1.96

√

ˆ

p(1₋pˆ)

n , pˆ+ 1.96

√

ˆ

p(1₋pˆ)

n ]

95% p

✒ ✑

8.1

1.96_×

√

ˆ

p(1₋pˆ)

n = 1.96×

√

0.173(1₋0.173)

1272 = 0.0208

p 95%

8.1.3

無限母集団の場合

無限母集団

無限母集団の例

1. 50 20

2. 100m

8.1.4

母集団と母集団分布

例 8.2. A 100m

A 1 100m 10

100m

100 10

100m 100m

10 15

母集団分布

✓ ✏

n X1, X2, . . . , Xn n

{X1, X2, . . . , Xn}

✒ ✑

8.1.5

母集団分布のパラメータ

パラメータ 母数

N(µ, σ2_{) µ, σ}2 _母平均

8.2

パラメータと統計量

8.2.1

統計量

統計量

8.2.2

統計的推測の方法

N(µ, σ2₎

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

...

µ,σ2

X1, X2, . . . , Xn

, ¯X

, s2

8.2:

( )

• · · ·

• · · ·

• · · ·

: 点推定 推

定

8.2.3

推定量と推定値

X1, X2, . . . , Xn 推定量

¯

X µ s2 _σ2

n 3 _x

1, x2, . . . , xn 推定値

✓ ✏

θ T θ

E(T) = θ

T θ

µ σ2

¯

X = 1

n

n

∑

i=1

Xi (8.1)

s2 = 1

n−1

n

∑

i=1

(Xi−X¯)2 (8.2)

s2

µ 7.5 E( ¯X) = µ

¯

X µ

定理 8.1. X1, X2, . . . , Xn n E(Xi) =

µ, V(Xi) =σ2, i= 1,2, . . . , n

E(s2) = σ2 (8.3)

証明 Yi =Xi−µ, i= 1,2, . . . , n Y¯ = ¯X−µ

n

∑

i=1

(Xi−X¯)2 = n

∑

i=1

(Yi−Y¯)2

= n

∑

i=1

Y_i2₋nY¯2

E(Y2

i ) = V ar(Yi) =σ2,E( ¯Y2) = V ar( ¯Y) =

σ2 n E { _n ∑ i=1

(Xi−X¯)2

}

= E

( _n

∑

i=1

Yi2 −nY¯2

) = E ( _n ∑ i=1 Y2 i )

−E(nY¯2)

= nσ2₋σ2

= (n₋1)σ2

E(s2) = E

{

1

n₋1

n

∑

i=1

(Xi−X¯)2

}

= σ2 ✷

E( ¯X) =µ, E(s2_{) =σ}2 _X¯ _{µの不偏推定量}

s2 _σ2 _{の不偏推定量}

例題 8.1.

第

9

章 正規母集団からの標本と関連する

分布

2 χ2 _{2 t}

9.1

χ

分布

χ2

✓ ✏

Z1, Z2,· · ·, Zk N(0,1)

Y

Y =Z₁2+Z₂2+_{· · ·}+Z_k2

Y 自由度k χ2 分布 χ2_(k)

✒ ✑

χ2_{(1) 57}

1

9.2

t

分布

t

✓ ✏

Z N(0,1) Y k χ2 _χ2_(k)

Z Y t

t= √Z

Y /k

t 自由度k の t 分布 t(k)

✒ ✑

t 分布の特徴

(1) t 0 .

(2) k t N(0,1) .

(3) k t . , k → ∞ t

N(0,1) .

1

χ2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x

f(x)

k=1

k=2

k=3

k=10

9.1: k χ2

付録：

χ

(1)

の確率密度関数

✓ ✏

F(x) X 分布関数

F(x) =P(X _≤x)

✒ ✑

X f(x)

F(x) =P(X ≤x) =

∫ x

−∞

f(t)dt

F′_{(x) =f(x).}

Z N(0, 1) Y =Z2 _Z

f(x) = _√1

2π exp{−x

2_{/2} F(x) Y G(y)}

y >0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

x

f(x)

N ( 0, 1 )

t ( 5 )

t ( 1 )

9.2: k t

Y g(y) G

g(y) = d

dyG(y) = d dy {F(

√

y)−F(−√y)}

= 1 2√y{f(

√_y)

−f(₋√y)_}

= 1

2√y ×2×

1

√

2πe

−y/2

=√1

2πy

−1/2_e−y/2_.

χ2₍₁₎

g(y) = √1

2πy

9.3

同一の正規分布に従う確率変数

X1, X2,· · · , Xn n

X1, X2,· · · , Xn N(µ, σ2)

¯

X = 1

n

n

∑

i=1

Xi

2

n

∑

i=1

(

Xi−X¯

)2

X1, X2,· · · , Xn N(µ, σ2)

∑n

i=1(Xi−µ)2

σ2 =

n

∑

i=1

(

Xi−µ

σ2

)2

χ2 _{n χ}2 _{µ X}¯

✓ ✏

定理 9.1. X1, X2,· · · , Xn N(µ, σ2)

¯

X

n

∑

i=1

(

Xi−X¯

)2

n

∑

i=1

(

Xi−X¯

)2

σ2

n₋1 χ2

✓ ✏

定理 9.2. X1, X2,· · · , Xn N(µ, σ2)

¯

X−µ

s/√n

n₋1 t

✒ ✑

証明.

¯

X−µ

s/√n =

¯

X−µ

σ/√n ·

1

s/σ

=X¯ −µ

σ/√n ·

1

√ s2_/σ2

=X¯ −µ

σ/√n ·

1

√

∑n

i=1(Xi −X¯)2

σ2 ·

1

n−1

(9.1)

9.1 (9.1) t

¯

X−µ

s/√n

n₋1 t

k t α tα(k)

9.4

母平均の信頼区間

µ σ2

信頼区間 µ

X1, X2,· · · , Xn N(µ, σ2)

9.2

¯

X−µ

s/√n

n₋1 t

0.95 =P (

−t0.025(n−1)≤

¯

X−µ

s/√n ≤t0.025(n−1) )

=P (

¯

X₋t0.025(n−1)×

s √

n ≤µ≤X¯ +t0.025(n−1)× s √ n

)

¯

x,s2

✓ ✏

[

¯

x−t0.025(n−1)×

s √

n, x¯+t0.025(n−1)× s √ n

]

95% µ

✒ ✑

練習問題

問題1

(1) t0.025(8)

(2) t0.025(15)

例題

A 1000m 9 9 ¯

x= 180.0 s= 0.9 N(µ, σ2₎

第

10

章 仮説検定

10.1

母平均の検定

仮説検定

23.1cm 23.1cm

16 x¯= 23.2 ( ) s= 0.16

23.1

X1, X2, . . . , X16 16

N(µ, σ2₎

帰無仮説 H0

H0 :µ= 23.1

対立仮説 H1

H1 :µ̸= 23.1

,

t= X¯ −23.1

s/√16 ∼t(15) (10.1)

15 t t(15) 2.5% 2.131

P {

¯

X₋23.1

s/√16

>2.131

}

= 0.05 (10.2)

H0 t 2.131

t _|t_|>2.131 H0

帰無仮説を棄却する t = x¯−23.1

s/√16 =

0.1 0.16/4 =

0.1

0.04 = 2.5 |t|>2.131 H0 :µ= 23.1

10.1.1

有意水準

|t_|>2.131 棄却域

|t|>2.131 帰無仮説は棄却される −2.131≤t ≤2.131

帰無仮説は棄却されない 0.05

0.05 0.01

有意水準 α

有意水準 αの検定

10.1.2

母平均の検定：一般的な説明

X1, X2, . . . , Xn N(µ, σ2)

µ µ0

H0 :µ=µ0

H1 :µ̸=µ0

α

✓ ✏

H0 :µ=µ0 H1 :µ̸=µ0

t= x¯−µ0

s/√n (10.3)

|t|> tα/2(n−1) H0

|t_{| ≤}tα/2(n−1) H0

✒ ✑

練習問題18

300ml

9 x¯= 298.4

s = 2.4 H0 : µ= 300 H1 :µ̸= 300

10.1.3

母平均の検定：片側検定

10 25

TOEIC ¯

x= 5 s= 6 TOEIC

X1, X2, . . . , X25 25 TOEIC N(µ, σ2)

H0 :µ≤0

H1 :µ >0

片側対立仮説 24 t

5% 1.711

¯

x

s/√25 >1.711 (10.4)

¯

x

s/√25 =

5

6/5/≒4.17 4.17>1.711

α µ0

✓ ✏

H0 :µ≤µ0 H1 :µ > µ0

t= x¯−µ0

s/√n (10.5)

t > tα(n−1) H0

t_≤tα(n−1) H0

✒ ✑

H0 :µ≥µ0 H1 :µ < µ0

2種類の誤り

(a)

第１種の誤り Type 1 error

(b)

第２種の誤り Type 2 error

1 α

1 (α) H0

H1 2

µ 帰無仮説が棄

却されないことは、標本が帰無仮説と（統計的に）矛盾しないことを意味するのであって、帰 無仮説が積極的に支持されるわけではない。

10.1: W. S. Gosset ( , 1876-1937). Guiness brewery

10.1.4

P

値

61

X1, . . . , Xn

H0 :µ= 23.1 v.s. H1 :µ̸= 23.1

61 t= x¯−23.1

s/√16 =

0.1 0.16/4 =

0.1

0.04 = 2.5

¯

X₋23.1

s/√16

t = 2.5 0.025 1

P

P

✓ ✏

N(µ, σ2₎

H0 :µ=µ0 v.s. H1 :µ̸=µ0

X1, . . . , Xn

t

P (

¯

X₋µ0

s/√n > t

)

P値

P < α α

✒ ✑

1

10.2

発展：回帰分析における仮説検定

4 2

yi,xi i yi

yi =α+βxi+ui, i= 1,2, . . . , n (10.6)

ui, i = 1,2, . . . , n N(0, σ2) ui

α,β

(xi, yi), i= 1, . . . , n 2 βˆ β 2

ˆ

β

ˆ

β−β

σ_βˆ ∼

N(0, 1) (10.7)

σ_βˆ βˆ

σ_βˆ =

σ

√ _n

∑

i=1

(xi−x¯)2

(10.8)

(10.7) σ_βˆ

σ2 _e

1, . . . , en ˆ

σ2 = 1

n₋2

n

∑

i=1

e2_i (10.9)

ˆ

σ2 _βˆ

se( ˆβ) = √ _n σˆ ∑

i=1

(xi−x¯)2

(10.10)

ˆ

β 標準誤差(standard error)

✓ ✏

ˆ

β₋β

se( ˆβ) ∼t(n−2) (10.11)

✒ ✑

t(n₋2) n₋2 t β

10.2.1

β

についての仮説検定

H0 :β = 0 (10.12)

H1 :β ̸= 0

ˆ

β

se( ˆβ) (10.13)

(10.12)

t t t

|t|> tα/2(n−2) (10.14)

α H0 (10.14) H0