07周波数フィルタリングpdf 映像メディア工学2017 ヒューマンコンピュータインタラクション研究室 07周波数フィルタリング

周波数フィルタリング

（ ₂₀₁₇ 年 ₁₂ 月 ₁₁ 日）

浅井紀久夫

1

本日のポイント

• ^{ローパスフィルタ}

• ^{ハイパスフィルタ}

• 空間フィルタリングとの関係

教科書

周波数フィルタリング

2

画像のフーリエ変換

画像の横方向と縦 方向で別々の空間 周波数（横方向の空 間周波数は縦方向 の空間周波数の₂ 倍）を持つ正弦波

フーリエスペクトル

（元画像に含まれ る空間周波数に 対応した位置に、 ピーク（白い点）が 現れている）

フーリエスペクトル

（エッジがあるので、 高周波成分が含ま れる）

中央に、小さな四角 い領域

3

空間領域と周波数領域

• x,yであらわされる空間（空間領域）の関数

f(x,y)^{の画像が、}u,vで表わされる別の空間（ 周波数領域）の関数_F(u,v)で表現される。

y

x 0

f(x,y)

空間領域

v

u 0

F(u,v)

周波数領域 フーリエ変換

フーリエ逆変換

4

周波数フィルタリング

• フーリエ変換の各周波数成分は、画像に含ま れるそれぞれの空間周波数の強さを表す

• フーリエ変換後の各周波数成分の大きさを、

各成分ごとに変えることにより、元の画像の 性質を変化させる

5

周波数フィルタリングによる処理

• 元の画像のフーリエ変換

• ^{フィルタリングの出力}

• ^{は周波数フィルタ}

– 各周波数成分にかけられる倍率に相当する

• フィルタリング出力は、周波数領域の表現

– フィルタリング結果の画像は、フーリエ逆変換して 得られる

) , ( vu F

) , ( vu G

) , ( )

, ( )

,

(u v F u v H u v

G ₌

) , ( vu H

6

一連の処理

• 入力画像から、周波数フィルタリングにより出 力画像を得るまでの一連の処理

入力画像

出力画像

フーリエ変換

フーリエ逆変換

) , ( vu

F G( vu, )

) , ( )

,

(u v H u v F

) ,

(x y

f g(x, y)

7

ローパスフィルタ

• 画像に含まれる空間周波数成分のうち、低周 波数成分は残し、高周波数成分を除去する

• ^{原点において、値が}1^{になっている}

– 入力画像の空間周波数の直流成分（画像の平均 的な明るさ）が、出力画像においても保たれる

8

ローパスフィルタの周波数特性

• u=u₀までの低周波数成分はそのまま通し、そ

れ以上の高周波数成分は完全にカットする

フィルタ関数を₃次元的にプロット _vにおける断面

9

フィルタ

ローパスフィルタ適用結果

入力画像_f(x,y)

フーリエスペクトル

フィルタ_(LPF)

スペクトルと フィルタの積 出力画像_g(x,y)

Y横方向の周波数成分に対応するピークが除かれ、 縦縞が消えて横縞だけの画像が得られる

10 縦方向よりも

横方向の方が 周波数が高い

実画像に _LPF を適用

高周波成分が除かれ、平滑化された画像が得られている

11

実画像に _LPF を適用

遮断周波数が_1/2になったローパスフィルタ 強く平滑化 ¹²

ガウス分布型 _LPF

• ^{ガウス分布に従う}

• ^{原点（ ）で、値が}1^{になっている}

– 入力画像の空間周波数の直流成分（画像の平均 的な明るさ）が、保持される

) 0 , 0 ( )

,

(u v ₌

13

ガウス分布型 _LPF 適応結果

入力画像 出力画像 出力画像

フーリエスペクトル フーリエスペクトル フーリエスペクトル

幅の狭いガウス分布 を用いているため、 高周波成分が多く制 御されている

14

LPF ^{出力結果の比較}

不自然な濃淡の波

ある特定の周波数を境に急激にフィルタの 値が変化するために生じる

フィルタの値が滑らか に変化している

自然な平滑化

15

ハイパスフィルタ

• 画像の高周波数成分は残し、低周波数成分 を除去する

• 以下の式を利用して、ローパスフィルタから作 ることもできる

) , ( 1

) ,

(u v H u v

H_{high = − low}

16

実画像に _HPF を適用

入力画像_f(x,y)

フーリエスペクトル スペクトルと

フィルタの積 出力画像_g(x,y)

画像の高周波数成分だけが抽出される

17

ガウス分布ハイパスフィルタ

• HPFの値が滑らかに変化している

ガウス分布を利用したハイパスフィルタ

18

バンドパスフィルタ

• 画像に含まれる空間周波数のうち、ある中間 的な周波数の範囲を通す

19

高域強調フィルタ

• HPF

– 画像の直流成分を含む低周波数成分を除去 – 画像の平均的な明るさが保たれない

• ^{高域強調フィルタ}

– 画像の低周波成分はそのまま保ちつつ、高周波数成分 を強調する

• ハイパスフィルタから求める

• ローパスフィルタから求める

) , ( 1

) ,

(u v kH u v

H_{h−emph = + high}

) , ( 1

) ,

(u v k kH u v

H_{h−emph = + − low}

kは強調の程度を指定する定数

20

ガウス分布型高域強調フィルタ

• ^{ガウス分布に従う}

• ^{原点（ ）で、値が}1^{になっている}

– 入力画像の空間周波数の直流成分（画像の平均 的な明るさ）が、保持される

) 0 , 0 ( )

,

(u v ₌

21

高域強調フィルタ

• エッジが強調され、鮮鋭化された画像が得ら れる

入力画像

フーリエスペクトル

22

空間フィルタリングと周波数フィルタリング

• 周波数フィルタリングで用いられるフィルタ関数は、

• 空間フィルタリングで用いられるフィルタ関数のフー リエ変換となる

入力画像

出力画像

フーリエ変換

フーリエ逆変換

) , ( vu

F G( vu, )

) , ( )

,

(u v H u v F

) ,

(x y

f g(x, y)

空間フィルタリング

) ,

(

* ) ,

(x y h x y f

周波数フィルタリング

23

フーリエ変換の重要な性質

• 2^つの関数f₁(x,y)^、f₂(x,y)^{に対するフーリエ変換}

• ^記号*^は、2つの関数のたたみ込み積分

2つの関数のたたみ込み積分をフーリエ変換した

ものは、それぞれの関数のフーリエ変換の積 に等しくなる

{

} {

} {

}

F _{∗ =}

( ) ( ^{ξ η}

^ξ

^η )

^ξ

^η

f y

x f

y x

f

_{∫ ∫}

∞

∞

−

∞

∞

−

−

−

=

∗ ^{( , ) , ,}

) ,

( _{2 1 2}

1

24

フィルタ関数

• ^{入力画像を}f(x,y)^{、フィルタ関数を}h(x,y)^とした

とき、f(x,y)*h(x,y)は画像の空間フィルタリン グに対応する

– h(x,y)^{：インパルス応答}

• 周波数フィルタリングに用いられるフィルタ関

数_H(u,v)は、空間フィルタリングで用いられる

フィルタ関数_h(x,y)のフーリエ変換となる

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計算時間

• ^{周波数フィルタリング}

– フーリエ変換とフーリエ逆変換を必要とするため、 時間がかかる

– フィルタ関数との積で済むため、時間短縮できる

• ^{空間フィルタリング}

– フィルタ関数とのたたみ込み積分があるため、 時間がかかる

– たたみ込み積分は、フィルタの大きさが大きくなる に従い、計算時間が増加する

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どっちが有利？

• 空間フィルタの大きさが小さいとき

– 空間フィルタリングが有利

• 空間フィルタの大きさが大きくなるに従って

– 周波数フィルタリングの方が有利

27

ガウシアンフィルタ

• ^{ガウシアンフィルタ}h_g(x,y)^{のフーリエ変換}

ガウス分布のフーリエ変換は、再びガウス分布

(

)

exp )

,

(u v ^{2 2} u² v²

H _{g = −}

_{π σ}

 28

 

_{− +}

= ₂ ² ₂ ²

exp 2 2

) 1 ,

( _πσ σ

y y x

x h_g

ここは、これで_OK!

ガウシアンフィルタとローパスフィルタ

• 空間領域におけるガウシアンフィルタ

• ガウス分布型ローパスフィルタ

• ^大きな_σによる空間領域のガウシアンフィルタ

は、より強い（遮断周波数が低い）ローパスフ ィルタをかけることに対応する

29

平滑化フィルタ



 



= 

w y w

rect x y w

x

h_g ( , ) ¹₂ ,





 _{≤ ≤}

=

その他 かつ 0

2 1 2

1 1 )

,

(x y ^{x y}

rect

v

v

u

v u

u

H

πω ^πω

πω ^πω

sin

) sin

,

( ₌

sinc関数：正弦関数をその変数で割って得られる関数 30

（矩形波のフーリエ変換は_sinc関数）

ローパスフィルタの性質

• ^{フーリエスペクトル}|H_ave(u,v)|

– 周波数が高くなるに従って、小さくなっていく

– 高周波数成分除去の程度は、空間領域における 平均化フィルタの幅_wが大きくなると強くなる

y=0^の断面

31

v=0^の断面

2 次元ガウス分布のラプラシアン

のフーリエ変換

• 2次元ガウス分布のラプラシアン

• ^{そのフーリエ変換}



_{− +}

−

= ² + ² ₆ ^{2 2} ₂ ²

log 2 ^exp 2

) 2 ,

( πσ ^σ σ

y x

y y x

x h

( ) (

)

4 )

,

( ^{2 2 2 2 2 2 2}

log ^{u v u v u v}

H _{= − π + − π σ +}

32

LOG フィルタのフーリエ変換

• v=0^における|H_log(u,v)|

• バンドパスフィルタの特性

• _σが大きくなると、通過する周波数帯域は 低い方に移動する

33

高域強調フィルタ

• 周波数領域における出力_{G ( vu, )}

emph h₋

{ }

) , ( )

, ( )

1 (

) , ( )

, ( )

1 (

) , ( )

, ( )

, (

v u kH

v u F k

v u F v

u kH

k

v u F v u H

v u G

low low

emph h

emph h

− +

=

− +

=

= ₋

−

周波数領域において、原画像 F(u,v)とローパスフィルタの結果 H_low(u,v)を用いて、ある重み付け を付けて差を取る。

入力画像から平滑化画像を引く 空間領域の鮮鋭化フィルタと、周波数

領域における高域強調フィルタは本質 的に同じもの

34

課題の提出

• ^{ファイルによる提出}

– ローカルにフォルダを作る

（学生番号と名前の組合わせのフォルダ名） – ^提出用Y^{ドライブの中}

– 2017/T5_^{映像メディア工学} – ^{フォルダをコピー}

• ^{レポートは紙で提出}

課題例

名前：高専太郎 番号：₀₀₀₀

タイトル：た、立った！ 概要

ポイント：₁つのカメラで撮影した写真に、 画像処理を施す

面白いところ：フィギュア（本物）と実写（パ ソコンに提示）の融合において、照明効果 を考慮する

手法：デジカメを使って素材を取得し、画 像処理ツールで輝度や色を修正する。実 写と実物が違和感なく見えるようにする。 手順：フィギュアを用意、背景画像を設定、 デジカメで撮影、画像処理ツールで編集、 調整

原理図など

SD^ガンダム

フィンセト

ファン

ゴッホ